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Meccatronica Applicata
Dimensionamento Ottimo
del
Rapporto di Trasmissione
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Gli organi di trasmissione vengono interposti tra attuatori e mezzi operativi,
sono catene cinematiche molto semplici, tipo riduttori, trasmissioni a cinghie,
catene o viti ecc.. ed hanno il compito di adattare la velocità e la forza degli
attuatori a quella dei mezzi operativi.
Generalmente si sfrutta la capacità di riduzione del moto; normalmente gli
attuatori hanno velocità di esercizio superiori a quelle richieste dal mezzo
operativo per cui il loro moto deve essere ridotto. Come vedremo in seguito
questo porta a far sì che la forza richiesta dall’attuatore sia inferiore a quella
necessaria per muovere il mezzo operativo. L’organo di trasmissione
disaccoppia l’attuatore dal carico .
Consideriamo organi di trasmissione semplici, che instaurano una relazione
lineare tra movente e cedente, ossia la terna cinematica al cedente si ottiene
moltiplicando per una costante la terna cinematica al movente.
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
RIDUTT
MOTORE
T. CINGHIA
NASTRO, M. TRASLANTE
Y
1:n
ATTUATORE
Z1 : Z2
TRASMISSIONE
Dx
p
CARICO
Motore
Trasmissione
Carico
Jm, Bm
Y
Jc, Bc
Fm
. ..
p = [ p, p, p ]
q Ψ p
Fm
Fc 
Y
Fc
. ..
q = [ q, q, q ]
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Motore
Trasmissione
Carico
Jm, Bm
Y
Jc, Bc
q Ψ p
Fm
. ..
p = [ p, p, p ]
Fm
Fc 
Y
Fc
. ..
q = [ q, q, q ]
La relazione cinematica imposta dal blocco di trasmissione è lineare :
q  Y p
e quindi anche
q  Y  p
q  Y  p
dal bilancio delle potenze in ingresso ed uscita al blocco di trasmissione si
ha :
Fm  p  Fc  q
Fm  p  Fc  Y  p
Fm  Fc  Y
Fm
Fc 
Y
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
L’organo di trasmissione impone quindi le relazioni :

q  Y  p
Fm
Fc 
Y
e poichè
Y 1
allora

q  p
Fc  Fm
L’equazione dinamica di bilancio delle forze all’attuatore diventa :
  Y  Jc  q
  Bc  q  in cui sostituendo
Fm  Jm  p  Bm  p
q

p
,
Y

q
p 
Y
si ottiene l’espressione della forza all’attuatore
in funzione della cinematica del carico e del coefficiente di trasmissione
 Jm
   Bm
 
Fm  
 Jc  Y   q  
 Bc  Y   q
Y

 Y

Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Ricerca del rapporto ottimo Yo di trasmissione in presenza del solo carico
inerziale
consideriamo per ora solo gli effetti dinamici dei termini inerziali per cui
pensiamo che non siano presenti attriti cioè Bm=Bc=0
 Jm

Fm  
 Jc  Y   q
Y

la forza Fm dell’attuatore risulta funzione dell’accelerazione del carico
moltiplicata per un coefficiente equivalente inerziale a sua volta funzione del
rapporto di trasmissione Y. Sia Je(Y) il nome di tale coefficiente, allora si
ha :
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Forza Fm dell’attuatore

Fm  Je( Y)  q
Derivando
con
 Jm

Je( Y )  
 Jc  Y 
 Y

Je(Y) rispetto al rapporto di trasmissione Y ed
uguagliando a 0 si ottiene
dJe( Y )
0
dY

 Jm

  2  Jc   0
 Y

 Yo 
Jm
Jc
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
 Jm

Je( Y )  
 Jc  Y 
 Y

Analizziamo i termini di Je(Y)
Je
Je
Jc .Y
Jm /Y
Y
0
Yo
grandi riduzioni
0.5
piccole riduzioni
(Y1)  forze inerziali
del carico rilevante
1
piccole riduzioni
grandi riduzioni
(Y0)  forze inerziali
dell’attuatore rilevante
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
In corrispondenza del rapporto di trasmissione ottimo Yo il valore del
coefficiente di inerzia equivalente Je che complessivamente vede il motore
diventa :
Jeo  Je(Yo)  2  Jm  Jc
mentre la forza
Fmo e la velocità p o dell’attuatore diventano:
Fmo  Fm(Yo)  2  Jm  Jc  q
q
p o 
 q 
Yo
Jc
Jm
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
NOTA
Fmo è la MINIMA forza che deve essere generata dall’attuatore per ottenere il
profilo di moto richiesto al carico q(t).
Il punto di minimo di Fm si ha per un determinato rapporto di trasmissione Yo
indipendente dal profilo richiesto e funzione delle sole inerzie a monte e a valle
della trasmissione.
Yo accorda il carico con l’attuatore e ottimizza la forza Fmo richiesta per
genereare il moto.
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Bilancio di Forze all’attuatore :
Analizziamo la forza necessaria per muovere il solo carico riflessa all’attuatore
Fr, la forza necessaria per muovere il solo attuatore Fa, e la forza totale
all’attuatore Fm. Per un qualunque rapporto di trasmissione Y si hanno le
seguenti relazioni :
Fr  Fc  Y  Y  Jc  q
Jm
Fa 
 q
Y
 Jm

Fm  
 Jc  Y   q
Y

In condizioni di punto di minimo o di
accordo, Y= Yo, le medesime grandezze
valgono :
Fro  Yo  Jc  q  Jm  Jc  q
Jm
Fao 
 q  Jm  Jc  q
Yo
 Jm

Fmo  
 Jc  Yo   q  2  Jm  Jc  q
 Yo

Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Osservazione :
Quando il rapporto di trasmissione è ottimo Yo, la forza per accelerare il carico
riflessa all’attuatore Fro è = alla forza che deve spendere l’attuatore per
accelerare se stesso Fao
Fro  Jm  Jc  q
Fao  Jm  Jc  q
e la forza totale Fmo che deve erogare l’attuatore per muovere tutto il sistema
è il doppio di queste
Fmo  2  Jm  Jc  q
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
In sintesi
Il rapporto di trasmissione ottimo
Yo
realizza la
condizione di accordo alla quale l’attuatore vede
un carico riflesso pari al carico dell’attuatore
stesso.
Questa è la migliore condizione di lavoro.
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Bilancio di Potenze nel sistema
Analogamente a quanto fatto per il bilancio delle forze è possibile studiare le
potenze richieste nei vari punti del sistema.
Analizziamo la potenza necessaria per muovere il solo carico Pc, la potenza
necessaria per muovere il solo attuatore Pa, e la potenza totale all’attuatore
Pm. Per un qualunque rapporto di trasmissione Y si hanno le seguenti relazioni
Pc  Fc  q  Jc  q  q
Jm
Pa  Jm  p  p  2  q  q
Y
 Jm
    Jm
  

Pm  Fm  p  
 Jc  Y   q  p   2  Jc   q  q
Y

Y

Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
In condizioni di punto di minimo o di accordo, Y=Yo, le medesime
grandezze valgono :
Pc  Jc  q  q
Jm
Jm
Pa 
 q  q 
 q  q  Jc  q  q
2
Jm
Yo
Jc


 Jm

Pm  
 Jc   q  q  2  ( Jc  q  q )
 Jm

 Jc

Pc  Jc  q  q
Pa  Jc  q  q
Pm  2  ( Jc  q  q )
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Osservazione
Quando il rapporto di trasmissione è ottimo Yo, la potenza per muovere il
carico Pco è = alla potenza che deve spendere l’attuatore per muovere se
stesso Pao
  q
Pco  Jc  q
  q
Pao  Jc  q
inoltre la potenza totale Pmo che deve erogare l’attuatore per muovere tutto il
sistema è il doppio di queste
  q )
Pmo  2  ( Jc  q
Osservazione
In corrispondenza del rapporto di trasmissione ottimo Yo si ha un minimo della
forza motrice Fm=Fmo ma non un minimo della potenza Pm .
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
In sintesi
Il rapporto di trasmissione ottimo
Yo
realizza la
condizione di accordo alla quale la potenza per
muovere il carico coincide con la potenza per
muovere l’attuatore stesso.
Questa è la migliore condizione di lavoro.
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Una volta determinato il rapporto di trasmissione ottimo Yo si deve verificare
che la velocità di picco dell’attuatore non superi la massima velocità ammissibile
per lo stesso, ossia deve essere verificato :
q
Jc
p o 
 q 
Yo
Jm
max p o  nom (attuatore)
p o
nom
max p o
t
Ing Gabriele Canini
t
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
Dati noti
Jm : inerzia attuatore
Jc : inerzia carico
q(t) : moto al MOS
Ipotesi
Bm  0, Bc  0
attriti trascurabili
Calcolo
Yo 
Jm
Jc
rapporto
ottimo
trasmissione
di
Dinamica attuatore
p o(t )  q (t ) / Yo
Fmo(t )  2  Jm  Jc  q(t )
velocità e forza attuatore
Ing Gabriele Canini
Verifica
RiCalcolo
Y  Yo
No
rapporto di trasmissione
NON OTTIMO
p omax  nom
limiti di velocità
rispettati?
Si
Dinamica NON OTTIMA
Y  Yo 
Jm
Jc
q (t )
Y
 Jm

Fm(t )  
 Y  Jc   q(t )  Fmo(t )
Y

p (t ) 
Dinamica OTTIMA attuatore
Verifica
Y  Yo
Trasmissione Ottima ?
No
Si
Jm
Jc
q (t )
p o(t ) 
Yo
Fmo(t )  2  Jm  Jc  q(t )
Yo 
 Jm

Pm(t )   2  Jc   q(t )  q (t )
Y

Pmo(t )  2  Jc  q(t )  q (t )
 Jm

Fmrms  
 Y  Jc   qrms
Y

Fmorms  2  Jm  Jc  qrms
Pmrms 
1
  Pm2 (t )  dt
T
Pmorms 
1
  Pmo2 (t )  dt
T
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata : Rapporto Ottimo Trasmissione
DOMANDE ?
Ing Gabriele Canini
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