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Lezione 7. Petri Nets
Lezione 15. Verifica (II) • • • • [GJM91, Cap. 6] [BB87] [P93] Appunti 1. Verifica di equivalenze per algebre di processo 2. Dimostrazione di correttezza di programmi 3. Esecuzione simbolica [P93] V. R. Pratt, ‘Logics of Programs’, in A. Ralston, E. D. Reilly (Eds.) Encyclopedia of Computer Science, IEEE Press, 1993 -- pp. 791 Slide 1 1. Verifica di equivalenze per algebre di processo La natura algebrica di questi linguaggi offre maggior varietà di strumenti di analisi rispetto ai modelli a stati finiti • manipolazione e trasformazione di espressioni algebriche mediante leggi algebriche e assiomatizzazioni di relazioni • manipolazione diretta di Labelled Transition Systems derivati dalla semantica formale Slide 2 Tipico problema di verifica per specifiche LOTOS: verifica di equivalenza osservazionale fra specifiche sintatticamente diverse. Esempio dall’architettura OSI: a b UpperService P Entity P Entity c d LowerService hide c, d in ((P[a, c] ||| P[b, d]) |[c, d]| LowerService[c, d]) UpperService[a, b] ? Slide 3 Equivalenza osservazionale Un pianista (= osservatore) prova un tasto alla volta… … che risulta premibile o bloccato in base alla partitura precedentemente inserita Bechstain Bluthner se nessun pianista cieco li può distinguere Bluthner Bechstain do mi do sol mi do sol La classica equivalenza fra automi (come riconoscitori di linguaggi) è inadeguata: la musica possibile sui due strumenti è la stessa: {-, do, do-mi, do-sol}… … ma i comportamenti rispetto a deadlock sono diversi: do-mi può fallire sul Bluthner, non sul Bechstain Slide 4 mi do 2 4 mi 1 i i 3 sol 7 --- (1 ... n ) ---> (1)---(do, mi)--->(4) (1)---(i, do)--->(5) (1)------>(1) Action sequence: • • • 8 5 do 6 Observable action sequence: === (a1 ... an ) ==> • • • • [k Gates i] [ak Gates] (1)==(do, mi)==>(4) (1)==(do, mi)==>(8) (1)====>(1) (1)====>(3) Slide 5 Una relazione R fra stati di un LTS è una weak bisumulation se: • (p, q) R, s Gates* » » » » » p’ tale che p==s==>p’ ( q’ tale che q==s==>q’ /\ (p’, q’) R) /\ q’ tale che q==s==>q’ ( p’ tale che p==s==>p’ /\ (p’, q’) R) p e q sono observation equivalent (p q) se • una weak bisimulation R tale che » (p, q) R Slide 6 Due LTS equivalenti e la loro bisimulazione P Q a b a c i c Bisimulazione R a b i c PQ Slide 7 L’equivalenza fra stati di LTS ne induce una fra espressioni di algebre di processo Una congruenza è una equivalenza preservata quando si rimpiazza una sotto-espressione con un’altra sotto-espressione equivalente. Formalmente: Un contesto, denotato ‘C[ ]’, è una espressione in cui una sottoespressione è rimpiazzata da un ‘segna-posto’ (‘[ ]’) B1 observation congruent B2 (B1 c B2) se per ogni contesto C[ ]: • C[B1] C[B2] (che implica C[B1] c C[B2]…) Slide 8 Se Allora c c Slide 9 Leggi della congruenza osservazionale Per CCS o Basic LOTOS non è possibile fornire una assiomatizzazione di c [M84] Invece, per ‘finitary LOTOS’ (e, analog., f. CCS), comprendente solo action prefix, choice, stop l’assiomatizzazione è possibile, mediante il sistema completo e consistente di leggi [HM85]: • • • • • • (a1) (a1) (a3) (a4) (a5) (a6) B [] (C [] D) B [] C B [] B B [] stop B [] i; B (B [] i; C) = = = = = = (B [] C) [] D C [] B B B i; B (B [] C) [] ; C [M84] R. Milner, Lectures on a Calculus for Communicating Systems, in International Summer School ‘Control Flow and Data Flow: Concepts of Distributed Programming’, Munich, Germany, July 31-August 12, 1984. [HM85] M. Hennessy, R. Milner, ‘Algebraic Laws for Nondeterminism and Concurrency’, Journal of the ACM, Slide 10 Vol. 32, No. 1, Jan. 1985. (a5) (a6) c i i c B i B B B B C C Esercizio: Dimostrare la legge (a7): a; i; B = a; B a; i; B = a; (B [] i; B) = a; (B [] B) [] a; B = a; B [] a; B = a; B [a5] [a6] [a3] [a3] Slide 11 Esercizio di verifica di equivalenza Max3[in1, in2, in3, out] := in1; (in2; in3; out; stop [] in3; in2; out; stop ) [] in2; (in1; in3; out; stop [] in3; in1; out; stop ) [] in3; (in1; in2; stop [] in2; in1; stop ) in2 Max3-composto[in1, in2, in3, out] := hide mid in Max2[in1; in2; mid] |[mid]| Max2[in3; mid; out] where Max2[in1; in2; out] := in1; in2; out [] in2; in1; out in3 in2 in1 Max3 out in1 Max2 in3 mid Max2 out Per verificare Max3 Max3-composto: 1. Costruire i due alberi T3 e T3-composto 2. Collassare 6 sottoalberi di T3-composto usando (a7) 3. Collassare 2 nuovi sottoalberi, usando (a5) 4. Collassare 2 nuovi sottoalberi, usando (a7), ottenendo T3. Slide 12 2. Dimostrazione di correttezza di programmi La dimostrazione formale di correttezza di programmi si basa sull’utilizzo di una logica per esprimere proprietà dei programmi, e di assiomi e regole per dimostrarle. McCarthy (1963) modella i programmi come funzioni ricorsive (esempio: definizione di append(list1, list2)), e ne dimostra proprietà per induzione Floyd (1967) definisce una logica per programmi imperativi espressi come flowchart. • • Associa asserzioni logiche (tags) agli archi, che devono essere vere ogni volta che il controllo li attraversa. Un tagged flowchart è dimostrato corretto quando, individualmente, ogni componente è corretta rispetto ai suoi input/output tags. Hoare (1969) raffina la logica di Floyd, trattando programmi imperativi in forma algebrica Slide 13 Specifica logica (di una proprietà) del programma P {Pre (i1, i2, …, in) } P {Post (o1, o2, …, om, i1, i2, …, in) } Pre e Post sono formule logiche del primo ordine, in cui le variabili di input/output appaiono libere Slide 14 Esempi di specifica logica di programmi { z (i1 = z*i2)} P {o1 = i1 / i2} {i1 > i2} P {i1 = i2*o1 + o2 /\ o2 > 0 /\ o2 < i2} {true} P {(o= i1 \/ o = i2) /\ o > i1 /\ o > i2} {i1 > 0 /\ i2 > 0} P {( z1, z2 (i1 = o * z1 /\ i2 = o * z2)) /\ ( h ( z1, z2 (i1 = h * z1 /\ i2 = h * z2) /\ h > o))} Slide 15 Esempio di verifica di programma - esposizione informale Programma e proprietà {true} Begin • • • Dimostrazione o = i1 + i2 vale dopo write(x) sse immediatamente prima vale x = i1 + i2. Ma l’assegnamento x := a+b scrive a+b in x, quindi read (a); read (b); x := a + b; write (x) end {o = i1 + i2} • • x = i1 + i2 vale subito dopo l’assegn. sse a+b = i1+i2 vale subito prima. Poiché read(a) e read(b) danno ad a e b i valori dei due input i1 e i2, a+b = i1+i2 deve valere prima dell’assegnamento [] Slide 16 Le regole della logica di Hoare Applicabili a un linguaggio di programmazione con i costrutti: - x := exp (assegnamento) - begin a1; a2; …; an end - if p then a1 else a2 - while p do a 3. {p}a1{q}, {q}a2{r} -----------------------------------{p}a1;a2{r} p’ p, {p}a{q}, q q’ 1. -----------------------------------{p’}a{q’} 4. {p /\ r}a1{q}, {p /\ ¬r}a2{q} -----------------------------------{p} if r then a1 else a2 {q} 2. {p /\ q}a{p} 5. -----------------------------------{p} while q do a {p /\ ¬q} -----------------------------------{p[exp/x]} x := exp {p(x)} (NB: le graffe sono usate in modo inverso rispetto a [GJM91] Slide 17 Esempio di verifica: fattoriale di y Programma: i) y>0 /\ x*y!=n! x:=y*x y>0 /\ x*(y-1)!= n! • • B: while y>0 do C C: x:=y*x; y:=y-1 first: y>0 /\ x*y! = n! ==> y>0 /\ (y*x)*(y-1)! = n! then: y>0 /\ (y*x)*(y-1)! = n! x:=y*x y>0 /\ x*(y-1)!= n! [rule 2, substituting x for y*x] ii) y>0 /\ x*(y-1)!= n! y:=y-1 y>0 /\ x*y!= n! • • A: x:=1; B first: then: y>0 /\ x*(y-1)! = n! ==> (y-1) > 0 /\ x*(y-1)! = n! (y-1) > 0 /\ x*(y-1)! = n! y:=y-1 y>0 /\ x*y!= n! [rule 2, substituting y for y-1] (iii) y>0 /\ x*y!=n! C y>0 /\ x*y!= n! [rule 3, with (i) and (ii)] Slide 18 (Programma: (iii) y>0 /\ x*y!=n! C y>0 /\ x*y!= n! (iv) y>0 /\ y=n /\ x=1 B x= n! • • • • • • • • B: while y>0 do C C: x:=y*x; y:=y-1) y >0 /\ y=n /\ x=1 ==> p (let p = y >0 /\ x*y! = n!) Let q = y > 0 then: (iii) becomes: q /\ p C p which yields: p while q do C p /\ ¬q [by rule 5] that is p B p /\ ¬q p /\ ¬q = y >0 /\ x*y! = n! /\ y < 0 ==> y=0 /\ x=n! ==> x=n! In conclusion: y >0 /\ y=n /\ x=1 ==> p, p B p /\ ¬q, p /\ ¬q ==> x=n!, thus (iv) [by rule 1] (v) y>0 /\ y=n x := 1 y>0 /\ y=n /\ x=1 • A: x:=1; B since p x := 1 p /\ x=1 (vi) y>0 /\ y=n A x=n! [by rule 2] [rule 3 to (v) and (iv)] [] Slide 19 3. Esecuzione simbolica Una tecnica a metà fra analisi di correttezza (statica) e testing (dinamica) Si consideri questo programma P, e il suo grafo control-flow annotato 1. x := y + 2; 2. if [x > a] then 3. a := a + 2; else 4. y := x + 3; endif; 5. x := x + a + y. 3 y := x + 3 4 1 x := y + 2 x:= x + a + y [x > a] 2 a := a + 2 Esecuzione simbolica: si associano valori iniziali simbolici alle variabili di programma (stato simbolico iniziale), poi...: init. 1. 2. 3. 4. 5. [Y+2<A] x X y Y a A Y+2 2*Y+A+7 Y+5 Slide 20 L’esecuzione simbolica ha prodotto la tripla: • [a = A, y = Y+5, x = 2*Y+A+7], stato simbolico finale (SSfin) » (assegnamento di espressioni simboliche, contenenti variabili simboliche (maiuscole), alle variabili di P (minuscole). • <1, 3, 4>, execution path » cammino lungo il control flow graph di P • [Y+2<A] path condition » predicato sulle variabili simboliche che garantisce la eseguibilità del path L’altra tripla possibile è < [a = A+2, y = Y, x = 2*Y+A+4], <1, 2, 4>, [Y+2>A] > La corrispondenza biunivoca fra execution path e path condition cade per i linguaggi nondeterministici Slide 21 input e output file sono trattati come sequenze (i1, i2,…) e (o1, o2, …) di var. di programma. Inizialmente: i1 = I1, i2 = I2, … o1 = nil, o2 = nil, … Il primo Read (x) viene interpretato come x := i1, dunque la sua esecuzione simbolica produce: x = ValSimb(i1) = I1 Il primo Write (E) viene interpretato come o1 := E, dunque la sua esecuzione simbolica produce: o1 = ValSimb(E) (in termini dello stato simbolico corrente) Quando si incontra nel programma una condizione cond, come in • • if cond then S1 else S2 endif while cond Loop … si considera ValSimb(cond): • • se il risultato è TRUE o FALSE indipendentemente dai valori delle variabili simboliche, si procede secondo il ramo corrispondente se no, si sceglie nondeterministicamente TRUE (risp. FALSE), e si aggiorna la path condition PC: PC := PC /\ ValSimb(cond) (resp. PC := PC /\ ¬ValSimb(cond) ) Slide 22 Verifica tramite esecuzione simbolica In generale, per ogni programma P si hanno molte, o infinite triple P programma inp = (inp1, ..., inpn) tupla di variabili in input per P I = (I1, ..., In) una corrispondente tupla di variabili simboliche out = (out1, ..., outn) tupla di variabili in output per P < Per verificare {Pre(inp)}P{Post(out)} con esecuzione simbolica: calcolare tutte le triple (SSFini, ExecPathi, PathCondi(I)). Per ogni i: • • • • usare sempre la stessa Path Condition iniziale: Pre(I) assumendo SSFini = (out1= Exp1i(I)), ..., (outn = Expni(I)) e definendo il predicato PEi come: PEi(I) = Post(Exp1i(I)/out1, ..., Expni(I)/outn) verificare che PathCondi(I) ==> PEi(I) (Trattazione semplificata, senza rappresentazione delle variabili interne di P.) Slide 23 Backward symbolic execution (of protocols) [G. Holzmann, PSTV IV, 1985] E’ una variante di reachability analysis: dato uno stato finale indesiderabile Sx, calcola transizioni a ritroso fino, possibilmente, a S0 Il sistema distribuito -- un protocollo -- viene descritto con un linguaggio simile al CSP di Hoare: • • • • • • • • qname !mname qname ?mname qname v1 := v2 v++ v-[v1 R v2] output; appende mess. mname in coda a qname input; eseguibile se mess. mname è correntemente in cima a (con cancellazione) assegnamento v1 è una var., v2 è una var. o una costante incrementa di 1 la variabile v decrementa di 1 la variabile v condizione, dove R è =, , , , <=, >=; eseguibile se i due operandi (var. o costanti) sono in relazione R I do loops (do…od), sono interrotti dal comando break. Skip è il comando vuoto. :: individua scelte non deterministiche Slide 24 Esempio - Protocollo con memoria condivisa (M, N) Slide 25 Due processi A e B condividono le code A (verso A) e B (verso B). Il processo A si rifornisce dalla coda TOB di messaggi che vorrebbe mandare al processo B attraverso la coda B. B si comporta simmetricamente. La variabile condivisa N è incrementata dal processo A quando un messaggio è appeso alla coda B, ed è decrementata dal processo B quando un messaggio viene cancellato. Simmetricamente, la variabile condivisa M è incrementata dal processo B quando un messaggio è appeso alla coda A (verso A), ed è decrementata dal processo A quando un messaggio viene cancellato. Il protocollo forza ciascun processo a ritardare il trasferimento di messaggi verso l’altro quando le code sono sature (2 messaggi) Slide 26 Vogliamo verificare se dallo stato globale iniziale S1: • • • N = 0, M=0 TOB = (msg, msg), TOA = (msg, msg) A = ( ), B=() ...si puo’ arrivare allo stato di deadlock S2: • • • N = 2, TOB = ( ), A = (msg, msg ), M=2 TOA = ( ) B = (msg, msg) Anziché esplorare tutti i cammini da S1 fino a trovare eventualmente S2, si puo’ partire da S2 e vedere se S1 è raggiungibile a ritroso. Inoltre, la esecuzione a ritroso (inversa) della specifica originale equivale a una esecuzione diretta della specifica inversa così costruita: Slide 27 Scambiare send con receive (? con !) Scambiare incrementi con decrementi (++ con --) Invertire il flusso di controllo Scambiare condizioni con assegnamenti (= con :=) ma usando anche assegnamenti con range di valori (tipico della esecuzione simbolica): • • • Condizione Assegnamento ------------------------------------------[N > 5] ==> N := (>5) • [N 2] ==> N := 2 La specifica originale del processo A è convertita in una tabella a stati, che viene invertita ed eseguita in maniera diretta, a partire dallo stato S2. Slide 28 La specifica originale del processo A è convertita nella tabella a stati: Forward table for process A State/actions TOB ?msg [N = 2] N++ B !msg [N 2] 0 1 1 1 2 2 3 3 0 4 A ?msg 4 M-- 0 La specifica inversa è rappresentata da questa tabella; la sottolineatura distingue i nuovi elementi dai vecchi State/actions TOB !msg 0 1 0 2 3 4 Backward table for process A N := 2 N-B ?msg N := 2 3 1 1 2 A !msg M++ 4 0 Slide 29 Effettivamente si scopre che, attraverso un doppio ciclo nel grafo degli stati globali, il deadlock è raggiungibile. La tecnica di esplorazione viene detta simbolica perché • viene concettualmente esplorato il programma, visto come lista di statements • lo stato è la posizione nel programma, ma puo’ essere parzialmente identificato anche da predicati sui valori di alcune variabili (come M ed N), che ne ‘sfuocano’ la rappresentazione. Sfortunatamente la esecuzione inversa non è sempre vantaggiosa rispetto a quella diretta [cfr. Holzmann 85] Un piu’ recente approccio alla interpretazione simbolica a ritroso, chiamato Compositional backward technique, è descritto in [Staunstrup+, IEEE Computer, Maggio 2000] Slide 30