Lezione 1

Undicesima Lezione
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e
Lenz, mutua ed autoinduzione
Riassunto della lezione precedente







Campo magnetico in alcune strutture
Confronto dipolo magnetico/elettrico
Il potenziale vettore
Legge di Faraday in forma integrale
Legge di Lenz
Legge di Faraday in forma differenziale
alcune considerazioni qualitative sugli
invarianti
La relatività dei campi magnetici ed elettrici


Abbiamo chiuso la precedente lezione con un apparente paradosso;
vediamo in un caso semplice come non si tratti di paradosso
Supponiamo di avere un filo percorso da corrente ed una particella
carica in moto con velocità v. Immaginiamo che anche gli elettroni si
muovono con velocità v (per semplificare)
v
r r
r+
v+ =0 v- =v


r’+ r r’ v’+=-v v’- =0
S
Sue sistemi di riferimento: S solidale al filo, S’ alla carica
Il filo è globalmente neutro nel sistema S: r+ =-r-
S’
La relatività dei campi magnetici ed elettrici

Nel sistema S sappiamo che la forza magnetica agisce sulla carica:


0
 
Iqvu r
F = qv  B =
2r

Abbiamo usato la legge di Biot-Savart; riscriviamo I come JA, ovvero r-vA
1
v2 
=
qr - A 2 u r Dove abbiamo anche riusato la definizione di 0
2r 0
c



Cosa succede in S’? Il filo sembrerebbe neutro e non c’è campo
magnetico… quindi cosa?
In realtà la quantità di carica (non la densità!) è un invariante, cioè non
cambia da un sistema all’altro, o non si conserverebbe la carica
Dovremo ricalcolare le densità di carica in S’ tenendo conto della quantità
totale di carica e del volume
La relatività dei campi magnetici ed elettrici

La quantità di carica nel sistema in quiete è
Q = r 0 L0 A

v
A
r r
r+
v+ =0 v- =v
S
L0
Nel sistema in moto invece
Q = rLA
con
L = L0 1 - v 2 / c 2
r = r0 / 1 - v 2 / c 2
r’ + r r’ v’+=-v v’- =0
S’
L

quindi

Ora consideriamo separatamente r+ e r - nel nostro caso:



r+ in riposo in S ed in moto in S’ per cui
r- in riposo in S’ ed in moto in S per cui
r+ ' = r+ / 1 - v 2 / c 2
r- ' = r- 1 - v 2 / c 2
La densità totale di carica in S’ è quindi (considerando che r-=-r+)
r ' = r '+ + r '- =
r+v2 / c2
1- v2 / c2
La relatività dei campi magnetici ed elettrici

Quindi in S’ il filo appare uniformemente carico, con carica netta positiva
In passato abbiamo calcolato il potenziale e quindi il campo di un filo
uniformemente carico:

F ' = qE ' =


q
2 0
v2 / c2
r
1- v2 / c2
(ricordate che rA è la densità lineare di carica l)
Confrontando le forze in S ed S’ otteniamo
F'=

r+ A
F
1- v2 / c2
Che è il modo in cui si trasformano le forze nella relatività
Un’occhiata più da vicino alle leggi di
Faraday e Lenz: fisica dell’induzione



Una variazione di flusso magnetico induce una FEM, definita
come forza (tangenziale) per unità di carica integrata lungo il
conduttore
Necessità di tale definizione: la forza può essere orientata
localmente in modo diverso; quello che conta è l’effetto
complessivo
Quando muoviamo una spira rispetto ad un campo la cosa
non ci sorprende: si deve poter spiegare con la forza di
Lorentz; verifichiamolo….
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: Forza di Lorentz e Legge di Faraday
w
v
L



Barra metallica in movimento in campo magnetico uniforme
FEM secondo la legge di variazione di flusso
dL
d BA
= Bwv
= Bw
fem =
dt
dt
FEM secondo Lorentz: forza per unità di carica non nulla
solo sulla barra e pari a vxB ovvero vB, per cui integrata:
fem = Bwv
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: novità Legge di Faraday e conseguenze Lenz




La legge di Faraday sorprende quando si considera il moto
di un magnete rispetto alla spira
La legge di Lenz, come abbiamo visto, stabilisce che la fem
produce una corrente che tende ad opporsi alla variazione di
flusso: quali sono le conseguenze?
In un solenoide con una corrente variabile, il flusso varia:
una forza contro-elettromotrice tende ad opporsi alla
variazione
Se apriamo di colpo un circuito con un grosso solenoide, tale
forza produce una grossa differenza di potenziale,
eventualmente anche un arco….
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Autoinduzione


Se si pone un anello di metallo su una elettrocalamita con
campo variabile, l’anello viene respinto: si inducono correnti
“vorticose” che fanno dell’anello un elettromagnete
opportunamente orientato
In un conduttore perfetto: una piccola FEM darebbe origine a
correnti infinite. Nella realtà un conduttore perfetto si oppone
alla penetrazione del campo magnetico: qualunque
variazione di B produce un B opposto ed uguale: nessun
flusso magnetico penetra!
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Superconduttori

Se si avvicina un magnete ad un superconduttore, le correnti
“vorticose” o di Foucault, produrranno un campo che si
oppone al movimento: levitazione magnetica! Effetto
Meissner
Movies from © Superconductivity Lab
University of Oslo
Materiali diamagnetici
In realtà è possibile ottenere levitazione con qualunque materiale
diamagnetico (anche acqua…)





diamagnetismo è un fenomeno manifestato dai materiali in presenza di
campo magnetico esterno: tutti i materiali sono virtualmente
diamagnetici, anche se altri fenomeni come ferromagnetismo o
paramagnetismo sono tali da rendere trascurabili i fenomeni diamagnetici
In termini classici: gli elettroni che ruotano costituiscono dipoli magnetici,
solitamente con effetto complessivo nullo. In presenza di campo
magnetico cambia la velocità di rotazione degli elettroni e si manifesta un
campo magnetico che reagisce a quello esterno in modo repulsivo
Il campo magnetico così prodotto è solitamente piccolissimo, ed in
termini di r corrisponde a r lievemente minori di 1, in pratica sucettività
magnetica lievemente negativa (es per l’acqua c=-9.05 10-6 )
Il superconduttore è un materiale diamagnetico ideale, con c=-1!
Materiali diamagnetici


In presenza di forte campo magnetico esterno però l’effetto del
diamagnetismo, invisibile nella vita quotidiana, può essere
impressionante
In un recente esperimento (Radboud University Nijmegen, High Field Magnet
Laboratory [HFML]) ha levitato anche una rana in un campo di 16 Tesla (!!!).
Il filmato di sotto è reperibile al sito di tale università
Materiali ferromagnetici e paramagnetici




Il paramagnetismo è dovuto all’allineamento dei momenti di dipolo
magnetico posseduti da atomi che hanno elettroni spaiati: principio di
esclusione di Pauli
In tal caso il campo magnetico prodotto è tale da produrre forze attrattive
rispetto al campo inducente; il risultato è che r è maggiore di 1; il campo
prodotto sparisce se si rimuove il campo inducente nei materiali
paramagnetici
Nei materiali ferromagnetici accade una cosa in più: dipoli vicini
interagiscono tra loro in modo da allinearsi in blocchi (domini magnetici o
di Weiss) così che anche quando il campo magnetico esterno cessa, essi
manifestano in proprio campo magnetico non nullo.
I materiali ferromagnetici si spiegano solo con la meccanica quantistica:
se ci fermassimo alla meccanica classica saremmo costretti a pensare
che due dipoli affiancati minimizzino la loro energia potenziale quando
producono campi opposti tra loro.
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali
Se si avvicina un magnete ad un conduttore reale, le correnti “vorticose”
o di Foucault, si estingueranno dopo un po’ (dissipate in effetto termico)
ma “frenano” il moto del magnete in una sorta di attrito viscoso

Se muoviamo la spira il flusso concatenato cambia:
se x è la lunghezza ancora immersa nel campo

dx
V = BL
= BLv
dt




Scorre una corrente
i =V / R
Le forze sui lati 2 e 3 sono uguali ed opposte, resta
la forza F1 F1 = -iLB = - B 2 L2v / R
Una forza opposta a quella applicata e proporzionale alla
velocità...
La potenza dissipata (in forma termica)  Notate che P=VI avrebbe
P = dL / dt = Fdx / dt = Fv = - B 2 L2 v 2 / R dato lo stesso risultato
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica
dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali

Un pendolo di rame che oscilla frena quando un elettromagnete, che il
pendolo attraversa, viene alimentato
Pendolo di Waltenhofen
Spira che ruota in un campo uniforme

Il flusso varia, producendo una FEM V
 B = A B cos = A B cos t 
d B
V=
= - ABsint
dt

Portiamo i fili in un punto in cui B non
varia, così possiamo definire un potenziale
elettrico, e la ddp coincide (a meno del
segno) proprio con la FEM V
I = -V / R = ABsint / R
I
R
Spira che ruota in un campo uniforme

La spira agisce quindi da generatore di fem alternata
E

La potenza erogata dal generatore vale
quindi
E0
pt  = E i = E0 I sin 2  t 
t
p
E0 I
i
I
t
t

Notate la reciprocità tra la funzione generatore e la
funzione motore!
Mutua Induttanza



Due bobine con campo magnetico variabile
Consideriamo il caso di un solenoide ideale, sezione S, con
avvolta sopra un’altra bobina:del resto il solenoide ha un
campo semplice B =  0 I1 N1 / l
Facciamo variare la corrente nel solenoide; la seconda
bobina intercetta un flusso variabile
fem 2 = - N 2 S

dB
S dI1
dI1
= -  0 N1 N 2
= - M 21
dt
l dt
dt
Se immettessimo la corrente
variabile nella seconda
bobina, il conto sarebbe più
complicato ma si otterrebbe
dI 2
fem1 = - M 12
dt
Mutua Induttanza


Inoltre si troverebbe che
M 12 = M 21
Se le due bobine fossero alimentate contemporaneamente,
comparirebbe anche il fenomeno dell’autoinduzione: varia il
flusso concatenato di ciascuna bobina come effetto della
variazione della propria corrente
dI1
dI 2
fem1 = - L1
- M 12
dt
dt
dI
dI
fem 2 = - M 21 1 - L2 2
dt
dt
Induttore


In generale anche con una sola bobina ci sarà autoinduzione
Il flusso concatenato sarà proporzionale alla corrente ed il
coefficiente di proporzionalità L si definisce induttanza
(B) = Li essendoB  i

L dipende da geometria e mezzo

Si misura in henry [H]
L = H
henry
1 H = 1 Wb/A = 1Vs/A = 1s
B
Induttanza di solenoide lungo
Il campo lo conosciamo

B =  0 in u z
Il flusso è N volte quello prodotto da B
T = N = nl SB = 0in Sl  L0 = 0 n Sl
2
2
Induttanza in un cavo coassiale
Ipotizziamo che il campo
magnetico sia non nullo solo
tra i due conduttori

i
B
C
A
D


l

2rB = 0i
Flusso attraverso ABCD:
Re
 0i
 0i
Re
 B  = 
ldr =
l ln
2
Ri
Ri 2r
Quindi l’induttanza è
Legge di Ampère (B non
dipende dall’angolo per
simmetria)
 0i
B=
i
2r
0
Re
L=
l ln
2
Ri
Trasformatore ideale


Immaginiamo di avere due solenoidi ideali concentrici e
che I2=0
È chiaro che
fem1 / fem2 = L1 / M = N1 / N 2

Dovendosi conservare la potenza, il rapporto tra le correnti
deve essere il reciproco
Transitorio in un circuito induttivo
Un induttore ideale non ha resistenza interna, uno
reale sì, e la si rappresenta separatamente
Il circuito diviene così un circuito RL





Se applichiamo una FEM esterna (pila) al circuito, la
2a legge di Kirchhoff:
di
- iR - L + E = 0
dt
Risolviamo con condizioni iniziali:
i=0 per t=0 ed i=E/R per t infinito
- t 
E
i = 1 - e  L  con = R / L
R

Transitorio in un circuito induttivo

Se cortocircuitiamo la pila quando il precedente
circuito è arrivato a regime invece - iR - L di = 0
dt
E - t
i=
R
e
L
Energia immagazzinata dal campo
magnetico



Se allontaniamo due cariche di segno opposto immagazziniamo energia
potenziale
Se allontaniamo due fili percorsi da corrente nello stesso verso: analogo
Ma quant’è l’energia immagazzinata? consideriamo il circuito di prima
di
- iR - L + E = 0
dt
Ei = i 2 R + Li
Potenza fornita
di
dt
Potenza Accumulata
Potenza dissipata

Integriamo la potenza accumulata dal campo magnetico per avere
l’energia
t
i
di
1
U L =  Li dt =  Lidi = Li 2
dt
2
0
0
Esempio: solenoide ideale
L’energia è
1 2
U = Li
2
1
2
=  0 ni  lS
2
La densità di energia: dividendo per il volume
U 1
1 2
2
u = =  0 ni  =
B
V 2
2 0
Se B ed H sono legate linearmente da :
1
2
= 0 H
2