ragionare sull`incerto

CALCOLO DELLE
PROBABILITÀ
poche semplici idee per
ragionare sull’incerto
Università della LiberEtà
Trifiletti Giuseppina
QUATTRO DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ
e ancora un ampio dibattito in corso
a)
definizione classica
b)
definizione frequentista
c)
definizione assiomatica
d)
definizione soggettivista
il concetto di probabilità
è sofisticato, complesso e sfuggente
Definizione classica:
probabilità = numero casi favorevoli / numero casi possibili,
sotto l’ipotesi che i casi possibili siano valutati tutti
“equipossibili”, o “equiprobabili”.
Definizione frequentista (o statistica):
probabilità = frequenza relativa, calcolata su di un numero
“sufficientemente elevato” di prove.
Critica alla definizione classica
- Circolo vizioso nella definizione di probabilità
Nella definizione di probabilità viene usato il termine
equiprobabile, che chiama in causa proprio ciò che si
intende definire.
La "definizione" manca di un criterio, che permetta di
stabilire quando due casi debbano essere considerati
"ugualmente facili (o probabili)“. Una tale regola, in effetti, è
impossibile da enunciare senza ricorrere a circoli viziosi.
La decisione se due casi siano da considerare o meno
equipossibili è lasciata alla valutazione soggettiva delle
persone coinvolte. Diventa un fatto sociale.
- è applicabile ai giochi (dadi, carte, urne) ma non a quei
casi in cui non ha senso indicare casi possibili e favorevoli.
Per esempio: qual è la probabilità che prima di una
determinata data il prezzo della benzina verrà aumentato?
- è impossibile calcolare la probabilità di: una moneta non
simmetrica, la morte di una persona prima di una
determinata età, trovare un pezzo difettoso nella produzione
di 1 anno …
Definizione assiomatica (Kolmogorov, 1933):
non si preoccupa di stabilire “cos’è” la probabilità,
ma solo di definirla implicitamente tramite un
insieme di assiomi.
Definizione soggettivista (De Finetti 1931):
La probabilità è il grado di fiducia che un individuo
“coerente”, in base alle proprie informazioni, assegna a un
evento.
Si intende per "individuo coerente" chi con la probabilità si
comporta:
- in modo da assegnare 0 agli eventi impossibili;
- in modo da assegnare 1 agli eventi certi;
- in modo da assegnare valori da 0 a 1a tutti quegli eventi
che ritiene variamente probabili.
Ancora sulla definizione soggettivista
Per questa definizione, l’equiprobabilità è
un’ipotesi, nel senso che se sono disposto a
scommettere una cifra, che considero equa, su
un determinato evento e se sono anche disposto
a scommettere la stessa cifra su un altro evento,
allora i due eventi sono equiprobabili.
La cifra è considerata equa se sono disposto a
scambiarmi con il banco, quello contro il quale
scommetto.
Un approccio matematico rigoroso
alla teoria della probabilità
è quello assiomatico, perché rende esplicite tutto
ciò che diamo per buono, tutte le ipotesi sottese,
nascoste
Un approccio onesto
alla teoria della probabilità
è quello soggettivista
In
queste
diapositive
si
prende
in
considerazione la definizione classica e si fa
cenno a quella frequentista.
La “legge empirica del caso”, come vedremo,
permette di passare da una visione classica ad
una visione frequentista.
ORA risolviamo problemi
Qual è la probabilità che esca una qualsiasi
delle possibili somme dei numeri di due facce
al lancio di due dadi?
PROBABILITÀ TEORICA
6/36
5/36
4/36
5/36
4/36
3/36
3/36
2/36
2/36
1/36
1/36
SOMME DELLE DUE FACCE
Usando the counting multiplication principle: 6 possibili scelte per una
faccia e per ognuna di queste 6 possibili scelte per l’altra faccia, quindi
6x6=36 possibili uscite.
Probabilità teorica
Probabilità sperimentale
50
Percent
per 100
lanci
2x2
=4
4x2
=8
3x2
=6
5x2 7x2 8x2 9x2 5x2
=10 =14 =16 =18 =10
4x2
=8
3x2
=6
0x2
=0
La legge empirica del caso
La frequenza relativa di un evento
all'aumentare del numero delle prove
tende
a
stabilizzarsi
Si constata poi che, quando si ripete per "molte" volte una prova, la
frequenza di un esito, cioè il rapporto
numero prove esito favorevole
numero prove effettuate
si avvicina "molto" alla probabilità a priori di quell'esito, calcolata
tramite il rapporto
numero casi
numero casi
favorevoli
possibili
A questa "legge", la cui validità è rilevabile sperimentalmente, si è
attribuito il nome di "legge empirica del caso".
La legge dei grandi numeri
Se E è un evento e p è la sua probabilità di successo,
cioè la probabilità del verificarsi di E in una prova,
allora la frequenza relativa dei successi in n prove, se
il numero di prove effettuate è sufficientemente
grande, si avvicinerà sempre più alla probabilità di
successo nella singola prova, via via che n cresce.
Questo teorema, formulato da Jakob Bernoulli (16541705), fornisce una possibile giustificazione della
legge empirica del caso, secondo la quale la
frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi
all'aumentare del numero delle prove.
La legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento
asintotico della frequenza relativa e non dice nulla sulla
possibilità di successo di una singola prova condizionata a
quelle precedenti (che resta sempre p);
quindi, questa legge non dice che l'osservazione di 10
teste
aumenta
la
probabilità
che
venga
croce
all'undicesima prova.
Questo è l'errore più comune dei giocatori d'azzardo, che
scommettono sull'evento che non si verifica da più tempo,
convinti che, per questo esso si debba verificare con una
maggiore probabilità.
La legge dei grandi numeri
Il caso non ha memoria
Il limite a cui tende il rapporto (quello tra gli esiti favorevoli
a un certo evento e la totalità degli esiti) non impedisce
che da un certo lancio in poi si ottenga una sequenza di
moltissime teste o moltissime croci, data la natura casuale
del fenomeno.
Indipendentemente dalla storia del fenomeno, ad ogni
lancio la probabilità che esca testa è la stessa: 1/2
La legge dei grandi numeri
Tratto dal sito www.torinoscienza.it/
Dove avviene l’errore del giocatore? Nel travisare la frase che dice
“all’aumentare del numero di prove” con la frase “dopo un elevato
numero di prove”. Ecco allora che se, per esempio, esce 9 volte di
seguito ‘testa’, al decimo lancio il “ritardologo” crederà sia più
probabile l’uscita ‘croce’. Il comportamento della moneta appare
bizzarro ed è quindi facile pensare che la faccia con la ‘croce’ abbia
un diritto di rivalsa. Se all’aumentare delle prove le frequenze vanno
aggiustandosi
verso
le
relative
probabilità,
significa
che
le
discordanze devono bilanciarsi... allora l’evento ‘croce’ deve avere
qualche possibilità in più di verificarsi rispetto all’evento ‘testa’.
Giusto? No. Al decimo lancio i due eventi sono ancora equiprobabili
nonostante vi siano stati prima 9 lanci con l’uscita della ‘testa’
La legge dei grandi numeri
Infatti la legge dei grandi numeri non dice che la probabilità si bilancia
“dopo un elevato numero di prove...”. Non si può mai considerare un
dopo o un durante. Il concetto di probabilità è un concetto a priori. Nel
nostro caso, l’evento “testa per 9 volte di seguito” è un fatto ormai già
accaduto, quindi la sua probabilità è del 100%; è cosa certa. Non ha
senso utilizzare una tale informazione per successive valutazioni
statistiche.
Ogni volta che si lancia la moneta, si riparte sempre da zero. La
stessa definizione di evento ritardatario si basa sull’errore di stabilire
arbitrariamente un momento in cui fissare l’inizio delle prove. Si
considera cioè un certo ‘adesso’ e da questo si definisce un certo
ritardo. Ma cosa sappiamo della vera storia di una moneta? Non
potrebbe darsi che, prima del nostro giochino, quella moneta (o
un’altra simile dall’altra parte della Terra) fosse stata lanciata da altre
persone e si fosse presentata per 20 volte di seguito proprio la
"croce"?
STATISTICA E PROBABILITÀ
• Qual è la probabilità che Roger faccia una critica positiva
su un film?
• Qual è la probabilità che Gene faccia una critica positiva
su un film?
Roger ha fatto una critica positiva di 116 film su 213, quindi
116/213 ~ 54% è la percentuale di critiche positive e Gene
ha fatto una critica positiva di 100 film su 213, quindi
100/213 ~ 47% è per lui la percentuale di critiche positive.
Ma si potrebbe dire anche, che 54% e 47% sono
rispettivamente anche le probabilità che Roger e Gene
facciano una critica positiva in futuro di un film?
213 film può essere considerato un numero
sufficientemene grande per trarre conclusioni del genere?
Gli eventi che contengono più di una possibile uscita
sono chiamati EVENTI COMPOSTI, come ad esempio
l’evento “lanciando di seguito due dadi esca su uno un
numero pari e sull’altro un numero maggiore di 4”, oppure
l’evento “lanciando di seguito due dadi la somma dei due
numeri usciti sia un numero pari maggiore di 6” …
Alle volte la realizzazione del primo evento influenza il
secondo evento, in questo caso gli EVENTI si dicono
DIPENDENTI, altre volte la realizzazione del primo evento
non ha effetto sulla realizzazione del secondo evento, in
questo caso gli EVENTI si dicono INDIPENDENTI.
Trova la probabilità che lanciando una moneta esca
croce e tirando un dado esca un numero più grande di
1.
Probabilità che esca croce ½, probabilità che il numero sia più
grande di 1 è 5/6 quindi p=(1/2)x(5/6)=5/12
12 CASI
POSSIBILI
TESTA
CROCE
5 CASI
FAVORE
VOLI
Non sono a conoscenza dell’esito del lancio della moneta, quindi, in
questi casi la probabilità si ottiene facendo il prodotto delle probabilità,
Getti una coppia di dadi su un tavolo da gioco. Se sul primo cubo esce 6,
trova la probabiltà che la somma dei due numeri sia
a. 6
b. 7
c. più grande di 10
d. più grande di 6
N.B. è noto che sul primo cubo è uscito il 6
Nel labirinto un topo si muove a caso, in avanti, verso le
stanze A e B
• Se il topo raggiunge l’incrocio 2, qual è la probabilità che
finisca nella stanza A?
• Se il topo raggiunge l’incrocio 3, qual è la probabilità che
finisca nella stanza B?
• Infine, qual è la probabilità che il topo mostrato in figura
finisca nella stanza A o nella stanza B?
Il topo non può
tornare
indietro,
perché
dobbiamo
immaginare che negli
incroci ci siano delle
“porticine” che si
aprono solo in un
senso.
La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è
3/5, la probabilità che lo colpisca B è 1/4.
Se A e B sparano contemporaneamente contro il
bersaglio, che probabilità c’è che questo venga
colpito?
Risoluzione:
gli eventi sono A =“A colpisce il bersaglio”, B =“B
colpisce il bersaglio”, sono eventi indipendenti, le
prestazioni di un tiratore non influenzano quelle dell’altro,
la probabilità è 0,7. Infatti
p = p (AoB ) = p (A ) + p (B ) - p (AeB )
p (AeB ) = p (A )p (B ) per eventi indipendenti
3 1 3 1
14
p = p (AoB ) =
+ - ×
=
= 0,7
5
4 5
4
20
Possiamo ragionare come segue:
ogni 1000 prove (“doppio tiro”), 600 volte colpisce il bersaglio A, 250 volte
B. Supponiamo che vengano registrati gli esiti di questi 1000 “doppi tiri” e
venga scritto ogni singolo esito (che potrà essere: “nessuno”; “solo A”;
“solo B”; “sia A che B”) su di un bigliettino: si avranno quindi 1000
bigliettini. Pescando un bigliettino a caso, ci chiediamo che probabilità c’è
di trovarvi scritto almeno uno dei due nomi A o B.
Il diagramma di Venn che rappresenta l’insieme dei 1000 bigliettini con i
relativi sottoinsiemi:
U = tutti gli esiti delle 1000 prove
Esiti favorevoli =
A
450
AeB
150
B
= 450+150+100
= 600+250-150=
100
= 700
p = 700/1000
300
Quindi p = 0,7
Abbiamo posto 600 bigliettini nell’insieme A, per il fatto che il
tiratore A fa centro con probabilità 3/5, quindi su 1000 tiri ne
azzeccherà pressappoco 600.
Analogamente il tiratore B ha probabilità 1/4 di colpire il
bersaglio, quindi l’insieme B avrà 250 elementi.
Come mai abbiamo collocato proprio 150 bigliettini in
?
Data l’indipendenza fra gli eventi A e B (supponiamo che le
prestazioni di un tiratore non influenzino quelle dell’altro) si
ottiene:
elementi di A ∩ B = p (A ) × p (B ) ×1000
3 1
elementi di A ∩ B = × × 1000 =150
5 4
La probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A
L' espressione formale è P(B/A)
Che si legge:
La probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A
Mazzo di 52 carte:
Evento A = la prima carta estratta è un picche ( probabilità 13/52 )
Non la rimettiamo nel mazzo
Evento B = quale è la probabilità che la prossima carta estratta sia
ancora un picche?
Il simbolo è ( P(B/A) ) e la probabilità è = ( 13 -1 ) / ( 52 - 1 ) = 12/51
Quale è la probabilità che due carte estratte siano entrambe picche?
Principio del prodotto = p( A e B) = p(A) * p(B/A)
13/52 * 12/51 = 156/2652 = 0.0588
PRINCIPIO DEL PRODOTTO
Se abbiamo EVENTI DIPENDENTI
p( A e B) = p(A)p(B/A)
Se abbiamo EVENTI INDIPENDENTI
p ( A e B) = p(A)p(B/A) = p(A)p(B)
 il secondo evento è dipendente dal primo se è
senza reinserimento.
 il secondo evento è indipendente dal primo se è
con reinserimento.
Esempio: estraggo un asso di Picche da un mazzo di 52 carte,
qual è la probabilità che alla seconda estrazione sia ancora un
asso?
 se non lo rimetto nel mazzo.
Alla seconda estrazione avrò una carta in meno e le probabilità per
le carte rimanenti di essere estratte si modificano.
All'inizio:
- probabilità di estrarre un asso di picche = 1/52
- probabilità di estrarre un asso di cuori = 1/52
Dopo la prima estrazione:
- probabilità di estrarre un asso di picche = 0
-probabilità di estrarre un asso di cuori = 1/51
 se lo rimetto nel mazzo
All’inizio e dopo la prima estrazione, le probabilità di estrazione
restano le stesse
Mazzo di 52 carte:
Evento A = la prima carta estratta è un picche ( probabilità
13/52 )
Non la rimettiamo nel mazzo
QUAL È LA PROBABILITÀ CHE LA PROSSIMA CARTA
ESTRATTA SIA ANCORA UN PICCHE?
Cioè qual è la probabilità che si verifichi B dato che si è
verificato A, dell’evento A conosciamo l’esito.
Il simbolo è p(B/A) e la probabilità è
= ( 13 -1 ) / ( 52 - 1 ) = 12/51
QUALE È LA PROBABILITÀ CHE DUE CARTE
ESTRATTE SIANO ENTRAMBE PICCHE?
Dell’evento A non conosciamo ancora l’esito.
Principio del prodotto
p( A E B) = p(A)p(B/A)
13/52 * 12/51 = 156/2652 = 0.0588
Vita da … gatti e cani!
La probabilità che un gatto viva 12 anni è 1/4, la
probabilità che viva 12 anni un cane è 1/3.
Se posseggo un cagnetto e un gattino appena nati,
che probabilità c’è che:
a) siano entrambi vivi fra 12 anni;
b) almeno uno sia vivo fra 12 anni;
c) nessuno dei due sia vivo fra 12 anni
soluzione
C = “il cane sarà vivo fra 12 anni”
G = “il gatto sarà vivo fra 12 anni”
a)
p (C e G) = p (C)·p(G) = 1/3 · 1/4 = 1/12
(probabilità composte per eventi indipendenti)
b)
p (C o G) = p(C) + p(G) - p(C et G) = 1/3 + 1/4 - 1/12 = 1/2
(prob. totali per eventi compatibili; prob. composte per eventi
indipendenti)
c)
FORMULE DI DE MORGAN
A
B
A B
A B
A
B
A B
A B
La lampadina si accenderà?
Si prendano a caso 3 lampadine fra 15 lampadine,
di cui 5 difettose.
Determinare la probabilità p che
1. Nessuna sia difettosa
2. Esattamente una sia difettosa
3. Almeno una sia difettosa
1)
10 


3 
15 


3 
2)
10 


2 
15 


3 
10 


3 

3) 1 
15 


3 
Avrà gli occhi scuri?
Una classe consta di 10 maschi e 20 femmine; la metà
dei maschi e la metà delle femmine hanno occhi scuri. Si
determini la probabilità p che una persona scelta a caso
sia un maschio o abbia occhi scuri.
A=la persona è un maschio
B=la persona ha occhi scuri
p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)=1/3+1/2-1/6
Sarà bionda?
In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20%
li ha Rossi, il 10% Mori.
Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle
Rosse, il 50% delle More.
Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet mi fa sapere
che ha gli occhi Scuri, che probabilità c’è che sia Bionda
Applichiamo il teorema di Bayes
p (B ) × p (S/B )
p (B/S ) =
p (B ) × p (S/B ) + p (R ) × p (S/R ) + p (M ) × p (S/M )
p (B ) × p (S )
p (B/S ) =
p (B ) × p (S ) + p (R ) × p (S ) + p (M ) × p (S )
0,7 × 0,1
p (B/S ) =
0,7 × 0,1 + 0,2 × 0,25 + 0,1 × 0,5
p (B/S ) è circa 0,41 = 41%
Perché?
Se il numero delle ragazze fosse 10000, potremmo dire che i
casi favorevoli sono (70/100)x(10/100)x10000,
quindi i casi favorevoli sono 700,
i casi possibili, dato che so già che la ragazza ha gli occhi
scuri, sono 1700, infatti:
Bionde con gli occhi scuri = 700
Rosse con gli occhi scuri =(20/100)x(25/100)x10000=500
More con gli occhi scuri =(10/100)x(50/100)x10000=500
quindi i casi possibili sono 700+500+500 cioè 1700
Probabilità = 700/1700 ~ 41%
p (B ) × p (S/B ) × 10000
p (B/S ) =
p (B ) × p (S/B ) ×10000 + p (R ) × p (S/R ) ×10000 + p (M ) × p (S/M ) × 10000
Se si divide numeratore e denominatore per 10000
si ottiene la formula di Bayes
(teniamo conto anche dell’indipendenza degli eventi)
p (B ) × p (S )
p (B/S ) =
p (B ) × p (S ) + p (R ) × p (S ) + p (M ) × p (S )
Cioè si ottiene la formula risolutiva
0,7 × 0,1
p (B/S ) =
0,7 × 0,1 + 0,2 × 0,25 + 0,1 × 0,5
Il teorema di Bayes
Gli eventi H1, H2, ... Hn costituiscono le possibili CAUSE
dell’evento E; tali cause sono:
fra loro incompatibili (non è possibile che si verifichino
contemporaneamente due eventi Hi, Hj, se i≠j)
ed "esaustive" (nessuna altra causa, al di fuori delle Hi, può
generare l’evento E).
Allora, se si verifica l'evento E, la probabilità che esso sia
stato provocato dalla causa Hi è data dalla formula
Sotto c'è il disegno di un disco con una lancetta rotante e che punta con
uguale possibilità in tutte le direzioni, come quella che viene usata in
molti giochi. Qual è la probabilità che l'indice si fermi proprio sulla
regione B?
An electric clock was stopped by a power failure. What is the probability
that the minute hand stopped between the following two numerals on the
face of the clock?
a) 12 and 3 - b) 1 and 5 - c) 11 and 1
LE PIETRE DA CONTA
e gli inganni della logica
È venuta alla luce una pietra tombale.
Si sa che le pietre tombali che si trovano in quella zona
hanno dei simboli sia su un lato che sull’altro lato.
Si sa anche che I simboli sulle pietre tombali indicavano i
matrimoni tra regali, tra sudditi e tra sudditi e regali. La parte
superiore della pietra aveva il simbolo del più vecchio della
coppia, però non si è a conoscenza dell’età dei sepolti.
Bisogna trovare qual è la probabilità che la tomba
venuta alla luce, con segni che indicano che è regale
dalla parte venuta alla luce, sia regale anche dall’altra
parte, perché solo in questo caso si possono avere dei
vantaggi a scavare. Bisogna sapere se conviene
tentare la fortuna.
SOLUZIONE
Si potrebbe pensare che ci sia il 50% di probabilità
che l’altra faccia della pietra sia di un regale o di
un suddito,
dato che la scelta è solo tra queste due possibilità.
Ma, se ragioniamo come segue, 50% di probabilità
non è la risposta corretta.
Invece delle tre pietre tombali supponiamo di avere
tre carte:
una interamente verde (le due facce numerate 1 e
2), una interamente rossa (3 e 4), una carta rossa da
una parte e verde dall’altra (5 la rossa e 6 la verde).
Supponiamo che il rosso indichi un regale e il
verde un suddito.
Pietra tombale di
due coniugi sudditi
1
2
Pietra tombale di
due coniugi regali
3
4
Pietra tombale di un
matrimonio misto
5
6
I numeri sulle carte servono solo a noi per
capire meglio.
Nel nostro caso dobbiamo escludere le carte
1 e 2, perché certamente la nostra tomba
non è di due sudditi.
Possiamo ragionare come segue
Pietra tombale di
due coniugi regali
3
4
Pietra tombale di un
matrimonio misto
5
6
Noi sappiamo che la parte venuta alla luce è regale,
cioè rossa.
È come se noi avessimo un’ urna con quattro biglie:
3 rosse e una verde.
Abbiamo pescato una rossa. Qual è la probabilità
che anche la seconda che pesco dall’urna sia rossa?
Essendo rimaste nell’urna due biglie rosse e
una verde,
la probabilità di pescare una rossa è di 2/3
(~67%),
e non di 1/2 (50%).
È quindi conveniente scavare.
Possiamo ragionare anche come segue:
consideriamo le varie coppie che possiamo avere
3
4
4
3
5
6
Se quello venuto alla luce è il lato 3 allora il rovescio
sarà il 4 rosso.
Se quello venuto alla luce è il lato 4 allora il rovescio
sarà il 3 rosso.
Se quello venuto alla luce è il lato 5 allora il rovescio
sarà il 6 verde.
Quindi la probabilità che la pietra che fuoriesce dalla
collina sia interamente regale non è di 1/2 ma di
2/3.
Spunti tratti
• dal libro di testo, due anni fa, della INTERNATIONAL SCHOOL di Udine
MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison Wesley,
Carrollton, Texas - Menlo Park, California,
• Dal libro “S. HOLMES E LE TRAPPOLE DELLA LOGICA”, pagg. 85-99,
Scienza e Idee
• “L’ALGORITMO DEL PARCHEGGIO” di F. HONSELL, Mondadori
• Il sito www.torinoscienza.it/
• il sito http://www.chihapauradellamatematica.org/
• libri dei licei scientifici