present. ppt

Stabilità dei sistemi
+
G(s)
G(s)
G(s)
-
H(s)
Retroazionati
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
1
Sommario






In questa lezione si tratteranno:
La funzione di trasferimento dei sistemi
retroazionati (di controllo)
La funzione di trasferimento ad anello aperto
Concetto di stabilità
Condizioni di stabilità
Criterio di stabilità di Bode
I margini di fase e di ampiezza
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
2
Premessa
La funzione di trasferimento di un sistema
retroazionato (o anche a catena chiusa) è,
com’è noto:
G( s)
W ( s) 
1  G( s) H ( s)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
3
Premessa
Il prodotto che compare al denominatore della
W(s)
G (s)  H (s)
è la cosiddetta funzione di trasferimento ad
anello aperto
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
4
Cos’è la stabilità?
 La stabilità è un concetto basilare della fisica
 Tale concetto, pienamente applicabile nel caso
dei sistemi di controllo in esame, si riferisce
alla tendenza di un sistema a ritornare verso
lo stato di equilibrio dal quale il sistema è
stato allontanato con una perturbazione
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
5
Cos’è la stabilità?
perturbazione
sistema
stabilità
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
6
Cos’è la stabilità?
 Naturalmente, le grandezze in gioco nella
stabilità sono quelle che definiscono il sistema
e cioè le variabili di stato oppure le uscite
u(s)
 Inoltre, come risalta nell’esempio che segue, la
stabilità dipende anche dall’entità delle
perturbazioni (o sollecitazioni)
 Una perturbazione troppo grande può
portare il sistema a stati instabili
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
7
Cos’è la stabilità?
perturbazione eccessiva
instabilità
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
8
Cos’è la stabilità?
 Si può allora così specificare la stabilità nello
studio dei sistemi lineari invarianti (p. es. i
sistemi di controllo):
un sistema è stabile se, in
conseguenza di una sollecitazione
limitata, la sua risposta (variazione
dell’uscita) è limitata
(Bounded Input Bounded Output)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
9
Come si verifica la stabilità?
La stabilità di un sistema può
essere verificata studiando la sua
funzione di trasferimento W(s)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
10
Come si verifica la stabilità?
Lo studio della funzione di trasferimento
W(s) di un sistema retroazionato è però
pesante perché
 richiede lunghi calcoli
matematici
 si operano somme,
prodotti e divisioni con
polinomi complessi di
ordine qualsiasi!
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
11
Come si verifica la stabilità?
Esiste un modo più semplice per
studiare la stabilità di un sistema
retroazionato?
Fortunatamente sì!
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
12
Come si verifica la stabilità?
Si studia la sola funzione di trasferimento
ad anello aperto H(s)•G(s)
 È sicuramente più
semplice; non c’è da
fare minimi comuni
multipli fra polinomi
complessi
 Trovata la chiave!
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
13
Riepilogo
 Un sistema si dice stabile se a variazioni
limitate dell’ingresso corrispondono
variazioni limitate dell’uscita
 In altre parole se il sistema è in uno stato
stabile e lo si perturba (senza esagerare!),
l’uscita varierà in modo limitato
 La stabilità di un sistema retroazionato (di
controllo) può essere verificata studiando la
funzione di trasferimento ad anello aperto
H(s)•G(s)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
14
Condizioni di stabilità
 Una condizione necessaria, ma non
sufficiente, perché un sistema sia stabile è che
i poli e gli zeri della sua funzione di
trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s)
siano a parte reale non positiva
 Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo
 La suddetta condizione si presenta molto
frequentemente nella pratica dei sistemi di
controllo
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
15
Condizioni di stabilità
 Se dunque siamo in presenza di un sistema a
sfasamento minimo, si può considerare quale
condizione di stabilità il criterio di stabilità
ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il
cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è
una conseguenza diretta del suddetto criterio di
Nyquist
 Il criterio di stabilità di Bode può essere
enunciato come segue:
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
16
Criterio di stabilità di Bode
Un sistema a sfasamento
minimo è stabile se la funzione
di trasferimento ad anello
aperto G(s)•H(s), alla
pulsazione di taglio wt, ha una
fase con valore assoluto
minore di 180°
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
17
Cos’è wt?
wt è la pulsazione (detta di
crossover) per la quale il
modulo del guadagno vale 1;
tale valore equivale a 0 dB e
quindi wt è la pulsazione che si
individua nell’intersezione fra il
diagramma di Bode del modulo
e l’asse delle pulsazioni w
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
18
Cos’è la pulsazione di crossover
(o di taglio) wt?
|G(s)•H(s)|
Questo è il
valore di wt
w

E questa è la
fase della
G(s)•H(s) alla
w w
pulsazione
t
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
19
Condizioni di stabilità
 In realtà, il criterio di Bode individua
condizioni di stabilità che spesso, nella
pratica, sono insufficienti a garantire una
adeguata stabilità dei sistemi di controllo
 Nella pratica è quindi utile introdurre due
parametri che permettono una definizione più
adeguata delle condizioni di stabilità di un
sistema di controllo:


il margine di fase
il margine di ampiezza (o di guadagno)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
20
Cos’è il margine di fase?
 Il margine di fase può essere definito:
m = 180° + (wt)
 Il margine di fase è quindi un angolo che si
ricava dalla somma di 180° più la fase della
funzione di trasferimento ad anello aperto alla
pulsazione di crossover
 L’individuazione del margine di fase è ancora
più semplice con i diagrammi di Bode, come
nell’esempio che segue
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
21
Cos’è il margine di fase?
|G(s)•H(s)|
In corrispondenza
di wt
che, in
questo
esempio,
vale
-135°
w

-90°
-135°
-180°
Il margine di fase m
dell’esempio considerato, vale
dunque
180°-135°=+45°
si trova
(wt)
(wt)
w
m
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
22
Condizioni di stabilità
 Si può dire in definitiva che il sistema di
controllo è sufficientemente stabile se il
margine di fase è maggiore di 30° (m > 30°)
 Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se
il margine di fase è negativo (m < 0°)
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
23
Cos’è il margine di ampiezza?
 Il margine di ampiezza può essere definito:
mgdB = 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)
 Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza
fra 0 ed il valore in dB del modulo della
G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione
di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°
 L’individuazione del margine di ampiezza è
ancora più semplice con i diagrammi di Bode,
come nell’esempio che segue
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
24
Cos’è il margine di ampiezza?
|G(s)•H(s)|
mgdB = 0-|G(s)•H(s)|dB(=-180°)
2. si rileva il modulo del
guadagno in dB
w
Il margine di ampiezza mgdB
dell’esempio
considerato, è

dunque positivo
3. che, in questo esempio, è
negativo
w
1. In corrispondenza di
 = -180°
-180°
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
25
Condizioni di stabilità
 Concludendo, si può dire che un sistema di
controllo (retroazionato) a sfasamento
minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad
anello aperto a parte reale non positiva) è
stabile se i margini di fase m e di ampiezza
mgdB sono entrambi positivi
 Per avere una adeguata stabilità bisogna però
verificare che m sia maggiore di 30° e che
mgdB sia maggiore di 1020 dB
Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto
26