PARTE PRIMA: MECCANICA

Corso di Fisica AA 2012-13
Cap2
PARTE PRIMA: MECCANICA
La meccanica è il settore della fisica che studia equilibrio e moto dei corpi, e le cause che
generano il moto.
Il movimento è il fenomeno fisico più importante che osserviamo attorno a noi. La
rivoluzione dei pianeti intorno al sole, il vento che soffia, gli animali che corrono, nuotano e volano,
le molecole di gas che spingono un pistone, sono tutti fenomeni di moto. L’esperienza indica che il
moto di un corpo è influenzato dalla presenza di altri corpi, cioè dalla interazione con essi. Compito
del fisico è di scoprire le leggi che causano e regolano questi moti in relazione alle interazioni con
gli altri corpi.
Molte regole e principi generali si applicano a tutti i tipi di moto, indipendentemente dalla
natura delle interazioni tra i corpi. L'insieme di questi principi e teorie costituisce la meccanica.
La meccanica si suddivide in 3 branche: Cinematica, Statica e Dinamica
MECCANICA
Cinematica
Descrive il moto
indipendentemente dalle cause che lo provocano
Statica
Identifica le condizioni di equilibrio
Dinamica
Studia il moto
in relazione alle cause che lo provocano (forze)
Quando la meccanica è applicata allo studio dei liquidi viene chiamata idraulica.
Quando studia equilibrio e moto di corpi aeriformi, prende il nome rispettivamente di aerostatica
ed aerodinamica.
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Cap.2: Cinematica (I)
Concetti introduttivi.
Moto e Quiete.
Un corpo è in moto se la sua posizione cambia nel tempo rispetto ad un sistema di riferimento;
altrimenti, il corpo è in quiete.
Sistema di riferimento.
Che lo stato sia di moto o di quiete dipende quindi dal sistema di riferimento scelto. Immaginate di
essere seduti in treno dopo aver messo una bottiglietta d’acqua sul tavolino. Per voi la bottiglietta è
in quiete. Ma se il treno attraversa una stazione senza fermarsi, un passeggero in stazione
considererà il treno in moto, e con esso anche la bottiglietta. Questo succede perché voi sul treno ed
il passeggero in stazione adottate due sistemi di riferimento diversi, in moto l’uno rispetto all’altro.
Se questi “osservatori” adottano come sistema di riferimento la carrozza del treno su cui stanno viaggiando,
allora considerano in quiete la bottiglietta d’acqua sul tavolino. Un osservatore in stazione considererà quella
stessa bottiglietta in moto assieme a tutto il treno se adottasse la stazione come sistema di riferimento.
Se due osservatori adottano sistemi di riferimento differenti ma in quiete tra loro, allora osservano
lo stesso tipo di moto.
Legge oraria e traiettoria.
La legge oraria è la relazione che lega la posizione di un corpo al tempo. Viene indicata
analiticamente fornendo le tre funzioni sx(t), sy(t) ed sz(t) che legano il tempo t alle componenti sugli
assi X,Y e Z della posizione del corpo nello spazio.
La traiettoria è invece la curva descritta dal corpo nello spazio. E’ una curva geometrica in cui non
compare il tempo t.
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Esempio: un volo in mongolfiera.
Il vostro viaggio inizia all’istante t=0,
quando salite sul pallone e completate i
preparativi per la partenza.
All'istante t1 l’aria nel pallone si è scaldata a
sufficienza: sganciate quindi i tiranti. Da
questo istante la mongolfiera si solleva
verticalmente alla velocità di 1 m/s.
Decidete di fermarvi all’istante t2,
riducendo il riscaldamento dell’aria nel
pallone.
Ma ora una debole corrente d’aria di 0.3
m/s sposta la mongolfiera verso Est.
Solo all’istante t3 vi accorgete che vi state
spostando troppo ed allora iniziate la
discesa a terra sgonfiando velocemente il
pallone. La velocità di discesa è –2m/s.
Ritoccate terra in un punto diverso da dove
siete partiti, all’istante t4.
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Nei grafici seguenti sono mostrate traiettoria e legge oraria della mongolfiera, disegnati da un osservatore
che si trovava davanti alla porta di ingresso della villetta. L’origine degli assi coincide con la porta di
ingresso. L’asse Y è orientato verticalmente verso l’alto; l’asse X verso Est; l’asse Z verso Sud
Traiettoria
Legge Oraria
Y
componente verticale sY(t)
0 t1
t2
t3
t4
t
componente orizzontale sX(t)
X
0 t1
t2
t3 t4
t
componente sZ(t)
Z
0 t1
t2
t3
t
t4
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Quiz. Osserviamo un falchetto volteggiare sopra la nostra testa all’altezza di 10 m.
Improvvisamente plana verso terra, perdendo quota proporzionalmente al quadrato del tempo di
planata e spostandosi verso Est proporzionalmente al tempo di planata. Descrivere legge oraria e
traiettoria della planata del falchetto.
Soluzione. Prendiamo come origine degli assi la nostra posizione, l’asse Y rivolto verso l’alto,
l’asse X rivolto verso Est. L’istante t=0 corrisponde all’inizio della planata. Avremo:
Legge Oraria:
s y (t ) = 10 − at 2

 s x (t ) = bt
Traiettoria:
Indichiamo per semplicità con x la posizione sull’asse X al tempo t, sx(t), e con y la posizione al
tempo t sull’asse Y, sy(t).
y = 10-at2
x = bt
dalla seconda equazione t=x/b e sostituendo t nella prima equazione otteniamo:
y = cx2+10
con c=-(a/b 2)
Quindi la traiettoria è una parabola nel piano X-Y
Nel seguito del capitolo parleremo di Moto Rettilineo. In particolare analizzeremo il Moto
Rettilineo Uniforme e il Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato. Il moto curvilineo verrà
analizzato nel capitolo seguente.
Moto Rettilineo
Il moto è rettilineo quando la traiettoria è una linea retta. Se orientiamo l'asse cartesiano X nella
direzione della traiettoria, le componenti sY ed sZ saranno sempre uguali a zero, e l’unica
componente dello spostamento diversa da zero è quella sull’asse “X”: sX. Quindi nel caso del moto
rettilineo potremo descrivere lo spostamento con un’unica funzione s(t).
Velocità nel Moto Rettilineo
Velocità: è la rapidità con cui un corpo cambia posizione.
Consideriamo la legge oraria s(t) che descrive la posizione s del corpo ad ogni istante t.
All'istante t1 il corpo si trova in posizione s(t1), e all'istante t2 in s(t2). Lo spostamento compiuto dal
corpo nel periodo di tempo tra t1 e t2 è allora s(t2)-s(t1).
Velocità media Vm nell’intervallo tra t1 e t2: è la differenza tra posizione finale ed iniziale (cioè lo
spostamento) divisa per il tempo impiegato a cambiare posizione:
Vm (t1 ,t 2 ) =
s (t2 ) − s (t1 )
t2 − t1
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Esempio. Allenate un atleta a correre gli 8000 metri. Durante una seduta di allenamento in pista, prendete i
tempi parziali dell’atleta ad ogni giro (400 metri) per tutto il percorso. In teoria, il moto non è rettilineo:
infatti ad ogni giro di pista l’atleta ripassa per il punto di partenza e lo spostamento ∆s risulta pari a zero. In
questo caso è però utile semplificare il problema immaginando che la traiettoria sia rettilinea: in questo modo
lo spostamento ∆s coincide con la distanza percorsa.
I dati raccolti sono i seguenti:
giro:
0
1
2
3
…
10
…
19
20
percorrenza [m]:
0
400
800
1200 …
4000 …
7600 8000
tempo [s]:
0
80
157
232
…
749
…
1420 1497
Disegnate il grafico della distanza percorsa ad ogni rilievo cronometrico ottenendo:
Calcolate quindi la velocità media sull’intera prova, cioè dall’istante della partenza, t1 =0 s, fino al
completamento del 20° giro di pista, nell’istante t2=1497 s
Vm (0, 1497) =
s (1497) − s(0)
1497 − 0
=
8000
1497
= 5,344 [m][s]-1
Per verificare se lo sforzo è stato regolare,
calcolate ora la velocità media sui primi 10 giri e
sugli ultimi 10
Vm1 (0, 749) =
∆s1 4000
=
= 5.34 [m][ s] −1
∆t1
749
Vm 2 (749, 1497) =
∆s 2 4000
=
= 5.35 [m][ s ]−1
∆t 2
748
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Ripetete ora il calcolo per valutare la velocità
media di ogni giro di pista:
Vm1 (0, ∆t1 ) =
∆s1 400
=
[m][ s ]−1
∆t1
80
Vm 2 (∆t1 , ∆t1 + ∆t 2 ) =
400
[m][ s] −1
77
...
Vm 20 =
∆s 20 400
=
[m][ s ]−1
∆t 20
77
Disegnate ora l’andamento della velocità medie sull’intero percorso, sulla prima e sulla seconda metà del
percorso, o su ogni giro di pista:
In pratica, calcolando la velocità media su intervalli di tempo sempre più piccoli, si ottengono profili di
velocità con una “risoluzione grafica” sempre più fine. Il livello di dettaglio ottenuto calcolando la velocità
media su ogni giro di pista permette di ricavare informazioni utili per l’allenamento non ottenibili dalla
media globale. Se a correre fosse stato un ciclista con un tachimetro capace di indicare il tempo ∆tn dell’nesimo giro della ruota, di lunghezza ∆S, allora la “granulazione” del profilo di velocità sarebbe stata così fine
da poter trascurare l’ampiezza dell’intervallo ∆tn, Quindi quando è possibile misurare la velocità media su
intervalli ∆t molto piccoli, il profilo di Vm(t, t+∆t) può essere considerato “continuo”, e dipendente solo
dell’istante corrente t: v(t). Questo conduce in maniera naturale a definire il concetto di velocità istantanea.
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Velocità istantanea all'istante t, v(t): è la velocità media nell’intorno dell’istante t su di un periodo
tempo così piccolo da poter essere considerato virtualmente di durata nulla.
Matematicamente, essa è il valore limite a cui giunge la velocità media quando l’intervallo ∆t tende
al valore zero. Per indicare il valore limite quando ∆t tende a zero, si usa la speciale notazione:
lim ∆t →0
Quindi:
s (t + ∆t ) − s (t )
v(t)= lim∆t→0 Vm (t , t + ∆t ) = lim∆t→0
∆t
Nota: la velocità istantanea v(t) è allora la pendenza della legge oraria s(t).
Accelerazione nel Moto Rettilineo
Accelerazione: è la rapidità con cui il corpo cambia velocità.
Accelerazione media Am nell’intervallo tra t1 e t2: è la differenza tra le velocità istantanee negli
istanti t2 e t1 divisa per l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione di velocità:
Am (t1 ,t2 ) =
v (t 2 ) − v (t1 )
t 2 − t1
Accelerazione istantanea nel punto t, a(t)
Analogamente alla definizione di velocità istantanea avremo che:
a(t)= lim ∆t →0 Am (t , t + ∆t ) = lim ∆t →0
v(t + ∆t ) − v(t )
∆t
Nota: l'accelerazione istantanea è la pendenza della velocità istantanea: a(t)
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Analisi Grafica
Osservando un grafico della legge oraria s(t), cosa possiamo dire sulla velocità v(t)?
Se s(t) cresce col tempo t (cioè se il grafico è "in salita") allora s(t2)>s(t1) per t2>t1. Quindi la
velocità Vm= [s(t2)-s(t1)]/[t2-t1] è positiva. Viceversa se il grafico è "in discesa" allora s(t2)<s(t1) e la
velocità è negativa. Se il grafico è "piatto" s(t2)=s(t1) e la velocità è nulla.
Esempio:
Quiz
Grafico della velocità di un automobile in funzione del tempo.
Descrivere in modo qualitativo l'accelerazione dell'automobile in figura.
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Moto Rettilineo Uniforme
E' il moto rettilineo che avviene a velocità costante.
Per definizione v(t) = v
Troviamo accelerazione e legge oraria di tale moto.
a = lim ∆t →0
v(t + ∆t ) − v(t )
∆t
Ma
v(t+∆t)-v(t)=v- v=0
per cui a=0 e non c’è accelerazione.
Inoltre se la velocità è costante, allora la velocità media Vm all’interno di qualsiasi intervallo di
tempo t1 e t2 è uguale a v. In particolare questo vale per t2=t e t1=0:
Vm ( 0, t ) =
s (t ) − s ( 0)
t −0
=v
quindi
s(t)-s(0)=v× t
Per comodità indichiamo la posizione iniziale s(0) con s0; otteniamo:
s(t) =vt +s0
Le equazioni del moto sono riassunte nella seguente tabella:
Moto Rettilineo Uniforme
(velocità costante = v; posizione iniziale = s0)
accelerazione a(t)= 0
velocità v(t)= v
legge oraria s(t)= vt+ s0
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Esempio. Mentre pedalate alla velocità costante di 20 km/h vi cade per terra la borraccia, ma ve ne
accorgete solo dopo 2 minuti.
A che distanza vi trovate dalla borraccia quando vi accorgete di averla persa?
Quanto tempo impiegate a riprenderla se tornate indietro pedalando a 25 km/h?
Il moto è rettilineo? Verosimilmente no (è probabile che percorriate delle curve mentre pedalate).
Ma in questo caso possiamo immaginare che la traiettoria avvenga lungo una linea retta senza che
cambino i risultati.
Il moto è rettilineo uniforme? Nel suo complesso, no. Infatti la velocità cambia (da +20km/h a –
25km/h). Però possiamo scomporre il moto complessivo in due parti, “andata” e “ritorno”, ognuna a
velocità costante.
Analisi dell’andata.
Sia t0=0 l’istante in cui perdete la borraccia;
s0=0 il punto in cui la perdete;
t=0
t1=2 [min]=120 [s] l’istante in cui vi
accorgete di averla persa.
La velocità in questo tratto è costante e pari a
s0=0
vA=20 km/h
-1
= 20x1000/3600 [m][s]
= 5.56 [m][s]-1
Il moto è rettilineo uniforme. La legge oraria è:
s(t)= vA× t+ s0
s(t)=5.56×t
All’istante t1 lo spazio percorso è: s(t1)= 5.56×120=667 [m]
t1=2’
X
s(t1)=?
Analisi del ritorno.
vR= -25 km/h= -6.9 [m][s]-1 è la velocità con
t2=?
t=0
cui tornate indietro (negativa perché di verso
opposto all’asse X);
X
s0= 667 [m] il punto di partenza di questa
s(t)=0
s0=667
seconda parte del moto.
Il moto è ancora rettilineo uniforme, ma la legge oraria ora è diversa:
s(t)= vR× t+ s0
s(t)= -6.9t+667.
Quando si raggiunge la borraccia s vale 0. Si trova il tempo impiegato risolvendo l’equazione:
-6.9t+667=0
La soluzione è: t2=667/6.9= 96.6 [s]
Quiz
L’anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. La luce si muove di moto rettilineo
uniforme alla velocità di 300'000 km/s. Trovare quanto vale un anno luce nel sistema MKS.
Quiz
Udite il rombo di un tuono 5 s dopo aver visto il lampo del fulmine. Supponete infinita la velocità
della luce, e assumete che la velocità del suono sia 1'000 km/h. A che distanza è caduto il fulmine?
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Esempio . In una gara a stile libero il nuotatore A precede di 3” e 268 millesimi il nuotatore B. I due
nuotatori hanno nuotato alla velocità costante di 1.8 e 1.7 [m][s]-1.
Dire:
1) con quanti metri di vantaggio A ha preceduto B.
2) il tempo finale del vincitore, TF;
3) di che gara si tratta.
1) Conviene considerare come osservatore un giudice di gara, ed assumere come origine del sistema
di riferimento (s=0) il bordo di arrivo della piscina. Consideriamo quindi il moto del nuotatore B a
partire dall’istante (t=0) in cui il nuotatore A finisce la sua gara.
Il moto è rettilineo uniforme. L’equazioni di moto del nuotatore B sono:
aB(t)=0
vB(t)=1.7
sB(t)= 1.7t+s0
Il nuotatore B raggiunge il bordo della piscina (origine dell’asse s) dopo 3,268 s e quindi:
sB(3,268)=0
cioè
1.7×3,268+s0=0
Il nuotatore B è quindi distanziato di s0=-1.7×3.268= -5.556 m.
2) Prendiamo come sistema di riferimento il nuotatore B. In questo modo, possiamo assumere che
il nuotatore A si muova di moto rettilineo uniforme alla velocità costante di 0.1 m/s rispetto a B.
Consideriamo come istante di inizio (t=0) il momento in cui il giudice dà il via alla gara.
L’equazioni di moto di A rispetto a B sono:
aA/B(t)=0
vA/B(t)=0.1
sA/B(t)= 0.1t
A fine della gara, cioè al tempo t=TF, A ha accumulato 5.556 m di vantaggio su B.
Quindi
sA/B(TF)= 5.556
0.1×TF= 5.556
da cui:
TF=5.556/0.1
=55.56 s.
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3) A questo punto sappiamo che il vincitore ha impiegato 55.56 s per coprire la distanza di gara alla
velocità costante di 1.8 m/s. Prendiamo nuovamente come punto di riferimento il giudice, come
origine (s=0) il bordo di partenza della piscina e come istante di inizio (t=0) il via della gara.
L’equazioni di moto di A rispetto al giudice sono:
aA(t)=0
vA(t)=1.8
sA(t)= 1.8t
La distanza percorsa da A in 55.56 s è
sA(55.56)=1.8×55.56
=100 m.
Quindi si tratta di una gara di “100 stile libero”
.