La funzione di produzione Cobb-Douglas in forma intensiva

IL CONTRIBUTO DEL PROGRESSO TECNICO ALLA CRESCITA ECONOMICA.
Il monito di Keynes: la nuova malattia
"Dai tempi più remoti di cui abbiamo conoscenza (diciamo duemila anni prima di Cristo) fino all'inizio del XVIII secolo, il livello di
vita dell'uomo medio, che vivesse nei centri civili del mondo, non ha subito grandi mutamenti. (...) Questo lento tasso di progresso,
ovvero questa mancanza di progresso, era dovuto a due motivi: l'assenza vistosa di miglioramenti tecnici di rilievo, e la mancata
accumulazione di capitale".
«Nel giro di pochi anni, intendo dire nell’arco della nostra vita, potremmo essere in grado di compiere tutte le operazioni dei settori
agricolo, minerario, manifatturiero con un quarto dell’energia umana che eravamo abituati ad impegnarvi. Per il momento, la
rapidità stessa di questa evoluzione ci mette a disagio e ci pone problemi di difficile soluzione. I paesi che non sono all’avanguardia
del progresso ne risentono in misura relativa. Noi, invece, siamo colpiti da una nuova malattia di cui alcuni lettori possono non
conoscere ancora il nome, ma di cui sentiranno molto parlare ne prossimi anni: vale a dire la disoccupazione tecnologica. Il che
significa che la disoccupazione dovuta alla scoperta di strumenti economizzatori di manodopera procede con un ritmo più rapido di
quello con cui riusciamo a trovare nuovi impieghi per la stessa manodopera».
J.M. Keynes «Prospettive economiche per i nostri nipoti»,
Ottobre 1930, in Esortazioni e profezie, Garzanti, Milano 1968
Le origini del problema
Per Harrod e Domar, i fondatori delle moderne teorie della crescita, il tasso di crescita potenziale (ipotizzato costante)
è stato posto uguale alla somma tra il tasso di crescita della popolazione lavorativa (lP) e il tasso di crescita
della produttività del lavoro (z). Quest’ultimo rifletterebbe in qualche misura gli effetti del progresso tecnico.
In quelle teorie il confronto tra il tasso di crescita potenziale ( yP = z + lP ) ed il tasso di crescita (effettivo e/o
garantito) dava luogo al fenomeno della instabilità.
Restavano tuttavia aperte due questioni:
1)
La misurazione degli effetti del progresso tecnico sulla crescita della produttività del lavoro (uno dei due
elementi da cui dipende la sua costanza del tasso di crescita potenziale);
2)
La spiegazione della costanza del tasso di crescita del reddito, dovuta sia dalla costanza della propensione al
risparmio che da quella del coefficiente capitale prodotto.
La teoria di Solow cercherà di fornire una spiegazione (ancorché soggetta a stringenti limitazioni) ad entrambe le
questioni, anche se, in realtà, restava da chiarire la natura esogena/endogena del tasso di crescita della
popolazione e la costanza della propensione al risparmio. Inoltre, i primi studi sulle modificazioni strutturali
che accompagnano lo sviluppo economico hanno messo in luce come tali modificazioni siano la conseguenza
degli effetti del progresso tecnico. Ma che cos’è il progresso tecnico? Come si manifesta? E quali sono i suoi
effetti sulla crescita e sullo sviluppo economico? E’ quanto ci promettiamo di indagare.
Definizione e classificazione del progresso tecnico
Conoscenze tecnologiche e progresso tecnico
Stato iniziale delle conoscenze tecnologiche
Scoperta
Invenzione
Innovazione
(progresso tecnico)
secondo la causa
esogena
secondo il tipo di applicazione
endogena
di processo
secondo gli effetti
diffusi
di prodotto
in base alle caratteristiche
incorporati
neutrale
Nel senso di Hicks
Nel senso di Harrod
(lascia immutato il
grado dell'intensità di capitale)
(lascia immutato il
coefficiente capitale/prodotto)
Stato finale delle conoscenze tecnologiche
non neutrale
Un modello dinamico che descrive l’evoluzione del progresso tecnico
Se le innovazioni avvengono con un flusso continuo:
progressotecnico






 t   t 1 

 



t 1 


tasso di  crescita


del  progressotecnico


 t   0 1   

t
La cui
soluzione è
Il sentiero temporale di
crescita dellostato delle
conoscenze tecnologiche
Questo modo di considerare il progresso tecnico è molto comodo da un punto di vista analitico, ma
non è del tutto realistico. Secondo Joseph Alois Schumpeter (1883-1950), il flusso delle innovazioni
non è mai continuo, ma procede «per salti» e le innovazioni hanno un effetto di «distruzione
creatrice».
La teoria della funzione di produzione aggregata
La teoria di Solow si basa su una funzione di produzione aggregata (FDA). Essa postula che, dato lo stato delle conoscenze tecnologiche e
supponendo che i fattori produttivi capitale e lavoro siano dotati di un certo grado di sostituibilità, il processo produttivo possa essere
rappresentato mediante la combinazione più efficiente tra i fattori produttivi:
stato-delle
conoscenze
tecnologiche
Yt  f (


stosk-di
lavoro
, Kt


, Lt )
stock di
capitale
La FDA possiede le seguenti caratteristiche:
1. ha una elasticità di sostituzione unitaria;
2. appartiene alla classe delle funzioni omogenee;
3. le elasticità parziali dei fattori sono costanti;
4. la somma delle elasticità parziali indica i rendimenti di scala:
Assumendo la forma
moltiplicativa proposta da
Cobb e Douglas in assenza
di progresso tecnico


Yt  K t Lt
 jKt  ( jLt ) = j  Kt Lt  j Yt
L’elasticità di sostituzione (ES) misura il grado di
sostituibilità tra i fattori produttivi che varia tra zero
(perfetta complementarietà) e infinito (perfetta
Le sostituibilità).
elasticità parziali
sono
due
Nella
Cobb-Douglas
tale elasticità è
numeri
unitariamente costante.
   = 1  r. costanti
   > 1  r. crescenti
   < 1  r. decrescenti.
La forma intensiva della FDA in assenza di progresso tecnico
•
In assenza di progresso tecnico e se i rendimenti sono costanti, la FDA assume la seguente forma:
Yt  K t L1t
Sfruttando la proprietà delle funzioni omogenee e ponendo il fattore moltiplicativo j = 1/L si potrà passare alla corrispondente
forma “intensiva”:

1
1  1  1   
K
Z ( Yt )  K t Lt  K t Lt Lt   
L
L
L
 L t
•
Pertanto, nella forma statica (nei livelli) e intensiva il prodotto per addetto varierà in funzione esclusivamente del
grado dell’intensità di capitale (K/L). In assenza di progresso tecnico, quindi, il prodotto per addetto (la produttività del
lavoro) potrà aumentare solo se il grado dell’intensità di capitale aumenta.
La rappresentazione grafica della FDA Cobb-Douglas in forma intensiva
In assenza del progresso tecnico e in regime di rendimenti costanti il prodotto per addetto
aumenta all’aumentare del grado dell’intensità di capitale.
Z
K
Z t   t
 Lt




K/L
La relazione tra il prodotto per addetto e il coefficiente capitale prodotto
Con la funzione di produzione Cobb-Douglas in forma intensiva, il rapporto tra il prodotto per addetto e il grado dell’intensità di
capitale coincide con il reciproco del coefficiente capitale prodotto. Quest’ultimo varierà pertanto inversamente al variare del grado
dell’intensità di capitale
Z
 Y 
Z

 L  Y  1
K
K
v
L
Z’’
Z’
1/v’’
1/v’
K/L
(K/L)’
(K/L)’’
Implicazione: il coefficiente capitale prodotto non è più costante
Diversamente da quanto ipotizzato da Harrod e Domar, con una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas in
forma intensiva il coefficiente capitale prodotto anziché rimanere costante aumenterà all’aumentare del grado
dell’intensità di capitale (e il suo reciproco diminuirà).
1/v
1/v
K/L
La FPA nei tassi di crescita in assenza di progresso tecnico

Y0 (1  y)  K 0 (1  k )
Quando tutte le variabili cambiano nel
tempo in base a
tassi di crescita costanti si avrà che:
t
 L (1  l) 
t 
t 1
0
Passando ai logaritmi e applicando le regole di manipolazione si otterrà:

k

y

1   l


contributo apportato
dallacrescita del capitale
  k  l   l
contributo apportato
dallacrescita del lavoro
Sottraendo da ambo i lati il tasso di crescita del lavoro si ottiene agevolmente
l’espressione del tasso di crescita della produttività del lavoro:
tasso di  crescita
del  capitale per  ad det to
y l

tasso di  crescita
del  prodotto per
ad det to


k  l 
z
Il tasso di crescita della produttività del
lavoro si potrà quindi rappresentare come
una retta avente pendenza pari
all’elasticità parziale del capitale
La rappresentazione grafica della FPA nei tassi di crescita
(in assenza di progresso tecnico)
In assenza di progresso tecnico, la funzione di produzione Cobb-Douglas in forma intensiva e nei tassi di crescita si potrà quindi
rappresentare graficamente come una retta uscente dall’origine degli assi avente una pendenza pari all’elasticità parziale del capitale.
In base a questa interpretazione la produttività del lavoro potrà aumentare solo se aumenta il grado dell’intensità di capitale.
z
Si noti che qualora il capitale ed il lavoro crescessero allo stesso tasso il
tasso di crescita della produttività sarebbe uguale a zero ed il livello
della stessa rimarrebbe costantemente al suo valore iniziale ( Zt
= Z0)
z =  (k-l)
k-l
il tasso di crescita del reddito in presenza di progresso tecnico
• Assumiamo, innanzitutto, che le
innovazioni siano esogene, diffuse e che
t   0 1   
t
il loro flusso sia continuo:
• Assumiamo, inoltre, che la funzione di
produzione sia di tipo Cobb-Douglas a
rendimenti di scala costanti e che il
progresso tecnico sia esogeno, diffuso e
accrescitivo di entrambi i fattori
Yt   At Kt  , Bt Lt 

1
(ancorché in modo differente). La
funzione di produzione assumerà la
forma riportata a lato (dove At e Bt sono
Tasso di crescita delle unità di
efficienza del lavoro
gli indici dello stato della tecnologia
Tasso di crescita delle unità di
efficienza del capitale
rispettivamente per il capitale ed il
lavoro) :
• Espressa nei tassi di crescita questa
relazione diviene:
y   a  k   1   b  l 
Il tasso di crescita della produttività in presenza di progresso tecnico:
•
Espressa in questi termini la
produzione potrà crescere anche se i
fattori produttivi non crescono.
•
Ovvero:
•
Se i fattori crescono, operate le
opportune manipolazioni otteniamo:
•
Da questa relazione è agevole passare
alla corrispondente espressione del
tasso di crescita della produttività:
•
Il primo termine rappresenta il
contributo imputabile alla dinamica
del capitale per addetto e la parte Contributo derivante dalla
restante il contributo del progresso crescita dei fattori produttivi
tecnico
•
Notiamo infine che qualora il
progresso tecnico fosse accrescitivo di
entrambi i fattori produttivi nello
stesso identico modo (per cui a=b=)
si ridurrebbe a:
y   a  0  1   b  0
Contributo derivante
dalla crescita dei fattori
produttivi
del progresso
y Effetti
tecnico
a  1   b
y   k  l    a  b  b  l
z   k  l    a  b  b
Contributo derivante dal
progresso tecnico
z   k  l   
La TFP e la neutralità del progresso tecnico nel senso di Hicks e la TFP
•
Sappiamo che:
•
La TFP è definita come ciò che resta del
tasso di crescita della produttività al netto
del contributo apportato dai fattori
produttivi. Nel nostro caso si avrà che, sulla
base delle ipotesi poste , la TFP
corrisponderebbe esattamente al tasso di
crescita del progresso tecnico.
•
Rammentando che il progresso tecnico
neutrale nel senso di Hicks implica che i
fattori produttivi crescano allo stesso tasso
(k = l ) si giunge alla conclusione
paradossale che in condizioni di crescita
uniforme (ossia per y = k = l ) la sola
possibilità che si verifichino tutte le
condizioni poste dalla teoria comporta
l’assenza del progresso tecnico!
z   k  l   
TFP 
  k  l   



  k l 
z
contributo dei
fattori produttivi
TFP  z  y  k     0

per  y  k
La TFP e la neutralità del progresso tecnico nel senso di Harrod
•
Accortosi di questa limitazione, Solow, ha
dovuto successivamente convenire che la sola
forma di progresso tecnico compatibile con la
sua teoria si riduce al caso in cui le innovazioni
siano neutrali nel senso di Harrod. In tal caso, la
FPA assume la forma:
•
Che nei tassi di crescita diviene:
•
Dalla quale otteniamo agevolmente il tasso di
crescita della produttività del lavoro:
•
Osserviamo ora che poiché in una situazione di
crescita quasi uniforme si avrà che y = k > l
l’espressione del tasso di crescita della
produttività diviene:
•
Da quest’ultima relazione si deduce che con il
progresso tecnico neutrale nel senso di Harrod il
tasso di crescita della produttività viene a
coincidere esattamente con il tasso di crescita
del progresso tecnico accrescitivo del solo lavoro
Yt  Kt Bt Lt 
1
y   k  l   b1     l
z   k  l   b1   
z    y  l  b1   
(  y l )
z
z
( per  y k )
b
Gli effetti del progresso tecnico sul livello della produttività a parità di capitale per addetto
A parità di grado dell’intensità di capitale, la presenza di progresso tecnico esogeno, diffuso e neutrale nel senso di Harrod
provocherebbe uno spostamento verso l’alto della funzione di produzione aggregata.
K
Z t   t
 Lt
Z

 1
 B

 Kt
Zt  
 L
 t
Zconpt
Zspt
Effetto imputabile al
progresso tecnico
(K/L)’
K/L





Gli effetti del progresso tecnico sul livello della produttività quando aumenta il capitale per addetto
Con riguardo a due distinte situazioni di crescita quasi uniforme, una in assenza e l’altra in presenza di progresso tecnico ancorché
neutrale nel senso di Harrod, il prodotto per addetto aumenta in conseguenza di un duplice effetto: a) lo spostamento lungo la curva e b)
lo spostamento della curva.
Z
K
Z t   t
 Lt
Effetto imputabile al p.t.
Effetto imputabile all’aumento di
K/L
1/v
(K/L)’
(K/L)’’
K/L

 1
 B

 Kt
Zt  
 L
 t





Gli effetti del progresso tecnico neutrale nel senso di Harrod sulla crescita della produttività
In presenza di progresso tecnico (esogeno, diffuso e neutrale nel senso di Harrod), la funzione di produzione Cobb-Douglas intensiva e nei
tassi di crescita, si potrà rappresentare sempre come una retta avente la stessa pendenza, ma con un’intercetta positiva pari al prodotto
tra la quota di reddito destinata al lavoro e il tasso di crescita del progresso tecnico. A parità del grado dell’intensità di capitale, la
presenza del progresso tecnico comporterà un aumento del tasso di crescita del prodotto per addetto.
z
z   k  l   1   b
z   k  l 
1   b
Con p.t.
Senza p.t.
Effetto del p.t.
k-l
La crescita della produttività con il progresso tecnico neutrale nel senso di Harrod
La funzione di produzione Cobb-Douglas è compatibile con il progresso tecnico neutrale sia nel senso di Hicks, sia in quello di
Harro, ma solo quest’ultima è compatibile con la (quasi) crescita uniforme.
z
y=k
In condizioni di crescita quasi uniforme, ossia per k=y questo fattore
diviene = z.
Raccogliendo a fattor comune e semplificando si ottiene che z=b
z   k  l   1   b
b
1   b
45°
(k - l)in condizione di k=y
k-l
Conclusione: se il progresso tecnico è neutrale nel senso di Harrod e in condizione di crescita quasi-uniforme, il prodotto per addetto
crescerà ad un tasso esattamente uguale al tasso di crescita del progresso tecnico.
Conclusione sulla TFP e la neutralità del progresso tecnico
•
La sola forma di progresso tecnico compatibile con le ipotesi tradizionalmente assunte dalla
teoria della funzione di produzione aggregata, congiuntamente all’ipotesi che la crescita
avvenga in maniera quasi uniforme, è che le innovazioni debbono essere esogene, diffuse e
neutrali nel senso di Harrod (vale a dire, accrescitive del solo lavoro).
•
Per comprendere le ragioni per le quali questa teoria possiede tuttora un certo seguito occorre
considerare che lo stesso Solow è riuscito a dimostrare che, sotto certe ipotesi, le elasticità
parziali della funzione di produzione verrebbero a coincidere con le quote distributive. Nel qual
caso, in regime di rendimenti costanti sarebbe sufficiente conoscere la quota di reddito che va
ad uno dei fattori produttivi e il tasso di crescita del capitale per addetto per poter operare la
scomposizione del tasso di crescita del reddito (e/o del tasso di crescita della produttività) nelle
sue componenti, ottenendo per differenza il contributo apportato dal progresso tecnico.
Conclusione sulla teoria di Solow della FPA
Nella misura in cui si postula che:
1.
il processo produttivo possa essere rappresentato mediante una funzione di produzione aggregata e
omogenea;
2.
che la funzione di produzione aggregata sia una Cobb-Douglas a rendimenti di scala costanti;
3.
che il progresso tecnico sia un fenomeno totalmente esogeno, diffuso e neutrale nel senso di Harrod;
4.
le elasticità (costanti) della Cobb-Douglas corrispondano alle quote distributive,
allora (e solo allora), in condizioni di crescita quasi uniforme, il prodotto per addetto crescerà allo stesso tasso di
crescita del progresso tecnico e quest’ultimo coinciderà esattamente con la TFP.
Inoltre, secondo alcuni autori nel caso di rendimenti costanti le stime della FPA Cobb-Douglas sarebbe viziata da un
errore di identità. In aggiunta, in base alle verifiche empiriche condotte con altre metodologie il regime prevalente
nelle attività manifatturiere sarebbe quello dei rendimenti crescenti e non costanti come ipotizzato dalle
interpretazioni basate sull’uguaglianza delle elasticità parziali con le quote distributive.