Sono discontinui sulle superfici di discontinuità del mezzo

LEGGI FONDAMENTALI
Lo studio dell’interazione elettromagnetica è basato
sul concetto di Campo Elettromagnetico
L’interazione a distanza in condizioni dinamiche
sta alla base della trasmissione dei segnali
nell’elettronica e nelle telecomunicazioni
In condizioni dinamiche le variazioni del campo si
propagano nello spazio con velocità finita.
Le variazioni spazio-temporali del campo
costituiscono le onde elettromagnetiche.
Il campo elettromagnetico macroscopico è rappresentato da
quattro vettori:
E  E (r ,t)
campo elettrico [V/m]
H  H (r ,t)
campo magnetico [A/m]
D  D(r ,t)
spostamento elettrico [C/m 2 ]
B  B (r ,t)
induzione magnetica [T]
z
r  x̂x  ŷx  ẑz
x
I vettori del campo sono collegati alla distribuzione delle
cariche e delle correnti libere, rappresentata da opportune
densità.
y
Le cariche e le correnti volumetriche sono rappresentate da
  (r ,t) densità di carica [C/m 3 ]
J  J (r ,t)
 (r ,t) dV  q(t)
V
densità di corrente [A/m 2 ]
 J (r ,t)  n̂ dS  i(t)
S
S
V
n̂
Le distribuzioni di cariche e correnti concentrate su superfici
(lamine di carica o di corrente) sono rappresentate da densità
superficiali
S  S (r ,t)
densità di carica superficiale [C/m 2 ]
 J S (r ,t)
densità di corrente superficiale [A/m]
J
S
+ +
 S + + +
+
+
+
J

S
lamin
a
m̂
 S (r ,t) d  q(t)
carica su 

 J (r ,t)  m d  i(t)

corrente attraverso 
I vettori del campo sono funzioni continue della
posizione “quasi ovunque”.
Sono discontinui
•
•
sulle superfici di discontinuità del mezzo;
sulle lamine di carica e/o di corrente.
Divergono
•
•
sugli spigoli o sulle punte eventualmente presenti
nelle superfici di discontinuità del mezzo;
sulle cariche e correnti concentrate in punti o
linee.
I punti in cui il campo è continuo sono detti
“regolari”.
Nei punti regolari valgono le
equazioni di Maxwell
D
H 
J
t
B
E  
t
D  
 B  0
Sulle superfici di discontinuità il rotore e la divergenza non
possono essere definiti, e le equazioni di Maxwell sono sostituite
da altre relazioni
 xVz VyVy V
 z  Vx Vz 
 Vy Vx 
V
V
 V       x̂  

ŷ  

ẑ



x 
y 
x
 y y z z  z
 x
Simboli usati per rappresentare i vettori del campo a
ridosso delle superfici di discontinuità
n̂
V
superficie di discontinuità
V
V
n̂
VT
90°
n̂  V T  n̂  V
nel prodotto vettoriale
con n la componente
normale di V viene
cancellata
Condizioni sulle
superfici di
discontinuità
n̂
E  ,H  ,B  ,D 
E  ,H  ,B  ,D 
Condizioni sulle componenti tangenziali


n̂  H   H   J
S




n̂  E   E   0
Condizioni sulle componenti normali

n̂  D  D



 S
n̂  B   B   0
Lo studio del campo elettromagnetico richiede la determinazione
di 12 funzioni scalari (le componenti dei quattro vettori del
campo).
Le equazioni di Maxwell equivalgono a 8 equazioni scalari.
Esse sono insufficienti per determinare il campo, anche in quei
problemi in cui le densità di carica e di corrente sono quantità
impresse (ossia assegnate a priori, come sorgenti del campo).
A maggior ragione esse sono insufficienti se le densità di carica
e di corrente sono incognite da determinare assieme al campo
Le equazioni di Maxwell non contengono alcuna informazione
riguardo al mezzo in cui si sviluppa il campo.
per fornire tali informazioni è necessario introdurre ulteriori
relazioni (equazioni costitutive).
Le equazioni costitutive riflettono l’influenza della polarizzazione elettrica, della magnetizzazione e della conduzione del
mezzo.
Influenza della polarizzazione elettrica e della
magnetizzazione.
D  0E  P
polarizzazione elettrica
B  0 H  M
magnetizzazione
La polarizzazione elettrica e la magnetizzazione dipendono
da E e da H , secondo leggi caratteristiche del mezzo.
Ne consegue che i vettori del campo sono collegati da due
equazioni costitutive che descrivono l’effetto della polarizzazione e della magnetizzazione del mezzo.
Se il campo agisce in un mezzo conduttore (metallo,
semiconduttore, gas ionizzato, ecc.), si ha un moto di deriva
dei portatori di carica (correnti di conduzione).
Se la corrente di conduzione non è impressa, la sua densità
( J c) è un’incognita , che deve essere determinata assieme
al campo.
Una terza equazione costitutiva descrive la relazione esistente
fra il campo elettromagnetico e la densità di corrente di
conduzione.
Nel vuoto, che non si polarizza, non si magnetizza e non
conduce si ha
D  0E
B  0 H
J c0
indipendentemente dall’intensità e dalla rapidità del campo
La forma delle equazioni costitutive dei mezzi materiali
varia da caso a caso, secondo
• la natura del mezzo;
• l’intensità e la rapidità delle variazioni spazio-temporali
del campo che si vuole studiare.
La tipologia delle equazioni costitutive dipende dalle
seguenti caratteristiche del mezzo:
•
•
•
•
stazionarietà / non-stazionarietà
isotropia / anisotropia
linearità / non-linearità
dispersività / non-dispersività
Stazionarietà / non-stazionarietà
Il mezzo è stazionario se
•
•
è immobile rispetto al sistema di osservazione;
le sue caratteristiche fisiche non variano nel tempo.
Nei mezzi stazionari ciascuna equazione costitutiva
coinvolge una sola delle seguenti coppie di incognite:
D,E
B,H
J c ,E
Inoltre tutte le quantità che caratterizzano il mezzo
sono indipendenti dal tempo.
Isotropia / anisotropia
Il mezzo è isotropo se le sue proprietà fisiche sono uguali
in tutte le direzioni
Sono isotropi i fluidi, i solidi amorfi e i solidi a struttura
policristallina, purché immobili rispetto al sistema
d’osservazione e in assenza tensioni meccaniche.
I monocristalli, esclusi quelli del sistema cubico, sono un
esempio di materiale anisotropo.
Le equazioni costitutive dei mezzi isotropi sono invarianti
rispetto ad una rotazione del sistema di riferimento
Linearità / non-linearità
Sono lineari i mezzi caratterizzati da equazioni costitutive
lineari.
Sia
Se il campo elettromagnetico è sufficientemente debole,
f (x1essere
, x2 , ,considerati
xN )  0
tutti i mezzi possono
lineari.
un’equazione costitutiva (le N variabili rappresentano i vettori del campo ed, Un esempio di mezzo non-lineare è costituito i materiali
eventualmente, loro derivate di vario ordine).
ferromagnetici soggetti a campi magnetici di ampiezza
Considerate due qualsiasi N-uple di variabili {an} e {bn} che la soddisfano, si
sufficiente a rendere significativi gli effetti della
dice che l’equazione è lineare se essa è soddisfatta anche da {an+bn}.
saturazione e dell’isteresi.
Esempi di equazioni lineari
D  0E
J c
  J c   0 2p E
t
Esempi di equazioni non lineari
  tanh(  E) 
D  0 1 
E



E
J c
q
  J c  J c  B   0 2p E
t
m
Dispersività / non-dispersività
Sono dispersivi i mezzi il cui comportamento dipende dalla
rapidità della variazione temporale e/o spaziale del campo
Le equazioni costitutive dei mezzi dispersivi coinvolgono,
oltre ai i vettori del campo, anche le loro derivate spaziali
(dispersività nello spazio) e/o temporali (dispersività nel
tempo)
La dispersività nel tempo dipende dall’inerzia dei
meccanismi microscopici che determinano la polarizzazione,
la magnetizzazione e la conduzione del mezzo.
In condizioni dinamiche sufficientemente rapide tutti i
materiali sono dispersivi nel tempo. In condizioni statiche o
di lenta variabilità i materiali possono essere considerati
non-dispersivi.
Nei problemi di elettromagnetismo riguardanti le più
comuni applicazioni delle onde elettromagnetiche i
mezzi possono essere considerati lineari, stazionari e
spazialmente non-dispersivi.
In questo corso si assume tacitamente che il mezzo sia
• lineare
• stazionario
• isotropo
• non-dispersivo nello spazio.
Viene invece considerata la dispersività temporale, poiché
in molte applicazioni il campo varia rapidamente nel
tempo.
Equazioni costitutive dei mezzi lineari,
stazionari, isotropi, non-dispersivi
D   0 r E
B  0 r H
J c  E
(legge di Ohm)
 r  costante dielettrica relativa (  1)
r  permeabilità magnetica relativa
  conducibilità [S/m]
In questa categoria rientrano il vuoto ( r  1, r =1,  =0)
e i materiali (isotropi, stazionari, ecc.) in condizioni
statiche o di lenta variabilità.
Equazioni costitutive dei mezzi lineari,
stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo
m D
am m 
t
qB
cp p 
t
r J c
em

s
t
D
n E
 a1
 a0 D  bn n 
t
t
B
q H
 c1
 c0 B  dq q 
t
t
J c
sE
 e1
 e0 J c  fs s 
t
t
 b1
E
 b0 E
t
H
 d1
 d0 H
t
E
 f1
 f0 E
t
Equazioni fondamentali per la determinazione
del campo elettromagnetico
D
H 
J c J
t
B
E 
0
t
0
 
G B, H  0
L J , E  0
F D,E  0
c
5 equazioni vettoriali
5 campi vettoriali incogniti
densità della corrente impressa
condizioni ausiliarie
• equazioni alle divergenze
• condizioni sulle superfici di
discontinuità
LEGGE DI LORENTZ
La legge di Lorentz definisce la forza elettromagnetica che
agisce sulla carica che, in un generico istante, attraversa il
volumetto infinitesimo dV.
v
dV
fascio di particelle nel vuoto
df = (E + v  B ) dV
3
[N/m ]
La legge di Lorentz costituisce l’anello di congiunzione fra
il campo elettromagnetico e i suoi effetti osservabili.