Area dei poligoni

Scuola Interuniversitaria Siciliana di
Specializzazione per l'Insegnamento Secondario
Area:
Poligoni, Circonferenza, Figure
Irregolari
Didattica della Matematica
Classe 59/A – Anno Primo
Relatore: Dott. Geol. Cristiano Villari
Docente: Prof. Maurizio Pennisi
CATANIA, 23 FEBBRAIO 2007
Mappa Concettuale
Prerequisiti:
• Eseguire e riconoscere il disegno di figure geometriche;
• Conoscere e saper utilizzare le unità di misura delle superfici.
Obiettivi:
• Conoscere e saper utilizzare l’area dei poligoni e del cerchio;
• Conoscere le formule per il calcole delle aree.
Metodologie:
• Esposizione dei concetti tramite analogie con il mondo reale;
• Verifica tramite esercizi di quanto appreso;
• Complementarietà con il software Cabrì.
Concetto di superficie ed area
• La superficie è una porzione di piano;
• Ha una lunghezza ed una larghezza;
• E’ priva di spessore (bidimensionale).
• L’area è un numero;
• Indica la misura di una superficie.
Gli
alunni
spesso
fanno
confusione tra i due termini
perché
nel
comune
sono
linguaggio
usati
come
sinonimi (vedi area di rigore).
Misura di una superficie
La superficie é una grandezza cioè può essere misurata.
Per
misurare
la
superficie
dobbiamo scegliere l’unita di
= unità di misura
misura, cioè un’altra superficie
con cui confrontarla.
L’unità di misura che
usiamo abitualmente è
un quadrato di lato 1 m
(metro quadro) od un
multiplo o sottomultiplo
decimale del metro.
Misurare una superficie significa scoprire quante volte essa
contiene l’unità di misura.
Area di figure irregolari
• Disegniamo su un foglio di carta
millimetrata
la
figura
di
cui
vogliamo conoscere l’area;
• Disegniamo sulla nostra figura
solo i quadrati che entrano per
intero (cm2);
• Resteranno porzioni (
) non
coperte dai quadrati rossi;
• Disegniamo
in
queste
parti
i
quadratini più piccoli (mm2);
• La somma totale ci da l’area.
= unità di misura (cm2)
Area: rettangolo e quadrato
Consideriamo
un
rettangolo
qualunque, per esempio uno
avente dimensioni:
base = 8 cm ; altezza = 3 cm.
Disegniamo i quadrati (cm2)
contenuti nel rettangolo:
Il numero totale è 24 
= unità di misura (cm2)
AREA = BASE X ALTEZZA
Area = 24 cm2
Il quadrato è un rettangolo
particolare dove base e altezza
AREA = LATO2
sono uguali al lato.
Nell’esempio consideriamo un quadrato di lato = 3 cm (area = 9 cm2)
Area: parallelogramma e rombo
Consideriamo un parallelogramma
di cui conosciamo base e altezza.
Ritagliamo uno dei due triangoli
spostandolo dalla parte opposta.
Otteniamo un rettangolo
avente la stessa area del
parallelogramma.
Consideriamo un rombo
di
cui
conosciamo
la
misura delle diagonali.
Inscrivo il rombo in un rettangolo
che avrà come dimensioni le diagonali.
AREA = BASE X ALTEZZA
AREA =
PRODOTTO
DELLE DUE
DIAGONALI
DIVISO DUE
Area: triangolo
Sappiamo
che
una
diagonale
divide una parallelogramma in due
triangoli uguali.
Consideriamo un triangolo qualunque.
Consideriamo un secondo triangolo
uguale a quello dato. Unisco questo
triangolo al primo per formare un
parallelogramma.
Calcolo l’area del parallelogramma.
L’area del triangolo è la metà.
b
c
a
A = BASE X ALTEZZA/2
Area: trapezio
Consideriamo un trapezio qualunque.
B
B = base maggiore
h
b = base minore
h = altezza
b
A = area
Affianchiamo
al
trapezio
un
secondo
trapezio uguale al primo, capovolgendolo.
Otteniamo un parallelogramma.
L’area
del
trapezio
è
la
metà
dell’area del parallelogramma.
A = (B+b) x h
2
Area: poligoni regolari
Per calcolare l’area di un poligono si
può dividerlo in triangoli, tracciando
le diagonali, e calcolare l’area di
ciascun triangolo noto il lato l.
Non sempre sono note le altezze dei
triangoli in cui è suddiviso il poligono.
Consideriamo il caso di un poligono
circoscritto ad una circonferenza.
Unendo i vertici del poligono con il centro
della circonferenza dividiamo il poligono
in n triangoli le cui altezze corrispondono
At = l x a/2
al raggio della circonferenza (apotema a).
A = n x l x a/2
L’area è la somma delle aree dei triangoli.
A = P x a/2
Considerazioni sui parallelogrammi
Anche il quadrato è un poligono
circoscrivibile ad una circonferenza
per cui si può applicare la formula
relativa per il calcolo dell’area.
E i parallelogrammi?
Un quadrilatero è circoscrivibile a un
cerchio se e solo se la somma delle
lunghezze dei lati opposti è costante.
Quindi, tra i parallelogrammi solo i rombi
sono circoscrivibili ad una circonferenza.
Possiamo quindi applicare
la formula dell’area per i
poligoni circoscrivibili.
A=½Pxa
A = ½ (4 lato) x ½ lato
A = ½ 4 lato x ½ lato
A = lato x lato = lato2
Circonferenza
Procuriamoci dei dischi di raggi (r)
diversi ed un filo di ferro flessibile.
+
Adagiamo il filo a partire da un
punto, lungo ogni circonferenza
(C),
e
tagliamolo
dove
A
si
B
ricongiunge al punto. Tendiamolo
in modo da disporlo in linea retta
e misuriamolo con la riga.
Misuriamo di ciascun disco il suo
diametro
(d)
e
facciamone
il
rapporto con la circonferenza.
Per
ciascun
disco
il
rapporto
circonferenza / diametro è costante.
C / d = K (costante)
K = 3,14… = π
d = 2r
C = 2πr
Area: cerchio (I)
Consideriamo
raggio
un
di
cerchio
lunghezza
di
r.
Decomponiamo questo mediante
due diametri ortogonali tra loro
in
quattro
settori
Ripetiamo la stessa operazione
dividendo il cerchio in otto settori.
le
1
3
2
1
2
5
6
3
4
uguali.
Ricomponiamolo come in figura.
Aumentando
4
suddivisioni
5 4
2
3
1
2
3
7
4
8
del
cerchio e ricomponendo i triangoli la
figura ottenuta si avvicina sempre
più ad un parallelogramma avente
come base la semicirconferenza e
altezza il raggio del cerchio.
7
6
8 1
A=½Cxr
A = ½ (2πr) x r
A = π r2
Area: cerchio (II)
Disegniamo
alcune
circonferenze
aventi tutte lo stesso raggio r ed in
esse inscriviamo rispettivamente un
quadrato, un esagono, un ottagono.
Al crescere del numero dei lati:
• Il perimetro di avvicina sempre più
a quella della circonferenza;
• La misura dell’apotema si avvicina
sempre più a quella del raggio;
• L’area
del
poligono
si
avvicina
sempre più a quella del cerchio;
A = (P x a)/2
A = (C x r)/2
A = (2 π r x r)/2
A = π r2
Verifiche proposte
Utilizzando le unità di misura indicate, trovare l’area di ciascuna figura.
= unità di misura
Quesiti concettuali
Scrivere la formula per il calcolo della misura richiesta a partire dai dati.
A = ……
h
A
b
l
A = ……
h
h
l = ……
D
d
A = ……
b
b = ……
A
h = ……
b
A
a
a = ……
l = ……
P = ……
Esercizi da svolgere
Rettangolo
Rombo
Base
Altezza
Area
Diagonale
diagonale
Area
12
8
……
8
14
……
18
……
45
22
……
275
……
9
55
…
50
1100
Parallelogramma
Cerchio
Base
Altezza
Area
Raggio
Area
3
15
……
7,5
……
7
……
56
……
20,25 π
……
5
210
……
162,7776
Test a risposta multipla
1) In una circonferenza si indica con la lettera greca π:
a) il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo
diametro;
b) la differenza tra la lunghezza di un diametro e quella del raggio di
una circonferenza;
c) il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del raggio.
2) La formula che permette di calcolare l’area di un poligono
circoscritto ad una circonferenza di raggio r è:
a) A = C x r /2
b) A = P x r / 2
c) A = P x r
3) Qual è l’area di un cerchio avente il diametro lungo 14 cm?
a) 56 π cm2
b) 196 π cm2
π cm2
c)
392
Verifica con Cabrì
Bibliografia
Daniele Valenti, Claudio Gori Giorgi - Matematica per immagini
Geometria – Editore Zanichelli.
Teresa Genovese, Lorenza Manzone Bertone, Giorgio Rinaldi –
Geometria – Editore Lattes.
Dispense del Professore Milici – Geometria prima rappresentazione
del mondo fisico.