B - Syllogismos

Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Alta Scuola Pedagogica, Locarno
NRD, Bologna
Educazione
al pensiero combinatorio
nella scuola superiore
Indice
Modo d’uso del file
Situazione 1: quanti anagrammi?
Situazione 2: riporre r oggetti distinti in n cassetti
Situazione 3: scegliere r oggetti da un insieme di n oggetti
Situazione 4: allineare r oggetti distinti
Situazione 5: allineare r oggetti dei quali alcuni sono fra loro
identici
Situazione 6: riporre r oggetti distinti in n cassetti a
condizione che in ogni cassetto non vi sia più di un
oggetto
Situazione 7: riporre r oggetti indistinguibili in n cassetti
Modo d’uso del file
Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza
presentazione”.
Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica
azione che deve compiere il visitatore è un semplice
clic del mouse per passare da una diapositiva alla
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tornare all’indice (premendo il bottone verde in alto
a destra di ogni diapositiva finale) e cliccare sul
titolo desiderato.
Situazione 1: Quanti anagrammi?
Quanti anagrammi possiede la parola PROBLEMA?
Vi sono 8 posti nei quali collocare le 8 lettere, per esempio:
B
R
O
M
A
L
P
E
Per collocare la prima lettera (P), vi sono 8 possibilità:
P
R
R
P
R
P
P
R
P
R
P
R
P
P
R
Per ciascuna di queste 8, ve ne sono 7 per collocare la
seconda lettera (R).
In totale, per collocare le prime due lettere (P,R) ci sono
8 · 7 = 56 possibilità
Per inserire le prime tre lettere vi sono
8 · 7 · 6 = 336 possibilità
Situazione 1 : Quanti anagrammi?
B
R
O
M
A
L
P
E
Per inserire le prime quattro lettere vi sono
8 · 7 · 6 · 5 = 1680 possibilità
e così via…
Per inserire le 8 lettere di PROBLEMA vi sono
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320 possibilità
Questo numero si chiama fattoriale di 8 e si scrive:
8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
I fattoriali di un numero n crescono fortemente al crescere di n:
n
1
2
3
4
5
n!
1
2
6
24
120
n
6
7
8
9
10
n!
720
5040
40320
362880
3628800
n
11
12
13
14
15
n!
39916800
479001600
6227020800
87178291200
1.30767E+12
Situazione 1: Quanti anagrammi?
Quanti anagrammi possiede la parola TATTO?
La novità è la presenza di tre lettere uguali (T).Eccoli tutti:
AOTTT
ATOTT
ATTOT
ATTTO
OATTT
OTATT
OTTAT
OTTTA
TAOTT
TATOT
TATTO
TOATT
TOTAT
TOTTA
TTAOT
TTATO
TTOAT
TTOTA
TTTAO
TTTOA
Se le 5 lettere fossero tutte diverse, avremmo 5! = 120
anagrammi. Invece ne abbiamo solo 20, cioè 120:6, proprio
perché in realtà ciascun anagramma ne rappresenta 6 = 3!,
cioè tutti quelli che si possono ottenere scambiando di
posto le 3 lettere T.
Situazione 1: Quanti anagrammi?
Quindi la parola TATTO possiede:
5! = 120
= 20 anagrammi
3!
6
E la parola MAMMA, quanti anagrammi possiede?
Ci sono 3 M e 2 A, quindi:
5!
3!
120
= 5!
=
= 10
12
2!
2! 3!
In generale, se la parola è di n lettere, delle quali k si
ripetono m1, m2, m3,…,mk volte, il numero di anagrammi è:
n!
m1! · m2! · m3! … mk !
Situazione 2: riporre r oggetti distinti
in n cassetti
Esempio: 2 oggetti A,B in 3 cassetti
A B
A B
A B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
Per riporre il primo oggetto A vi sono 3 possibilità.
Per ciascuna di queste ve ne sono di nuovo 3 per B.
In totale vi sono 32 possibilità di riporre 2 oggetti distinti in
3 cassetti.
In generale: per riporre r oggetti distinti in n cassetti vi
sono nr possibilità.
Situazione 2: riporre r oggetti distinti
in n cassetti
Problema
Nel gioco del Totocalcio, quante diverse colonne esistono?
In altre parole: quante colonne dovrei giocare almeno per
essere sicuro di fare 13?
Il problema può essere così interpretato: compilare una
colonna è come distribuire le 13 partite (oggetti) in tre
cassetti (1, 2, X).
Dobbiamo quindi giocare 313 = 1’594’323 colonne…
… che sono ovviamente troppe!
Ma, attenti: se vi fossero partite dal risultato scontato, il
numero di colonne necessarie per fare un 13 (a condizione
che i risultati scontati si verifichino) diminuisce
sensibilmente.
Situazione 2: riporre r oggetti distinti
in n cassetti
numero
partite
minimo di
scontate
colonne
0
1594323
1
531441
2
177147
3
59049
4
19683
5
6561
6
2187
7
729
8
243
9
81
10
27
11
9
12
3
13
1
Ecco come varia la situazione, a
seconda del numero di partite…
scontate.
Questi risultati matematici
vengono sfruttati dai “sistemisti”, i
quali, però, si fanno pagare…
A noi basta sapere un po’ di
matematica!
Situazione 3: scegliere r oggetti da un
insieme di n oggetti
Il problema può essere ricondotto al seguente:
si considerano 2 cassetti: quello degli elementi scelti per
formare il sottoinsieme e l'altro degli elementi non scelti.
Per esempio, se l'insieme fosse I = {a,b,c,d} e volessimo
considerare il sottoinsieme A={b,d}, l'operazione può
essere rappresentata così:
scelti
b d
non scelti
a c
Si hanno quindi in totale
24 = 16 sottoinsiemi di I
In generale: un insieme di r elementi possiede 2r
sottoinsiemi (compresi il vuoto e se stesso).
Situazione 4: allineare r oggetti distinti
Esempio: allineare i 3 oggetti A, B, C
ABC
BAC
CAB
ACB
BCA
CBA
Per ottenere un allineamento qualsiasi dei 3 oggetti
vi sono 3 possibilità di scelta per il primo oggetto…
… per ciascuna di queste,
vi sono 2 possibilità di collocazione del secondo oggetto…
… per il terzo oggetto non c'è scelta (1 possibilità).
In totale abbiamo: 3 · 2 · 1 = 6 allineamenti possibili.
In generale, per allineare r oggetti distinti vi sono
r  r  1 r  2  2 1 r!
“r fattoriale” possibilità.
Situazione 4: allineare r oggetti distinti
Problema 1
Quante diverse applicazioni biunivoche
di un insieme in se stesso esistono?
Consideriamo l'insieme I = {a, b, c} di 3 elementi.
Mantenendo fisso l'allineamento degli elementi di partenza,
ogni diversa applicazione biunivoca si distingue
dall’allineamento delle immagini.
Per esempio:
a
b
b
c
c
a
a
b
c
b
a
c
sono due applicazioni
biunivoche di I in se stesso.
Quindi esistono tante applicazioni biunivoche quanti sono
gli allineamenti possibili dei tre elementi a, b, c. Cioè 3! = 6
Situazione 4: allineare r oggetti distinti
In generale: un insieme di r elementi
possiede r! applicazioni biunivoche.
Nel calcolo combinatorio classico ogni allineamento di
oggetti distinti si dice permutazione.
Problema 2
E se le applicazioni non fossero biunivoche,
quante ce ne sarebbero?
Sarebbe come riporre r oggetti (gli elementi di partenza) in r
cassetti (le immagini), quindi si avrebbero rr diverse
applicazioni.
In generale: le applicazioni possibili da un insieme di r
elementi in un altro di s elementi sono sr.
Situazione 5: allineare r oggetti dei quali
alcuni sono fra loro identici
Consideriamo un insieme di r elementi, k dei quali
si ripetono r1, r2, …,rk volte.
Quanti diversi allineamenti esistono?
È lo stesso problema degli anagrammi di una parola di r
lettere con r1, r2, …,rk lettere fra loro uguali.
Il numero di allineamenti possibili di r elementi, k dei quali
r1, r2, …,rk sono fra loro uguali è:
r!
r 1! · r 2! · … · r k!
Situazione 5: allineare r oggetti dei quali
alcuni sono fra loro identici
La soluzione trovata può essere migliorata.
Basta osservare che un elemento che non si ripete appare
1 sola volta.
Inoltre sappiamo che 1! = 1.
Il numero di allineamenti possibili di r elementi, che si
ripetono r1, r2, …,rr è:
r!
r1! · r2! · … · rr!
con r1 + r2 + … + rr = r
Situazione 5: allineare r oggetti dei quali
alcuni sono fra loro identici
Problema
In quanti modi si possono scegliere k oggetti distinti da un
insieme di n oggetti?
Supponendo di avere allineato gli n oggetti -e di lasciarli
sempre in questa posizione- a ogni oggetto scelto
apponiamo l’etichetta S (scelto) e agli altri N (non scelto).
Ogni scelta è biunivocamente legata a una parola di n
lettere, delle quali k sono S e (n–k) sono N.
n
n!
Quindi vi sono tante scelte quanti sono gli 
  
anagrammi della parola citata, cioè:
k k! n  k!
Nel calcolo combinatorio classico, ogni scelta di questo tipo
si dice combinazione.
Situazione 5: allineare r oggetti dei quali
alcuni sono fra loro identici
n
Il numero  
k
è detto simbolo combinatorio…
… ma anche coefficiente binomiale.
Infatti, nello sviluppo di (a+b)n, il coefficiente numerico della
parte letterale ak·bn–k è dato dal numero di scelte possibili di
k oggetti (binomi a+b che danno la lettera a) fra gli n binomi
(a+b) a disposizione.
n k nk
n!
   a b 
 ak bnk
k
k! (n  k)!
Situazione 6: riporre r oggetti distinti in n
cassetti a condizione che in ogni
cassetto non vi sia più di un oggetto
Esempio: 2 oggetti A,B in 4 cassetti.
Per riporre il primo oggetto vi sono 4 possibilità.
Per ciascuna di queste,
ve ne sono 3 per riporre il secondo oggetto.
In totale abbiamo 4 · 3 = 12 possibilità.
In generale, vi sono: Drn  n n  1  n  2   n  r  1
possibilità di collocare r oggetti in n cassetti a condizione
che in ogni cassetto vada al massimo un oggetto. (r≤n).
Questo è il modello usato dai fisici Fermi e Dirac per studiare i
differenti modi nei quali gli elettroni o i protoni o i neutroni o gli
atomi contenenti un numero dispari di particelle (oggetti) si
distribuiscono nei diversi livelli di energia (cassetti).
Situazione 6: riporre r oggetti distinti in n
cassetti a condizione che in ogni
cassetto non vi sia più di un oggetto
ll problema è equivalente al seguente:
In quanti modi si possono scegliere r oggetti da un
insieme di n oggetti e allinearli? (Ogni posizione
dell'allineamento corrisponde a un cassetto)
Problema
Ai quarti di finale di un torneo di calcio vi partecipano, come
noto, 8 squadre. Tutte ambiscono a salire sul podio delle 3
premiate. Quanti possibili podi si possono verificare?
Numero di podi possibili: 8 · 7 · 6 = 336
Nel calcolo combinatorio classico, ciascuna scelta così
operata si chiama distribuzione.
Situazione 7: riporre r oggetti indistinguibili
in n cassetti
Questo problema è riconducibile a quello degli anagrammi
di una parola con lettere ripetute. Infatti, se prendiamo 2
oggetti e 3 cassetti, ogni allineamento può essere
rappresentato mediante un allineamento di O (oggetti) e di I
(separazione dei cassetti).
OOII
IOOI
IIOO
OIOI
OIIO
IOIO
Situazione 7: riporre r oggetti indistinguibili
in n cassetti
Grazie a questa codificazione, è possibile considerare
ciascuna possibilità come un anagramma della parola
O O I I.
4!
Abbiamo quindi in totale
 6 possibilità.
2!  2!
In generale: per riporre r oggetti indistinguibili in n cassetti
esistono
n  1!
r!  n  r  1!
possibilità.
Questo è il modello usato dai fisici Bose e Einstein per
studiare i differenti modi nei quali i fotoni o gli atomi
contenenti un numero pari di particelle (oggetti) si
distribuiscono nei diversi livelli di energia (cassetti).
FINE
© 2002 [email protected]