Leonhard Euler - Gioia MATHESIS

Buon Compleanno Eulero!
Nonostante i tuoi
3 x 102 anni sei sempre
il più interessante. Auguri!

Leonhard Euler
« Eulero calcolava senza sforzo
apparente, così come gli uomini
respirano o le aquile si sostengono nel
vento »
A 300 anni dalla nascita,
il mondo intero lo ricorda !
Le opere

Leonhard Euler conosciuto in Italia
come Eulero, nasce a Basilea il 15
Aprile del 1707 ; si interessa di
Matematica e di Fisica e per questo è
considerato il più importante
Matematico dell'Illuminismo. Allievo
di Johann Bernoulli, è noto per
essere” tra i matematici più prolifici di
tutti i tempi” e per aver regalato alla
storia della Matematica pagine di
notevole interesse scientifico in
diverse aree del sapere: analisi
infinitesimale, funzioni speciali,
meccanica razionale, meccanica
celeste, teoria dei numeri, teoria dei
grafi.


Eulero ha dato il suo
nome a una quantità
“impressionante” di
formule, teoremi,
metodi, criteri, relazioni,
equazioni.
In geometria: il cerchio,
la retta e i punti di
Eulero relativi ai
triangoli, più la
relazione di Eulero, che
riguardava il cerchio
circoscritto a un
triangolo.
Teoria dei numeri e meccanica

Nella teoria dei numeri:
il criterio di Eulero, l'
indicatore di Eulero, l'
identità di Eulero, la
congettura di Eulero;
nella meccanica: gli
angoli di Eulero, il
carico critico di Eulero
(per instabilità)
Angoli di Eulero
Analisi,teoria dei grafi,algebra,calcolo differenziale

Nell'analisi: la costante di
Eulero-Mascheroni; in
logica: il diagramma di
Eulero-Venn; nella teoria
dei grafi: (di nuovo) la
relazione di Eulero;
nell'algebra: il metodo di
Eulero (relativo alla
soluzione delle equazioni
di quarto grado); nel
calcolo differenziale: il
metodo di Eulero
(riguardante le equazioni
differenziali).
Eulero e la Fisica

Anche se il nome di Eulero è legato
prevalentemente alla Matematica ,come
scienziato fornì importanti contributi anche alla
Fisica e in particolare alla meccanica classica e
celeste. Per esempio sviluppò l'equazione di
fascio di Eulero-Bernoulli e le equazioni di
Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di
molte comete.
Identità di Eulero

“La prima volta che ci si
imbatte nella formula di
Eulero non si può fare a
meno di rimanere scioccati,
oltre che un po' increduli, di
fronte al mistero che la sua
semplicità racchiude in così
pochi simboli. Numeri che
provengono da contesti della
matematica completamente
diversi incrociano i loro
destini in una uguaglianza
che più semplice non si
poteva:”
eiπ + 1 = 0
La Formula di Eulero per i Poliedri

La caratteristica di Eulero χ fu definita inizialmente per i
poliedri, con la formula
 χ = V − S + F,
dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici,
spigoli e facce del poliedro. La formula di Eulero
asserisce che
 χ=V−S+F=2
per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente
connessi.
I poliedri convessi rientrano in questa categoria.
Esempi di poliedri convessi

La formula di Eulero può essere usata per
dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:
Tetraedro
Dodecaedro
Cubo
Icosaedro
Ottaedro
Leonardo Eulero e i ponti di
Königsberg
A Königsberg in Prussia c’è un'isola A, chiamata der Kneiphof, e il
fiume che la circonda si divide in due rami, come si può vedere in
figura;i rami di questo fiume sono muniti di sette ponti a, b, c, d, e,
f, g.
Circa questi ponti veniva posta questa domanda, si chiedeva se fosse
possibile costruire un percorso in modo da transitare attraverso
ciascun ponte una e una sola volta. E mi fu detto che alcuni
negavano ed altri dubitavano che ciò si potesse fare, ma nessuno
lo dava per certo.
Da ciò io ho tratto questo problema generale: qualunque sia la
configurazione e la distribuzione in rami del fiume e qualunque sia
il numero dei ponti, si può scoprire se è possibile passare per ogni
ponte una ed una sola volta?
La funzione di Eulero
La funzione di Eulero associa a un numero intero n il numero dei
numeri interi primi con n e minori di n (compreso l'uno); è una
funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti
teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per n = 6 la
funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6
sono solo 1 e 5; per n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo
tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di
Eulero di un numero n si indica di solito con Φ(n). Si dimostra che
Φ(n) = n(1 - 1/n1)(1 - 1/n2)...(1 - 1/nm)
dove n1, n2 ... nm sono i fattori primi distinti di n. Se n è primo allora
ovviamente Φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q,
è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1). Infatti Φ(n) = pq(1 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la
formula data.
Metodo di Eulero

Se abbiamo l’equazione ax + by = c ha sempre una e una
sola soluzione x1 e y1 con 0 ≤ x1 ≤∣b∣ e una con x2 e y2
con 0 ≤ y2 ≤∣a∣
Le due soluzioni possono coincidere.

ponendo x = 0,1,…,∣b - 1∣
Questo metodo è conveniente per coefficienti piccoli
Interpretazione grafica del
metodo di Eulero
I quadrati greco – latini di Eulero
Anche Eulero come molti altri matematici suoi colleghi, si è occupato dello
studio dei quadrati magici battezzandone una “nuova specie” con il nome di
quadrati greco-latini. Oggi, dopo due secoli tornano di moda ,con il nome di
“Sudoku”: un gioco che mette alla prova le qualità di ragionamento e di
intuizione caratteristiche del vero matematico.
In figura, a sinistra il quadrato latino, al centro il quadrato con le
lettere greche e a destra il quadrato greco/ latino, ottenuto
semplicemente dalla sovrapposizione dei due precedenti.
Eulero e i “Colleghi”

Eulero tenne contatti con numerosi matematici
del suo tempo; in particolare intrattenne una
lunga corrispondenza con Christian Goldbach
confrontando con lui alcuni dei propri
risultati.La cosa fu scambievole infatti anche
Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua
famosa e ancor oggi irrisolta “congettura.
Lettera di Goldbach ad Eulero, 1742
Il Teorema di Fermat-Eulero
Enunciato
Dati due qualsiasi numeri m ed N primi tra di loro
allora è:
mΦ(N) = 1 (mod N)
o anche
mΦ(N) - 1 = 0 (mod N)
Se poi N è primo allora
Φ(N) = N - 1

I Francobolli Commemorativi
Le Banconote
Questa
banconota da 10
franchi in uso
dal 1976 al 1995,
rende omaggio al
grande Eulero.
Le Lettere di Eulero (1787)
“Per esprimere sensibilmente la
natura di queste quattro spezie di
proposizioni, possiam rappresentarle
per mezzo di figure, le quali son di un
gran soccorso per ispiegare con
somma distinzione qual sia l’esattezza
di un raziocinio. E poiché una nozione
generale contiene un’infinità di oggetti
individuali, si può supporre a guisa di
uno spazio, in cui questi oggetti son
racchiusi: per esempio si forma uno
spazio per la nozione di uomo (Tav. 1.
fig. 1.) in cui si suppone che tutti gli
uomini sien radunati.”
A
Tav. 1. fig. 1.
E ancora….
Per la nozione di mortale se ne forma un
altro (Tav. 1. fig. 2.) dove si suppone che
sia compreso quanto vi è di mortale.
E quando io pronunzio che tutti gli
uomini son mortali, intendo che la
prima figura sia contenuta nella
seconda.
B
Tav. 1. fig. 2.
B
A
Tav. 1. fig. 3
Dunque la rappresentazione di una proposizione universale affermativa sarà quella
della Tav. 1. fig. 3., in cui lo spazio A che dinota il soggetto della proposizione vien
tutto intero racchiuso nello spazio B che è il predicato” (lettera CII, 14 febbraio 1761,
II, pp. 111-112).
“
Questi cerchj o sien questi spazj (imperciocché è indifferente qualunque figura lor
si dia) son molto a portata per facilitare le nostre riflessioni sopra questa materia,
e per metterci in chiaro quanti misteri la logica si vanta di avere, i quali somma
pena han costata per poterli dimostrare, mentre coll’ajuto di tai segni in un istante
tutto salta agli occhi... Quanto sin qui si è detto può essere sufficiente a far capire
a Vostra Altezza , che tutte le proposizioni possono essere rappresentate con
figure; ma il massimo vantaggio si manifesta ne’ raziocinj, i quali qualora si
esprimon con parole chiamansi sillogismi, in cui si tratta di tirare una conclusione
esatta da alcune date proposizioni. Con tale invenzione noi potremo subito
scandagliare le giuste forme di tutti i sillogismi.
Cominciamo da una proposizione affermativa universale ogni A è B... Se la
nozione C è contenuta interamente nella nozione A, sarà contenuta anche
interamente nello spazio B (Tav. 1. fig. 8.), donde risulta questa forma di
sillogismo
Ogni A è B
Ma
Ogni C è A
Dunque
e quest’ultima è la conclusione
B
Tav. 1. fig. 8.
A
C
Ogni C è B
Per esempio. Disegni la nozione A tutti gli alberi, la nozione B tutto ciò che ha
radici, e la nozione C tutti i ciriegi, in tale caso il nostro sillogismo sarà il
seguente
Ogni arbore ha radici
Ma
Ogni ciriegio è un arbore
Dunque Ogni ciriegio ha radici”
(lettera CIII, 17 febbraio 1761, II, pp. 113 e 115-116
Bibliografia
•Wikipedia, l'enciclopedia libera.
•E. Castelnuovo,La matematica, Ed. La Nuova Italia
•Courant,Robins,Che cos’è la matematica,Ed.
Boringhieri
•Lucio Lombardo Radice,Istituzioni di Algebra
Astratta, Ed Feltrinelli