Progetto di un solaio latero-cementizio: verifiche allo SLU ed allo SLE.

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2008/09
Progetto di un solaio
latero-cementizio:
verifiche allo
SLU ed allo SLE.
Bozza del 11/12/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2008/09
Verifiche: Prescrizioni Normative
Avendo definito la disposizione delle armature e l’andamento della sezione lungo l’asse del solaio è ora
possibile effettuare le verifiche. Oltre allo SLU, utilizzato come riferimento per la conduzione delle
operazioni di progetto, è necessario considerare anche lo Stato Limite delle Tensioni in Esercizio.
La verifica allo Stato Limite Ultimo per tensioni normali (flessione) consiste nel controllare che in ogni
sezione risulti:
MSd  MRd
Parimenti, allo per il soddisfacimento delle verifiche allo stato limite ultimo per taglio deve risultare:
VSd  VRd
Inoltre, allo Stato Limite di Esercizio deve essere controllata l’entità delle tensioni che si hanno nel
calcestruzzo e nell’acciaio. In condizioni ambientali poco o mediamente aggressive possono assumersi i
seguenti valori-limite per le tensioni (D.M. 14/01/2008 – 4.1.2.2.5.1):
- in corrispondenza della Combinazione di Carico Rara si deve avere
 c  0.60  fck
- in corrispondenza della Combinazione di Carico Quasi Permanente si deve avere
 c  0.45  fck
Per l’acciaio vale la seguente limitazione (D.M. 14/01/2008 – 4.1.2.2.5.2):
s  0.80  fsk
Il calcolo delle tensioni può avvenire considerando un comportamento lineare dei materiali e, dunque,
adottando la formula di Navier per le sezioni in c.a.. L’analisi sezionale (ovvero il calcolo dell’asse neutro
e del momento d’inerzia, necessari per l’applicazione della formula di Navier) può essere condotto
considerando un coefficiente di omogeneizzazione acciaio/calcestruzzo n pari a 15 per entrambe le
combinazioni considerate allo SLE.
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2008/09
Verifiche: Osservazioni e Commenti
In merito alle verifiche allo SLU si può introdurre la seguente semplificazione: i momenti resistenti
positivi e quelli negativi che si riferiscono alle sezioni in fascia piena e semipiena possono essere valutati
trascurando la eventuale presenza di armatura in zona compressa.
La verifica allo stato limite di esercizio può essere condotta in termini di momenti resistenti:
- per la combinazione rara:
Mrc 
In
 0.60  fck
yc
Mrs 
- per la combinazione quasi-permanente:
In
 0.45  fck
yc
n   d  yc 
 0.80  fsk
In
 0.80  fsk
n   d  yc 
Sebbene la Normativa vigente consenta di utilizzare un valore n=15, nel seguito viene effettuata – per
completezza – una ulteriore differenziazione tra la combinazione rara e quella quasi-permanente.
Poiché un calcestruzzo di classe C20/25 ha un
0.3 modulo di elasticità
0.3Ec pari a
 fck  8 
 20  8 
Ec  22000  
 22000  
  29962 MPa
 10 
10




E
210000
n0  s 
7
il coefficiente di omogeneizzazione dovrebbe essere valutato come segue:
Ec
29962
Per azioni permanenti (come quelle della combinazione quasi-permanente) si
Es
210000

 21
osservano nel calcestruzzo deformazioni di tipo viscoso che possono essere nqp 
E
29962
3
c,eff
valutate in ragione di un modulo di elasticità efficace Eeff=Ec/j da cui:
Mrc 
Mrs 
In
Per la combinazione rara che vede la presenza di azioni di lunga durata ed
azioni istantanee si può considerare un valore di n intermedio, ponendo:
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nr  n  15
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Nota
I calcoli esemplificativi che seguono sono stati condotti assumendo un acciaio FeB38k, un limite di
tensioni in esercizio per l’acciaio s=0.7 fsk e la formula per il taglio resistente VRd1 prevista nel D.M.
9/01/96.
Pur rimandendo tutto valido in linea di principio, gli studenti dell’a.a. 2008/09 dovranno seguire le
prescrizioni del D.M. 14/01/2008 e dunque assumere:
- Acciaio B450C;
-
s  0.80  fsk
1/3
- VRd 
0.18  k  100  l  fck 
c
Asl
l 
 0.02
bw  d
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 bw  d  min  bw  d
k 1
200
2
d
min  0,035  k3/2fck1/2
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10
40
10
40
Anno Accademico
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Sezione fascia semipiena
Momento negativo: Prima sezione di verifica
Inviluppo allo SLU
yc 
As  fsd
2  339  326

 25.11 mm
  b  f'cd 0.8  1000  11.0
60
MRd    b  yc  f'cd h  d'yc   0.8  1000  25.11  11.0  260  30  0.4  25.11 
 48.63  10 6 Nmm  48.63 kNm
Sezione fascia piena
3f12
1f12
60
SLS – Comb. Rara
yc, r 
In, r 
nr  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  57.61 mm
b
nr  As  As '


byc, r3
Mrc, r 
SLS – Comb. Q.Perm.
Mrs, r 
3
In, r
yc, r


 nr  As  (d  yc, r )2  As'( yc, r  d')2  3.686  10 8 mm 4
 0.60  fck
In, r
nr  d  yc, r 
3.686  10 8

 0.60  20  76.77  10 8 Nmm  76.77 kNm
57.61
 0.70  fsk 
40
40
b=100 cm
h=26 cm
d’=3 cm
3.686  10 8
 0.7  375  37.41  10 6 Nmm  37.41 kNm
15  230  36.24
nqp  As  As ' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  65.84 mm
b
nr  As  As'


3
byc, qp
In, qp 
 nqp  As  (d  yc, qp )2  As '( yc, qp  d')2  4.849  10 8 mm 4
3
In, qp
4.849  10 8
Mrc, qp 
 0.45  fck 
 0.45  20  66.29  10 8 Nmm  44.43 kNm
yc, qp
65.84
yc, qp 

Mrs, qp 
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In, qp

nqp  d  yc, qp

 0.70  fsk 

4.849  10 8
 0.7  375  36.92  10 6 Nmm  36.92 kNm
21  230  39.31
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Momento positivo: Prima sezione di verifica
Inviluppo allo SLU
yc 
As  fsd
2  113  326

 8.37 mm
  b  f'cd 0.8  1000  11.0
Sezione fascia corrente
3f12
MRd    b  yc  f'cd h  d'yc   0.8  1000  8.37  11.0  260  30  0.4  8.37  
 16.69  10 6 Nmm  16.69 kNm
1f12
10
SLS – Comb. Rara
yc, r
n  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
 r
  1  1 
  34.95 mm
b
nr  As  As'


In, r 
byc, r3
Mrc, r 
Mrs, r 
SLS – Comb. Q.Perm.
yc, qp 
In, qp 
yc, r


 0.60  fck 
In, r
nr  d  yc, r 
1.435  10 8
 0.60  20  49.25  10 8 Nmm  49.25 kNm
34.93
 0.70  fsk 
1.431  10 8
 0.7  375  12.92  10 6 Nmm  12.92 kNm
15  230  36.24
nqp  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  39.31 mm
b
nr  As  As'


byc, qp 3
Mrc, qp 
Mrs, qp 
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3
In, r
 n  As  (d  yc, r )2  As '( yc, r  d')2  1.435  10 8 mm 4
3
In, qp
yc, qp


 0.45  fck 
1.94  10 8
 0.45  20  44.43  10 8 Nmm  44.43 kNm
39.31
10
40
Sezione fascia semipiena
b=100 cm
h=26 cm
60
d’=3
cm
40
Sezione fascia piena
60
40
 n  As  (d  yc, qp )2  As '( yc, qp  d')2  1.941  10 8 mm 4
In, qp

40
nqp  d  yc, qp

 0.70  fsk 
1.941  10 8
 0.7  375  12.72  10 6 Nmm  12.72 kNm
21  230  39.31
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Ulteriori osservazioni
Per ogni tratto a sezione costante (o caratterizzato da variazioni di armatura o di sezioni non rilevanti
rispetto alla valutazione del momento ultimo e dei momenti resistenti in corrispondenza delle tensioni
limite) si possono valutare le caratteristiche resistenti.
Per i tratti a momento positivo e, in generale, nei casi in cui la larghezza della sezione resistente è
elevata, il momento resistente del calcestruzzo risulta assai maggiore delle corrispondenti
caratteristiche della sollecitazione, sia per la combinazione di carico rara che quasi-permanente. Per
questo motivo, se ne può omettere la rappresentazione.
Si sottolinea, ancora, che la scelta di due valori diversi per il coefficiente di omogeneizzazione
utilizzato nei calcoli per la combinazione rara e per quella quasi-permanente, benché giustificata dal
punto di vista meccanico (e per questo riportata per completezza in questo esempio) può essere omessa
assumendo n=15
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Momenti resistenti negativi
SLS – Comb. Rara
Inviluppo allo SLU
Sezioni
z
b
h
As '
2
As
yc
2
MRd
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[mm]
[kNm]
yc,r
In,r
4
Mrc,r
[mm]
[mm ]
[kNm]
SLS – Comb. Q.Perm.
Mrs,r
yc,qp
In,qp
4
Mrc,qp
Mrs,qp
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
1
0.00
1000
260
226
678
25.1
48.63
57.61
3.686E+08
76.77
37.41
65.84
4.849E+08
66.29
36.92
2
0.75
600
260
226
678
41.9
47.15
70.39
3.344E+08
57.00
36.66
79.68
4.346E+08
49.09
36.14
3
1.00
200
260
226
678
125.6
39.74
102.51
2.549E+08
29.84
34.99
112.88
3.238E+08
25.82
34.56
4
1.15
200
260
226
452
83.7
28.96
87.70
1.935E+08
26.48
23.80
97.11
2.501E+08
23.18
23.52
5
1.50
200
260
226
226
41.9
15.72
65.92
1.147E+08
20.89
12.24
73.34
1.517E+08
18.62
12.10
6
4.50
200
260
226
452
83.7
28.96
87.70
1.935E+08
26.48
23.80
97.11
2.501E+08
23.18
23.52
7
5.05
600
260
226
678
41.9
47.15
70.39
3.344E+08
57.00
36.66
79.68
4.346E+08
49.09
36.14
8
5.30
1000
260
226
678
25.1
48.63
57.61
3.686E+08
76.77
37.41
65.84
4.849E+08
66.29
36.92
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Momenti resistenti positivi
SLS – Comb. Rara
Inviluppo allo SLU
Sezioni
z
b
h
As'
2
As
yc
2
MRd
yc,r
In,r
4
Mrc,r
SLS – Comb. Q.Perm.
Mrs,r
yc,qp
In,qp
4
Mrc,qp
Mrs,qp
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[mm]
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
1
1.40
1000
260
226
226
8.4
16.70
35.75
1.433E+08
48.09
12.91
41.09
1.708E+08
37.40
11.30
2
1.60
1000
260
226
452
16.7
32.91
48.90
2.624E+08
64.39
25.35
57.09
2.888E+08
45.53
20.88
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Verifica allo SLU per Taglio
In corrispondenza delle stesse sezioni per le
quali sono stati calcolati i valori del momento
resistente
negativo
possono
essere
determinati i valori del taglio VRd1 e vanno
confrontati con i corrispondenti valori del
taglio sollecitante allo SLU:
VEd  VRd
1/3
Sezioni
z
b
h
As '
2
As
2
VRd
VSd
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[kN]
[kN]
1
0.00
1000
260
226
678
91.29
36.01
2
0.75
600
260
226
678
59.46
27.67
3
1.00
200
260
226
678
27.64
24.89
4
1.15
200
260
226
452
23.73
23.22
5
1.50
200
260
226
226
19.82
19.33
6
4.50
200
260
226
452
23.73
17.58
7
5.05
600
260
226
678
59.46
23.69
8
5.30
1000
260
226
678
91.29
26.47
9
6.10
1000
260
226
678
91.29
35.37
VRd 
0.18  k  100  l  fck 
c
 bw  d  min  bw  d