progressioni

alcuni esempi
Università della Liberetà 2007-’08
mbassi
1
una CURIOSITÀ
Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855)
“Il più grande matematico dell’inizio del XIX secolo era tedesco …..
Figlio di un operaio di Braunschweig, da fanciullo frequentò la scuola locale
dove l’insegnante aveva la fama di essere molto esigente nei riguardi dei suoi
allievi. Un giorno per tenerli occupati, assegnò loro l’esercizio di sommare
tutti i numeri da uno a cento, chiedendo che ciascuno deponesse la sua
lavagnetta su un tavolo non appena avesse finito il calcolo.
Quasi immediatamente Carl depose sul tavolo la propria lavagnetta dicendo
“ecco fatto”; l’insegnante gli diede un’occhiata sprezzante …..
Quando alla fine, l’insegnante esaminò i risultati ottenuti dai vari allievi,
trovò che la lavagnetta di Gauss era l’unica a presentare il calcolo esatto,
5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo, che aveva allora dieci anni,
evidentemente calcolato mentalmente la somma della progressione
aritmetica:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100, utilizzando forse la formula m • (m+1) ………”
2
tratto da: Storia della matematica di Carl B. Boyer
2
DEFINIZIONE
Si chiama progressione aritmetica una SUCCESSIONE (❋)
ottenuta a partire da un primo termine addizionando ogni
volta lo stesso numero. Tale numero è detto ragione della
progressione
DEFINIZIONE
Si chiama progressione geometica una successione ottenuta a partire
da un primo termine moltiplicando ogni volta lo stesso numero
(diverso da 0). Tale numero è detto ragione della progressione
Queste definizioni consentono la costruzione dei termini di una
successione con un algoritmo iterativo
(❋) Si chiama SUCCESSIONE
una funzione il cui insieme di definizione
è N, oppure un suo sottoinsieme numerabile
3
Es. 1)
2
5
8
11
14
17
…
Es. 2)
2
6
18
54
162
486 …
progr. geom.. di ragione 3
Es. 3)
1
10
19
28
37
46
progr. aritm. di ragione 9
Es. 4)
1
x
x2
x3
x4
x5 …
Es. 5)
3
3
3
3
3
…
… … …
progr. aritm. di ragione 3
progr. geom.. di ragione x
progr. aritm. di ragione 0
o progr. geom. di ragione 1
I termini di una progressione aritmetica si indicano con
a1, a2, a3, ……… an, …… ; an è il termine n-simo
(occupa il posto n)
Gli infiniti termini di una progressione aritmetica sono determinati,
una volta che si conoscono il termine iniziale a1 e la ragione d
an = a1 + (n – 1) d
4
Teorema L’ennesimo termine di una progressione
aritmetica di valore iniziale a1 e di ragione d è :
an = a1 + (n – 1) d
dimostrazione
a1
a2=a1+ d
+d
a3=a1+ 2d
+d
a4=a1+ 3d
………. an =a1+(n-1) d
+d
Esempio trovare il ventesimo termine della progressione aritmetica che ha
come primo termine -2 e come ragione 1/2
I primi termini sono : -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 ….
Il ventesimo termine è
a20 = -2 + (20 - 1) • 1/2 = - 2 + 19/2 = 15/2
5
Teorema La somma Sn dei primi n termini di una progressione
aritmetica è n volte la media aritmetica tra il primo e l’ennesimo
termine
Sn = n
a1 + an
2
•
↳
dimostrazione
Esercizio Calcolare la somma dei primi n numeri dispari
I numeri dispari costituiscono una progressione aritmetica di ragione 2.
L’ ennesimo numero dispari è:
an = 1 + 2•(n – 1)
La somma è perciò:
Sn = n •
1+1+2•(n – 1)
2
= n2
6
↳
Sn = n
dimostrazione
•
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an
a1 + an
2
Sn = an + an-1 + .. .. .. + a2 + a1
Sommando membro a membro le due uguaglianze si può scrivere
2•Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an-1+a2) + (an+a1)
❋ termini equidistanti dagli estremi
↳
tali espressioni sono tutte uguali ad (a1+an)
2•Sn = (a1 + an)•n
da cui
Sn =
a1 + an
2
•n
❋ TEOREMA In una progressione aritmetica finita, la somma di due
termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi
7
I numeri quadrati perfetti si ottengono addizionando i
successivi numeri dispari
n2 = (n – 1)2 + (2n -1)
1
4=1+3
9=1+3+5
3° numero
9=4+5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
4° numero
16 = 9 + 7
8
PROBLEMI
1. Il nono termine di una progressione aritmetica è 4 e il quarto
termine 5. Trovare la ragione d e il primo termine
2. In una progressione aritmetica la somma del primo e del quinto
termine è 18 e la somma dei primi dieci termini è 165. Trovare
la ragione d.
3. Quanti termini della progressione aritmetica 1; 5; 9; … …
devono essere considerati se si vuole che la loro somma sia
190?
Qual è il numero minimo di termini che deve essere preso
perché la loro somma superi 900?
RISPOSTE
1) -1/5; 28/5
2) 3
3) 10; 22
9
ancora …
alcuni
PROBLEMI
4. I tre lati di un triangolo rettangolo sono in progressione
aritmetica. Sapendo che il cateto maggiore è di 24 cm.,
determinare gli altri lati del triangolo.
5. Verificate che un triangolo avente gli angoli in progressione
aritmetica e un angolo di 30° è necessariamente rettangolo
6. Un orologio a pendolo batte un colpo all’una e alle tredici, due
colpi alle due e alle quattordici, e così via. Quanti colpi batte in
ventiquattro ore?
7. Una lumaca deve salire un muro alto 17 m. Ogni giorno sale di 3 m.,
ma di notte scivola in giù di un metro. Dopo quanti giorni
raggiungerà la cima del muro?
RISPOSTE
4) 18cm. ; 30cm;
6) 156
7) 8 giorni
10
e…
altri
PROBLEMI
8. Nell’ipotesi che la temperatura del sottosuolo cresca di 1°C ogni 30
metri di profondità e che alla superficie la temperatura sia di 20°C,
quale temperatura si avrà a 600 metri di profondità?
9. Due veicoli partono rispettivamente da A e da B e percorrono il
tratto rettilineo in senso opposto, il primo percorre 2 metri nel primo
minuto, 3m. nel secondo, 4 m. nel terzo e così via. Il secondo percorre
1 m. nel primo minuto, 3 m. nel secondo, 5 m. nel terzo e così via.
Sapendo che la distanza AB è di 630 m., dopo quanti minuti si
incontreranno i due veicoli? E a quale distanza da A?
10. Un tale per estinguere un debito di € 3.300 , paga il primo mese € 150
e in ciascun mese successivo € 40 in più del precedente. In quanti
mesi estinguerà il debito?
RISPOSTE
8) 40°C ;
9) 20 minuti; 230 metri
10) 10
11
tratte liberamente da…..
•Maraschini – Palma
multi FORMAT
moduli per la formazione matematica nella Scuola
Superiore
e altro … …
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