Metodo dei pesi residui

Metodo dei pesi residui
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Metodo di Petrov-Galerkin
Metodo di Galerkin
Metodo di collocazione
Metodo dei minimi quadrati
Pesi residui
f
EA
Si scrivono le equazioni di campo ed al contorno in forma residuale:
Rc = EA w’’ + f
F
RL= EA w’ - F
Rc è il residuo relativo all’equazione di campo e RL è il residuo relativo
alla condizione al contorno (x=L). La funzione incognita w(x) viene
rappresentata come somma di funzioni note fj(x) moltiplicate per
coefficienti incogniti cj:
N
w N ( x )   c jf j ( x )
j1
Le funzioni fj(x) devono rispettare le condizioni al contorno fj(0)=0. Si
sostituisce la forma di rappresentazione proposta per la funzione incognita
nelle espressioni del residuo:
N
Rc  EA c jf j ''( x)  f
j 1
N
RL  EA c jf j '( L)  F
j 1
In soluzione il residuo totale deve essere nullo: R = 0.
prof. Elio Sacco
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Petrov-Galerkin
La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma media pesata:
L
0   i ( x) Rc dx  i ( L) RL
0
N
N




  i ( x)  EA c jf j ''( x)  f  dx  i ( L)  EA c jf j '( L)  F 
j 1
j 1




0
dove i(x) sono funzioni note dette funzioni peso o funzioni test.
Si ottiene in definitiva:
L
Aij cj + Fi = 0
dove:
L
Aij  EA i ( x) f j ''( x) dx  EA  i ( L) f j '( L)
0
L
Fi   i ( x ) f dx  i ( L) F
0
Aij non è simmetrica
prof. Elio Sacco
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La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma
media pesata:
L
0   fi ( x) Rc dx  fi ( L) RL
0
N

  fi ( x)  EA c jf j ''( x) 
j 1

0
L
N



f  dx  fi ( L)  EA c jf j '( L)  F 
j 1



dove fi(x) sono funzioni note dette funzioni peso o funzioni
test. Si ottiene in definitiva:
Aij cj + Fi = 0
Aij  EA fi ( x) f j ''( x) dx  EA fi ( L) f j '( L)
L
dove:
0
L
Fi   fi ( x) f dx  fi ( L) F
Aij non è simmetrica
Nota: è tutto come per il metodo di PetrovGalerkin, la sola differenza consiste nello scegliere
le funzione peso uguali alle funzioni approssimanti:
 i(x) = fi(x) .
Galerkin
0
prof. Elio Sacco
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Collocazione
Si scelgono come funzioni test N funzioni di Dirac:
0 se x  x i
 i ( x )  ( x  x i )  
1 se x  x i
dove xi sono le coordinate di N prescelti punti di collocazione. Si
ottengono quindi N equazioni algebriche del tipo:
L
0    i ( x  x i ) R c dx   N ( x  x N ) R L
0
N


 EA c jf j ' ' ( x i )  f  EA c jf j ' (L)  F
j1
 j1

N
con xN = L.
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Collocazione
In esplicito:
0  EA c1f1 ' ' ( x 1 )  EA c 2 f 2 ' ' ( x 1 )  ...  EA c N f N ' ' ( x 1 )  f
0  EA c1f1 ' ' ( x 2 )  EA c 2 f 2 ' ' ( x 2 )  ...  EA c N f N ' ' ( x 2 )  f
...
0  EA c1f1 ' ' ( x N )  EA c 2 f 2 ' ' ( x N )  ...  EA c N f N ' ' ( x N )  f
 EA c1f1 ' ( x N )  EA c 2 f 2 ' ( x N )  ...  EA c N f N ' ( x N )  F
Aij cj + Fi =
0
Aij non è simmetrica
prof. Elio Sacco
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Minimi quadrati
Si definisce l’errore in funzione del residuo:
L
e   R c dx  R L
2
2
0
N
N




  EA c i f i ' ' ( x )  f  EA c jf j ' ' ( x )  f  dx
  j1
i 1
0

L
N
N



 F  EA c i f i ' (L) F  EA c jf j ' (L)
j1
j1



Si minimizza l’errore rispetto ai coefficienti incogniti ci:
L
N
e


0
 2  EAf i ' ' ( x ) EA c jf j ' ' ( x )  f  dx
c i
0
 j1

N


 2EAf i ' (L) EA c jf j ' (L)  F
 j1

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Minimi quadrati
In definitiva si ottiene:
Aij cj + Fi = 0
dove:
L
A ij   EA f i ' ' f j ' ' dx  EA f i ' (L) f j ' (L)
0
L
Fi   f i ' ' f dx  f i ' (L) F
0
Aij è simmetrica
prof. Elio Sacco
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Formulazione
debole di Ritz
Pesi residui
Si scrivono le equazioni di campo ed al contorno in forma residuale:
Rc = EA w’’ +f
RL= EA w’ - F
La funzione incognita w(x) viene rappresentata come:
N
w N ( x )   c jf j ( x )
j1
Le espressione del residuo diventano:
N
Rc  EA c jf j ''( x)  f
j 1
prof. Elio Sacco
N
RL  EA c jf j '( L)  F
j 1
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La condizione di nullo del residuo si impone N volte in forma
media pesata:
Debole di Ritz
L
0   fi ( x) Rc dx  fi ( L) RL
0
N

  fi ( x)  EA c jf j ''( x) 
j 1

0
L
N



f  dx  fi ( L)  EA c jf j '( L)  F 
j 1



L
N
N
0
j 1
j 1
  EA fi '( x)  c jf j '( x) dx  EAfi ( L)  c jf j '( L)
N


  fi ( x) f dx  fi ( L)  EA c jf j '( L)  F 
j 1


0
L
L
N
L
0
j 1
0
Formulazione debole
  EA fi '( x)  c jf j '( x) dx   fi ( x) f dx  fi ( L) F
Aij cj - Fi = 0
prof. Elio Sacco
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Aij è simmetrica
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Osservazione: l’equazione ottenuta
Debole di Ritz
L
N
L
0
j1
0
0  EA  fi ' ( x )  c jf j ' ( x ) dx   fi ( x ) f dx  fi (L) F
si ricava anche come:
dove

 (c1 , c 2 ,.., c N ) 
 
0
 (c1 , c 2 ,.., c N )
c i
L N
L N
N
N
1
EA   c i fi ' ( x )  c jf j ' ( x ) dx    c i fi ( x ) f dx   c i fi (L) F
2
j1
i 1
0 i 1
0 i 1
così che i coefficienti Aij del sistema di equazioni alla Ritz valgono:
2 
A ij 
 (c1 , c 2 ,.., c N )
c i c j
è evidente la simmetria di Aij
prof. Elio Sacco
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Debole di Ritz

Sostituendo nella formula di  l’espressione:
N
w ( x )   c jf j ( x )
j1
si ottiene il funzionale:
L
L
1
2
 ( w )  EA  w ' dx   f w dx  F w (L)
2
0
0
che rappresenta l’energia potenziale totale relativo al problema considerato.
Quindi il metodo di Ritz consiste nel rendere stazionaria l’espressione
approssimata dell’energia potenziale totale.
Ricorda:
L
L
0
0
 ( w )  EA  w ' w ' dx   f w dx  F w (L)
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Osservazione
Non è sempre detto che il metodo di Ritz conduca ad una matrice Aij
simmetrica e che consista nel rendere stazionaria l’espressione approssimata
dell’energia potenziale totale. Infatti, per alcuni problemi potrebbe non
esistere un potenziale che governa le equazioni.
Si consideri il problema:
R(u) = A(u) + f = 0
con A operatore (differenziale) lineare. Indicando con v la funzione test, si ha:
0   A(u )  f , v  B(u , v)  f , v
dove B(u,v), ottenuto integrando per parti <A(u),v>, è un operatore bilineare,
ovvero è lineare in u ed è lineare anche in v.
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L’operatore bilineare B(u,v) è autoaggiunto se e solo se:
B(u,v) = B(v,u)
Quando l’operatore bilineare B(u,v) è autoaggiunto allora esiste un
potenziale I(u) che governa il problema, tale che:
vI(u) = B(u,v) - <f,v>
Domanda:
esistono funzionali differenti dall’energia potenziale totale che
governano il problema differenziale e che possono
rappresentare una base razionale per lo sviluppo di metodi
variazionali approssimati?
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Risposta:
Si. Esistono funzionali differenti dall’energia potenziale totale
che governano il problema differenziale e che possono
rappresentare una base razionale per lo sviluppo di metodi
variazionali approssimati.
prof. Elio Sacco
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