Multipli di 11 Unità

ERATOSTENE
Nato nel 276 a.C a Cirene (Libia)
Morto nel 194 a.C. ad Alessandria
d'Egitto
Matematico, astronomo e poeta greco, è considerato il
primo uomo ad aver descritto e applicato una tecnica valida
di misurazione delle dimensioni della Terra.
Egli riuscì inoltre a determinare con grande accuratezza
l'inclinazione dell'eclittica (e cioè l'inclinazione dell'asse
terrestre) e compilò un catalogo stellare.
Come matematico, viene ricordato soprattutto per il famoso
Crivello di Eratostene: una tecnica per compilare la tavola
dei numeri primi.
Dopo aver compiuto i suoi studi ad Alessandria e ad Atene,
nel 255 a.C. Eratostene si stabilì definitivamente in
Alessandria e divenne il direttore della famosa biblioteca.
Lavorò ad un calendario e cercò di fissare le date dei
principali eventi letterari e politici accaduti a partire
dall'assedio di Troia. I suoi scritti comprendono poemi
ispirati all'Astronomia, come anche lavori di teatro e
trattati di etica.
In tarda età divenne cieco e si dice che abbia voluto
suicidarsi lasciandosi morire di fame.
Crivello di Eratostene
I numeri primi sono infiniti e non esiste una regola
che possa generarli tutti, o meglio, non è stata
ancora trovata.
Ci sono molti metodi per generarne un po’…..
il più conosciuto ed anche il più semplice è il
crivello di Eratostene ….
Eliminiamo, a turno, dai primi 100 numeri :
l’unità, i multipli di 2, i multipli di tre, di 5…
fino a quando dalla tavola non andrà via più
alcun numero…
..i numeri rimasti saranno tutti
primi
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2
11
21
31
41
51
61
71
81
91
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
2
11
21
31
41
51
61
71
81
91
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
2
11
31
41
61
71
3
13
23
43
53
73
83
91
5
7
17
25
35
55
65
85
95
37
47
67
77
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
19
29
49
59
79
89
2
11
31
41
61
71
3
13
23
43
53
73
83
91
5
7
17
25
35
55
65
85
95
37
47
67
77
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
19
29
49
59
79
89
2
11
31
41
61
71
3
13
23
5
7
17
37
47
43
53
67
77
73
83
91
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
19
29
49
59
79
89
2
11
31
41
61
71
3
13
23
5
7
17
37
47
43
53
67
77
73
83
91
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
19
29
49
59
79
89
2
11
31
41
61
71
3
13
23
5
7
17
19
29
37
47
43
53
59
67
73
83
79
89
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
2
11
31
41
61
71
3
13
23
5
7
17
19
29
37
47
43
53
59
67
73
83
79
89
97
Unità
Multipli di 3
Multipli di 7
Multipli di 2
Multipli di 5
Multipli di 11
2
11
31
41
61
71
3
13
23
43
53
5
7
17
19
29
37
47
59
67
73
83
79
89
97
Poiché in questo passaggio non è stato più eliminato alcun
numero, la tabella contiene solo numeri primi.
Ci sono altri modi per ottenere numeri primi, sono
basati su delle formule che però…funzionano…fino
ad un certo punto…
………………………………………………………………………
Molto celebre è quella di Pierre de Fermat (16011665) :
n
Fn  2
2
1
Il suo inventore pensava che dovesse produrre solo
numeri primi…invece ciò è vero solo fino ad n=4
Fn  2
2n
1
20
 1  21  1  3
21
 1  22  1  5
F2  2
22
 1  2 4  1  17
F3  2
23
 1  2 8  1  257
24
 1  216  1  65537
F0  2
F1  2
F4  2
Questi 5 numeri
che, come si vede,
crescono molto
velocemente, sono
effettivamente
primi…ma già il
sesto, F5 , non lo
è…
A dimostrarlo fu Eulero, nel 1732, scomponendolo…..
F5  2
25
 1  232  1  4.294.967.297 
 641  6.700.417
Alcuni matematici hanno congetturato che deve
esistere un’infinità di Fn primi, altri la pensano al
contrario.
Tali numeri diventano assai presto
“catastroficamente grandi” :
F10 ha già 309 cifre!!
Il matematico francese Edouard Lucas (1842-1891)
diceva, a proposito di F36, che la striscia di carta che
lo conteneva avrebbe fatto il giro della terra !
Un’altra formula famosa è quella dei
numeri di Mersenne……
Padre Marin Mersenne (1588-1648),
dilettante di matematica e amico di Pascal e
di Fermat, pensava che i numeri del tipo:
p
Mp  2  1
Con p numero primo
fossero primi per p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127,
257 e per nessun altro valore inferiore a 257….
Ma padre Mersenne non aveva certo dimostrato le
sue congetture effettuando tutti i calcoli….
…più tardi….furono infatti trovati degli errori..
Tra i numeri indicati, 267-1 e
2257-1 non risultarono primi
261-1 , 289-1 e 2107-1 sono primi
contrariamente a quanto
affermava Mersenne
(Mp=2p-1, primi per p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,
127, 257 e per nessun altro valore inferiore a
257….)
Dimostrare che
M67 = 267-1
non è primo ha richiesto
al matematico americano
F.N. Cole (1861-1927),
come ha detto egli stesso,
“tre anni di domeniche”
Nel corso di una riunione memorabile dell’American
Mathematical Society a New York nel 1903….
Cole, che fu sempre una persona di poche parole, si
avvicinò alla lavagna e senza aprire bocca si mise a
elevare 2 alla sessantasettesima potenza; poi
sottrasse attentamente 1 dal totale ottenuto; in
seguito, sempre senza proferire parola, sull’altra metà
della lavagna, egli effettuò cifra per cifra la
moltiplicazione:
761838257287 x 193707721
I due risultati coincidevano.
Per la prima e fino ad ora unica volta negli annali, il
pubblico applaudì vigorosamente l’autore di una
comunicazione. Cole ritornò al suo posto senza dire
niente. Nessuno gli pose domande.
...si conoscono alcuni
numeri primi
“pittoreschi”..
1234567891
12345678901234567891
1234567891234567891234567891
Iniziano e terminano con 1 e sono
formati da cifre consecutive
scritte in ordine crescente
Oppure….
11
1111111111111111111
(19)
11111111111111111111111
(23)
1111111111111111111111111……11111111
317 volte
Non si sa se sono infiniti, quello successivo
potrebbe scriversi con 1031 “1”.