serie di Fibonacci

Fibonacci (1175 circa – 1240 circa)
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Luciano Zazzetti
Ma chi era?
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Leonardo Pisano, detto Fibonacci
Assimilò le conoscenze matematiche del mondo
arabo
Pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale,
il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel
mondo scientifico occidentale le regole di calcolo
note agli Arabi
Nel 1225 L’imperatore del Sacro Romano Impero
Federico II si recò a Pisa con un gruppo di
matematici per metterlo alla prova e gli pose il
seguente problema “Trovare il quadrato di un
numero che rimanga un quadrato sia che venga
diminuito e sia che venga aumentato di 5”
Fibonacci dopo averci pensato un po’ trovò il
numero [soluzione]
1681
144
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Luciano Zazzetti
Fibonacci e… la serie di Fibonacci
Nel “Liber Abaci”, poneva
il seguente problema
matematico: “Se una
coppia di conigli
rimane isolata, quanti
conigli nasceranno
nel corso di un anno,
ammesso che ogni
mese una coppia di
conigli ne produca
un'altra coppia, e che i
conigli incomincino a
partorire due mesi
dopo la propria
nascita?"
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Luciano Zazzetti
La serie di Fibonacci
• I termini della successione sono 1,1,2,3,5,8,13,21,…
• Come si ottiene un termine della successione senza
mettersi a disegnare moltitudini (greggi? mandrie?) di
conigli?
• Ciascun termine è la somma dei due
precedenti!
• Al 12° mese si avranno quindi 377 conigli
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Luciano Zazzetti
Alcune proprietà della serie di
Fibonacci
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F1+F2+F3+…+Fn=Fn+2-1
Es. sommando i primi 6 termini si ottiene il
termine 8 meno 1, cioè 1+1+2+3+5+8=20
(l’ottavo termine è 21)
F12+F22+F32+…+Fn2=Fn x Fn+1
Fn2 – Fn-1 x Fn+1 = ± 1
F1+F3+F5+…+F2n-1 = F2n
F2+F4+F6+…+F2n= F2n+1 – 1
Nel triangolo di Tartaglia la somma dei
numeri su una diagonale è un termine della
serie di Fibonacci
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Luciano Zazzetti
La serie di Fibonacci e la sezione
aurea
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Riscriviamo ancora i
primi termini e
calcoliamo il
rapporto tra ciascun
termine ed il suo
precedente
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Luciano Zazzetti
La sezione aurea
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I geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi
linea data in due segmenti, in modo che il rapporto fra
il segmento più lungo e quello più corto fosse identico
al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. La
divisione della linea era detta sezione aurea, il rapporto
proporzionale era la proporzione divina, e il numero
con cui era possibile esprimere tale rapporto era il
numero aureo o aurea mediocrità. In altre parole,
l'intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del
segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa
1,618034 più lungo del segmento più corto.
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Luciano Zazzetti
Sezione aurea 2
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Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei
rettangoli aurei - rettangoli cioè in cui il rapporto fra il lato
lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che
quella figura fosse gradita all'anima. Se da uno spigolo di
rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo
che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei
erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la
facciata dei templi . Il Partenone, sull'Acropoli di Atene, si
conforma a questa regola.
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Luciano Zazzetti
Sezione aurea 3
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Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri
umani erano costruiti secondo la proporzione divina.
L'ombelico di una statua, per esempio, divideva l'altezza
del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento
superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due
segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine,
dividevano in maniera analoga la testa
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Luciano Zazzetti
Sezione aurea 4
La si ritrova:
 Nelle partiture musicali (il tempo sostituisce lo spazio)
 In natura: parecchie varietà di comuni organismi marini,
dal plancton alle lumache al nautilo, presentano spirali
auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie.
La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali
auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa
forma alle ancore. Anche la maggior parte delle corna,
delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla
spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della
Via Lattea e di molte altre galassie.
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Luciano Zazzetti
Spirale aurea
Partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato,
quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo.
L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che
lasciano sempre rettangoli aurei. Se uniamo poi i due vertici opposti dei
quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale
logaritmica, nota come la "spirale d'oro"
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Luciano Zazzetti
La serie di Fibonacci in natura
– In molte specie vegetali, prime fra tutte le Astaracee (girasoli,
margherite, ecc.), il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero
di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della
diaccola.
– Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo
verso l'esterno - una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno
studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98
per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si
diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o
adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci - per esempio 8
spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro.
– Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai
fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test
compiuto su 2000 ananas.
– Su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che
comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque,
dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia
allineata con la prima. a seconda delle specie, questa sarà la seconda, la
terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia.
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Luciano Zazzetti
Esempi
La distribuzione a spirale dei semi di un girasole. La spirale
più interna rossa è costituita da 55 semi, in quella più esterna
verde se ne contano 89.
Ogni dieci semi si trova una marcatura bianca.
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Luciano Zazzetti
Esempi
Una pianta illustra che ciascun livello successivo è spesso
basato sulla sequenza di Fibonacci.
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Luciano Zazzetti
Esempi
Se si taglia trasversalmente un frutto oppure un ortaggio
spesso si trovano simmetrie di ordine corrispondente ai
numeri della serie di Fibonacci (3 nella banana e 5 nella
mela
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Esempi
La successione di Fibonacci si ritrova di frequente anche nel campo animale costituendo un
utile riferimento anche per lo studio di canoni artistici grazie al particolare rapporto anche
con la sezione aurea.
Le proporzioni dell'indice della mano evidenziano le relazioni tra gli elementi della sua
struttura ossea
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Luciano Zazzetti
Fibonacci e la borsa
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Secondo Elliott (inizio ‘900) l’universo è regolato da leggi naturali
ben definite, il principio di base che regola lo sviluppo di ogni forma
di vita e di ogni fenomeno è quello della crescita secondo un ordine
prestabilito che Elliott credette rintracciare nella serie di Fibonacci
Questa legge della natura che lui classifica con una ciclicità
associata alla serie Fibonacci caratterizza tutti gli eventi della terra,
dove ad ogni azione corrisponde una reazione in modo costante
ed immutabile. Questa è la regola principale vuol dire che ad ogni
salita corrisponde una discesa.
Egli considerava la borsa ed i mercati in generale, un fenomeno di
tipo puramente psicologico, dove le valutazioni delle aziende quotate
non rispecchiavano le reali condizioni patrimoniali od i fattori
politici e sociali, ma solo le reazioni che aveva l’uomo al
manifestarsi di questi eventi.
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Le onde di Elliott
La teoria si basa su onde di impulso alternate da onde di correzione.
Guardando il trend avremo 5 onde nel trend principale (1 2 3 4 5 ) e 3 onde nel
trend secondario (A B C) che correggono il movimento del trend principale.
Le onde 1,3,5 sono onde di impulso del trend principale, mentre la 2 e la 4 sono
onde di correzione sempre del trend principale Il movimento viene corretto da un
movimento secondario che sarà contro il trend principale che era quello rialzista e
sarà il movimento correttivo, verrà giù con un’onda A, tornerà su con una B per
fare un nuovo minimo in C. E da qui inizierà un nuovo ciclo.
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Elliott e Fibonacci
Elliott notò che in un periodo di 80 anni il
mercato si era mosso al rialzo in una serie
di cinque onde e quindi era declinato in
una serie di tre onde. Concluse che un
singolo ciclo comprendeva otto onde (3, 5,
8 naturalmente sono…)
 Senza entrare nei dettagli: i rapporti tra le
varie ‘altezze’ delle onde dipendono dal
rapporto aureo che a sua volta…
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Ma allora… “Fibonacci spiega
tutto”?
A guardar bene…
 Molte grandi opere d'arte non hanno
nessun rapporto apparente con la
proporzione aurea;
 In natura troviamo che alcuni dei fenomeni
citati non sono che manifestazioni
occasionali o approssimative della spirale
aurea o della sequenza di Fibonacci.
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