curva di HILBERT

Curva di Peano e
curva di Hilbert
Si ringrazia sentitamente l’esperto Giorgio Pietrocola, per i suoi
consigli riguardanti l’uso del linguaggio logo e per il suo prezioso
apporto, decisamente illuminante...
05/03/2006
A cura di Ivana Niccolai
Indice
•Costruzione della curva di Peano (due slides)
•Dimensione della curva di Peano (quattro slides)
•Animazione degli stadi di costruzione
della curva di Peano
•Costruzione della curva di Hilbert (due slides)
•Animazione esplicativa della “genesi” della curva di Hilbert
(dell’esperto Giorgio Pietrocola)
•Lunghezza della poligonale – Generalizzazione (di Giorgio
Pietrocola)
•Animazione degli stadi di costruzione
della curva di Hilbert
•Bibliografia
A cura di Ivana Niccolai
Costruzione della curva di
Peano
1/2
Si divide un segmento unitario in tre
segmenti uguali.
Sulla parte centrale si costruisce un
rettangolo formato da due quadrati e il
lato di ognuno è 1/3 del segmento
iniziale. È esattamente una poligonale,
formata da 9 segmenti, che può essere
percorsa senza alzare la matita e senza
passare due volte sullo stesso tratto.
A cura di Ivana Niccolai
Costruzione della curva di
Peano
2/2
Tale costruzione si ripete su ciascuno dei 9
segmenti, dividendo ognuno in tre parti
uguali e costruendo sulla parte centrale un
rettangolo con il medesimo procedimento
illustrato nella diapositiva precedente.
Continuando, con l’aiuto di un calcolatore,
si realizza una curva che… “annerisce”
l’intero quadrato!
A cura di Ivana Niccolai
Dimensione della curva di
Peano
1/4
Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano era
giunto a concludere che tale curva ha
dimensione 2.
Il segmento di partenza viene diviso in 3
parti uguali e il numero dei segmenti della
poligonale è 9
quindi:
9 = 32
Ciò suggerisce di dare all’esponente 2 il
significato di dimensione, per cui è uguale a
2 la dimensione della curva ottenuta
ripetendo all’infinito la costruzione.
A cura di Ivana Niccolai
Dimensione della curva di
Peano
2/4
Analizziamo con attenzione la costruzione
iniziale della curva di Peano
La poligonale è formata da 9 segmenti che
si possono ottenere partendo dal
segmento iniziale e costruendo, su questo,
un quadrato
A cura di Ivana Niccolai
Dimensione della curva di
Peano
3/4
Si scompone tale quadrato in 9
quadratini uguali. Si possono mettere
tali 9 quadratini in corrispondenza
biunivoca con i 9 segmenti della
poligonale iniziale e si rende
visualizzabile tale corrispondenza, in
modo che ogni segmento della
poligonale sia la diagonale di un
quadratino.
A cura di Ivana Niccolai
Dimensione della curva di
Peano
4/4
Ripetendo la costruzione su
ciascuno dei 9 quadratini, si
capisce che, continuando a
reiterare lo stesso
procedimento, la poligonale
tende a una curva che
passerà per tutti i punti del
quadrato e avrà la
dimensione uguale a 2.
Come si agisce su un quadratino
Come si agisce sui 9 quadratini
A cura di Ivana Niccolai
Animazione degli stadi di
costruzione
della curva di PEANO
A cura di Ivana Niccolai
Costruzione della curva di
Hilbert
1/2
Si parte da un quadrato di lato unitario e lo si
divide in 4 quadratini uguali; si prende il centro
di ognuno di essi e lo si congiunge col centro di
due quadratini adiacenti con una linea spezzata
di tre segmenti. Ciascuno dei 3 segmenti rettilinei
della poligonale è ½ della misura del lato del
quadrato di partenza. La poligonale è lunga 3/2. Primo stadio della costruzione
Al secondo stadio della costruzione ognuno dei 4
quadratini viene diviso in 4 quadratini uguali e si
ripete lo stesso procedimento. Considerando
anche il numero dei segmentini che si ripetono
lungo uno stesso segmento, la poligonale risulta
formata da 15 segmentini congruenti, che
misurano, ognuno, ¼ della misura del lato del
quadrato di partenza. La poligonale è lunga 15/4.
Secondo stadio della costruzione
A cura di Ivana Niccolai
Costruzione della curva di
Hilbert
2/2
Al terzo stadio della costruzione ognuno dei
16 quadratini viene diviso in 4 quadratini
uguali e si ripete lo stesso procedimento.
La poligonale risulta formata da 63
segmentini congruenti, che misurano,
ognuno, 1/8 della misura del lato del
quadrato di partenza. La poligonale è lunga
63/8.
Al quarto stadio della costruzione ognuno
dei 64 quadratini viene diviso in 4
quadratini uguali e si ripete lo stesso
procedimento. La poligonale risulta formata
da 255 segmentini congruenti, che
misurano, ognuno, 1/16 della misura del
lato del quadrato di partenza. La poligonale
è lunga 255/16.
A cura di Ivana Niccolai
Terzo stadio della costruzione
Quarto stadio della costruzione
Animazione esplicativa della
“genesi” della curva di Hilbert
(dell’esperto Giorgio Pietrocola)
Con la seguente animazione, l’esperto Giorgio Pietrocola illustra chiaramente come
a ogni stadio della costruzione si ripeta quattro volte la figura dello stadio precedente
e come ogni volta tre segmentini di raccordo rappresentino il tessuto connettivo della
poligonale.
A cura di Ivana Niccolai
Lunghezza della poligonale
Generalizzazione
(di Giorgio Pietrocola)
Segmenti congruenti di cui è costituita la poligonale
1° stadio: 3 (ognuno misura ½)
2° stadio: 4*3+3 = 4^2-1 = 15 (ognuno misura ¼)
3° stadio: 4*15+3 = 4^3-1 = 63 (ognuno misura 1/8)
4° stadio: 4*63+3 = 4^4-1 = 255 (ognuno misura 1/16)
5° stadio: 4*255+3 = 4^5-1 = 1023 (ognuno misura 1/32)
Ecc.
Generalizzando, indicando con s i vari stadi della costruzione,
la misura della lunghezza della poligonale è data da:
(4^s – 1)/2^s
A cura di Ivana Niccolai
Animazione degli stadi di
costruzione
della curva di HILBERT
A cura di Ivana Niccolai
Bibliografia
•Emma Castelnuovo “PENTOLE, OMBRE, FORMICHE ( In
viaggio con la matematica)" ed. La Nuova Italia
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/castelnuovo.ht
m
•Giuseppe Arcidiacono “SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI - Il
magico mondo della geometria”, Di Renzo Editore, 2004 www.direnzo.it
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/ARCIDIACON
O.htm
A cura di Ivana Niccolai