GEOMETRIA NELLO SPAZIO.pps

RETTE E PIANI NELLO
SPAZIO
- Differenza tra piano e spazio
-Posizione di una retta rispetto ad un piano
-Posizione di due rette nello spazio
-Rette e piani perpendicolari nello spazio
-Rette e piani paralleli nello spazio
-Angoloidi
-POLIEDRI : Prismi ,parallelepipedo,cubo,piramide,poliedri regolari
- CORPI ROTONDI : cilindro,cono,tronco di cono,sfera
SPAZIO (insieme di punti )
IN BASE A CHE
COSSA??
PIANO (ente primitivo)
2° POSTULATO
1° POSTULATO
Per 3 punti dello
spazio non allineati
passa un solo piano
Una retta
passante
per 2 punti
di un piano,
giace
interamente
in quel piano.
3° POSTULATO
Una retta che giace in un piano lo
divide in due semipiani .
Ogni segmento che congiunge 2 punti
appartenenti ad uno stesso semipiano
giace in tale semipiano ; se congiunge
due punti appartenenti a semipiani
diversi incontra la retta in un punto.
Lo spazio,è definito dai tre precedenti postulati +
un quarto postulato chiamato ASSIOMA DI
PARTIZIONE DELLO SPAZIO.
Esso dice che,se un piano A divide lo spazio in due
regioni diverse, ogni segmento che congiunge 2 punti
appartenenti alla stessa regione giace interamente
in essa e se congiunge 2 punti situati in regioni
diverse incontra il piano A in un suo punto.
POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO
Se una retta ha in comune con un piano un solo
punto,essa viene divisa in due semirette giacenti in
semispazi opposti.
La retta interseca il piano nel punto d’intersezione.
NB: se piano e retta sono privi di punti in comune allora
sono paralleli tra di loro
POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO
Due rette giacenti nello stesso piano si dicono complanari (incidenti o parallele).
Consideriamo due rette nello spazio che non hanno punti in comune:
se il piano le contiene entrambe,esse sono parallele;
- se non esiste alcun piano capace di contenerle
entrambe le rette sono sghembe
r
s
Rette sghembe
POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
Due piani distinti aventi in comune un punto,hanno in comune una ed una sola
retta passante per quel punto.
Siano α e β due piani aventi in comune P.
Nel piano β tracciamo due semirette
qualunque a, b aventi per origine P, situate da
parti opposte rispetto ad α.
Si congiunga un punto A di a con un punto B
di b: si trovano in semispazi opposti rispetto
ad α, il segmento AB taglierà il piano in un
punto C, comune ad α e β.
Così la retta PC (per il 2° postulato del piano)
appartiene ad entrambi i piani; oltre i punti
della retta PC i due piani α e β non possono
avere altri punti in comune, altrimenti essi
coinciderebbero (per il 1° postulato), il che è
contro l'ipotesi secondo la quale α e β erano
distinti.
Oh mamma!!
E Quuiiindiii ????
Quindi : se due piani hanno in comune una
retta (piani incidenti) si dice che essi si
intersecano lungo quella retta.
Da tutto ciò si deduce che se due piani non
hanno punti in comune,allora sono paralleli.
Per una retta nello spazio passano infiniti
piani,che costituiscono un fascio di piani,di
cui la retta è detta fascio o sostegno.
RETTA E PIANO PERPENDICOLARI
Nello spazio,per un punto di una retta si possono condurre infinite perpendicolari
per ognuno degli infiniti piani dello spazio, di cui la retta funge da sostegno.
TEOREMA 1 : se una retta è
perpendicolare in un suo punto a due rette
che passano entrambe per quel
punto,essa è perpendicolare per
qualunque altra retta condotta per quello
stesso punto e giacente nel piano delle
prime due.
TEOREMA 2 : il luogo delle rette
perpendicolari a una retta in un suo punto
è un piano
Una retta si dice perpendicolare (normale o ortogonale) ad un piano
quando lo incontra ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano
per il suo punto d’intersezione con il piano,detto piede della perpendicolare.
Una retta che incontra un piano senza essergli perpendicolare dicesi obliqua
rispetto al piano.
TEOREMA 3 : per un punto dato si può
condurre un piano perpendicolare ad una
retta data e uno solo.
TEOREMA 4 : dato un piano A e un punto p
qualunque, esiste sempre una sola retta
passante per p perpendicolare al piano A.
TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI
Se per il piede di una
perpendicolare ad un piano si
conduce una retta perpendicolare
a un’altra retta del piano
stesso,quest’ultima risulta
perpendicolare al piano
individuato dalle prime due.
Aiutoooooo…
non ho capito la
dimostrazione !!
RETTE PARALLELE NELLO SPAZIO
TEOREMA 1 : due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele.
TEOREMA 2 : Se due rette sono parallele,ogni piano perpendicolare all’una è
pure perpendicolare all’altra.
TEOREMA 3 : due rette parallele a una terza sono parallele tra loro
Dhoo..è un incubo !!
r//s
Teorema
3
RETTA E PIANO PARALLELI
Una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno nessun punto in comune.
TEOREMA 1: se una retta passante per
un punto esterno a un piano è
parallela ad una retta del piano essa
è parallela al piano.
TEOREMA 2:una retta e un piano perpendicolari a una
medesima retta,in punti distinti,sono paralleli.
TEOREMA 3 : se per una retta
parallela ad un piano si conduce un
piano qualunque che interseca il
primo,la retta di intersezione dei
due piani è parallela alla retta data.
TEOREMA 4 : se per due rette parallele di conducono due piani
che si tagliano,la loro intersezione è parallela alle due
rette.
B
TEOREMA 5: una retta ed
un piano paralleli
determinano su due
rette parallele
segmenti congruenti.
A
B
A’
&
A
B’
A’
&
r
B’
TEOREMA 6: se una retta
ed un piano sono
paralleli,i punti della
retta sono equidistanti
dal piano
PIANI PARALLELI
Due piani distinti si dicono paralleli quando non hanno alcun quando in comune.
T1 :due piani perpendicolari ad una
stessa retta,in punti distinti,sono paralleli.
T2:se due rette che si intersecano sono parallele ad un piano,il piano
individuato dalle due rette è parallelo al piano dato.
T3: le intersezioni di due piani paralleli
con un terzo sono rette parallele.
Continua..
T4 : se due piani sono
paralleli,ogni retta che incontra uno
dei due piani incontra anche l’altro.
T5:se due piani sono paralleli ogni retta
perpendicolare al primo è pure
perpendicolare al secondo.
RELAZIONE DI EQUIVALENZA DEI PIANI
PARALLELI
Due piani paralleli a un terzo sono paralleli tra
loro.
ANGOLOIDI
L’angoloide è una figura solida formata da una superficie piramidale +
tutti i suoi punti interni.
O
Vertice
Prendiamo nello spazio delle semirette
aventi origine in comune; due
semirette consecutive determinano
un piano e la figura che deriva dagli
angoli di queste coppie di semirette
è detta superficie piramidale.
Angoli = facce
Punti interni
a,b,c,d
Spigoli
L’insieme delle facce costituisce
la superficie o contorno
dell’angoloide.
L’intersezione di un angoloide con un piano
che ne tagli tutti gli spigoli e non passi per il
vertice è un poligono
Un angoloide è detto triedro,tetraedro,pentaedro.. In base al numero di facce che
lo compongono.
TEOREMA 1 : ogni faccia di un triedro è minore della somma delle altre due
TEOREMA 2 :ogni faccia di un angoloide è minore della somma di tutte le altre
TEOREMA 3: la somma delle facce di un triedro è minore di quattro angoli retti
TEOREMA 4 : la somma delle facce di un angoloide è minore di quattro angoli retti
Due figure solide,pur avendo elementi corrispondenti
congruenti possono non essere sovrapponibili .
Come è possibile ?
Due figure solide sono direttamente
congruenti se esiste un movimento rigido
che permetta di farle coincidere.
Sono inversamente congruenti se non
sono sovrapponibili,ma l’una è
sovrapponibile alla simmetria dell’altra
rispetto ad un piano.
POLIEDRI
Si dice superficie poliedrica la figura formata da più poligoni convessi
situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a
due di essi e che il piano di ogni poligono lasci tutti gli altri da una
medesima parte.
Si dice poliedro la figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i
suoi punti interni.
I poligoni, i loro vertici e i loro lati si
dicono rispettivamente facce, vertici,
spigoli della superficie poliedrica.
Le facce, i vertici, gli spigoli della superficie si
dicono pure facce, vertici, spigoli del poliedro.
PRISMI
Un prisma è un poliedro le cui basi sono due
poligoni congruenti di n lati poste su piani
paralleli e connesse da un ciclo di
parallelogrammi (le facce laterali).
Se il poligono che forma le basi è un
particolare poligono, ad esempio un
triangolo, quadrato, pentagono, etc. si parla
di prisma triangolare, prisma quadrato,
prisma pentagonale, etc. In generale, si parla
di prisma n-gonale.
Se le facce laterali sono tutte dei rettangoli il
poliedro è un prisma retto: in questo caso infatti
le facce laterali formano degli angoli retti con
entrambe le basi. In caso contrario si parla di
prisma obliquo.
Volume
Il volume di un
prisma è dato dal
prodotto dell'area di
una delle sue basi per
la distanza tra i piani
(paralleli) ai quali
appartengono.
Se il prisma è retto,
questa distanza è pari
alla lunghezza di uno
spigolo verticale
(altrimenti no).
ecco la formula:
V = sb
(area di base)x h
PARALLELEPIPEDO
Si dice parallelepipedo un prisma le
cui basi sono due parallelogrammi.
2
Le due facce opposte sono quelle che
non hanno alcun vertice in comune.
I due vertici opposti sono quelli che
non appartengono ad una medesima
faccia.
1
1
2
Un parallelepipedo si dice retto se i
suoi spigoli sono perpendicolari ai piani
delle basi; se ha per base un rettangolo è
detto parallelepipedo rettangolo.
T1 : le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti
T2:le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in un punto che le divide tutte
per metà
T3 : in un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruenti
Legenda:
SL= Superficie Laterale
ST =Superficie Totale
V= Volume
h=altezza
a, b=Lati di base
d=Diagonale
d'=Diagonale della base
CUBO
Un cubo è un parallelepipedo
rettangolo avente le dimensioni
congruenti.
Le facce e le basi di un cubo sono
quadrati tutti congruenti.
Legenda:
SL=Superficie laterale,
ST=Superficie totale,
l=Spigolo, d=Diagonale,
V=Volume
Ho ragione quando dico che la
geometria ti manda a male !!!
PIRAMIDE
Consideriamo un angoloide e un piano non passante per il vertice e non // ad
alcuno degli spigoli,che taglia l’angoloide in due parti. La parte così formata che
contiene il vertice è detta piramide.
La sezione dell’angoloide con il piano è un
poligono che si dice base della piramide.
La distanza del vertice dal piano della base si
chiama altezza della piramide.
Il piano della sezione determina sulle facce
dell’angoloide dei triangoli = facce laterali ,la
cui unione costituisce la superficie laterale.
L’unione delle facce laterali e della base
costituisce la superficie totale.
SL=Superficie laterale, ST=Superficie
totale, h=Altezza, a=Apotema,
SB=Superficie di base
Le piramidi sono particolari poliedri
che prendono il nome proprio dal
numero di lati della base (piramidi
triangolari,quadrangolari..)
Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrivibile ad
un cerchio il cui centro coincide con
la proiezione del vertice sul punto di
base
TEOREMA1 : in una piramide
retta i segmenti che congiungono
il vertice con i punti di contatto
dei lati della base con la
circonferenza iscritta sono le
altezze delle facce laterali e sono
congruenti tra loro.
Una piramide retta avente per
base un poligono regolare si dice
piramide regolare.
Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base: la base e la sezione
sono poligoni simili ,i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle
distanze del loro piano dal vertice e le aree ai quadrati di queste distanze.
Se due piramidi hanno basi equivalenti ed altezze congruenti, le sezioni
parallele alle basi e da esse equidistanti sono equivalenti.
TRONCO DI PIRAMIDE
Se si taglia una piramide con un
piano parallelo alla base e non
passante per il vertice, si divide la
piramide in due parti,una delle quali è
ancora una piramide e l’altra si dice
tronco di piramide.
Un tronco di piramide si dice retto se
è retta la piramide a cui esso
appartiene.
SL=Superficie laterale, ST=Superficie
totale, V=Volume, h=Altezza, a=Apotema,
PBm=Perimetro base minore,
PBM=Perimetro base maggiore,
SBm=Superficie base minore,
SBM=Superficie base maggiore
Poliedri regolari
Un poliedro si dice regolare
quando le sue facce sono
poligoni regolari tutti
congruenti tra loro e i suoi
angoloidi sono pure tutti
congruenti tra loro.
RELAZIONE DI EULERO : in un
poliedro la somma del numero F
delle facce e del numero V dei vertici
supera di due il numero S degli
spigoli : F +V = S +2
TETRAEDRO
REGOLARE
OTTAEDRO REGOLARE
8 facce triangolari
angoloidi tetraedri
4 facce triangolari;
angoloidi triedri
ICOSAEDRO
REGOLARE
20 facce
triangolari
angoloidi
pentaedri
DODECAEDRO
ESAEDRO (o cubo)
12 facce pentagonali
angoloidi triedri
6 facce quadrate
angoloidi triedri
SOLIDI DI ROTAZIONE
Un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura
ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione
piana K, sul cui piano giace l'asse stesso.
Se al di sopra della regione piana consideriamo
un’altra retta g che ruota insieme ad esso allora
l’asse n è detto asse di rotazione
e la retta g è detta generatrice della
superficie di rotazione.
La generatrice g descrive,durante la rotazione,
una circonferenza che giace in un piano
perpendicolare all’asse di rotazione il cui centro O
sta sul piano medesimo.
Cilindro
La superficie cilindrica
indefinita è la superficie generata
dalla rotazione di una retta r
intorno a un’altra retta ad essa
parallela detta ASSE DI
ROTAZIONE.
I punti dello spazio aventi
dall’asse distanza minore del
raggio si dicono interni alla
superficie,quelli che hanno
distanza minore sono detti esterni.
Un cilindro indefinito è il solido
formato dai punti di una superficie
cilindrica e dai suoi punti interni
Un cilindro circolare retto ,o semplicemente cilindro,è la parte di cilindro indefinito
limitata da due piani paralleli tra loro e perpendicolari all’asse.
I due piani individuano due cerchi che si dicono basi
del cilindro ,mentre il raggio si dice raggio di base
del cilindro.
La distanza tra i due piani è l’altezza.
La parte di superficie cilindrica che appartiene al
cilindro è la superficie laterale ,mentre la somma
della superficie laterale e di quelle delle due basi è la
superficie totale.
Un cilindro equilatero ha
un’altezza congruente al
diametro delle basi ,ossia
quando una sua sezione con
un piano passante per l’asse è
un quadrato
Legenda:
SL=Superficie
laterale
ST=Superficie
totale
h=Altezza,
r=Raggio
CONO
Una superficie conica circolare è la
superficie generata dalla rotazione
completa di una semiretta intorno a
un’altra,detta asse,avente l’origine in
comune (vertice della superficie conica).
Un cono indefinito è un solido formato
dai punti di una superficie conica e dai
suoi punti interni.
Un cono circolare retto, o semplicemente
cono, è la parte di cono indefinito limitata
da un piano perpendicolare all’asse.
Il piano individua un cerchio che è la base del cono ,mentre il raggio di tale cerchio
è il raggio di base del cono.
La distanza tra il vertice e il piano di base è l’altezza del cono.
Il segmento che unisce il vertice a un qualunque punto della circonferenza di base
è l’apotema del cono.
La parte di superficie conica che appartiene al cono è la superficie laterale
,mentre la somma della superficie laterale e di quella della base è la superficie
totale
Il cono equilatero è il cono avente l’apotema
congruente al diametro di base.
Legenda:
SL=Superficie laterale, ST=Superficie
totale, h=Altezza, r=Raggio,
a=Apotema
Tagliando un cono con un piano
parallelo alla base lo si divide in due
parti, una delle quali è un altro cono e
l’altra si dice tronco di cono.
La base del cono primitivo e il cerchio
sezione si dicono basi del tronco ;la
distanza tra i piani delle basi si dice
altezza del tronco.
Teorema:
La superficie laterale del tronco di cono e'
uguale alla superficie di un trapezio che ha
per basi le circonferenze di base rettificate e
per altezza l'apotema del tronco di cono.
Legenda:
SL=Superficie laterale,
ST=Superficie totale, h=Altezza,
r, r'=Raggio, a=Apotema
Sfera
La superficie sferica è la superficie
generata dalla rotazione completa di
una semicirconferenza intorno alla
retta del suo diametro.
La superficie sferica è il luogo dei
punti dello spazio equidistanti da un
punto fisso detto centro,mentre la
distanza è il raggio.
La sfera è il solido formato dai
punti di una superficie sferica e dai
suoi punti interni.
La calotta sferica è ciascuna delle due
parti in cui un piano secante divide una
superficie sferica.
Legenda:
S = Superficie, V = Volume, r =
raggio, O = centro della sfera
Legenda:
SL=Superficie laterale, V=Volume,
h=Altezza, r=raggio, R=Raggio della
sfera
La zona sferica è la parte di superficie
sferica compresa tra due piani secanti
e paralleli.
Il segmento sferico a due basi
è la parte di sfera
compresa tra due
piani secanti e
paralleli.
SPERIAMO DI NON AVER ANNOIATO
TROPPO !!
Lavoro di : Pavoncelli Nicklas
e
Mandelli Serena