Le quattro operazioni nell`insieme N dei numeri naturali

L’addizione e la
sottrazione nell'Insieme
N
dei numeri naturali
Proprietà
Struttura in N
Impareremo a …
 Conoscere
e comprendere il concetto di
operazione aritmetica
 Conoscere e comprendere le operazioni di
addizione e sottrazione
 Conoscere e comprendere come esse sono
strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il
"comportamento", gli elementi neutri
 Lo 0 nelle due operazioni
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Cos'è un'operazione
aritmetica?
 Eseguiamo una piccola operazione
2+3=5
Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un
certo procedimento che ci ha permesso di
arrivare a un terzo numero, il 5.
Il procedimento in questo caso è indicato dal
simbolo +
3
Diciamo che


L'operazione aritmetica è un procedimento che
ci permette di associare a due numeri dati in
un certo ordine, un terzo numero che rispetti
certe condizioni.
I due numeri dati si dicono termini
dell'operazione, il numero a cui si perviene si
dice risultato dell'operazione.
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Addizione in N
 Operazione e termini
 Procedimento
 Definizione addizione
 Operazione interna
 Commutativa
 Associativa
 Dissociativa
 Elemento neutro
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Operazione e suoi
termini
 Eseguiamo
delle piccole addizioni considerando
elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali
10+5=15 8+8=16 5+2=7
addendi
somma
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Procedimento
 Quale procedimento ci permette di ottenere le
somme, cioè i risultati delle addizioni?
 Si tratta di porsi, nel primo esempio, la
domanda: dal numero 10 come arriviamo al
numero 15?
 Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando!
 E precisamente dal numero 10 contiamo tante
unità quante sono indicate dal secondo
addendo, il numero 5.
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Definizione di addizione
 L’addizione
è dunque l’operazione aritmetica
che ci permette di associare due numeri detti
addendi ad un terzo numero detto somma, al
quale si arriva (o si perviene), contando
successivamente al primo addendo tante unità
quante sono le unità del secondo.
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Operazione interna
Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsiasi,
notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali,
cioè elementi di N. In generale:
:
8 + 8 = 16 5 + 2 = 7
N
7 + 4 = 11
4+1=5
15 + 5 = 20 10 + 5 = 15 4 + 4 = 8
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Le proprietà:
l'addizione è
commutativa
5+6=11
6+5=11
10
l'addizione è
associativa
4+5+3=12
associo il 4 con il 5
(4+5) + 3 =
9 + 3 = 12
È la proprietà associativa
11
Gode della proprietà
dissociativa
3 + 25 = 28
3 + 20+ 5 = 28
ho dissociato l'addendo 25
Questa è la proprietà dissociativa
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Ha l'elemento neutro
6+5+0 = 11
8+9+5+0= 22
11+5+4+0+2+3 = 25
6+5 = 11
8+9+5 = 22
11+5+4+2+3 = 25
 Noto che quando lo
zero appare come addendo,
non modifica il risultato dell’addizione
 Lo zero è perciò chiamato elemento neutro
dell’addizione
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La sottrazione
 Procediamo come per l’addizione …
10 – 8 = 2
minuendo sottraendo differenza (o resto)
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Procedimento
 Quale procedimento ci permette di ottenere le
la differenza, cioè il risultato della sottrazione?
 Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?
 Considera: c’è un legame tra addizione e
sottrazione?
10-8=2 2+8=10 e anche
10-2=8 8+2=10
La sottrazione è l’operazione inversa
dell’addizione e, come tale …
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Definizione della
sottrazione
 Il numero 2 dunque è quel numero che
sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10!
Perciò:
La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci
permette di associare due numeri detti
rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un
terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o
resto, che addizionato al sottraendo dia
come risultato il minuendo.
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Operazione interna?
Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un
diagramma di Eulero-Venn
N
8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 10 – 15 =
7–4=3
15 – 5 = 10 3 – 7 =
?
?
Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire
l’operazione restando in N.
il risultato non sempre appartiene a N.
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Le proprietà: la
sottrazione non è
commutativa
9-6=3
6-9≠3
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Gode della proprietà invariantiva
 Consideriamo la sottrazione
12 – 7 = 5
Operiamo nel seguente modo:
(12+2) – (7+2) = 14 – 9 = 5
E ancora
(12-4) – (7-4) = 8 – 3 = 5
Il risultato di una sottrazione non cambia se al
minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno
stesso numero: è la proprietà invariantiva
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Brevi considerazioni
 Non possiamo dire che la sottrazione ha
l’elemento neutro poiché anche se
5-0=5
Essendo falso: 0-5=5
lo zero non può considerarsi elemento neutro.
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