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Probabilità e statistica
Veronica Gavagna
Testa o croce?
Immaginiamo di lanciare una moneta facendola
cadere su un piano liscio… chiunque dirà che la
probabilità dell’evento testa sarà del 50%, al pari
della probabilità dell’evento croce. Potremo
schematizzare dicendo
Esiti possibili: T, C (2)
Evento T: 1/2 (50%)
Di qui la definizione classica di probabilità:
Probabilità di un evento = P(E) =
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒊 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒊
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒊 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊
Il numero di casi possibili è anche detto spazio degli
eventi.
La probabilità che esca 4 lanciando un dado cubico è
La probabilità che si peschi una carta di spade in un
10
1
mazzo di carte è = = 0,25%
40
4
La probabilità di pescare una pallina rossa in un
10
sacchetto contenente 10 palline gialle e 3 rosse è
13
1
6
La probabilità di estrarre una pallina rossa da un
10
sacchetto contenente 10 palline rosse è = 1
10
(evento certo).
La probabilità di estrarre una pallina verde da un
0
sacchetto contenente 10 palline rosse è = 0
10
(evento impossibile).
La probabilità di un evento aleatorio è
rappresentata da una frazione il cui numeratore
è minore o uguale del denominatore, quindi
𝟎 ≤𝑷 𝑬 ≤𝟏
Nella definizione classica è in realtà sottinteso
che i «casi possibili» devono «pesare allo stesso
modo», cioè essere equiprobabili!
Dunque la definizione classica «riveduta e
corretta» è la seguente: la probabilità di un
evento in un esperimento è data dal rapporto
tra il numero di casi favorevoli e il numero di
casi possibili, purché essi siano equiprobabili…
è un circolo vizioso!
Per di più è una definizione con una modesta
applicabilità. Vediamo un esempio:
«Qual è la probabilità che il 20 luglio a Firenze
piova?»
Probabilità: definizione frequentista
Esistono definizioni alternative a quella classica,
usate soprattutto in ambito commerciale ed
economico
Probabilità di un evento =
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒊 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒊
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒊 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕𝒕𝒖𝒂𝒕𝒊
Mentre la definizione classica prevede una stima a
priori, quella frequentista si basa su una stima a
posteriori: la probabilità che si verifichi un evento
viene a coincidere con la frequenza relativa con cui
si presenta in situazioni analoghe.
Ma quanti esperimenti bisogna fare???
La probabilità di un evento, valutata in modo
frequentistico dipende dal numero degli
esperimenti effettuati: maggiore è questo numero,
più attendibile è la stima.
Nella situazione in cui è possibile ricorrere alla
definizione classica – lancio di una moneta – è
senza dubbio da preferire.
Ci sono altre definizioni di probabilità, tuttavia
varrà la pena rimarcare che esistono vari modi per
definire e misurare la probabilità di un evento. Ciò
che si conserva è il modo di misurare la probabilità
di eventi complessi a partire da eventi semplici.
Contare i casi possibili
Talvolta la difficoltà nella stima della probabilità di un
evento dipende dalla facilità con la quale si possono
contare «tutti i casi i possibili».
Per esempio, nel problema che segue, il calcolo della
probabilità di uno due eventi diventa banale solo dopo
che si sono enumerate tutte le possibilità. In questo caso
è importante trovare una strategia per contare in modo
efficace. Gli strumenti matematici che aiutano in tal senso
fanno parte del calcolo combinatorio, ma esulano dagli
argomenti di questo corso.
Nel secondo e terzo esempio, invece, il problema non è di
«contare» i casi possibili, ma «capire» quanti siano
veramente.
E’ più probabile indovinare l’ordine d’arrivo di 4
atleti sconosciuti a una gara campestre, oppure
la seconda lettera della duecentoventisettesima
parola del quarto capitolo del Promessi Sposi?
Indichiamo con A, B, C e D i 4 atleti e vediamo i possibili
ordini d’arrivo
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA,
BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB,
DBAC, DBCA, DCAB, DCBA…. Sono 24
1
,
24
Quindi la possibilità di azzeccare l’ordine d’arrivo è
mentre la possibilità di indovinare la lettera,
1
1
1
appartenente all’alfabeto italiano è . Poiché
>
21
21
24
è più probabile indovinare la lettera dei Promessi
Sposi piuttosto che l’ordine d’arrivo
In un’urna sono contenute 1 pallina bianca (B), 1
rossa (R) e una verde (V) . Qual è la probabilità che
in tre estrazioni successive esca la sequenza BRV?
Il punto critico in questo caso è la determinazione dei
casi possibili. Come si contano?
BRV – BVR – RVB – RBV – VBR – VRB
Nella prima posizione ho 3 scelte, per ognuna di
queste, nella seconda posizione ho 2 scelte, mentre
nell’ultima posizione rimane un’unica possibilità.
Ovvero
Combinazioni possibili = 3×2×1=6
La probabilità dell’ evento atteso è dunque
1
6
In un’urna sono contenute 1 pallina bianca
(B), 1 rossa (R) una verde (V) e una gialla
(G). Qual è la probabilità che in tre
estrazioni successive esca la sequenza BRVG?
BRVG
RBVG
Per la prima posizione: 4 scelte
BRGV
RBGV
Per la seconda posizione: 3 scelte
BVRG
RGBV
BVGR
RGVB
Per la terza posizione: 2 scelte
BGVR
RVBG
BGRV
RVGD
Per la quarta posizione: 1 scelta
Le combinazioni possibili
GBVR
saranno
VBRG
GBRV
VBGR
GRVB
4×3×2×1=24
VGRB
GRBV
Quindi la probabilità è
1
24
VGBR
VRBG
VRGB
GVRB
GVBR
Potremmo proseguire così…
In quanti modi diversi possono disporsi in fila 5 bambini?
5 oggetti da permutare danno luogo a
5 ×4×3×2×1=120 permutazioni
Quante puntate si dovrebbero fare per essere sicuri di
azzeccare l’ordine d’arrivo di 6 cavalli?
6× 5×4×3×2×1=720
In generale…
n oggetti da permutare danno luogo a
1×2×3×4×…. ×(n-1) ×n
permutazioni
L’espressione 1×2×3×4×…. ×(n-1) ×n , che rappresenta il numero delle
permutazioni su n oggetti si indica anche con
n!
e si dice n fattoriale o fattoriale di n.
Lanciamo ora due monete: qual è la
probabilità che escano due teste?
Possiamo descrivere i casi possibili come: uscita
di due teste, uscita di due croci, uscita di una
testa e di una croce. E in questo caso la
1
probabilità dell’evento parrebbe . O no??
3
In realtà l’evento «uscita di una testa e di una
croce» non pesa come gli altri due, avendosi
TT, CC, CT, TC (per convincervi immaginate di
avere due monete di colore diverso.). Dunque i
casi possibili sono 4 e la probabilità corretta
1
dell’evento è
4
Un mio amico ha due figli non gemelli.
Sapendo che uno è maschio, qual è la
probabilità che l’altro sia femmina?
Nei casi possibili bisogna anche considerare
l’ordine di nascita: MF, FM, MM.
1
2
Quindi la probabilità non è come si potrebbe
pensare, ma
2
3
Abbiamo visto come dobbiamo comportarci
quando dobbiamo valutare la probabilità che si
verifichi un evento 𝐸1 .
Immaginiamo ora di considerare anche un evento
𝐸2 .
Come dobbiamo valutare la probabilità che si
verifichi 𝑬𝟏 e contemporaneamente 𝑬𝟐 ?
E come dobbiamo valutare la probabilità che si
verifichi 𝑬𝟏 oppure 𝑬𝟐 ? (nel senso della
disgiunzione inclusiva)
Prima di dare risposte, premettiamo la distinzione
tra eventi compatibili e incompatibili.
Due eventi si dicono incompatibili se non possono
verificarsi contemporaneamente.
Estraendo una carta da un mazzo di 40, i due eventi:
E1 = "Esce l'asso di cuori"
E2 = "Esce una figura"
sono incompatibili.
Due eventi sono, invece, compatibili se c’è anche
una sola possibilità che possano verificarsi
simultaneamente, in una data prova.
Estraendo una carta da un mazzo di 40,
i due eventi:
E1 = "Esce una figura"
E2 = "Esce una carta di cuori"
sono compatibili perché in una estrazione potrebbe
uscire una figura di cuori.
Prodotto logico di eventi
evento intersezione
Consideriamo 12 gettoni numerati e sia
𝐸1 = esce un numero pari
𝐸2 = esce un numero maggiore di 7
Casi favorevoli per 𝐸1 ; A= 2, 4, 6, 8, 10, 12 → 𝑝(𝐸1 )=1/2
Casi favorevoli per 𝐸2 ; B= 8, 9, 10, 11, 12 → 𝑝(𝐸2 )=5/12
𝐸= esce un numero pari e un numero maggiore di 7
L’insieme dei casi favorevoli, per definizione del connettivo
logico e, è l’intersezione dei due insiemi precedenti
𝐴 ∩ 𝐵 = 8, 10, 12
Quindi 𝑝(E) = 𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 =
mentre
𝑝 𝐸1 ∙ 𝑝 𝐸2 = 5/24
3
12
=
1
4
Prodotto logico di eventi
evento intersezione
Consideriamo 12 gettoni numerati e sia
𝐸1 = esce un multiplo di 5
𝐸2 = esce un multiplo di 3
Casi favorevoli per 𝐸1 ; A= 5, 10 → 𝑝(𝐸1 )=2/12=1/6
Casi favorevoli per 𝐸2 ; B= 3, 6, 9, 12 → 𝑝(𝐸2 )=4/12=1/3
𝐸= esce un numero multiplo di 3 e di 5
L’insieme dei casi favorevoli, per definizione del
connettivo logico e, è l’intersezione dei due insiemi
precedenti
Sempre? E se i gettoni
𝐴∩𝐵 =∅
fossero 18?
Quindi 𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 0
mentre si ha 𝑝 𝐸1 ∙ 𝑝 𝐸2 =
1
18
Nel caso dei 12 gettoni, i due eventi
𝐸1 = esce un multiplo di 5
𝐸2 = esce un multiplo di 3
sono incompatibili. Di certo, nel caso di eventi
incompatibili, non vale la regola del prodotto
logico: 𝑝(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑝 𝐸1 ∙ 𝑝 𝐸2
Ma allora, quando rimane valida?
Per dare una risposta dobbiamo fare
un’ulteriore distinzione negli eventi compatibili
tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti
Eventi indipendenti
Attenzione:
Indipendenti non vuol
dire incompatibili!
Due eventi compatibili 𝐸1 e 𝐸2 si dicono
indipendenti se il fatto che si verifichi 𝐸1 non altera
la probabilità che si verifichi 𝐸2 .
Ad es., se lanciamo due dadi, gli eventi
𝐸1 = esce un 2 nel primo dado
𝐸2 =esce un 5 nel secondo dado
sono indipendenti. In questo casi vale il Teorema
del prodotto per eventi compatibili e
indipendenti (o Teorema della probabilità
composta)
Dati due eventi A e B compatibili tra loro
e indipendenti, la probabilità dell’evento A
e B (prodotto logico) è il prodotto della
probabilità di A e della probabilità di B
𝒑 𝑨 𝒆 𝑩 = 𝒑 𝑨 ∙ 𝒑(𝑩)
che si può scrivere anche come
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑 𝑨 ∙ 𝒑(𝑩)
Nota bene: il teorema si può estendere a un
numero finito di eventi, purché siano compatibili e
indipendenti.
(1)E’ possibile calcolare in questo modo la probabilità
dell’evento «escono due teste» nel lancio di due
monete?
(2) Qual è la probabilità di fare 12 lanciando due dadi?
(3) Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una
carta da ciascun mazzo, consideriamo i due eventi
indipendenti:
E1 = "La carta estratta dal primo mazzo è un asso"
E2 = "La carta estratta dal secondo mazzo è una carta di
fiori"
Qual è la probabilità che si verifichino entrambi?
p(E1) = 4/40
p(E2) = 10/40
p(E1 e E2) = 4/40 · 10/40 = 40/1600 = 1/40
Problema
Anna vuole trovarsi un fidanzato che abbia come segno
zodiacale un segno di terra (Toro, Vergine, Capricorno) e
abbia gli occhi chiari.
Nella sua città 1/3 dei ragazzi ha gli occhi neri, 1/3 ha gli
occhi azzurri e 1/3 ha gli occhi verdi.
Una sua amica le farà conoscere suo cugino Leo.
Che probabilità ha Leo di rispondere ai desideri di Anna?
La probabilità che Leo sia un segno di terra è
3
12
=
2
3
1
4
La probabilità che abbia gli occhi chiari è pari a
Ma quale sarà la probabilità che sia un segno di terra e
abbia contemporaneamente gli occhi chiari?
Vediamo tutti i casi possibili
𝑛𝑒𝑟𝑖
Ariete 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Gemelli 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Leone 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Bilancia 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Sagittario 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Acquario 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Toro 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒊
𝒂𝒛𝒛𝒖𝒓𝒓𝒊
𝑛𝑒𝑟𝑖
Cancro 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Vergine 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒊
𝒂𝒛𝒛𝒖𝒓𝒓𝒊
𝑛𝑒𝑟𝑖
Scorpione 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Sagittario 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖
𝑎𝑧𝑧𝑢𝑟𝑟𝑖
𝑛𝑒𝑟𝑖
Capricorno 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒊
𝒂𝒛𝒛𝒖𝒓𝒓𝒊
I casi possibili sono 12 × 3 = 36 e di questi quelli
favorevoli sono 3 × 2 = 6
Dunque la probabilità che Leo sia l’uomo giusto è
6
3
2
pari a =
×
36
12
3
Se consideriamo gli eventi
A: Leo è un segno di terra; probabilità 𝑝 𝐴 =
B:Leo ha gli occhi chiari; probabilità 𝑝 𝐵 =
2
3
3
12
L’evento «Leo è un segno di terra con gli occhi
chiari» si verifica quando si verificano
contemporaneamente A e B (compatibili e
indipendenti) e la sua probabilità si può calcolare
con 𝑝 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑝 𝐴 ∙ 𝑝(𝐵)
Eventi dipendenti
Due eventi compatibili 𝐸1 e 𝐸2 si dicono dipendenti se il fatto
che si verifichi 𝐸1 altera la probabilità che si verifichi 𝐸2 .
Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due carte in
successione, senza rimettere la prima carta estratta nel
mazzo, i due eventi:
E1 = "La prima carta estratta è un asso"
E2 = "La seconda carta estratta è un asso"
sono dipendenti.
Per la precisione la probabilità di E2 dipende dal verificarsi o
meno di E1.
Infatti:
a) la probabilità di E1 è 4/40
b) la probabilità di E2, se la prima carta era un asso, è 3/39
c) la probabilità di E2, se la prima carta non era un asso, è 4/39
Vediamo questo esempio. Nel portamonete ho 2
monete da 2 euro e 1 moneta da 1 euro. Qual è
la probabilità di estrarre come prima e seconda
moneta le due monete da 2 euro?
𝐸1 : prima pesca di una moneta da 2 euro
𝐸2 : seconda pesca di una moneta da 2 euro
Per valutare la probabilità del primo evento,
interviene la definizione classica
2
𝑝 𝐸1 =
3
Prima di precipitarsi ad affermare che la
probabilità è la stessa per il secondo evento,
bisogna riflettere un poco.
Se suppongo che si sia verificato 𝐸1 , nel mio
portamonete sarà rimasta una moneta da 2 euro
e una moneta da 1 euro, dunque la probabilità
di pescare la moneta da 2 euro questa volta è
1/2
1
2
𝑝 𝐸2 = e non
2
più !!
3
In questo caso, per sottolineare la dipendenza di
𝐸2 da 𝐸1 , la notazione diventa
1
𝑝 𝐸2 /𝐸1 =
2
e si legge probabilità di 𝐸2 condizionata a 𝐸1
Quindi la probabilità composta sarà
2
3
1
×
2
1
3
= = 33%
Quando gli eventi sono compatibili e dipendenti,
il teorema del prodotto (o della probabilità
composta) assume questa forma:
La probabilità che si verifichino i due
eventi A e B è il prodotto logico della
probabilità che si verifichi A e della
probabilità che si verifichi B, una volta
verificatosi A (probabilità condizionata)
𝒑 𝑨 𝒆 𝑩 = 𝒑 𝑨 ∙ 𝒑(𝑩|𝑨)
Possiamo considerare la formula già vista
𝑝 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑝 𝐴 ∙ 𝑝(𝐵)
come un caso particolare della precedente?
Certamente: se A e B sono indipendenti vale la
relazione
𝑝(𝐵|𝐴) = 𝑝(𝐵)
dato che il verificarsi o meno di A non influenza il
verificarsi di B.
Possiamo dunque assumere il teorema precedente
come teorema generale valido per eventi
compatibili, che prevede come caso particolare il
caso degli eventi indipendenti.
Speriamo non capiti…
Un oratore si appresta a fare il suo discorso di ben 5
cartelle, quando per una distrazione i fogli si
sparpagliano a terra. I fogli vengono raccolti
frettolosamente e alla rinfusa: qual è la probabilità che
l’ordine sia quello corretto??
1
5
La probabilità che la prima pagina sia giusta è
La probabilità (condizionata) che la seconda sia giusta,
1
è (perché ho già raccolto una pagina giusta e ne
4
sono rimaste 4 a terra)
Proseguendo si trova che la probabilità richiesta è pari
a
1
5
×
1
4
1
×
3
×
1
×
2
1=
1
120
= 0,0083 %
Eventi contrari
Dato un evento E, si dice evento contrario o
complementare ad E l’evento che si verifica se e solo
quando non si verifica E.
Due eventi contrari sono incompatibili.
Nel lancio di una moneta, l’evento complementare a «esce
testa» è «non esce testa» che coincide – in questo caso –con
l’evento «esce croce».
Se n è il numero dei casi possibili e m i casi favorevoli all’evento
A
𝑚
𝑝 𝐴 =
𝑛
Mentre la probabilità dell’evento complementare B=𝒞A
𝑛−𝑚
𝑝 𝐵 = 𝑝(𝒞A) =
= 1 − 𝑝(𝐴)
𝑛
Eventi contrari
Per valutare la probabilità di un evento, talvolta è più semplice
calcolare la probabilità dell’evento contrario e ricordarsi la
relazione precedente. Vediamo qualche esempio
Trovare la probabilità che, lanciando due dadi, si ottenga
come somma delle facce almeno 4.
Dato che un punteggio maggiore o uguale di quattro (evento E)
si può ottenere in molti modi, conviene pensare all’evento
contrario (che si indica con ∁𝐸 oppure 𝐸 )
𝐸 = “si ottiene un punteggio inferiore a quattro”.
Gli eventi favorevoli ad 𝐸 sono le tre coppie (1, 1), (1, 2), (2, 1)
per cui:
p(𝐸 ) = 3/36 = 1/12
e la probabilità richiesta è:
p(𝑬 ) = 1 - 1/12 = 11/12
Un classico gioco d’azzardo…
… consisteva nel lanciare 4 dadi e scommettere sulla
possibilità che apparisse almeno un sei.
In questo caso è particolarmente conveniente ricorrere
all’evento complementare, più semplice da valutare.
Il complementare dell’evento «esce almeno un 6 nel lancio di
4 dadi» è (ricordare la negazione del quantificatore «esiste
almeno»! ) «non esce mai 6 nel lancio di 4 dadi».
Ragioniamo su questo evento: la probabilità di non far 6 con
5
un dado è , quindi – dato che gli eventi sono indipendenti –
6
5
5
5
5
la probabilità di non far 6 con 4 dadi è × × × =
6
6
6
6
625
= 0,482 …
1296
La probabilità dell’evento complementare è dunque
1 − 0,482 = 0,518
Su mille lanci 518 sono favorevoli e 482 sono contrari alle
aspettative.
Il paradosso del compleanno
Qual è la probabilità che in una partita di calcio
tra i giocatori e l’arbitro (=23 persone) esistano
due persone nate lo stesso giorno?
Anche in questo caso ci conviene ragionare sull’evento
complementare: tutti compiono gli anni in giorni diversi.
La probabilità che la seconda delle 23 persone non abbia
364
lo stesso compleanno della prima è , che il
365
compleanno della terza non coincida con quello delle
363
prime due è
etc Alla fine la probabilità che nessun
365
compleanno coincida è pari a
364
363
×
365
365
362
365
343
365
×
…
=0,493
Quindi l’evento complementare ha una probabilità di
verificarsi maggiore del 50%
Somma logica di eventi
evento unione
Consideriamo 12 gettoni numerati e sia
𝐸1 = esce un multiplo di 5
𝐸2 = esce un multiplo di 3
Casi favorevoli per 𝐸1 ; A= 5, 10 → 𝑝(𝐸1 )=2/12=1/6
Casi favorevoli per 𝐸2 ; B= 3, 6, 9, 12 → 𝑝(𝐸2 )=4/12=1/3
𝐸= esce un numero multiplo di 3 o di 5
L’insieme dei casi favorevoli, per definizione del connettivo logico o,
è l’unione dei due insiemi precedenti
𝐴 ∪ 𝐵 = 3, 5, 6, 9, 10, 12
Quindi 𝑝(E)=
6
12
1
2
6
12
=
Dal momento che
allora
=
2
4
+
12
12
, sembrerebbe ovvio dedurre che
𝑝 𝐸 = 𝑝 𝐸1 + 𝑝(𝐸2 )
Ma è sempre così?? Vediamo un altro esempio
Somma logica di eventi
evento unione
Consideriamo 12 gettoni numerati e sia
𝐸1 = esce un numero pari
𝐸2 = esce un numero maggiore di 7
Casi favorevoli per 𝐸1 ; A= 2, 4, 6, 8, 10, 12 → 𝑝(𝐸1 )=6/12=1/2
Casi favorevoli per 𝐸2 ; B= 8, 9, 10, 11, 12 → 𝑝(𝐸2 )=5/12
𝐸= esce un numero pari o un numero maggiore di 7
L’insieme dei casi favorevoli, per definizione del connettivo
logico o, è l’unione dei due insiemi precedenti
𝐴 ∪ 𝐵 = 2,4,6,8,9,10,11,12
8
2
Quindi 𝑝(E)=
=
12
3
Si noti che 𝑝 𝐸 ≠ 𝑝 𝐸1 + 𝑝 𝐸2
Cosa cambia nei due esempi??
Vediamo un altro esempio
Qual è la probabilità di estrarre una carta
di spade oppure di bastoni da un mazzo di
carte da 40?
La risposta è semplice:
20
40
= 50%
Si può ottenere applicando la definizione classica
oppure sommando la probabilità dei due diversi
eventi «estrarre bastoni», «estrarre spade» :
10
10
+
40
40
Ancora una volta saremmo tentati di generalizzare
il ragionamento affermando
La probabilità che si verifichi un evento complesso del
tipo A oppure B è pari a
𝑝 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝(𝐵)
Consideriamo però anche questo esempio.
Qual è la probabilità di estrarre una carta di
spade oppure una figura?
Dato che le figure sono 12, è corretto affermare che la
probabilità dell’evento atteso è
10
12
+
40
40
𝟐𝟐
𝟒𝟎
=
?
Proviamo a contare il numero dei casi favorevoli: tutte
le 10 carte di spade e 9 figure rimanenti, dunque la
𝟏𝟗
probabilità dell’evento atteso è . Come si giustifica
𝟒𝟎
questa discrepanza?
Il punto è che nella prima valutazione non si è tenuto conto
che anche tra le spade ci sono delle figure e quindi abbiamo
contato le figure delle spade due volte. Quindi la prima
valutazione deve essere corretta in questo senso
10
40
12
+
40
−
𝟑
𝟒𝟎
=
19
40
Questa volta possiamo generalizzare la formula della
probabilità di un evento che è somma logica di due eventi
𝒑 𝑨 𝒐 𝑩 = 𝒑 𝑨 + 𝒑 𝑩 − 𝒑(𝑨 𝒆 𝑩)
Teorema della
𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑 𝑨 + 𝒑 𝑩 − 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)
probabilità totale
Se i due eventi sono incompatibili (come, nel primo caso,
l’uscita delle spade e dei bastoni) allora 𝑝 𝐴 𝑒 𝐵 = 0 e
quindi vale il caso particolare
𝑝 𝐴 𝑜 𝐵 = p A + p(B)
Generalizzazione!
Se 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 … 𝑨𝟑 è un insieme di eventi
incompatibili allora
𝒑 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪. .∪ 𝑨𝒏 = 𝒑 𝑨𝟏 + 𝒑 𝑨𝟐 +. . +𝒑(𝑨𝒏 )
Consideriamo un’urna contenente 10 palline bianche, 8
verdi, 6 rosse e 4 nere.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina non bianca?
L’evento atteso è «estrazione di una pallina verde» oppure
«rossa» oppure «nera». Gli eventi sono incompatibili e
quindi possiamo sommare le relative probabilità
8
6
4
18
+
+
=
= 64%
28 28 28 28
Riproviamoci…
Consideriamo ancora i 12 gettoni numerati e sia
𝐸1 = esce un numero pari
𝐸2 = esce un numero maggiore di 7
Casi favorevoli per 𝐸1 ; A= 2, 4, 6, 8, 10, 12 →
𝑝(𝐸1 )=6/12
Casi favorevoli per 𝐸2 ; B= 8, 9, 10, 11, 12 →
𝑝(𝐸2 )=5/12
𝐸= esce un numero pari o un numero maggiore di 7
Possiamo valutare la probabilità dell’evento
𝑝 𝐸 = 𝑝 𝐸1 ∪ 𝐸2 ?
Tenendo presente che la probabilità dell’evento
𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 «esce un numero pari e maggiore di 7»
3
è (i numeri che soddisfano la richiesta sono 8, 10,
12
12)
si ha
𝑝 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑝 𝐸1 + 𝑝 𝐸2 − 𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2
6
5
3
8
2
=
+
−
=
=
12 12 12 12 3
E si ritrova il valore che avevamo ottenuto contando
gli elementi dell’intersezione.
Per decidere se applicare il teorema della
probabilità totale o quello della probabilità
composta si operi come segue:
- se l'evento composto è somma di due o più
eventi, tra di loro collegati da "o", si ricorre alla
probabilità totale [somma logica];
- se l'evento composto è intersezione di due o più
eventi, tra di loro collegati da "e", si ricorre alla
probabilità composta [prodotto logico];
- se nel testo compaiono sia "o" che "e", si
applicheranno i due teoremi nel modo
opportuno.
Problemi-1
Consideriamo un sacchetto che contiene tre gettoni con i numeri
1, 2, 3. Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo
gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel sacchetto.
Qual è la probabilità che in due estrazioni successive vengano
estratti due numeri dispari?
L’evento composto E «escono due numeri dispari»
può essere visto come l’evento intersezione dei due eventi
semplici:
E1«il primo numero è dispari»; 𝑝 𝐸1 =
2
3
2
E2«il secondo numero è dispari»; 𝑝 𝐸2 =
3
E1 ed E2 sono indipendenti, perché dopo la prima estrazione il
gettone è stato rimesso nel sacchetto
4
𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑝 𝐸1 × 𝑝 𝐸2 =
9
Problemi-2
Consideriamo ancora il sacchetto con tre gettoni che hanno i numeri 1, 2, 3
e gli eventi
E1«il primo estratto è dispari»,
E2«il secondo estratto è dispari»,
ma supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone non venga
rimesso nel sacchetto.
Calcoliamo, ora, la probabilità dell’evento composto:
E «i numeri estratti sono entrambi dispari».
Questa volta il secondo evento dipende dal primo.
In questo caso il prodotto logico si esprime così
𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑝 𝐸1 × 𝑝 𝐸2 𝐸1
Ma cosa significa 𝑝 𝐸2 𝐸1 ?
E’ la probabilità che si estragga un numero dispari dopo che è già stato
estratto un numero dispari (e sono quindi rimasti due numeri). Dunque
𝑝 𝐸2 𝐸1 =1/2
2 1 1
𝑝 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑝 𝐸1 × 𝑝 𝐸2 𝐸1 = × =
3 2 3
Problemi-3
Un dado (equo) viene lanciato due volte. Qual è
la probabilità che il punteggio ottenuto nel
secondo lancio sia minore di quello ottenuto nel
primo?
Sugg.:Consideriamo le coppie di numeri (p,s), dove p ed s sono
due numeri naturali compresi tra 1 e 6, che rappresentano
ordinatamente il punteggio conseguito nel primo e nel secondo
lancio? Quante sono le coppie (p,s)? In quante di queste coppie
p<s?
Problemi-4
Nel lancio di un dado, si vuol calcolare la probabilità
che esca un numero pari oppure un multiplo di 3.
I due eventi
A="esce un numero pari"
B="esce un multiplo di 3"
sono chiaramente compatibili.
Si ha: P(A)=3/6, P(B)=2/6 e P(A e B)=1/6
dunque, per il th. della prob. totale
P(A o B)= (3/6)+(2/6)- (1/6)=4/6=2/3.
Problemi-5
Da un'urna contenente 5 palline rosse e 3 bianche si
estraggono una alla volta due palline. Trovare la
probabilità che siano entrambe rosse, sapendo che
dopo la prima estrazione la pallina estratta viene
rimessa nell'urna.
A=esce una pallina rossa la prima volta
B=esce una pallina rossa la seconda volta
sono indipendenti, dato che dopo la prima
estrazione, la pallina viene reimbussolata. Per il th.
della prob. composta
p(A)=5/8 e p(B)=5/8, quindi p(A e B)=25/64
Problemi-6
Da un'urna contenente 5 palline rosse e 3 bianche si
estraggono una alla volta due palline. Trovare la
probabilità che siano entrambe rosse, sapendo che
dopo la prima estrazione la pallina estratta non
viene rimessa nell'urna.
A=esce una pallina rossa la prima volta
B=esce una pallina rossa la seconda volta
sono dipendenti, dato che dopo la prima
estrazione, la pallina non viene reimbussolata. Per il
th. della prob. composta
p(A)=5/8 e p(B|A)=4/7, quindi p(A e B)=20/56
Problemi-7
In un cassetto c’è un paio di calzini gialli e un solo calzino
blu. Prendendo senza guardare due calzini dal cassetto
quale probabilità abbiamo di prenderli dello stesso
colore?
I modo: Si contano le possibili combinazioni. Detti G1, G2
e B i tre calzini, si hanno le 6 combinazioni G1G2, G1B,
G2G1, G2B, BG1, BG2. Le combinazioni favorevoli sono 2,
quindi la probabilità è 2/6 = 1/3 = 0,33%
II modo
A=estrazione di un calzino giallo
B=estrazione del secondo calzino giallo
p(A)=2/3
p(B|A)=1/2
p(A e B) = p(A) . p(B|A) = 1/3
Problemi-8
Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo da
briscola nell’ordine un asso, un re e un cavallo?
a) Se le carte non vengono rimesse nel mazzo la
4
4
4
16
probabilità è
∙ ∙ =
40
39 38
14820
b) Se le carte vengono rimesse nel mazzo, la
4
4
4
1
probabilità è ∙ ∙ =
40 40 40
1000
Problemi-9
Un professore ha una classe di 20 alunni. Per
interrogare estrae a sorte un numero
corrispondente all’ordine alfabetico seguendo
questo metodo: apre a caso un libro di 200
pagine e somma tra loro le cifre del numero
della pagina. Se il numero ottenuto corrisponde
a un alunno questo sarà interrogato, in caso
contrario ripete l’estrazione. Gli alunni
protestano dicendo che questo metodo di
sorteggio non è equo. Hanno ragione?
Problemi-9
Gli studenti hanno ragione.
Consideriamo il primo alunno in ordine alfabetico.
Secondo il metodo del docente può essere
interrogato solo se apre alla pagina 1, 10, oppure
100, quindi la probabilità di essere chiamato è
3/200.
Il secondo alunno sarà interrogato se escono le
pagine 2, 11, 20, 101, 110, 200, cioè la sua
probabilità è 6/200, certamente diversa dal primo.
E proseguendo la probabilità cambia ancora…
quante probabilità avrà l’ottavo studente di essere
interrogato?
Problemi di calzini -1
Possiedi 6 paia di calzini, 2 paia sono grigi e 4 paia sono neri.
Li hai riposti separati e alla rinfusa in un cassetto.
Quando ti alzi al mattino e ne prendi a caso due, che
probabilità hai di ottenere un paio dello stesso colore?
Per ottenere un paio dello stesso colore, o ne prendi due
grigi o ne prendi due neri.
La probabilità di prendere due grigi è
(4·3)/(12·11)
La probabilità di prendere due neri è
(8·7)/ (12·11)
La probabilità richiesta è
(4·3)/(12·11) + (8·7)/ (12·11) = 68/132 = 17/33
Problemi di calzini -2
http://www.cdh.it/matematica/newp3.html
In pieno inverno Mario deve vestirsi per andare a scuola
ma al momento di prendere dal suo cassetto i 2 calzini
che vuole indossare, va via la luce! Sapendo che il
cassetto contiene 4 calzini rossi e 4 neri e che i calzini
sono tra loro mescolati, quale è il numero minimo di
calzini da prendere nel buio più assoluto in modo che
almeno due siano indossabili (cioè del medesimo colore)?
Indipendentemente dal colore del primo calzino estratto
il secondo può essere nell'ipotesi più sfortunata dell'altro
colore ma il terzo estratto farà sicuramente coppia con il
colore del primo o del secondo!
Il postino distratto
http://www.cdh.it/matematica/newp3.html
Un postino distratto deve consegnare quattro lettere indirizzate a
quattro persone diverse ma, avendo dimenticato gli occhiali da
vista, le inserisce a caso, una in ciascuna delle cassette postali
delle persone in indirizzo.
Quale è la probabilità che tutti e quattro ricevano la lettera a loro
indirizzata?
Questo problema si può risolvere con la stessa logica dell’ordine
d’arrivo della corsa campestre (primo problema delle slides),
oppure osservando che: la probabilità che una persona riceva la
lettera giusta è 1/4, in queste ipotesi la probabilità che una delle
rimanenti tre persone riceva quella giusta è 1/3 e, sempre in
queste ipotesi, la probabilità che le rimanenti due persone
ricevano quella giusta è 1/2, quindi 1/4*1/3*1/2 = 1/24
Statistica
La statistica si preoccupa si rendere fruibili dei
dati dopo averli ordinati, catalogati, sintetizzati.
L’attività della statistica risponde a una duplice
esigenza, di tipo
(a) Descrittivo
(b) Predittivo: aiuta a prevedere comportamenti
futuri
I valori di sintesi:
la media aritmetica (semplice)
Indice di posizione
Esempio: indagine sul peso corporeo degli abitanti di
Firenze (campione di 8 persone).
Questi i dati:
50 54 56 60 61 70 73 80
La media aritmetica rappresenta un valore di sintesi, cioè
un numero che riassume in sé l’insieme dei valori
registrati
50 + 54 + 56 + 60 + 61 + 70 + 73 + 80
= 63
8
Non è detto che la media sia in assoluto un valore
particolarmente significativo, dipende dallo scopo
dell’indagine.
I valori di sintesi:
la media aritmetica (semplice)
In generale se abbiamo un certo numero n di
dati 𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , si dice media aritmetica
semplice, la loro somma divisa per n
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑚=
𝑛
Es. Anna ha sostenuto 5 esami, e ha ottenuto
questi voti: 18, 22, 30, 24, 25. Per stabilire la
media di Anna, ha senso fare la media
aritmetica semplice di questi voti?
la media aritmetica ponderata
Quando non esisteva il meccanismo dei crediti e
ogni esame aveva lo stesso ‘peso’ era in effetti così
che si sarebbe calcolata la media, ma oggi gli esami
hanno pesi diversi e quindi bisogna calcolare la
media aritmetica ponderata. Devo quindi sapere
quanti crediti vale ciascuno esame
Voto
CFU
18
6
22
12
30
8
24
6
25
6
la media aritmetica ponderata
In questo caso la media ponderata si calcola così:
18 ∙ 6 + 22 ∙ 12 + 30 ∙ 8 + 24 ∙ 6 + 25 ∙ 6 906
=
= 23.84
38
38
Ogni addendo della somma al numeratore è un prodotto i cui
fattori sono il voto e il ‘peso’ dell’esame in CFU; al
denominatore troviamo invece il totale di CFU.
Voto
CFU
18
6
22
12
30
8
24
6
25
6
Uno studente nel corso dell’anno ha preso due volte 6 e
dodici volte 4. Può ragionevolmente affermare che la sua
media è 5, perché 5 è la media aritmetica tra 6 e4? In
realtà anche in questo caso siamo di fronte a una media
ponderata.
Infatti, se considerassimo la media aritmetica, dovremmo
prendere in considerazione due volte 6 e dodici volte 4:
6+6+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4
14
6 ∙ 2 + 4 ∙ 12
=
= 4,28
14
In questo caso, infatti, il 6 ha ‘peso’ 2, mentre il 4 ha
‘peso’ 12.
Altri esempi
In un palazzo abitano per 11 mesi l’anno 170
persone, mentre in agosto rimane solo il custode
con la moglie. Ha qualche senso dire che nel
palazzo risiedono mediamente nel corso dell’anno
𝟏𝟕𝟎∙𝟏𝟏+𝟐∙𝟏
𝟏𝟐
=156 persone??
Se in un’azienda lavorano 10 dipendenti, di cui 9
hanno stipendio mensile di 1000 euro e 1
dipendente di 3500 euro, è sensato, in uno studio
sulle piccole aziende, prendere in considerazione
lo stipendio medio di
𝟗∙𝟏𝟎𝟎𝟎+𝟏∙𝟑𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎
=1250 euro??
Altri esempi
Se in un negozio di abbigliamento vengono
vendute in una settimana 4 paia di pantaloni taglia
42, 24 paia taglia 44, 22 paia taglia 46, 14 paia
taglia 48 e 6 paia taglia 50, per un totale di 70 paia
di pantaloni, la media tra le taglie vendute, cioè
𝟒𝟐 ∙ 𝟒 + 𝟒𝟒 ∙ 𝟐𝟒 + 𝟒𝟔 ∙ 𝟐𝟐 + 𝟒𝟖 ∙ 𝟏𝟒 + 𝟓𝟎 ∙ 𝟔
= 𝟒𝟓, 𝟖𝟐. .
𝟕𝟎
è di qualche utilità per le successive ordinazioni?
Negli esempi precedenti la media aritmetica non dà
informazioni adeguate e si deve ricorrere a valori di
Indice di posizione
sintesi diversi.
In una successione di dati, si chiama valore normale
o moda il valore che si presenta con maggiore
frequenza.
In un palazzo abitano per 11 mesi l’anno 170
persone, mentre in agosto rimane solo il custode
con la moglie. Il valore normale degli abitanti del
palazzo è 170
In un’azienda lavorano 10 dipendenti, di cui 9
hanno stipendio mensile di 1000 euro e 1
dipendente di 3500 euro. Il valore normale dello
stipendio mensile è 1000 euro.
Se in un negozio di abbigliamento vengono
vendute in una settimana 4 paia di pantaloni
taglia 42, 24 paia taglia 44, 22 paia taglia 46, 14
paia taglia 48 e 6 paia taglia 50, per un totale di
70 paia di pantaloni. Qui il valore normale non
dice molto perché non c’è un valore che, per
frequenza, si discosta nettamente da tutti gli
altri.
La mediana
Se disponiamo i dati raccolti in ordine crescente,
possiamo distinguere due casi:
1. I dati raccolti sono in numero dispari, e allora il valore
centrale della successione si chiama mediana: 1 2 4 6
8 8 12
2. I dati raccolti sono in numero pari, e allora la mediana
è data dalla media aritmetica tra i due valori centrali 1
2 4 6 8 8 12 12
La media aritmetica tra 6 e 8 è 7, e rappresenta il
valore mediano o mediana
E’ un valore di sintesi che ha interesse quando si vuole
studiare il comportamento del soggetto medio
Una casa automobilistica vuole ingaggiare un
pilota. I candidati sono A e B. Negli ultimi 12
Gran Premi si sono classificati
A: 1° (3 volte), 5° (6 volte), 9° (3 volte)
B: 4° (3 volte), 5° (6 volte), 6° (3 volte)
Chi scegliereste?
Media piazzamenti di
Media piazzamenti di
1∙3+5∙6+9∙3
A:
=5
12
4∙3+5∙6+∙6∙3
B:
=5
12
Moda (e mediana) dei dati di A: 5° posizione
Moda (e mediana) dei dati di B: 5° posizione
La variabilità di un insieme di dati è misurata dai cosiddetti
indici di dispersione. Gli indici di posizione, infatti, non danno
nessuna informazione su quanto i vari valori siano vicini tra
loro: in altre parole, conoscere la dispersione è importante
per sapere se la media è rappresentativa dell'insieme o meno.
L’intervallo (o campo) di variazione è la differenza tra il dato
con valore massimo e il dato con valore minimo e misura
l’ampiezza dell’oscillazione, ovvero la distanza tra i valori
estremi.
Per il pilota A: intervallo di variazione 9-1= 8
Per il pilota B: intervallo di variazione 6-4=2
Vediamo un esempio simile:
Voti di Massimo: 6, 8, 6, 4
Voti di Elena: 6, 6, 6, 6
Per entrambi la media è 6, la moda è 6, la mediana è 6, ma… il
campo di variazione per i dati di Massimo è 4, per Elena è 0.
Ci sono indicatori più fini come lo scostamento
(semplice) medio che dice quanto, mediamente, i dati si
discostano dalla loro media.
Vediamo cosa succede a Massimo (6, 8, 6, 4)
La media M=6; lo scostamento dalla media è dato dal
valore assoluto della differenza tra il valore e la media
Scostamento semplice
0+2+0+2
4
=1
6−6 + 8−6 + 6−6 +|4−6|
4
=
Per Elena lo scostamento è zero.
In generale, se abbiamo 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 e M è la media
aritmetica, allora lo scostamento è dato da
1
𝑛
𝑛
|𝑥𝑖 − 𝑀|
𝑖=1
Lo scostamento (o scarto) quadratico medio è
la radice quadrata della media aritmetica dei
quadrati delle differenze tra ogni valore e la
media (scarti).
In generale
1
𝑛
𝑛
|𝑥𝑖 − 𝑀|2
𝑖=1
La speranza matematica
La speranza matematica e' il prodotto fra la
somma da vincere e la probabilita' di vincerla
per indicarla useremo il simbolo:
Speranza matematica = Sp essendo S la somma
da vincere e p la probabilita' di vincerla
Concettualmente la speranza matematica e' il
valore che vincerei (o perderei) in media in ogni
puntata se il gioco continuasse indefinitamente
Lancio una moneta: se esce testa vinco 1 euro, se esce
croce perdo 1 euro
Speranza matematica per «uscita di testa»
somma da vincere 1€
probabilita' di uscita di testa = 1/2
Speranza matematica = S1p1 = 1€ · 1/2 = 0,5€
Speranza matematica per «uscita di croce»
somma da vincere -1€ (negativo perchélo perdo)
probabilita' di uscita di croce = 1/2
Speranza matematica = S2p2 = -1€ · 1/2 = - 0,5€
Speranza matematica totale = S1p1 + S2p2 = + 0,5€ - 0,5€ = 0
La speranza matematica del gioco e' nulla: cioe' se giocassi
all'infinito dovrei aspettarmi di vincere in media 0 euro per
ogni puntata
Estraggo una carta da un mazzo di 40: se esce un asso vinco
5 euro, se esce una figura vinco 1 euro
Speranza matematica per «uscita di un asso»
somma da vincere 5€
probabilità di uscita di un asso = 4/40 = 1/10
Speranza matematica = S1p1 = 5€ · 1/10 = 0,5€
Speranza matematica per "uscita di una figura"
somma da vincere 1€
probabilità di uscita di croce = 12/40 = 3/10
Speranza matematica = S2p2 = 1€ · 3/10 ~ 0,33€
Speranza matematica totale = S1p1 + S2p2 ~ + 0,5€ + 0,33€ ~
0,83€
La speranza matematica del gioco è 0,83 euro circa: cioè se
giocassi all'infinito dovrei aspettarmi di vincere in media
0,83 euro per ogni giocata. Si tratta di un gioco sbilanciato,
nel senso che posso solo vincere e non perdere
Gioco equo
Diremo che un gioco e' equo se la speranza matematica
totale vale zero
Sp = S1p1 + S2p2 + S3p3 + ....... + Snpn = 0
Lancio una moneta: se esce testa vinco 1 euro, se esce croce
perdo 1 euro
Speranza matematica totale = Sp1 + Sp2 = + 0,5€ - 0,5€ = 0
Essendo la speranza matematica totale uguale a zero il gioco
e' equo
Rappresentazione dei dati
Per analizzarli e visualizzarli meglio, i dati si
riportano in un grafico.
In funzione del tipo di fenomeno da
rappresentare vi sono diversi tipi di grafici:
l’Istogramma, l’Aerogramma (o grafico a torta),
l’Ideogramma e il diagramma a linee.
Grafico a torta
http://www.virtualscience.it/statistica/4.html
E’ adatto sopratutto per tappresentare dati
espressi in percentuale (%).
Per rappresentare i dati grezzi in un grafico a
torta, si devono elaborare e trasformare in
percentuali. I valori in % si riportano poi nel
grafico.
Nei grafici a torta l’angolo di
SPORT
NUMERO DI
ALUNNI
ogni settore è direttamente
CALCIO
7
proporzionale al valore espresso in
percentuale
NUOTO
4
DANZA
3
NESSUNO 2
Grafico a torta
CALCOLO DELLE PERCENTUALI
Per rappresentare questi dati in un grafico a
torta si devono trasformare in percentuali e poi
in gradi:
7:16=x:100
4:16=x:100
3:16=x:100
2:16=x:100
x=44%
x=25%
x=19%
x=13%
SPORT
NUMERO DI
ALUNNI
CALCIO
7
NUOTO
4
DANZA
3
NESSUNO 2
Grafico a torta
CALCOLO DEGLI ANGOLI DEI SETTORI
100% : 360° = 44% : x
100% : 360° = 25% : x
100% : 360° = 19% : x
100% : 360° = 13% : x
x = 155°
x = 90°
x = 68 °
x = 47
SPORT
NUMERO DI
ALUNNI
CALCIO
7
NUOTO
4
DANZA
3
NESSUNO 2
I diagrammi a barre rappresentano i dati mediante
rettangoli le cui basi (o altezze, nel caso di
diagrammi orizzontali) hanno una dimensione
costante e, comunque, irrilevante. Ciò dipende dal
fatto che essi rappresentano delle classi (ciascuna
delle quali è contrassegnata da una “etichetta”) che
derivano da una catalogazione dei dati.
Si sono intervistate 750 persone con età compresa
tra i 18 e i 40 anni. Nella tabella 1 vengono riportati
il numero di persone contattate suddivise per età
(ossia la frequenza con cui si sono intervistate gli
individui con la stessa data anagrafica).
Tabella 1:
Numero di
persone
intervistate
per età
Età
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
totale
Tabella 1: Numero di persone intervistate per età
frequ
enza
25
41
23
45
52
35
16
24
49
27
40
35
24
31
45
39
32
34
24
25
31
27
26
750
In questo caso l’età è una grandezza che è stata misurata
utilizzando una scala metrica (discreta) e quindi sull’asse
orizzontale non potrà avere una collocazione arbitraria o
convenzionale, ma sarà rappresenta riportando tanti
intervalli quante sono le età considerate e collocando ogni
età lungo l’asse nel punto corrispondente al valore.
Sull’asse verticale, invece, verrà conteggiata la frequenza.
A questo punto si possono adottare due strade:
1. l’età viene rappresentata considerando intervalli con
ampiezze uguali pari ad 1 anno
2. l’età viene rappresentata con intervalli con ampiezze
non uguali, ma come viene richiesto nella tabella 2, ossia, il
primo intervallo comprenderà due anni (dai 18 anni ai 19
compiuti), il secondo intervallo 11 anni (da chi ha 20 anni
compiuti fino a chi ne ha 30 compiuti) e così via...
Se si opta per la prima strada [l’età viene
rappresentata considerando intervalli con
ampiezze uguali pari ad 1 anno], si costruirà un
istogramma con classi uguali
età
18 - 19
20 - 30
31 - 35
36 - 40
totale
frequenza
66
370
181
133
750
l’età viene rappresentata con intervalli con ampiezze
non uguali, ma il primo intervallo comprenderà due
anni (dai 18 anni ai 19 compiuti), il secondo intervallo
11 anni (da chi ha 20 anni compiuti fino a chi ne ha 30
compiuti) e così via...
Si noti, però, come le altezze dei vari istogrammi nei due grafici siano cambiate.
Ad esempio, nel grafico 1 l’altezza dell’istogramma, corrispondente
all’intervallo dei 18 anni, è 25 e quello dei 19 anni di età è 41. Se si va a vedere
il grafico 2 l’altezza dell’istogramma corrispondente all’intervallo 18-19 anni di
età è 33, cioè la media delle persone intervistate che hanno 18 e 19 anni.
Infatti, a differenza dei diagrammi a barre, quando si va ad osservare un
istogramma, non si deve ragionare in termine di altezze, ma di aree. Se infatti
si calcolano le superfici, queste sono proprio uguali al numero di persone che
ricadono in quell’intervallo.
Si noti, però, come le altezze dei vari istogrammi nei due grafici siano cambiate.
Ad esempio, nel grafico 1 l’altezza dell’istogramma, corrispondente
all’intervallo dei 18 anni, è 25 e quello dei 19 anni di età è 41. Se si va a vedere
il grafico 2 l’altezza dell’istogramma corrispondente all’intervallo 18-19 anni di
età è 33, cioè la media delle persone intervistate che hanno 18 e 19 anni.
Infatti, a differenza dei diagrammi a barre, quando si va ad osservare un
istogramma, non si deve ragionare in termine di altezze, ma di aree. Se infatti
si calcolano le superfici, queste sono proprio uguali al numero di persone che
ricadono in quell’intervallo.
Per capire meglio, si segua questa veloce verifica:
·
nel grafico 1 l’area del primo istogramma è 25 x 1= 25 che
corrisponde proprio al numero di persone intervistate che hanno
18 anni compiuti. L’area del secondo istogramma è 41 x 1= 41, che
corrisponde proprio al numero di persone intervistate che hanno
19 anni compiuti.
·
Nel grafico 2, l’area del primo istogramma è 33 x 2= 66 che
corrisponde al numero totale di persone che hanno 18 o 19 anni
compiuti.
Materiali per attività didattica
Matematica 2001. I dati e le previsioni
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica
2001/matematica2001.html
B.d’Amore, Probabilità e statistica, FrancoAngeli
1986
Bibliografia
G. Spirito, Matematica dell’incertezza, Tascabili Economici Newton
M.Sciolis Marino, Probabilità e statistica,
http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/26_1matem.PDF
F.Speranza, D.Medici Caffarra, P.Quattrocchi, Insegnare la matematica
nella scuola elementare, Zanichelli 1986
http://online.scuola.zanichelli.it/bergaminifiles/Biennio/Capitoli/BLU/bergamini_capitolo_beta_blu.pdf
http://utenti.quipo.it/base5/probabil/teoprobabil.htm