Appunti di politica economica 1 (c)

Parte prima: Gli obiettivi della politica economica (SEGUE)
Capitolo 4: Le scelte pubbliche: gli obiettivi secondo la funzione
del benessere sociale
• Misure, regole, funzione del benessere sociale di Bergson-Samuelson
e altri criteri
• Il teorema dell’impossibilità di Kenneth-Arrow
• La scelte pubbliche e gli obiettivi della politica economica
La funzione di benessere sociale
z1, z2, .., zn
W(z1, z2, .., zn) W: n
Stati del mondo
Per fare questo:
• rappresentazione delle preferenze individuali
• ipotesi sulla loro misura
• ipotesi sulla possibilità di effettuare confronti
• definire la regola di aggregazione W
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La rappresentazione delle preferenze individuali
Gli operatori di preferenza:
Proprietà di un ordinamento:
1) Forte
• preferenza stretta: xPy (x > y)
• completezza: per ogni (x, y) devo
potere dire se xRy, yRx, xRy &
yRx => xIy
• transitività: xRy & yRz => xRz
• indifferenza: xIy (x = y)
• preferenza debole: xRy (x  y)
2) Debole
• quasi-transitività: xPy & yPz =>
xPz
• aciclicità: xPy & yPz => xRz
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Ipotesi sulla misura delle preferenza
Definizione di una funzione
di utilità U(.)
• utilità cardinale: la misura
ammette tutte le operazioni
numeriche fondamentali
U: n
• utilità ordinale: la misura
ammette solamente valutazioni
di maggiore, minore o uguale
U(x)  U(y) sse xRy
In termini algebrici:
• cardinale in scala assoluta: U(.)
non ammette alcuna
trasformazione
• cardinale in scala relativa:
U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x), k > 0
• cardinale:
U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x) + h,
k>0
• ordinale:
U’(x) = U(x) se U’(x) = f(U(x)),
f ’> 0
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Ipotesi sul confronto (interpersonale) delle
preferenze
• confrontabilità piena (o assoluta): possiamo confrontare i livelli di utilità
degli individui
UA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)
• confrontabilità parziale (o relativa): si possono confrontare solo gli incrementi
di utilità ma non i livelli
UA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)
• inconfrontabilità: nessuna informazione sulle utilità di due individui è
confrontabile
UA(.) vs UB(.), UA(.) vs UB(.) ecc. con sv =(?)
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Il senso della ricerca teorica
I modelli che assumono le ipotesi più forti
giungono a conclusioni che sono più deboli,
mentre i modelli che assumono le ipotesi più
deboli giungono a conclusioni che devono
essere accreditate come più forti
Il senso della ricerca è di indebolire le ipotesi per
cercare conclusioni forti, le ipotesi più deboli sono
le funzioni di utilità ordinali & l’inconfrontabilità
interpersonale
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Le regole di aggregazione delle preferenze
• Il criterio di Vilfredo Pareto
• Il criterio di Nicholas Kaldor
• La funzione di benessere sociale di BergsonSamuelson
• La funzione di benessere sociale di BernoulliNash
• La funzione di benessere sociale di Rawls
• Il teorema di Kenneth Arrow (impostazione assiomatica)
• Il teorema di Amartya Sen (impostazione assiomatica)
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Il criterio di Pareto
I presupposti: individualismo etico; misura ordinale delle utilità;
inconfrontabilità personale
Enunciazione:
debole: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando
situazione se tutti gli individui hanno livelli più alti di utilità (cfr. la regola
dell’unanimità in senso forte)
forte: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando
situazione se almeno un individuo sta meglio mentre nessuno sta peggio (cfr.
la regola dell’unanimità in senso debole)
UA
NB: Il criterio consente
solo un ordinamento
parziale:
dPa , ePa
b, f, c vs a con vs = (?)
d vs e con vs = (?)
d
f
e
b
a
c
UB
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Il criterio di Kaldor (principio della compensazione)
UB
Il passaggio da a ad e:
a
UB < 0 & UA > 0
e
è irresolubile per Pareto
UA
Enunciazione: si introduce l’ipotesi di un indennizzo da A verso B(T), se
il vantaggio di A è così grande che può risarcire B e rimanere con un
vantaggio netto, allora ePa.
UB + TUB = 0 & UA - TUA > 0
ePa
NB: il principio dell’indennizzo è un criterio
“intellettuale” che non risolve problemi “distributivi”
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La funzione di Bergson-Samuelson
Principio di utilità (utilitarismo di Bergson): gli stati del mondo x,y .. (definiti
su n variabili zi) vengono valutati per l’utilità che inducono nei soggetti, Ui(z1,
z2, .., zn) con U:n
W = W(U1 ; U2 ; ... ; UN), W:N
W(U1(x), U2(x) ... ; UN(x)) > W(U1(y), U2(y) ... ; UN(y)) sse xPy
Funzione di benessere sociale
rispetto della condizione W/Ui  0
Principio della somma: che può essere
•semplice: W = U1 + U2 + … + U3 = i=1N Ui
•ponderata: W = a1U1 + a2U2 + ... + aNUN = i=1N aiUi , ai  0
NB: Chi sceglie ai  0? Se il dittatore è benevolente
ai = 1
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La funzione di Samuelson comporta la comparazione
interpersonale delle utilità
Esempio: il gioco delle 6 mele
x = {(6,0) (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5) (0,6)} con x = (qA , qB )
W = UA(x) + UB(x) quindi W = UA(qA) + UB(qB ) con qA + qB = 6
max W ==> dW/dqA = dUA/dqA + dUB/dqB  dqB/dqA = 0
ma dqB/dqA = - 1 ===> dUA/dqA - dUB/dqB = 0
Il problema può essere risolto solo tramite una comparazione delle utilità di A
& B.
NB: La regola di aggregazione della funzione di benessere sociale è una
regola debole poiché implica delle ipotesi forti sulla misura e sul
confronto delle utilità
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Altre funzioni di benessere sociale
• La funzione Bernoulli-Nash
propone il principio del
prodotto, che può essere:
• semplice:
W = U1  U2  ...  UN = i=1N Ui
• ponderato:
W = i=1N (Ui)ai
• La funzione di Rawls
la valutazione di uno stato
sociale dipende solo dal
benessere dell’individuo che si
trova nella situazione peggiore
Esempio: max W =>
(dUA/dqA):UA - (dUB/dqB):UB = 0
comporta un confronto delle utilità,
in senso relativo
W (U1; U2; ... ; UN) = min (Ui)
NB: Chi sceglie ai  0?
NB: La visione del mondo è quella
del più sfortunato
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L’impostazione assiomatica (Arrow & Sen)
Sia X = (x1, x2, .., xn) l’insieme degli stati del mondo, con n  3
Sia C una collettività di N individui, con N  2
Sia Ri un ordinamento di preferenza per l’individuo i.mo
Si dice profilo di preferenza ogni N-pla [R1, R2, …, RN]
Una regola di scelta collettiva (RSC) è una relazione funzionale
funzionale che specifica una, e soltanto una, relazione di preferenza
sociale R per ogni profilo di preferenza, ossia per ogni insieme di
ordinamenti individuali ==> R = F([Ri])
di cui
• Una funzione del benessere sociale (FBS ) è una regola di scelta
collettiva RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano degli
ordinamenti
• Una funzione di decisione sociale (FDS) è una regola di scelta collettiva
RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano una funzione di
scelta.
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Gli assiomi di Arrow:
• Condizione T di completezza della relazione binaria di preferenza sociale
debole R (xRy o yRx oppure entrambe) e di transitività di R (xRy e yRz
allora xRz)
• Condizione U del dominio universale: il dominio della funzione f deve
comprendere tutti gli ordinamenti individuali possibili; la società dovrebbe
darsi una struttura normata per risolvere tutte le possibili controversie
• Condizione P del principio di Pareto debole o dell’unanimità: se ciascun
individuo preferisce strettamente x ad y, allora anche la società deve preferire
x ad y
• Condizione I dell’indipendenza dalle alternative irrilevanti: la scelta sociale
tra ogni coppia di alternative deve dipendere dagli ordinamenti individuali su
quelle due alternative soltanto, e non anche dagli ordinamenti individuali sulle
altre alternative. Questo assioma è stato imposto da Arrow soprattutto per
un'esigenza di “economia” di informazioni
• Condizione D di non-dittatorialità: non deve esserci alcun individuo la cui
preferenza stretta su ogni coppia di alternative sia sistematicamente
rispecchiata nella relazione sociale di preferenza stretta.
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Teorema dell’impossibilità di Arrow:
prima versione: Non esiste alcuna funzione del benessere sociale (FBS) che
soddisfi le condizioni T, U, P, I, D
seconda versione: Qualunque funzione del benessere sociale (FBS) che soddisfi
le condizioni T, U, P, I pone un agente nelle condizioni di essere un dittatore.
Bet:vPyPxPu
Bet
v
y
Q2 u
y
Neutralità
uPv => xPy
w
xx
x
z
u
xPu & uPv & vPy => xPy
Alef: xPuPvPy
unanimità
Q1
Q3
Alef è il dittatore
Q4
v
Alef
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L’indebolimento degli assiomi di Arrow:poiché il teorema di Arrow
è vero, non è possibile scappare da esso se non rigettando o indebolendo alcuni
assiomi.
I più discussi: condizione U (eccessiva, poiché non tutte le situazioni sono
ugualmente probabili); condizione I (eccessiva, poiché troppo restrittiva);
condizione T (si propongono indebolimenti, quasi-transitività, aciclicità).
Altra strada: richiedere che la RSC sia una FDS (non una FBS)
• Teorema della possibilità di Sen: Per un insieme di stati sociali finito,
esiste una funzione di decisione sociale (FDS) che soddisfa le
condizioni U, I, P, D e la transitività della sola relazione di preferenza
sociale stretta P.
Inoltre, un teorema più generale che ritorna all’ideologia di un’oligarchia
(caso più generale della dittatura):
Teorema di Gibbard: Ogni funzione di decisione sociale (FDS) che
genera una R quasi transitiva e che soddisfa le rimanenti condizioni di
Arrow, deve essere oligarchica.
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Teorema dell’impossibilità di Sen: gli assiomi
di Sen:
•Aciclicità ==> FDS
Condizione P di unanimità: se ogni individuo preferisce
l'alternativa x all'alternativa y, allora la società deve preferire x ad y
•Condizione U di dominio non ristretto: ogni insieme logicamente possibile di
ordinamenti individuali è incluso nel dominio della regola di scelta collettiva
(RSC)
•Condizione L del liberalismo: per ogni individuo i, esiste almeno una coppia
di alternative (x, y) in X tale che, se questo individuo preferisce x a y, allora la la
società deve preferire x a y, e se questo individuo preferisce y a x, allora la la
società deve preferire y a x
Teorema dell'impossibilità di Sen: non esiste alcuna funzione di
decisione sociale (FDS), che possa soddisfare simultaneamente
le condizioni P, U e L
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Un solo volume: Amante di Lady Chatterly, Alef il puritano, Bet il libertino
x: Alef legge il libro
y: Bet legge il libro
Alef: z P x P y
z: nessuno legge il libro
Bet: x P y P z
Principio liberale (L) : ogni individuo è libero di leggere ciò che vuole
Dimostrazione:
z P x per il principio liberale (L) applicato ad Alef
y P z per il principio liberale (L) applicato a Bet
x P y per la condizione di unanimità (P)
x P y & y P z ==> x P z
ma il principio liberale è
in contraddizione con il
principio di Pareto
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UN COROLLARIO: la scelta sociale può essere “coerente” (non ciclica)
se un principio morale (ideologia) verrà imposto per tutta la collettività
•se prevale l’integralismo di Alef : z P x per la collettività
z P x & x P y ==> z P y la società pone all’indice il libro
impedendo la lettura a Bet
•se prevale l’ideologia lasciva di Bet: y P z per la collettività
x P y & y P z ==> x P z la società costringe Alef a leggere
il libro
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Dalle scelte pubbliche agli obiettivi
funzione
X
vX
C(v)
corrispondenza
Agenda fissa (v = X)
OBIETTIVI FISSI
Agenda variabile
OBIETTIVI FLESSIBILI
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Esempio: burro Q = 20 Lq , quindi
Lq = 20-2 Q2
esercito E = Le
Lq + Le = 100
possibilità di produzione (curva di trasformazione): E = 100 - 20-2 Q2 = T(Q)
A) Agenda fissa v* = (E,Q) | E  T(Q) ==> obiettivo fisso C(v*)
B) Agenda variabile v  X = (E,Q)  E  Em e Q  Qm 
==> obiettivo flessibile W = F(E, Q)
E
E
F: 2
T
P = max W
W°
C(v*)
W
Q
Q
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I teoremi “fondamentali” del dittatore benevolente
A) L’ottimo sociale del mercato di concorrenza perfetta
W° = a1R + a2 , con a1 , a2 > 0
 = Profitto del produttore
R = Rendita del consumatore
W = q f(x) dx - pq + (pq - C(q)) con  = a2 /a1
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max W ===> dW/dq = 0 cioè p = C’ + f ’q (1 - )/
 = 1 ==> p = C’
 > 1 ==> p > C’
 < 1 ==> p < C’
   ==> p + f’q = C’ , Rma= C’
NB: il teorema dell’efficienza
della concorrenza perfetta è
sostenuto dall’ipotesi del
dittatore benevolente
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B) L’ottimo sociale del sistema economia-ambiente
W° = a1B(q) - a2C(q)
B= beneficio privato del consumo di q
C = esternalità pubblica del consumo di q
W = B(q) - C(q)
max W ==> dW/dq = 0 ==> B’(q) = C’(q)
 = 1 ==> B’(q*) = C’(q*), q* = livello ottimo del consumo sociale
 > 1 ==> B’ < C’, q < q*
 < 1 ==> B’ > C’ , q > q*
NB: Il teorema del consumo
ottimo del sistema economicoambientale
A) e B) dimostrano
è sostenuto dall’ipotesi del
che l’ideologia è
dittatore
benevolente
determinante!
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Le (più usate) funzioni di preferenza sociale
x = x1 , x2, …, xn
W: n  
• lineare: W(x) = q0 + i=1n qi xi
W(x) = q0 + q’x + x’Qx
• quadratica generale: W(x) = q0 + i=1n qi xi + i=1n j=1n qij xi xj
• quadratica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1n qii xi2
• cubica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1n qii xi2 + 1/3 i=1n rii xi3
• esponenziale: W(x) = q0 + i=1n e qixi
• logaritmica: W(x) = q0 + i=1n qi log xi
eclettiche
q0  0
qi, qii, qij
ponderazioni
della politica
• integrale, ecc.
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Le funzioni di perdita: P(x) = (x - x*)’Q (x - x*)
x* valori dello state of bliss
Esempio: P = ½(v - v*)2 + ½(u - u*)2 , valori desiderati (u*, v*)
v
State of
bliss
v*
S
v*
u*
u
u**
u*
NB: le funzioni di preferenza possono essere obiettivi flessibili
di massimo (benessere, profitti) o di minimo (costi sociali); le
funzioni di perdita sono sempre obiettivi flessibili di minimo
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Uomo economico
Funzioni di utilità
obiettivo
Uomo politico
Funzioni di preferenza
?
A) perché i politici non sempre
sono capaci di esplicitarle
B) perché non hanno quasi mai
convenienza da esplicitarle
dell'economia
politica
Problema duale
Metodi
1) metodo diretto ==> intervista “fittizia”,
desunta dai programmi
2) metodo indiretto ==> “indotta” dalle azioni
(funzione di reazione)
della politica
economica
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