Spirale_logaritmica - Istituto Sacro Cuore Napoli

Spirale logaritmica
Di Andrea Giordano
Aniello Ferrara
Luciano Esposito e
Luigi Sanseverino
La spirale mirabile, struttura ritrovabile anche
nella vita quotidiana, è solo la punta
dell’iceberg della matematica che c’è intorno a
noi: questi spunti di riflessione sono stati
solamente piccole sorprese.
• Una spirale logaritmica,
spirale equiangolare o
spirale di crescita è un tipo
particolare di spirale che si
ritrova spesso in natura. La
spirale logaritmica è stata
descritta la prima volta da
Descartes e
successivamente indagata
estesamente da Jakob
Bernoulli, che la definì
Spira mirabilis, "la spirale
meravigliosa", e ne volle una
incisa sulla sua lapide.
Sfortunatamente venne
incisa una spirale
archimedea al suo posto.
René Descartes (Cartesio)
• René Descartes nacque
il 31 marzo del 1596 è
stato un filosofo e
matematico francese.
Ritenuto da molti
fondatore della filosofia
moderna e padre della
matematica moderna, è
considerato uno dei più
grandi e influenti
pensatori nella storia
dell'umanità.
Jakob Bernoulli
•
Jakob Bernoulli (noto anche
come Jacques Bernoulli o
Giacomo Bernoulli) (Basilea, 27
dicembre 1654 – Basilea, 16
agosto 1705) è stato un
matematico e scienziato
svizzero. Jakob Bernoulli seguì la
volontà di suo padre cominciando
gli studi in teologia, ma nel 1676
incontrò Robert Boyle durante
un viaggio in Inghilterra, e si
dedicò così alle scienze e alla
matematica. Nel 1682 divenne
lettore all'Università di Basilea
e nel 1687 professore di
matematica.
La Spirale logaritmica in natura
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I falchi si avvicinano alla loro
preda secondo una spirale
logaritmica: il loro angolo di
vista migliore forma un certo
angolo con la loro direzione di
volo, e questo angolo è
l'inclinazione della spirale.
Si possono osservare spirali
logaritmiche nella
disposizione delle foglie di
alcune piante, definita come
fillotassi. Un esempio sono
alcune piante grasse.
Anche in astronomia si ritrova
questo fenomeno, soprattutto
nella forma delle galassie a
spirale.
Gli insetti si avvicinano a una
sorgente di luce seguendo una
spirale logaritmica perché
sono abituati ad avere la
sorgente di luce a un angolo
costante rispetto al loro
percorso di volo. In genere il
sole è l'unica sorgente di luce
e volando in questo modo si
ottiene un percorso
praticamente rettilineo.
FRATTALI, PROBLEMI E REALTA’
• Tra i disegni sulla spirale
mirabile, spicca la
bellissima costruzione
“Vortici” del artista e
• matematico olandese M.
C. Escher (1898 – 1972)
(fig. 8): due lossodromie
(la curva inversa alla
• spirale logaritmica)
seguono le spine dorsali
dei due pesci.
L’UOMO
• Per quanto riguarda
l’uomo, è significativo
assimilare l’orecchio
esterno ad una spirale.
• nell’apparato uditivo la
chiocciola o coclea (dal
latino di chiocciola) ha
questa forma. Essa è
responsabile di percepire
le vibrazioni prodotte
dalle onde sonore e,
tramite alcuni recettori,
trasformarle in segnali
nervosi (fig. 20).
La relazione tra i numeri di
Fibonacci e la spirale
logaritmica si rivela evidente se
si costruisce una serie di
quadrati in cui il lato di ognuno
di questi è dato dalla somma
delle misure dei lati dei due
precedenti. Se li disponiamo
come in figura e tracciamo un
arco di cerchio avente per
raggio il lato del quadrato, la
figura che si ottiene è una
spirale logaritmica.
Altrettanto curioso un altro
famoso problema matematico,
detto dei cani .
• Se dei cani posti all’angolo di
un cortile quadrato, inseguono
alla stessa velocità il cane alla
loro destra, quale traiettoria
compiono e quale è il loro
punto di incontro?
• Risposta: i cani
percorreranno una spirale
logaritmica . Prima di
raggiungersi i cani dovranno
compiere un numero infiniti di
giri attorno al centro della
corte.”
• Questo problema
definisce la spirale
logaritmica come curva
di inseguimento e di
fuga, caratteristica per
la quale la curva è
studiata per l’analisi
delle traiettorie dei
missili a ricerca
termica. Il problema
può essere
generalizzato:
• n cani partono dai
vertici di un poligono di
n lati, ogni cane si
dirige verso il
compagno più vicino in
senso antiorario ed a
velocità costante
Nella vita quotidiana si incontrano moltissime spirali, ovviamente non tutte
“meravigliose”, tuttavia è curioso notare che l’uomo utilizza spesso la forma
logaritmica
La spirale ‘meravigliosa’ nelle
Scienze
• La natura ama le spirali logaritmiche: dai
girasoli alle conchiglie, dai vortici agli
uragani alle immense spirali galattiche,
sembra che la natura abbia scelto
quest’armoniosa figura come proprio
ornamento favorito.”
Mario Livio
Leonardo Fibonacci
•
Assieme al padre Guglielmo dei Bonacci
(Fibonacci sta infatti per filius Bonacci), facoltoso
mercante pisano e rappresentante dei mercanti
della Repubblica di Pisa , passò alcuni anni in
Algeria, dove studiò i procedimenti aritmetici che
studiosi musulmani stavano diffondendo nelle varie
regioni del mondo islamico. Qui ebbe anche precoci
contatti con il mondo dei mercanti e apprese
tecniche matematiche sconosciute in Occidente.
Alcuni di tali procedimenti erano stati introdotti per
la prima volta dagli Indiani, portatori di una cultura
molto diversa da quella mediterranea. Proprio per
perfezionare queste conoscenze, Fibonacci viaggiò
molto, arrivando fino a Costantinopoli, alternando il
commercio con gli studi matematici. Una sequenza
famosa: i numeri di Fibonaccii quali sono noti
soprattutto per la sequenza di numeri da lui
individuata e conosciuta, appunto,
come successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89 ...in cui ogni termine, a parte i
primi due, è la somma dei due che lo precedono.
Sembra che questa sequenza sia presente in
diverse forme naturali (per esempio, negli sviluppi
delle spirali delle conchiglie, ecc.).Una particolarità
di questa sequenza è che il rapporto tra due termini
successivi diminuisce progressivamente per poi
tendere molto rapidamente al numero 1,61803...,
noto col nome di rapporto aureo o sezione aurea.
La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra
due termini successivi si avvicina molto rapidamente
al numero decimale 0,618:
1:2=0,500
2:3=0,667
3:5=0,6
5:8=0,625
8:13 = 0,615
...
34:55=0,618
SEGMENTO AUREO
Dato un segmento (AC), si ottiene una
sezione aurea quando il tratto più corto
(BC) sta al tratto più lungo (AB) come il
tratto più lungo (AB) sta al segmento
intero (AC).
In sintesi la proporzione è così espressa:
BC: AB=AB: AC
La sezione aurea è la divisione di un segmento
in modo che l’elemento più corto sta al più
lungo come il più lungo sta all’intero segmento;
tale ragionamento produce il numero
irrazionale 0,618 detto rapporto aureo, il cui
inverso è 1.61803
Il numero irrazionale, numero aureo ,
di cui 0,618 è una approssimazione, è
noto con il nome di numero Aureo, e
viene definito come il rapporto della
sezione aurea
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•
Costruzione della sezione aurea di
un segmento.
Dato il segmento AB, si conduca
per l’estremo B la perpendicolare
ad AB, si stacchi sulla
perpendicolare un segmento OB
= (AB/2).
Centro in O e raggio OB si
descriva una circonferenza , si
tracci da A una secante che passi
per il centro O e intersechi la
circonferenza nei punti
C e D.
Centro in A e raggio AC si
descriva un arco che intersechi
AB in E.
Il segmento AE è la sezione aurea
del segmento AB .
Lo stesso procedimento è possibile farlo per il triangolo aureo
“se si sottrae da un triangolo aureo uno gnomone
aureo, cioè un triangolo isoscele coi lati uguali alla sezione aurea del lato maggiore del
triangolo si
partenza, si ottiene un triangolo aureo” .
Rettangolo aureo
•
•
Per costruire il rettangolo aureo si
disegna un quadrato di lato i cui
vertici chiameremo, a partire dal
vertice in alto a sinistra e procedendo
in senso orario, AEFD. Quindi
dividere il segmento AE/DF in due
chiamando il punto medio A'.
Utilizzando il compasso e puntando
in A' disegnare un arco che da E
intersechi il prolungamento del
segmento DF che chiameremo C.
Con una squadra disegnare il
segmento CB perpendicolare a DF,
ed il segmento EB, perpendicolare a
EF.
Il rettangolo ABCD è un rettangolo
aureo nel quale il lato AB è diviso dal
punto E esattamente nella sezione
aurea:
AE:EB=AB:AE
•
La proporzione aurea fu molto
utilizzata dagli antichi Greci come
rapporto armonico nelle costruzioni
architettoniche, le ritroviamo nelle
piramide egizie e nel Partenone
nell'Acropoli Ateniese, e nelle
rappresentazioni scultoree. Il rapporto
aureo fu largamente ripreso anche nel
Rinascimento: le dimensioni della
Monnalisa, di Leonardo da Vinci,
sono in rapporto aureo. E ancora fino
ai giorni nostri, nell'architettura
moderna: il Palazzo di Vetro delle
Nazione Unite ha proporzioni auree.
La sequenza di Fibonacci è
abbondantemente rappresentata anche
in musica, ad esempio nelle sonate di
Mozart, nella Quinta Sinfonia di
Beethoven, nella Sonata in la D 959
di Schubert;
Il palazzo dell’ ONU
•
L'edificio più noto del complesso è il
cosiddetto Palazzo di Vetro in cui ha sede
il Segretariato delle Nazioni Unite. Quanto
alla facciata del Palazzo di Vetro, ovvero la
sede centrale delle Nazioni Unite, che
diverse fonti portano come ulteriore
esempio, questa volta moderno, di
applicazione della sezione aurea in
architettura, è facile arrivare ad una
conclusione negativa. Il palazzo è infatti alto
154 m. e largo 87,5m[6], quindi il rapporto
fra le due dimensioni della facciata è 1,76:
un rapporto che solo molto grossolanamente
può essere considerato vicino a phi e certo
non permettere di annoverare tale edificio
fra quelli basati sul rettangolo aureo.
Partenone
• Il rapporto aureo fu
largamente ripreso
anche nel Rinascimento:
le dimensioni della
Monnalisa, di Leonardo
da Vinci, sono in
rapporto aureo.