NUMERI COMPLESSI

NUMERI COMPLESSI
j  1
unità immaginaria
j 2  1
nella soluzione di una equazione di secondo grado
2

b

b
 4ac
2
ax  bx  c  0  x 
 x1 , x2
2a
2
per b  4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo
e x1, x2 sono numeri complessi
1
FORMA ESPONENZIALE
numero complesso x=α+jβ
Formule di Eulero
Im
β
e j  cos   j sin 
x

e  j  cos   j sin 

α
Re
coordinate polari (modulo - argomento)
  x   2  2 ;


  arg x  arctg    tg 1  


relazioni inverse:
cos  



;    cos   x cos 

2  b2
sin  



;    sin   x sin 

 2  2
e j  e  j
e j  e  j
cos  
; sin  
2
2j
e j  e  j 
e j   e  j
x    j  
 j
2
2j



 j  j
e  e  e j   e  j   e j   x e j
2
x  xe
jArg[ x ]
 e
j
x    j   cos   j sin 
2
OPERAZIONI
x    j  x e j
Complesso coniugato:
x*    j  x e j
Reciproco di un numero complesso:
1
1
  j


1
1  j
x  
 2
 2
j 2

 e
2
2
2
j
x   j   
 
 
xe
x
1
   2   2 cos ;    2   2 sin 
3
OPERAZIONI
x    j  x e j
y    j  y e j
Somma tra due numeri complessi:
x  y  (  j)  (   j)  (   )  j (  )
Prodotto tra due numeri complessi:
xy  (  )  j (  )  x y e j ()
Rapporto tra due numeri complessi:
x   j (  j)(   j)   
   x j ( )


 2
j 2
 e
2
2
2
2
y   j
 
 
 
y
4
SEGNALI CERTI
Un segnale certo può essere descritto mediante una funzione x(t) reale o complessa:
I segnali complessi x(t) sono rappresentati da due funzioni del tempo che possono essere:
parte reale e immaginaria
x( t )  xRe ( t )  jxIm ( t )
forma cartesiana
modulo e fase
x( t )  x( t ) e jArg [ x( t )]
forma polare
da forma cartesiana a polare
x( t )  xRe ( t )2  xIm ( t )2
sempre > 0
 x (t )
Arg[ x( t )]  tan 1  Im

x
(
t
)
 Re

da forma polare a cartesiana
Re  x( t )  xRe ( t )  x( t ) cos[ Arg( x( t ))]
Im  x( t )  xIm ( t )  x( t ) sin[ Arg( x( t ))]
5
Esercizio:
Dato il segnale complesso x(t) descritto in forma cartesiana dai grafici:
Re{x(t)}
Im{x(t)}
1
1
-T0/4
t
-T0/2
T0/2
T0/4
t
-1
per la parte reale
per la parte immaginaria
Determinare la sua descrizione in forma polare cioè in termini di modulo
e fase.
Soluzione:
x(t )  Re 2  Im2
 Im 
Arg x( t )  arctg  
 Re 
|x(t)|
Arg{x(t)}
2
+/4
-T0/4
-T0/2
-T0/4
per il modulo
T0/4
T0/2
t
T0/4
-/4
t
per la fase
6