(2.LE FRAZIONI 17 marzo 2015 - (1))

“Frazioni e numeri decimali:
un percorso ricco di
opportunità didattiche”
Secondo incontro
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
1
CHI È IL PIÙ VELOCE? pag.78
(Confronto e ordinamento di unità frazionarie)
Nel cortile della scuola i ragazzi hanno tracciato tre percorsi di uguale
lunghezza sono pronti alla partenza. Quando Michela dà il via, Davide, Sara e
Alessandro partono contemporaneamente e corrono lungo il tracciato del
percorso. Ad un colpo di fischietto di Michela i tre compagni si fermano.
Ognuno ha compiuto una parte del percorso: Davide 1/ 6, Sara 1/ 9 del
tracciato, Alessandro 1/ 3 del tracciato.
 Segna con una crocetta la casella con la parola esatta.
La parte percorsa da Davide è
mag. min.
La parte percorsa da Sara è
mag. min.
La parte percorsa da Alessandro è
di quella percorsa da Sara
di quella percorsa da Alessandro
mag. min.
di quella percorsa da Davide
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2
CHI È IL PIÙ VELOCE?
(Confronto e ordinamento di unità frazionarie)
 Completa con il simbolo corretto.
1
1
1
1
1
1
9
6
9
3
6
3
 Scrivi le tre frazioni di percorso in ordine crescente
1
1
1
9
6
3
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3
CHI È IL PIÙ VELOCE?
 Su ogni linea evidenzia con un colore la parte di percorso effettuata dai tre compagni.
 Chi è stato il più veloce?.........................
Alessandro Perché?...........................
A
P
A
P
Davide
Sara
A
P
Alessandro
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4
CHI BEVE DI PIÙ? pag.79
E’ estate … Chiara e Michela … hanno sete. La mamma mette sul tavolo due bicchieri
uguali nei quali versa dell’aranciata, ma non riesce a farne due parti uguali: un bicchiere
è riempito fino a 1/3 della sua altezza, l’altro fino a 1/5. Chiara ha molta sete e chiede di
potere prendere il bicchiere con più aranciata; Michela glielo consente. Quale dei due
bicchieri prende Chiara?
 Il disegno rappresenta i due
bicchieri; in ognuno sono segnate
delle tacche. Scrivi a fianco ci ogni
bicchiere l’unità frazionaria che
corrisponde ad ogni parte in cui è
stata divisa l’altezza. Colora poi la
parte che corrisponde alla quantità
di aranciata contenuta in ogni
bicchiere
Quale bicchiere prende
Chiara?…………………………
Perché?…………………………
Completa con il simbolo corretto:
1
3
1
5 Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Clara
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5
CONFRONTARE UNITÀ FRAZIONARIE pag. 80
 Aiutandoti con la linea dei numeri data, completa in modo corretto scrivendo maggiore
(>) o minore (<) fra ogni coppia di unità frazionarie.
1
1
1
4
2
4
1
1
1
1
8
10
8
10
1
è minore di
<
2
 Se non avessi la linea dei numeri, come potresti confrontare le UNITà
FRAZIONARIE e dire qual è la minore (o la maggiore)?
…………………………………………………
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6
CONFRONTARE UNITÀ FRAZIONARIE
 Aiutandoti con la linea dei numeri data, completa ogni disuguaglianza con un
denominatore che la renda vera
1
6
1
3
<
<
1
1
3
5
1
1
5
<
>
1
1
2
1
1
4
>
>
1
1
 Confronta le tue risposte con quelle di un tuo compagno. Cosa noti? ………
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7
IL GIOCO DEI BIRILLI pag.86
(confronto di unità frazionarie e calcolo)
Mario e Ada giocano a lanciare una palla contro 12 birilli. Ogni giocatore ha
diritto a due lanci e dopo ogni lancio i birilli vengono rimessi tutti in piedi.
Con il primo lancio Mario abbatte 1/3 dei birilli e Ada ne fa cadere ¼. Chi ha
fatto cadere più birilli nel primo lancio? Con il secondo lancio Mario abbatte
1/6 dei birilli mentre Ada ne fa cadere ½ . Chi ha fatto cadere più birilli nel
secondo lancio? Chi ha fatto cadere più birilli con i due lanci?
 Completa con il simbolo corretto:
1
1
1
1
3
4
6
2
 Completa con i nomi dei giocatori.
Nel primo lancio ……………………
ha fatto cadere più birilli di…. ………………
Mario
Ada
Nel secondo lancio ………………….
ha fatto cadere più birilli di…. ……………
Ada
Mario
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8
IL GIOCO DEI BIRILLI
 Completa la tabella
Numero dei birilli fatti cadere
nel 1° lancio
nel 2° lancio
in totale
Mario
4
2
6
Ada
3
6
9
 Chi ha fatto cadere più birilli in tutto? ……………………………………
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9
LA FRAZIONE
5.2 La frazione
5.2.1 Conteggio o calcolo di unità frazionarie uguali,
denominazione della parte ottenuta e sua
scrittura formale
- grandezze continue
- grandezze discrete, in particolare i
numeri naturali
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10
La frazione: esempio
pag.89
Si forniscono ai bambini cartoncini quadrati suddivisi in parti e con alcune zone
colorate, come
B
D
C
A
Si guida l’osservazione dei cartoncini con domande quali:
•
•
•
•
in quante parti uguali è diviso il cartoncino? 4
Un quarto
come si chiama ognuna delle parti? …
quante parti sono state colorate nel cartoncino B? 2
quanti quarti sono stati colorati nel cartoncino B? …
due quarti
Si possono fare incollare i cartoncini sul quaderno e sotto ad ognuno si
fa segnare la parte colorata, utilizzando la forma “2 quarti”, dato che la parola
“quarti” esprime il tipo di parte, così come in 2 mele la parola mele si riferisce al
tipo di frutto contato.
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11
La frazione: esempio pag.90
“A Luigi il nonno ha regalato 28 figurine. Luigi osservandole si accorge che i 3/7
di queste figurine sono doppie. Quante sono le figurine doppie?”
• Individuare quante figurine corrispondo all’unità frazionaria 1/7
28:7
il cui risultato è la cardinalità di ognuno dei 7 gruppi in cui le figurine sono state
divise.
Per rispondere alla domanda del problema è necessario
-prendere 3 gruppi ognuno di 4 figurine
-prendere 4 figurine per 3 volte
- ……
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12
La frazione: esempio
I bambini dovrebbero riconoscere nelle diverse espressioni utilizzate la
struttura della moltiplicazione 4  3.
La frase “3/7 di 28 figurine” equivale alla successione di
operazioni
“28:7 = 4 e 4  3 = 12”.
ATTENZIONE ALLE CATENE DI UGUAGLIANZE COME
28:7 = 4  3 = 12
errata
INFATTI per la proprietà transitiva dell’uguaglianza
28:7 = 12
errata
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13
ZEFIRA E L’ASTRONOMIA pag.91
(Conteggio di unità frazionarie uguali di grandezze continue)
Zefira …combina pasticci a non finire, trafficando con intrugli e pozioni.
La maga Ortensia le ha offerto allora una ricetta magica per riprodurre la
volta celeste sul soffitto della sua stanza.
Zefira comincia colorando di blu ¼ del soffitto.
 Il rettangolo seguente rappresenta il soffitto della stanza di Zefira; colorane
¼.
1
4
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14
ZEFIRA E L’ASTRONOMIA
(Conteggio di unità frazionarie uguali di grandezze continue)
- E se ne colorassi ancora ¼ dell’intero soffitto?- dice Zefira
Chissà, forse invece della volta celeste mi apparirebbe l’intera galassia!
 Colora come appare ora il soffitto della stanza di Zefira..
Prima ¼, poi ancora ¼ , …ho colorato 2 volte ¼
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15
ZEFIRA E L’ASTRONOMIA
(Conteggio di unità frazionarie uguali di grandezze continue)
- Ora proverò a colorarne ancora ¼ . Magari vedrò l’intero Universo!  Colora come appare ora il soffitto
- ¼ , ¼ , ¼ … 3 volte ¼ - dice Zefira e subito
pronuncia la formula magica, ma …. il soffitto, con un
gran boato, crolla!
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16
ORTENSIA AL CONGRESSO DI MAGIA pag.100
(Conteggio di unità frazionarie di grandezze discrete)
Maga Ortensia è stata invitata al congresso annuale di magia. I discorsi
sono noiosissimi e per non addormentarsi Ortensia osserva i partecipanti al
congresso. Con un colpo d’occhi, da maga matematica, calcola che 2/9 dei
180 invitati sono donne. Quante sono le donne al congresso?
 Per rispondere alla domanda completa le operazioni seguenti.
180 : 9
=
20
20 è
1
di 180
9
20
x2=
40
40
sono i
2
9
di 180
cioè il numero ..........................
Le donne presenti al congresso sono 40
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17
CALCOLIAMO CON LE FRAZIONI
 Completa
(avvio al concetto di rapporto) pag.96
Quante chiocciole?
6
Quante sono in acqua?
1
3
2
delle chiocciole sono in
acqua
Quanti cani?
9
Quanti hanno il fiocco?
5
5
9
dei cani………….
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18
GIACOMINO A PASSEGGIO
(La frazione complementare di una frazione data pag.108)
Questa settimana il bruco Giacomino decide di fare tre passeggiate
ugualmente lunghe. A ogni passeggiata sceglie una di queste mete:
a) la foglia di lattuga
b) i suoi amici
c) la sua amica lumaca Scia
Siccome è un po’ stanco durante ogni passeggiata fa una sosta.
Sulle seguenti linee il numero 1 corrisponde alla meta di Giacomino, il numero
0 al punto di partenza di ogni passeggiata, il punto indicato dalla freccia alla
sosta fatta. Completa scrivendo le frazioni che indicano ogni volta la parte già
percorsa da Giacomino prima della sosta e quella da percorrere dopo la sosta
per arrivare alla meta.
a)
1
0
1
5
2
5
5
5
Il bruco ha percorso i ………… del tragitto
Deve percorrere i
………….del tragitto
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19
GIACOMINO A PASSEGGIO
(La frazione complementare di una frazione data)
0
b)
1
1
6
− Per incontrare gli amici il bruco ha percorso i ……. del tragitto
− Deve percorrere i
………del tragitto
c)
0
1
− Per incontrare lumaca Scia, il bruco ha percorso i ……. del tragitto
− Deve percorrere i
………del tragitto
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20
COLORARE FRAZIONI
(La frazione complementare di una frazione data)
Su ciascuna striscia colora la parte complementare rispetto a quella indicata
2
5
5
8
7
12
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21
IN PASTICCERIA
(La frazione complementare di una frazione data) pag. 111
Marco, raffinato pasticcere, ha preparato delle praline ripiene e composte
da cioccolato fondente e cioccolato bianco in quantità diverse. Nella tabella
è riportata per ogni tipo di pralina la parte di cioccolato fondente rispetto al
totale di cioccolato utilizzato.
Completa la tabella scrivendo la frazione corrispondente alla parte di cioccolato
bianco rispetto al totale di cioccolato utilizzato da Marco.
Cioccolato Cioccolato
fondente
bianco
Tipo di praline
Tipo di praline
Praline al
pistacchio
2/5
…………
Praline al gianduia
Praline all'arancia
1/3
…………
Praline croccantine
5/9
Rombetti bianchi
Praline farcite alla
crema
Cioccolato Cioccolato
fondente
bianco
…./10
4/…
Praline al caffè
8/…
…./10
…………
Praline ai pinoli
2/3
…………
9/12
…………
Praline ai canditi
…/9
1/…
3/7
…………
Praline bicolore
……..
5/10
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22
Confronto e ordinamento di frazioni pag.112
5.2.3 Confronto e ordinamento di frazioni
- collocazione di frazioni sulla linea dei numeri
- rilievo di frazioni equivalenti
Si consegnano ai bambini diverse strisce di carta non quadrettata, di uguale e opportuna
lunghezza, e le si fanno suddividere in un numero prefissato di parti uguali.
Esempio
Mediante piegature si fanno suddividere quattro strisce di carta in quarti.
In ognuna delle strisce si colora e, poi, si ritaglia una delle parti frazionarie 1/4,
2/4, 3/4, 4/4. Riportando le parti sulla striscia associata all’intervallo da 0 a 1 si
ottiene la graduazione
0
1
2
3
4
4
4
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1
23
Confronto e ordinamento di frazioni
Con lo stesso procedimento si individuano i punti corrispondenti alle parti
ottenute suddividendo strisce uguali alle precedenti in 6 parti uguali:
0
1
1
2
1
4
3
5
6
4
6
2
6
4
6
1
2
2
2
4
4
3
4
6
6
6
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24
OSSERVAZIONI
• Esistono frazioni anche nella seconda metà della striscia e del
segmento, quindi ci sono frazioni maggiori di 1/2;
• Una frazione con numeratore uguale al denominatore è collocata
nello stesso punto del numero 1;
• Vi sono frazioni che, pur non avendo uguali i numeratori e i
denominatori, corrispondono allo stesso punto sul segmento di
estremi 0 e 1.
Quest’ultima proprietà consente di avviare la riflessione
sull’equivalenza delle frazioni interpretata nel modo seguente: vi sono
frazioni che, pur essendo diverse tra loro, si trovano nella stessa
posizione sulla linea dei numeri; tali frazioni si possono considerare
uguali.
Si suggerisce di consolidare il confronto e l’ordinamento tra frazioni
aventi uguale il numeratore o il denominatore senza affrontare il
problema della riduzione di frazioni allo stesso denominatore,
argomento di competenza della scuola secondaria di primo grado.
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25
MATEQUIZ
(Confronto e ordinamento di frazioni) pag. 119
Per scoprire il nome di un importante fiume che attraversa la Russia colora
in ogni riga la casella che contiene la frazione maggiore. Leggi poi le lettere
individuate dall'alto al basso.
2
S
7
1
A
2
A
10
15
T
9
O
5
C
7
10
7
D
R
10
E
9
V
10
L
6
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7
5
I
10
5
5
5
M
7
3
8
5
A
7
3
7
5
N
5
26
MATEQUIZ
(Confronto e ordinamento di frazioni)
Riscrivi in ordine decrescente le frazioni di ogni riga.
a) prima riga
7
5
3
2
1
7
7
7
7
7
b) Seconda riga
9
8
5
3
2
10
10
10
10
10
c) Terza riga
5
5
5
5
5
5
6
7
9
15
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27
DISEGNI CON LE FRAZIONI PAG.120
I punti del riquadro sono contrassegnati con frazioni. Riscrivi tali frazioni in ordine
crescente.
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
Ora unisci i puntini
nello stesso ordine che
hai ottenuto per le
frazioni corrispondenti.
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28
L'OGGETTO NASCOSTO pag.156
Alcuni spazi del riquadro sono contrassegnati con frazioni. Riscrivi tali frazioni in
ordine decrescente.
….. ….. …… ….. ….. …… ….. ….. …… ….. ….. …… ….. ….. …… ……..
Ora colora solo gli spazi contrassegnati dalle frazioni minori di 7
10
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29
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
5.2.4 Frazioni equivalenti
−rilievo di frazioni equivalenti
−costruzione di frazioni equivalenti
−applicazione dell’equivalenza tra frazioni
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30
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
Le frazioni equivalenti, pur essendo diverse, perché i loro
numeratori sono diversi e così pure i loro denominatori, hanno
“qualcosa” di uguale: la posizione sulla linea dei numeri
Frazioni (equivalenti) come parte di un intero
Due frazioni equivalenti individuano:
di un segmento parti di uguale lunghezza,
di una figura piana parti di uguale area,
di una grandezza discreta parti di uguale
numerosità, …
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31
LE FRAZIONI EQUIVALENTI
Esempi
• Si supponga che per bordare una tovaglia serva la metà di un nastro
lungo 20 m. Dal punto di vista della lunghezza della parte rispetto
all’intero è indifferente esprimere la metà con le frazioni 1/2, 2/4, 3/6,
…, 50/100, …; dal punto di vista concreto, invece, è ben diverso
dividere il nastro con le forbici in due parti uguali e prenderne una,
rispetto a dividerlo in cento parti uguali e prenderne cinquanta! Le
due operazioni non sono indifferenti per l’utilizzo del nastro.
• L’individuazione dei ¾ di 12 biglie può essere concretamente
effettuata suddividendo le biglie in 4 gruppi equonumerosi e
prendendo 3 dei gruppi ottenuti; ma è impossibile supportare con la
manipolazione la determinazione dei 6/8 delle 12 biglie, pur
essendo le frazioni ¾ e 6/8 equivalenti.
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32
SCRITTURA DELLE FRAZIONI EQUIVALENTI
2
=
4
3
6
Che senso ha il
segno di
uguaglianza in
questo caso?
NON INDICA che le due frazioni sono uguali
INDICA che le due frazioni sono equivalenti cioè:
 esprimono
parti uguali di un intero,
occupano la stessa posizione sulla retta dei
numeri
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33
SCRIVERE FRAZIONI
(Costruzione di frazioni equivalenti) pag. 128
 Per ciascuno dei seguenti rettangoli, che rappresentano l'intero, scrivi la
frazione che indica la parte evidenziata
1
2
3
4
2
4
6
8
 Le frazioni che hai scritto indicano parti colorate uguali nei rettangolI? …
Quindi le frazioni che hai scritto sono frazioni ………..
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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34
SCRIVERE FRAZIONI
(Costruzione di frazioni equivalenti)
 Completa scrivendo gli operatori che trasformano la prima frazione nella
seconda ad essa equivalente.
x3
3
4
:8
9
12
x3
32
40
4
5
:8
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35
L’OGGETTO MISTERIOSO
(frazioni equivalenti pag.131 disegno diverso dal libro)
Per scoprire che cos'è l'oggetto misterioso ricomponi il puzzle nel seguente modo:
− ritaglia le tessere del secondo riquadro
− osserva la frazione scritta su ciascuna tessera,
− incolla ogni tessera sulla casella del riquadro che contiene la frazione
equivalente a quella della tessera stessa.
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36
Fiaba di Frederique
Papy
Per bambini dagli 8 ai 12 anni
Elaborazione a cura delle proff. B.Donzeelli, D.Nebuloni, V.Scaduto
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37
•IO, piccolo umano
•ZERO, mio grande amico
•1/2, mio piccolo amico
1/2
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38
Io e Zero stavamo trascorrendo
un piacevole pomeriggio di
conversazione quando...
D R I I N N N N…!!!!
Era il mio piccolo amico 1/2:
piangeva e non riuscivo a capire
cosa dicesse...
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39
Singhiozzava:
“…ho perso il mio nome…mi hanno
dato un nuovo nome…mi cambiano il
nome ogni volta…”
1/2
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40
Io e Zero, molto preoccupati, lo
invitammo da noi, nel tentativo di
tranquillizzarlo
1/2
Quando giunse lo convincemmo a
raccontarci la sua storia...
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41
1/2 disse:
“vi ricordate la meravigliosa danza che avete
inventato per me lo scorso anno?”
“certo, tu danzavi con i numeri 16; 8; 4;
2; 1; ¼; 1/8; 1/16;…”
“C’ero anch’io – osservò Zero _ Partecipavo
alla danza.
Il mio ruolo era molto
importante”.
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42
Ieri ho incontrato 4; 2; 1; e ¼ continuò ½ - e mi hanno suggerito di
ballare ancora. Tu non c’eri - disse allo
Zero - ” e ti hanno sostituito con uno
spaventapasseri che stava nel campo”.
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43
Zero brontolò arrabbiato:
“2 è a metà strada tra me e 4;
1 è a metà strada tra me e 2;
½ è a metà strada tra me e 1;
¼ è a metà strada tra me e ½.
E hanno il coraggio di dire che
non sono importante”.
1
4
2
1/4
0
1/2
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44
“4 lasciò il gruppo. Non gli piaceva
giocare con noi.
Eravamo troppo
2
¼
piccoli per lui.
disegnò questa
figura sul terreno e suggerì di
invitare il suo amico
¾.
1
3
4
1
2
1
4
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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45
0
“1/4 e ¾ si guardarono
sogghignando – continuò
il nostro piccolo amico –
mi suggerirono di
invitare il numero 2/4. Che bello
Furono tutti d’accordo.”
scherzo!!!!
Sigh! Sigh!
1
2
1
3
4
1
2
1
4
2
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46
0
“Guardando
la loro figura, mi sentivo
molto a disagio – disse ½ - perché ero
convinta che l’unico posto possibile per
2/4 fosse a metà tra ¼ e ¾, e quello
era il MIO posto”.
1/2
1/4
3/4
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47
“1/ 4 e ¾ avevano ragione – disse Zero con
molta calma – 2/4 è un altro nome per te.
Non capisco perché sei così triste.”
“Non voglio cambiare il mio nome – sbottò il
nostro piccolo amico – quando sono nato, sono
stato chiamato ½ e mi piace il mio nome”
“Ma tu non perdi il tuo nome – spiegò lo Zero –
ne hai solo ricevuto un altro”
Il nostro piccolo amico si asciugò le lacrime e
diventò silenzioso e pensieroso.
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48
“Quando sono nato, fui chiamato 0, - spiegò il mio
amico – anche a me piace il mio nome.
Ma ho
viaggiato a lungo, e nel corso delle mie molte
avventure ho incontrato moltissima gente che
parlava diverse lingue. A poco a poco, ho imparato
che avevo parecchi nomi.
Per esempio, a volte
sono chiamato
2-2 o 6-6
o 1.000-1.000 o
(2x50)-100
o
2x0
o
0x2
o
175x45x0x46x728x75
e via dicendo.
Ogni
giorno scopro almeno un nuovo nome per me”.
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
49
1
4/8
1
2
2/8
0
1
4
3
4
6/8
2/4
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
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“Incomincio a capire – esclamò ½ - i
numeri ¼ e ¾ non erano così meschini
come pensavo. Giocavano il loro gioco,
ma tuttavia mi ha insegnato qualcosa di
interessante.
1/2! ! ! !
Il mio piccolo amico sorrise e disegnò
pensieroso
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
51
Quanti petali in questo fiore?
64/128
32/64
1/2
2/4
4/8
16/32
8/16
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
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LE FRAZIONI … AL SUPERMERCATO
(da “La Matematica-Numeri A” di E. Castelnuovo La Nuova Italia)
• Devi comprare un litro di latte ma nel
banco sono rimaste solo confezioni da
mezzo litro. Quante ne devi comprare?
• Se devi preparare una torta e ti occorrono
due litri e mezzo di latte, quante confezioni
da mezzo litro puoi acquistare in modo
che equivalgano alla quantità che ti serve?
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
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LE FRAZIONI … AL SUPERMERCATO
(da “La Matematica-Numeri A” di E. Castelnuovo La Nuova Italia)
• Al banco del pane c’è un bel filone
casereccio da un chilogrammo, ma tutto è
troppo e chiedi alla commessa di dartene
metà. Poi ti ricordi che hai invitato un
compagno di scuola a pranzo e allora le
dici di dartene un quarto in più. Che
frazione di filone hai comprato?
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
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LE FRAZIONI … AL SUPERMERCATO
(da “La Matematica-Numeri A” di E. Castelnuovo La Nuova Italia)
• Questa sera vengono a cena i miei zii e la
mamma mi ha mandato a comprare una bottiglia
da tre quarti di vino bianco. La marca che devo
comprare, però, ha solo confezioni da un litro.
Quanto vino compro in più?
• È lo stesso se compro due bottiglie di acqua da
tre quarti o una bottiglia da un litro e mezzo?
Scrivi l’operazione corrispondente.
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
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