Diapositiva 1 - Istituto per le Applicazioni del Calcolo

Laboratorio
Processi Stocastici
Annalisa Pascarella
Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone"
Consiglio Nazionale delle Ricerche
Processi di Poisson
Processi di Poisson
X i  exp( )
v.a. indipendenti che rappresentano il tempo intercorrente
tra il verificarsi di due eventi consecutivi
n
Sn   X i
i 1
v.a. che modellizza il tempo di arrivo dell’n-esimo evento.
Sotto l’hp che due eventi non accadano simultaneamente
si ha che
N (t )  max{n : sn  t}
numero eventi che occorrono fino all’istante t;
rappresenta un processo di Poisson omogeneo
(t ) k
P( N (t )  k ) 
exp(t )
k!
Processi di Poisson

Il Processo di Poisson è un processo discreto di conteggio,
continuo nel tempo



è caratterizzato da una funzione N(t), definita per t>0 e detta processo
di conteggio che rappresenta il numero degli eventi che si sono verificati
nel periodo da 0 a t
per t=0 intendiamo il momento in cui cominciamo ad osservare se gli
eventi casuali specificati si verificano o meno. Il tempo 0 è il tempo di
inizio dell'osservazione, anche se in quel momento non vi è nessun
arrivo.
N(t) è una v.a. a valori interi
come si simula un processo di Poisson?
Simulazione

Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di
Poisson di parametro  il modo più semplice (ma meno
efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel
campionare le variabili
esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi
n
non appena S n   X i , n  1,...,T superi l’estremo superiore; poi
i 1
conto gli eventi occorsi

il processo è interamente descritto dalla sequenza dei tempi di arrivo Si, dal
numero di eventi verificatesi tra 0 e gli istanti Si (il numero di eventi è una
funzione crescente che incrementa di 1 ogni qual volta si verifica un
evento)
Algoritmo

Occorre allora costruire un algoritmo che




genera valori i.i.d. con legge esponenziale
assume che quelli generati siano i tempi in cui si verificano gli eventi
Un primo modo di simulare è quello in cui si fissa a priori il
numero di eventi
Altro approccio



fissiamo prima un orizzonte temporale T ad esempio 50.
generiamo un gran numero di tempi esponenziali
osserviamo i tempi in cui si verificano gli eventi fino a T.
Esempio: distribuzione esponenziale
Generare numeri distribuiti secondo la legge esponenziale: se i
numeri {ui} sono distribuiti secondo la legge uniforme, {F-1(ui)}
hanno F come funzione di ripartizione.
La variabile X ~exp() ha funzione di ripartizione
F ( x)  (1  e  x )
La variabile X può essere ottenuta come trasformazione di
una variabile uniforme
1
X  F 1 (U )   log(1  U )

1
X   log(U )

Simulazione

Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con  = 1 e
T = 30



memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N
contenente il numero cumulativo di eventi
scrivere una function
Verificare ripetendo un numero elevato di volte la simulazione
del processo di Poisson che la v.a. N(T) ha una distribuzione di
Poisson con parametro 

usare la function poisspdf e poisscdf
Simulazione


Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di
Poisson di parametro  il modo più semplice (ma meno
efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel
campionare le variabili
esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi
n
non appena S n   X i , n  1,...,T superi l’estremo superiore; poi
i 1
conto gli eventi occorsi
Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con  = 1 e
T = 30


memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N
contenente il numero cumulativo di eventi
scrivere una function
1
X   log(U )

Simulazione

Si può dimostrare che condizionando a N(T) = n le n v.a. Sn
sono indipendenti e uniformemente distribuite in [0, T]. Si può
sfruttare questo fatto per simulare un processo di Poisson nel
modo seguente




campionare la variabile N(T) ~ P(T)
campionare N(T) variabili indipendenti uniformi in [0,T]
ordinare i valori ottenuti al punto precedente; i valori cosi ottenuti
rappresentano un campionamento delle variabili Sn ,n = 1, …, N(t)
Utilizzare questo metodo per simulare un processo di Poisson di
parametro  = 1 in [0,30]