Laboratorio05_06 - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

Laboratorio del 29/09/05
Processi AR
Esercizio proposto:
Processo reale AR(1) con autocorrelazione Rx (m)   x2  m
Rappresentazione di una possibile realizzazione, grafico del
coefficiente di autocorrelazione e della densità spettrale di
potenza al variare di 
Uso delle istruzioni: randn, filter, plot e stem
Laboratorio del 29/09/05
Processi AR
Generazione di rumore Gaussiano bianco
w=sigmaw*randn(1,N);
Generazione sequenziale di dati correlati tramite l’istruzione
filter
a(1)=1;
a(2)=-ro;
b(1)=1;
x=filter(b,a,w);
Laboratorio del 29/09/05
Realizzazione
Processo
passa-alto
Processi AR
Laboratorio del 29/09/05
Coefficiente
di
correlazione
Processo
passa-alto
Processi AR
Laboratorio del 29/09/05
PSD
Processo
passa-alto
Processi AR
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
Esercizio proposto:
Sia dato un processo AR(2) che soddisfa all’equazione alle differenze
x(n)  a2,1 x(n  1)  a2,2 x(n  2)  w(n)

Detti p1  p2 i poli del sistema, calcolare la relazione tra tali poli ed i
coefficienti dell’eq. alle differenze. Verificare tale relazione tramite
l’istruzione matlab poly per
p1  0.98  e
j
3
4
continua........
Laboratorio del 6/10/05
Processi AR
• Rappresentare una possibile realizzazione del processo al variare del
modulo e della fase dei poli, supponendo che w(n) sia rumore
Gaussiano bianco con varianza unitaria. Utilizzare l’istruzione filter;
• Calcolare l’espressione della densità spettrale di potenza (DSP) del
processo, verificarne l’esattezza tramite le istruzione matlab poly e
polyval;
• Fare il grafico della DSP al variare del modulo e della fase dei poli.
continua........
Laboratorio del 6/10/05
Processi AR
• Calcolare in forma chiusa l’espressione della correlazione del
processo;
• Verificare il risultato tramite IFFT della DSP del processo;
• Fare il grafico della funzione di autocorrelazione al variare del
modulo e della fase dei poli.
Laboratorio del 6/10/05
Realizzazione
Processo
passa-banda
p1  0.98  e
j
3
4
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
PSD
Processo
passa-banda
p1  0.98  e
j
3
4
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
Funzione di
correlazione
Processo
passa-banda
p1  0.98  e
j
3
4
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
Realizzazione
p1  0.58  e
j

4
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
PSD
p1  0.58  e
j

4
Processi AR
Laboratorio del 6/10/05
Funzione di
correlazione
p1  0.58  e
j

4
Processi AR
Laboratorio del 13/10/05
Media
campionaria
Esercizio proposto:
•Stima del valor medio di un processo Gaussiano a valor medio 
•Calcolo dell’RMSE al variare del numero di campioni N, istogramma
della ddp della stima
•Uso dell’istruzione: hist
Laboratorio del 13/10/05
Media
campionaria
1 N 1
ˆ   x(n)
N n 0
L’RMSE diminuisce all’aumentare di N
Laboratorio del 13/10/05
Media
campionaria
N=8
N=1024
Laboratorio del 20/10/05
Stima ML
Esercizio proposto:
•Stima congiunta del valor medio e della varianza di un processo
Gaussiano a valor medio  e varianza unitaria
•Calcolo della polarizzazione e dell’RMSE al variare del numero di
campioni N
Laboratorio del 20/10/05
1 N 1
ˆ   x(n)
N n 0
RMSE dello
stimatore ML
del valor
medio
Stima ML
Laboratorio del 20/10/05
1 N 1
ˆ   x(n)
N n 0
Polarizzazione
dello stimatore
ML del valor
medio
Stima ML
Laboratorio del 20/10/05
ˆ
2
ML
1 N 1
2
   x(n)  ˆ ML 
N n 0
RMSE dello
stimatore ML
della varianza
Stima ML
Laboratorio del 20/10/05
ˆ
2
ML
1 N 1
2
   x(n)  ˆ ML 
N n 0
Polarizzazione
dello stimatore
ML della
varianza
Stima ML
Laboratorio del 27/10/05
x(n)  A  w(n)
ML vs MAP
w(n)  N (0, 2 )
1) A deterministico incognito
SNR  A2  2
2) A  N (0,  A2 )
SNR   A2  2
Esercizio proposto:
•Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del numero di
campioni N per SNR=-4 dB;
•Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del rapporto
segnale-rumore SNR per N=4;
•Grafici di confronto.
Laboratorio del 27/10/05
SNR=-4 dB
Aˆ ML
Aˆ MAP
1 N 1
  x ( n)
N n 0
N 1
 A2
 2
x ( n)

2
   A N n 0
ML vs MAP
Laboratorio del 27/10/05
N= 4
SNR  A2  2
SNR   A2  2
ML vs MAP
Laboratorio del 27/10/05
ML vs MAP
Conclusioni
•All’aumentare di N lo stimatore MAP tende allo stimatore ML
(informazioni a posteriori dominanti)
•All’aumentare di SNR lo stimatore MAP tende allo stimatore ML
(informazioni a posteriori dominanti)
Stima ML
Laboratorio del 3/11/05
Stima ML dei parametri di una cosinusoide immersa in rumore termico
x(n)  A cos(2f 0Tc n   )  w(n)
fˆ0 ML
1
 arg max
N
f
Aˆ ML
N 1
 j 2 fTc n
x
(
n
)
e

2
n 0
2

N
N 1
 x(n)e j 2 f0 MLTcn
ˆ
n 0
N 1
ˆML  arctg
 x(n)sen(2 fˆ
T n)
 x(n) cos(2 fˆ
T n)
n 0
N 1
n 0
0 ML c
0 ML c
Stima ML
Laboratorio del 3/11/05
Limiti di Cramér-Rao
2 2
CRLB( A) 
N
CRLB( f 0 ) 
12
(2 ) 2 N ( N 2  1)
2(2 N  1)
CRLB( ) 
N ( N  1)
dove  
A2
2 2
Laboratorio del 3/11/05
Esercizio proposto:
•implementazione della stima ML
•calcolo degli RMSE al variare di N
•confronto con i CRLB
istruzioni: fft, angle, max
Stima ML
Laboratorio del 17/11/05
Filtro di Wiener
Modello del segnale e dell’osservato
s(n)   s(n  1)  w(n)
x ( n)  s ( n)  v ( n)
w(n)  N (0,  w2  1)
v(n) N (0, v2 )
w(n) rumore di generazione
v(n) rumore di osservazione indipendente dal s(n)
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
IIR causale:
Si può dimostrare che
 
h( n)   1 
 
 n
  u ( n)

dove
1
1


1
1


   (1   )   2 (1   ) 2  1
se
      0
2

   (1   )   (1   )  1
se
      0
2

2
 s2 1   2
 2
v 1  2
2
 s2
SNR  2
v
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
FIR a 3 prese
sˆ(n)  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  h(2) x(n  2)
E’ necessario risolvere questo sistema
R xh  rxs
Laboratorio del 17/11/05
Filtro di Wiener
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro di Wiener IIR causale
•implementazione del filtro FIR a tre prese
•confronto tra le risposte impulsive e in frequenza
dei due filtri
•confronto fra le uscite dei due filtri
istruzioni: filter, inv
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=-0.9
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=-0.9
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=-0.9
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=10 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=0 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=0 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
SNR=0 dB
=0.99
Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05
Filtro di Wiener
Conclusioni:
• diminuisce all’aumentare di SNR
•Per SNR - (dB) =, h(n)=0 e sˆ(n)  0 cioè
pari al suo valor medio
•All’aumentare di SNR  si allontana da  e tende
a 0. La banda aumenta e il guadagno del filtro IIR
aumenta. Se SNR  il polo si sposta
nell’origine, =0 e il filtro di Wiener diventa
passa-tutto.
Filtro di
Kalman scalare
Laboratorio del 24/11/05
Stimatore: Sˆ (n)  a (n) Sˆ (n  1)  K (n)[ X (n)  ca(n) Sˆ (n  1)]
Guadagno del filtro: K (n) 
cPe (n)
 v2
MSE della stima al passo n: Pe (n) 
Inizializzazione: Sˆ (1)  0
n  0,1,, N  1
 v2
c 2   v2 [a 2 (n) Pe (n  1)   w2 ]1
Pˆe (1)   s2
Laboratorio del 24/11/05
Filtro di
Kalman scalare
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro di Kalman scalare per processi
stazionari e c=1
•grafico del segnale generato, della stima e dell’errore di
stima al variare di SNR e di a
Laboratorio del 24/11/05
SNR=0 dB
a=0.99
Filtro di
Kalman scalare
Laboratorio del 24/11/05
SNR=-10 dB
a=0.99
Filtro di
Kalman scalare
Laboratorio del 24/11/05
SNR=0 dB
a=0.99
Filtro di
Kalman scalare
Criterio
di decisione MAP
Laboratorio del 1/12/05
Segnalazione on-off
H1 :
P( H 0 )  P( H1 )
 nT  T 2 
x(nTc )  A rect c
  w(nTc )
T


H 0 : x(nTc )  w(nTc )
dove: n  0,1,, N  1
in notazione vettoriale:
H1 :
x  As  w
H0 : x  w
N
T
Tc
Criterio
di decisione MAP
Laboratorio del 1/12/05
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro adattato
•grafico del segnale all’ingresso e all’uscita del filtro
adattato al variare del tempo in presenza di rumore bianco
•calcolo della probabilità d’errore teorica e confronto con
quella ottenuta tramite simulazione Monte Carlo in funzione
del rapporto segnale-rumore
•istruzioni: conv, erfc
Q( x)  0.5 * erfc( x
2)
Laboratorio del 1/12/05
Filtro adattato
N=8
SNR=10 dB
Criterio
di decisione MAP
Laboratorio del 1/12/05
Probabilità
d’errore
N=8
Criterio
di decisione MAP
Laboratorio del 15/12/05
Stima spettrale
Sequenza dei dati utili di lunghezza N
d [n] rumore Gaussiano bianco a varianza unitaria
Esercizio proposto:
•Calcolo del periodogramma dei dati al variare di N. Considerazioni
sulla non consistenza dello stimatore
•istruzioni: periodogram
Laboratorio del 15/12/05
Stima spettrale
N=64
N=1024
Laboratorio del 15/12/05
Stima spettrale
Sequenza dei dati utili
y[n]  A1 sin(2 f 0 n)  A2 sin(2  f 0   N  n)  d [n]
dove
d [n] rumore Gaussiano bianco a varianza =10-3
f0  0.2
Stima spettrale
Laboratorio del 15/12/05
Esercizio proposto:
•Risoluzione: si supponga A1=A2=1 e N=64. Calcolare il
periodogramma della sequenza di dati per =0.1, 0.9 e 2 e
commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.
•Leakage: si supponga A1=1 e N=64 e si vari il valore di A2, per es.
A2=0.5, 0.1, 0.01. Calcolare il periodogramma per =4 e commentare
l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.
•In entrambi i
semilogaritmica
casi
•istruzioni: periodogram
disegnare
il
periodogramma
in
scala
Laboratorio del 15/12/05
Stima spettrale
Risoluzione
=0.1
=2