La Successione di Fibonacci

La Successione
di Fibonacci
• Leonardo Fibonacci
• Lo Sviluppo della Serie,somma di Numeri
• La Spirale logaritmica
• La Sezione Aurea in Natura
• Bibliografia
Leonardo Fibonacci
• Leonardo Fibonacci, figlio di
Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa
intorno al 1170.
La reputazione di Leonardo come
matematico divenne così grande
che l’imperatore Federico II gli
chiese un’udienza mentre era Pisa
nel 1225. Anche al giorno d’oggi la
fama di Leonardo è tale che esiste
un’intera pubblicazione dedicata a
questi argomenti: il "Fibonacci
Quarterly", periodico matematico
dedicato interamente all’aritmetica
connessa alla sequenza di
Fibonacci.
Lo Sviluppo della Serie
• Essa si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la
somma dei due numeri precedenti (0,1,1,2,3,5,8,13,21…)
• Consideriamo la seguente successione numerica
u1, u2 …, un (1)
• in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni
n maggiore di 2,
un = un-1 + un-2 (2)
• Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa
funzione dei termini precedenti, s’incontrano di frequente in matematica
e sono chiamate successioni ricorrenti.
Somma di Numeri di Fibonacci
• Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie,
sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si
ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella
sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma:
( A+B+C+1 = E )
Esempi:
1+1+2+3+5+1=13
In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di
Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il settimo numero
della sequenza.
La Spirale Logaritmica
• La relazione tra i numeri di
spirale logaritmica
Fibonacci e la spirale
logaritmica si rivela evidente
se si costruisce una serie di
quadrati in cui il lato di ognuno
di questi è dato dalla somma
delle misure dei lati dei due
precedenti. Se li disponiamo
come in figura e tracciamo un
arco di cerchio avente per
raggio il lato del quadrato, la
figura che si ottiene è una
spirale logaritmica.
La Sezione aurea in natura
• L'accrescimento biologico di
alcune specie, la spaziatura
tra le foglie lungo uno stelo e
la disposizione dei petali e
dei semi in alcuni tipi di fiori
come le file dei flosculi in un
girasole (sono 34 e 55, a
volte anche 89 e 144); e
l’accrescimento di una pigna
secondo i valori 5 e 8, sono
testimonianze di sezioni
auree.
LE SPIRALI DELLE CONCHIGLIE
• In natura diversi tipi di
conchiglie (ad esempio
quella del Nautilus) hanno
una forma a spirale fatta
secondo i numeri di
Fibonacci.
Se all’interno di un
rettangolo aureo si disegna
un quadrato con lato
uguale al lato minore del
rettangolo, il rettangolo
differenza sarà anch’esso
un rettangolo aureo.
La Sequenza di Fibonacci in Botanica
•
La sequenza di Fibonacci si
trova in molte piante e fiori.
Ne è un esempio l’Achillea
ptarmica.
La crescita di questa pianta
segue questo schema qui sopra
disegnato.
Ogni ramo impiega un mese
prima di potersi biforcare.
Al primo mese quindi abbiamo
1 ramo, al secondo ne abbiamo
2, al terzo 3, al quarto 5 e così
via
Altri Esempi
Anche le pigne presentano
la Spirale di Fibonacci
secondo il disegno seguente.
Le foglie sui rami di numerose
piante sono disposte in modo da
presentare alcuni numeri della
Sequenza di Fibonacci.
LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI
• Una coppia di conigli è in grado
di riprodursi già da un mese
dopo la nascita .Se prendiamo
una coppia di conigli e la
mettiamo in un recinto,e
supponiamo che i nostri conigli
non muoiano mai, la femmina è
in grado di generare una
seconda coppia di conigli già un
mese dopo l’accoppiamento con
il maschio.Avremo quindi la
sequenza riproduttiva che
appare qui accanto e che si
identifica con la serie numerica
di Fibonacci.
Le prime cinque generazioni di conigli secondo lo schema di Fibonacci.
Ogni cerchio colorato rappresenta una coppia di conigli.
La Spirale in un dipinto di Delcio Montagnin
Bibliografia
• Fare Matematica, Fascicolo n. 1,
Geometria e Arte, ed. BCM
• E. Vorobyou, I numeri di
Fibonacci, Le Monnier
• E.Castelnuovo, La Matematica
ed. La Nuova Italia
• Courant-Robbins, Che cos’è la
Matematica, ed. Boringhieri