rimbalzi di una palla

Problema
Studio del moto di una palla che rimbalza
Analisi di alcuni aspetti della fisica
nascosti nel rimbalzo di una palla
Sonar fisso alla parete con cui si
misura la distanza dalla palla
1
• costruiamo una tabella con i dati raccolti
• una misura ogni 0.04 secondi
• trasferiamo la tabella su un foglio EXCEL
(per fare l’esercizio, aprire il file palla.xls)
• nella cella G2 si trova la massa della palla
espressa in kg
t(s)
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
0.28
0.32
0.36
0.40
0.44
0.48
0.52
0.56
0.60
0.64
0.68
s(m)
0.4157
0.4161
0.4160
0.4159
0.4175
0.4178
0.4179
0.4175
0.4176
0.4171
0.4160
0.4161
0.4238
0.4756
0.5434
0.6270
0.7283
2
• Rappresentiamo su un grafico i dati raccolti:
– selezione grafico
– dispersione (no linee congiungenti i punti)
distanza tra la palla e il sonar
2.0000
distanza (m)
1.8000
1.6000
1.4000
1.2000
1.0000
0.8000
0.6000
0.4000
0.2000
0.0000
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
tempo (s)
3
Per capire meglio il grafico operiamo una trasformazione
rappresentando la distanza tra la palla e il pavimento:
1 – calcoliamo la distanza massima
tra il sonar e la palla:
funzione MAX( )
2 – sottraiamo dal massimo così
ottenuto la distanza tra sonar
e palla
3 – otteniamo così la distanza dal
pavimento d
N.B.: ricordate di inserire il
simbolo “$” tra la lettera ed il
numero che caratterizza la
cella per mantenere fisso il
valore durante i calcoli.
4
Rappresentiamo su un grafico il risultato:
distanza tra la palla e il sonar
distanza tra la palla e il pavimento
2.0000
distanza (m)
1.8000
1.6000
1.4000
1.2000
1.0000
0.8000
0.6000
0.4000
0.2000
0.0000
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
tempo (s)
5
Dati iniziali: posizione della palla rispetto al pavimento
Obiettivo: studio dell’energia meccanica della palla
distanza tra la palla e il sonar
distanza tra la palla e il pavimento
2.0000
distanza (m)
1.8000
1.6000
1.4000
1.2000
1.0000
0.8000
0.6000
0.4000
0.2000
0.0000
0.00
1.00
2.00
3.00
tempo (s)
4.00
5.00
• quanto vale l’energia
meccanica della palla?
• si conserva?
• se non si conserva,
come cambia?
• perchè?
6
qualche richiamo di fisica sull’energia meccanica
Una palla che rimbalza è soggetta solo alla forza di gravità sulla
superficie terrestre.
La sua energia meccanica totale è :
E TOT = E cin + E pot
dove Ecin = 1/2 m v2 è l’energia cinetica della palla
(energia legata al movimento della palla, alla sua velocità)
e
E pot = mgd è l’energia potenziale della palla
(energia legata alla posizione della palla nel campo di gravità
della terra)
v = velocità(m/s), m = massa (kg), d = distanza dal pavimento (m),
g = accelerazione di gravità = 9.81 m/s2
7
studio dell’energia meccanica
•
Calcoliamo l’energia cinetica e l’energia potenziale :
1. Energia cinetica: Ecin = 1/2 m v2
calcoliamo la velocità media della palla
vi = [d(ti+1) – d(ti-1)]/(0.08)
2. Energia potenziale: Epot = m g d
Rappresentiamola in un grafico in funzione del tempo:
energia meccanica
A che cosa corrispondono
i “pianerottoli” ?
5,0000
energia meccanica
totale(J)
•
v = Ds/Dt DEFINIZIONE
4,0000
3,0000
2,0000
1,0000
0,0000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
tempo (s)
8
sovrapponiamo al grafico dell’energia quello della posizione
energia meccanica e posizione
5,0000
4,0000
3,0000
2,0000
1,0000
0,0000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
tempo (s)
rimbalzo 1
rimbalzo 2 rimbalzo 3 rimbalzo 4
Tenendo conto degli errori sperimentali l’energia totale in un rimbalzo si conserva
ma diminuisce tra un rimbalzo e l’altro
9
energia totale
energia cinetica
energia potenziale
energia (J)
5,0000
4,0000
3,0000
2,0000
1,0000
0,0000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
tempo (s)
Dopo ogni rimbalzo l’energia totale diminuisce, ma tra un rimbalzo e l’altro
la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale resta costante
Si vede chiaramente che nell’istante del rimbalzo tutta l’energia della palla
è energia cinetica  il modulo della velocità è massimo.
mentre nel punto di inversione del moto tutta l’energia della palla è energia
10
potenziale  altezza massima.
Come diminuisce l’energia meccanica da un rimbalzo all’altro?
Per calcolare come diminuisce l’energia meccanica possiamo considerare come
cambia l’altezza massima raggiunta in ciascun rimbalzo.
Nel punto di massima altezza, l’energia cinetica = 0 (la velocità è nulla), quindi:
ETOT = EPOT = mgd nel punto di massima altezza l’energia meccanica tra 2
rimbalzi diminuisce della stessa percentuale di cui diminuisce l’altezza massima
1. individuiamo i massimi di ciascun rimbalzo e costruiamo una tabella
2. riportiamo in un grafico l’altezza massima in funzione del numero del rimbalzo
3. cerchiamo quale linea di tendenza si adatta meglio a questi punti e chiediamo al
programma di scrivere l’equazione sul grafico
altezza max vs numero del rimbalzo
1,6
1,4
altezza max
max (m)
(m)
n. rimbalzo altezza max (m)
0
1,4
1
1,1
2
0,8
3
0,6
4
0,5
y = 1,3966e-0,2665x
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
rimbalzo
4
11
5
• la funzione esponenziale descrive bene la diminuzione dell’altezza dei
rimbalzi.
• la funzione y = 1.40 e-0.27x fornisce alcune informazioni quantitative:
• dopo ogni rimbalzo l’altezza massima del rimbalzo è e -0.27 ≈ 0.76 volte
quella precedente
• l’altezza iniziale è 1.40 m
• poiché :
energia meccanica totale nel punto di max altezza = energia potenziale
E TOT = EPOT = m g d  se d diminuisce ≈ 24 % ad ogni rimbalzo,
anche l’energia potenziale e, quindi, l’energia totale diminuiscono della
stessa percentuale
Verifica: durante il rimbalzo 0 (t1= 0.64 s) ETOT = 4.54 J
durante il rimbalzo 1 (t2 = 1.52 s) ETOT = 3.32 J
DE = [E(t2) –E(t1)]/E(t1) *100 ≈ 26 % che considerando gli errori associati12alle
misure e’ in buon accordo con la nostra previsione.
Studiamo il moto della palla attraverso la sua velocità:
v (m/s)
velocità (m/s)
5.0000
• facciamo il grafico della velocità:
4.0000
• il risultato sono una serie di rette
3.0000
2.0000
parallele
1.0000
0.0000
• la pendenza delle rette rappresenta…..
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
-1.00000.00
l’accelerazione della palla
-2.0000
-3.0000
= accelerazione di gravità
-4.0000
• rette parallele  accelerazione costante
-5.0000
-6.0000
• grande cambiamento di velocità
t (s)
al momento del rimbalzo
• perchè le rette non partono tutte dallo stesso livello?
ad ogni rimbalzo la velocità diminuisce leggermente perché si perde un po’ di
energia meccanica
• l’intersezione con l’asse x corrisponde alla velocità nulla, cioè alla pallina nel punto più
alto.
• possiamo calcolare la forza impressa dal pavimento ad ogni rimbalzo?
Ricordare che: F = m a (a = accelerazione ); a = Dv/Dt
|a| = |(-4.62 -4.18)/(0.96-0.88)| ~ 110 m/s2  F ~ 110· 0.313= 34.4 N  forza media
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