5th week_lezione18_n

Lezione 18
•Lagrangiane dei campi fondamentali
•Matrice S (cenni)
•Diagrammi di Feynman (cenni)
1
Matrice S (cenni)
Prendiamo l’interazione seguente:
1+23+4
in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S
descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale
di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4:
< F | S | I > = < (t=) | S |  (t=-) >= < 1 2 | S | 3 4 >
Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato
processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi:
1) la visualizzazione grafica dell’interazione;
2) l’associazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica
che consente di calcolare direttamente l’ampiezza di probabilità (gambe esterne =
particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne =
propagatori = particelle scambiate nell’interazione)
2
Regole per costruire un grafico di Feynman
ELEMENTI FONDAMENTALI
Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un “evento”, cioè un puntodello
spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata)
spazio
xP

P=(xP, tP)
tempo
tP
Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o
virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne
Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene l’interazione; in essi deve
esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico
N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal
termine visto prima q ψ γ μ ψ A μ , ciò significa che in un vertice potranno interagire
due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione)
e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.
3
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella
reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere
fino a un punto in cui avviene l’interazione (vertice); se sono uscenti, si
propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte.
ee+

vertice

e-
e+
Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione
di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.
4
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che
mediano l’interazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le
particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali.
e-

e+
ee+
Alla linea interna è associato un’espressione matematica detta
propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata
(propagatore fermionico o bosonico).
5
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il
verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del
tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone.
Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice:
sarebbe come se scomparisse un’ unità di numero fermionico
(ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in
qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della
linea fermionica.
ee+
6
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una
particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice
delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al
tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spaziotempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2).

7
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Bosoni W± e Z0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anch’essi, come il
fotone sono rappresentati da linee ondulate.
Attenzione: mentre lo Z0 si comporta esattamente come un fotone pesante,
cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al
contrario il W+ o il W- si portano via un’unità di carica elettrica (positiva o
negativa).
e-
eZ0
nm (ne)
nm (ne)
Z0
ne
e-
W+
8
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire
con un’altra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello
spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra.
e
e’

t
Prendiamo invece un’ annichilazione e+ e- dalla quale viene prodotto un
fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e-) e
una diretta verso i tempi decrescenti (e+), in modo che nel vertice di
emissione del fotone vi sarà continuità
della freccia fermionica.
e

e+
9
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Prendiamo invece un’interazione tra un fotone e un elettrone, come
avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone
incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo
continuità della linea fermionica nel vertice di interazione.
ee
10
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha
luogo l’interazione. In esso convergono tre linee, di cui due
rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale
che serve a mediare l’interazione. Al vertice è associata una costante di
accoppiamento che quantifica l’intensità dell’interazione. Ad esempio,
nel caso dell’interazione e.m. questa costante è  = 1/137, la costante
di struttura fine.
e

e’

11
Regole per costruire un grafico di Feynman
(continua)
Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare l’ampiezza
di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman
attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari
elementi del diagramma la loro espressione matematica.
Vediamo qualche esempio di reazione.
12
Grafici di Feynman
 e  e
Un elettrone reale emette un fotone reale
DIFFUSIONE COMPTON

e-
in P, trasformandosi in elettrone virtuale e
Q(x2,t2)
quindi ridiventa reale assorbendo un
t
P(x1,t1)
t2 > t1
’
e
Altrimenti, un fotone reale emette un
e-
elettrone reale e un antielettrone virtuale in
Q(x2,t2)
Q, e quest’ ultimo interagisce con un
t
P(x1,t1)
e-
fotone reale in Q. Questo se:
elettrone reale in P emettendo un fotone
reale. Questo se:
’
t1 > t2
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Grafici di Feynman (continua)
DIFFUSIONE COMPTON (continua)
 e  e
In realtà la sezione d’urto della diffusione Compton sarà ottenuta
integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di
Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il
Formalismo degli operatori di creazione e distruzione.

e’
k

k
p’
p- k’
p
e-
k’
p
e
k+p
’
k’
p’
e’

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Grafici di Feynman (continua)
DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e- e- e- e- o e+ e+ e+ e+
e-
ep

k
e-
p’
k- k’
k’
e-
ANNICHILAZIONE
ep

k
e+
Un elettrone reale di impulso p emette un fotone
virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di
impulso p’. Il fotone virtuale viene assorbito da un
elettrone reale di impulso k che acquista l’impulso
k’.
e+ e- e+ eep’ Un elettrone e un positrone reali si annichilano
producendo un fotone virtuale, che si
k’
rimaterializza in un elettrone e in un positrone
+
e
reali.
15
Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi  e :







† 
ψ (x)   d 3 p b( p) u( p) e  ipx  d (p) v(p) e  ipx  ψ  (x)  ψ  (x)





ψ (x)   d 3 p d†(p) v(p) e ipx  b (p) u(p) e ipx  ψ  (x)  ψ  (x)

b (p)

d†(p)

d (p)
† 
b (p)

distrugge un elettrone di energia positiva
distrugge un elettrone di energia negativa  crea un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia negativa  distrugge un positrone di energia positiva
crea un elettrone di energia positiva
Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:
q ψ γ μ ψ A μ  q ψ  (x)  ψ  (x)  γ μ ψ  (x)  ψ  (x)  A μ 
 q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ 

q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ
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Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa
situazione fisica:
q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  distrugge un positrone con E  0
distrugge un elettrone con E  0
q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  distrugge un positrone con E  0
crea un positrone con E  0
q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  crea un elettrone con E  0
crea un positrone con E  0
q ψ  (x) γ μ ψ  (x)  A μ  crea un elettrone con E  0
distrugge un elettrone con E  0
17
In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione
di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia
negativa, cioè:
e
+
=
e

e+


=
e-

i quattro grafici di prima diventeranno:
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SCATTERING MOLLER e- e- (o e+ e+ )
I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione)
esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre
reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi
possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in
quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un
processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering"
(diffusione) Møller e-e- e-e- (si può avere anche lo scattering Møller e+e+ e+e+). Per
l'indistinguibilità dei due fermioni, se pi e pi' sono i quadri-impulsi delle particelle nello
stato iniziale e pf e pf' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla
sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:
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Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti
da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come:
| I > = b† (pi) b† (pi') | 0 >
| F > = b† (pf) b† (pf') | 0 >
I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x1 dello spazio tempo e
l'altro nel punto x2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana:
ψ (x 1 ) γ ν ψ (x 1 ) A ν  - e ψ  (x 1 )  ψ  (x 1 )  γ ν ψ  (x 1 )  ψ  (x 1 )  A ν 
 - e ψ  (x 1 ) γ μ ψ  (x 1 )  A ν
ψ (x 2 ) γ μ ψ (x 2 ) A μ  - e ψ  (x 2 )  ψ  (x 2 )  γ μ ψ  (x 2 )  ψ  (x 2 )  A μ 
 - e ψ  (x 2 ) γ μ ψ  (x 2 )  A μ
N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono
essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il
prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato
così:
N[ψ  (x 1 ) ψ  (x 1 )]
20
Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro,
poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel
prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso):
N[ψ  (x 1 ) ψ  (x 1 ) ψ  (x 2 ) ψ  (x 2 )]  -ψ  (x 1 ) ψ  (x 2 ) ψ  (x 1 ) ψ  (x 2 )
L'elemento di matrice sarà dato da:






2

μ


ν

e 0 b (p f ) b (p' f )  ψ (x 2 ) γ A μ ψ (x 2 )   ψ (x 1 ) γ A ν ψ (x 1 )  b† (p i ) b† (p' i ) 0 





  




 
 creazione
di
un
distruzion
e
di
un
creazione
di
un
distruzion
e
di un 
 e  finalecon p '

e  iniziale con p i '   e  finalecon pf
e  iniziale con p i 
f

 e 2 0 b (p f ) b (p' f ) ψ  (x 2 )
ψ  (x 1 ) γ μ A μ A ν γ ν ψ  (x 2 )
ψ  (x 1 ) b† (p i ) b† (p' i ) 0












creazione di un
e  finalecon pf '
creazione di un
e  finalecon pf
distruzione di un distruzione di un
e  iniziale con p i ' e  iniziale con p i

 ip 3 x1

3
3
3






 
 e 2 0 b (p f ) b (p' f )  d 3 p b †
(p 1 ) u (p 1 ) e  ip1 x 2  d 3 p b†(p ) u (p ) e
γμAμA ν γ ν
1 




 
creazione di un e  finalecon pf '
creazione di un e  finalecon pf

 ip4 x1
4
4





 ip 2 x 2
3
3


d
p
b(
p
)
u
(
p
)
e
d
p
'
b(
p
)
u
(
p
2
2
2
 )e †b (p i )†b (p' i ) 0 
distruzione di un e  iniziale con p i '
distruzione di un e  iniziale con p i
21
Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di
eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p1= pf' , p2= pi' ,
p3= pf, p4= pi perchè deve essere:



†
b( k) , b (k' )

 
 δ (k - k' )
3
N.B. Il simbolo Am An sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto
matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice
all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo):
x1
 g μν 
A μ A ν  i  d 4 k e -ik(x1 -x2 )  2 
k 
x2
Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a:

 g μν
e 2  u ( p' f ) e ip'f x 2 γ μ u ( p' i ) e ip'i x 2  d 4 k e -ik(x 2 x1 )  2
k



 u ( p f ) e ipf x1 γ μ u ( p i ) e ipi x1 


22
Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo:

 
e 2  d 4 x 2  d 4 x 1 u ( p' f ) e  ip'f x 2 γ μ u ( p' i ) e ip'i x 2
 d k e
4
- ik(x2 - x1 )
 g μν
 2
k

 


 u ( p f ) e ipf x1 γ ν u ( p i ) e ipi x1 

 g μν 
 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i ) u ( p f ) γ ν u ( p i )   d 4 k  2   d 4 x 2 e ip'f x 2 e ip'i x 2 e -ikx 2  d 4 x 1 e ipf x1 e ipi x1 e ikx1 
k 
 g μν 
 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i )  u ( p f ) γ ν u ( p i )   d 4 k  2  δ 4 ( p' f  p' i k ) δ 4 ( p f  p i  k ) 
k 
1

 e 2  u ( p' f ) γ μ u ( p' i ) 
u ( p f ) γ μ u ( p i )  δ 4 ( p' f  p' i  p f  p i )
2
(pf  pi )
Quadricorrente e.m.
Quadricorrente e.m.
Conservazione
quadrimpulso totale
Propagatore del
fotone
23
In sintesi, nel grafico
abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità:
u ( pf ) γ μ u ( p i )
al vertice inferiore la quantità:
u ( p' f ) γ μ u ( p' i )
al propagatore del fotone la quantità:
1
(pf  pi ) 2
e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.
24