Diapositiva 1 - Matematica e Informatica

Dai Naturali alle Proporzioni
• NUMERI NATURALI
• NUMERI RAZIONALI
• PROPORZIONI E RELAZIONI DI
PROPORZIONALITA’
Le quattro operazioni nei numeri
naturali
•
•
•
•
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
MENU
GENERALE
Addizione
Per addizionare due numeri naturali a e b, si devono sommare ad a tante unità
quante sono quelle di b. Si otterrà un risultato c detto “somma” tra a e b.
Quindi
a+b=c
dove a e b sono gli addendi, c è la somma e “+” il simbolo di addizione.
Sulla semiretta orientata tale operazione si schematizza così:
+b
a
c
Si può notare come, assegnati due numeri naturali qualsiasi a e b, è sempre
possibile ottenere c che è un numero naturale. Da ciò segue che la somma tra
due numeri naturali è sempre possibile in N, cioè che N è un insieme chiuso
rispetto all’addizione.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Le proprietà dell’addizione
•
•
•
•
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà dissociativa
Esistenza dell’elemento neutro
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà commutativa
Scambiando l’ordine degli addendi, la
somma non cambia.
a+b=b+a
Esempio:
10+5=5+10=15
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NATURALI
Proprietà associativa
Se si sommano tra loro tre o più addendi, il
risultato non cambia se a due o più di essi si
sostituisce la loro somma.
a+b+c+d=(a+b)+c+d=(a+b)+(c+d)=…
Esempio:
15+25+19+11=(15+25)+(19+11)=40+30=70
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NATURALI
Proprietà dissociativa
Se ad un addendo si sostituisce la somma di due
o più numeri la cui somma dia l’addendo stesso,
il risultato non cambia.
a=m+n
a+b+c=(m+n)+b+c=m+n+b+c
Esempio:
11+19+22=(10+1)+(10+9)+22=10+1+10+9+22=52
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Esistenza dell’elemento neutro
Lo
zero
è
definito
elemento
neutro
dell’addizione: se si considera qualsiasi
numero naturale e lo si addiziona a zero, il
risultato è il numero stesso.
a+0=0+a=a
Esempio:
20+0=0+20=20
TEST ADDIZIONE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
Sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa
somma. I suoi termini si chiamano:
il primo
minuendo
il secondo
sottraendo
della
Il “-” è il simbolo, il risultato si chiama resto o
differenza.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Sottrazione
(continua)
Perché la sottrazione tra due numeri naturali a e b sia
possibile, occorre che:
ab
Infatti:
se a>b
a-b=c
es. 10-7=3
se a=b
a-b=0
es. 15-15=0
se a<b
a-b è impossibile es. 5-8=?
Poiché scelti due numeri qualsiasi, non sempre è possibile
determinare la differenza come numero naturale, si dirà che
l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Sottrazione
(continua)
Utilizzando
la
semiretta
orientata,
sottrazione può essere così schematizzata:
la
-b
c
a>b
a–b=c
a
-b
0
-a
a=b
a–b=0
a
b>a
a
0
-b
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
a-b risulta
impossibile
Le proprietà della sottrazione
• Proprietà invariantiva
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà invariantiva
La differenza tra due numeri non cambia se ad
ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso
numero, purché tale numero sia minore o
uguale al sottraendo.
Esempio:
120-84=36
(120+16)-(84+16)=136-100=36
(120-20)-(84-20)=100-64=36
TEST SOTTRAZIONE
MENU GENERALE
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NATURALI
La moltiplicazione
La moltiplicazione è un’operazione che rappresenta una
forma abbreviata per eseguire somme di numeri uguali.
Esempio:
3x4=3+3+3+3=12
Pertanto, la moltiplicazione risulta una operazione diretta
i cui termini si dicono fattori, “x” o “·” è il simbolo, il
risultato è detto prodotto.
È sempre possibile effettuare la moltiplicazione in N
essendo questa un’operazione diretta e costituendo un
ampliamento dell’addizione.
Quindi l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Le proprietà della moltiplicazione
•
•
•
•
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà dissociativa
Proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto alla somma e rispetto alla differenza
• Esistenza dell’elemento neutro
• Lo zero e la legge dell’annullamento del
prodotto
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà commutativa
Scambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non
cambia.
a·b=b·a
Esempio:
15·10=10·15=150
MENU GENERALE
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NATURALI
Proprietà associativa
Se si moltiplicano tra loro tre o più fattori, il
prodotto non cambia se a due di essi si
sostituisce il loro prodotto
a·b·c·d=(a·b)·(c·d)
Esempio:
3·5·7=(3·5)·7=15·7=105
3·5·7=3·(5·7)=3·35=105
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà dissociativa
Se ad un fattore si sostituisce il prodotto di due
o più fattori il cui prodotto sia il fattore stesso, il
risultato non cambia.
Se
a=m·n
allora
a·b·c=(m·n)·b·c=m·n·b·c
Esempio:
15·7·3=3·5·7·3=315
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto alla somma e alla differenza
Se si deve moltiplicare una somma di più
addendi (o una differenza) per un fattore, si può
moltiplicare ogni termine per il fattore e quindi
sommare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.
(a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d
(a-b)·c=a·c-b·c
Esempio:
(10+12+14)·3=10·3+12·3+14·3=30+36+42=108
(56-35)·4=56·4-35·4=224-140
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Elemento neutro della
moltiplicazione
Se si moltiplica per uno, un qualsiasi numero, il
risultato è il numero stesso.
a·1=1·a=a
Esempio:
35·1=1·35=35
Quindi il numero 1 è l’elemento neutro della
moltiplicazione.
MENU GENERALE
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NATURALI
Lo zero
e la legge di annullamento del prodotto
Se si moltiplica un qualsiasi numero per zero, il risultato è
zero.
a·0=0
Esempio:
5·0=0
0·15=0
Da ciò ne consegue che il prodotto di due fattori è zero se
almeno uno di essi è zero (legge di annullamento del
prodotto).
Esempio:
a·6=0
soltanto se a=0
0·a=0
a·b=0
almeno uno dei due fattori
deve essere uguale a zero:
a=0 o b=0
TEST MOLTIPLICAZIONE
MENU GENERALE
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NATURALI
Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Infatti
eseguire la divisione fra due numeri a e b, significa trovare, se
esiste, un terzo numero c tale che b·c=a.
Il simbolo della divisione è “:”, a è il dividendo, b il divisore e c il
quoto o quoziente.
a:b=c
Come si può notare, scelti due numeri a caso a e b, non sempre
è possibile ottenerne un terzo che risponda alla definizione data.
Pertanto, l’insieme N è aperto rispetto alla divisione. In N, a
deve essere multiplo di b.
Anche per la divisione, come per la sottrazione, non esiste
elemento neutro.
MENU
MENU GENERALE
NATURALI
Proprietà della divisione
• Proprietà invariantiva
• Lo zero nella divisione
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo per una quantità diversa da zero,
entrambi i termini di una divisione, il risultato non cambia.
a:b=c
Esempio:
(a·m):(b·m)=c
m 0
(a:m):(b:m)=c
m 0
135:15=9
(135:5):(15:5)=9
27:3=9
oppure:
(135·2):(15·2)=9
270:30=9
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Lo zero nella divisione
Particolare importanza investe nella divisione il numero zero.
Consideriamo il caso generico a:b. Ne consegue che:
se a,b0
allora a:b=c
se a=0 e b=0
allora o:b=0
in quanto, per la prova della divisione, si ha b·0=0.
Se a=0 e b=0 allora 0:0=indeterminata
cioè qualsiasi risultato è possibile perché qualsiasi numero
moltiplicato per zero dà zero.
Se a0 e b=0 allora a:0=impossibile
perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero e non
può dare a.
TEST DIVISIONE
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test addizione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test addizione
DOMANDA N°2:
In
una addizione, se si cambia l’ordine degli
addendi, la somma cambia?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test addizione
DOMANDA N°3:
Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test addizione
DOMANDA N°4:
Per potere risolvere la seguente addizione in N
15 + 7 + 4
quali delle seguenti proprietà è necessario applicare?
1) Proprietà associativa
2) Proprietà dissociativa
3) Proprietà commutativa
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
MENU’ GENERALE
MENU
NATURALI
Test sottrazione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è chiuso rispetto alla sottrazione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test sottrazione
DOMANDA N°2:
Lo zero è l’elemento neutro della sottrazione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test sottrazione
DOMANDA N°3:
La differenza tra due numeri cambia se ad ogni
termine si aggiunge o si sottrae lo stesso
numero (purchè tale numero sia minore o
uguale al sottraendo)?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test sottrazione
DOMANDA N°4:
Quale è il valore della seguente espressione?
45 – 3 – 27 = …
1) 13
2) 14
3) 15
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test moltiplicazione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è aperto rispetto alla moltiplicazione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test moltiplicazione
DOMANDA N°2:
Lo zero è l’elemento neutro della moltiplicazione?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test moltiplicazione
DOMANDA N°3:
Nella seguente espressione:
5·9·3=(5·9)·3=45·3=135
quale proprietà è stata utilizzata?
1) Proprietà commutativa
2) Proprietà associativa
3) Proprietà dissociativa
4) Non so
MENU GENERALE
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NATURALI
Test moltiplicazione
DOMANDA N°4:
Quale è il risultato della seguente espressione?
(7+15+12)·2=…
1) 70
2) 67
3) 68
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test divisione
DOMANDA N°1:
Quale è il valore della seguente divisione?
7:0=…
1) 7
2) è impossibile
3) 0
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test divisione
DOMANDA N°2:
La divisione gode della proprietà associativa?
1) Si
2) No
3) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test divisione
DOMANDA N°3:
L’espressione
a:b=c
significa che:
1) c=b:a
2) a=b:c
3) a=b·c
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test divisione
DOMANDA N°4:
Quale è il valore della seguente espressione?
(225:15):3=…
1) 10
2) 5
3) 15
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Potenza
La moltiplicazione serve a definire l’operazione di potenza di
numeri naturali.
Si dice potenza di un numero naturale a il prodotto di più
fattori uguali al numero stesso.
In simboli si scrive:
an
dove a è la base, cioè il numero che deve essere moltiplicato
per se stesso tante volte quanto indicato dall’esponente n.
Esempio:
32=3·3=9
54=5·5·5·5=625
MAPPA CONCETTUALE
MENU
NATURALI
MENU GENERALE
I NUMERI NATURALI
•
Struttura dell’insieme N
•
Cenni storici
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Struttura dell’insieme N
La successione dei numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 … è un insieme infinito costituito
cioè da infiniti elementi che si ottengono ognuno dal precedente aggiungendo una
unità. Nel sistema di numerazione da noi usato, cioè il sistema di numerazione
decimale, le cifre utilizzate sono dieci: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e con esse si
compongono tutti i numeri. Nella rappresentazione insiemistica per elencazione
l’insieme N è così rappresentato:
N={0,1,2,3,4,5,…}
E’ possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata dopo aver
fissato un’opportuna unità di misura corrispondente a un’unità:
u
A
0 1
2
3
•
4
5
6
7
8
9
10 11
La semiretta orientata è illimitata a destra, come indica la freccia. E’ da notare
che ad ogni numero naturale corrisponde un punto, ma non viceversa. Ad
esempio, al punto A non corrisponde un numero naturale.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Struttura dell’insieme N
(continua)
Due numeri naturali a e b si dicono uguali se ad entrambi corrisponde lo stesso
punto sulla semiretta orientata.
Valgono quindi le proprietà dell’uguaglianza:
1) Proprietà riflessiva
a=a
2) Proprietà simmetrica
se a = b allora b = a
3) Proprietà transitiva
se a = b e b = c allora a = c
Analogamente si possono definire due relazioni di disuguaglianza:
a)
Ogni numero naturale è maggiore di quelli che lo precedono nella
successione e quindi sulla semiretta orientata.
Esempio:
b)
5 > 1,
6>0
Ogni numero naturale è minore di quelli che lo seguono nella successione e
quindi sulla semiretta orientata, pertanto lo zero è il minore numero
dell’insieme N.
Dati due numeri a e b si può verificare una sola di queste tre soluzioni:
a<b
a=b
Tale principio è detto di tricotomia.
a>b
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NATURALI
Cenni storici
La nozione di numero si può sicuramente far risalire alle epoche più antiche in cui visse l’uomo,
come testimoniano le pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche ed altre
testimonianze archeologiche. Ma come è nato il concetto di numero?
Inizialmente a colpire l’uomo primitivo furono sicuramente più le differenze che le somiglianze:
un lupo e molti lupi, una pecora e un gregge, un albero e una foresta creavano contrasti più
facili da cogliere che non la similarità, intesa come uguale numerosità, fra un lupo e un sasso,
fra una pecora e un albero. A poco a poco però attraverso l’osservazione le differenze stesse
sembrarono rinviare a delle somiglianze: il contrasto tra un solo lupo e molti lupi, tra una pecora
e un gregge, tra un albero e una foresta suggerirono che un lupo, una pecora e un albero hanno
qualcosa in comune: la loro unicità. Attraverso lo stesso tipo di approccio venne osservato che
certi altri gruppi, come le coppie, possono essere messi in corrispondenza biunivoca: le mani
possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici. Questo
riconoscimento, raggiunto al termine di un processo lungo e graduale, di una proprietà astratta
che certi insiemi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo
verso la matematica moderna.
L’uomo primitivo non conosceva i numeri. Per “contare”, per esempio, le pecore del suo gregge,
usava le dita, ossia alzava un dito per ogni pecora. Annotava poi il totale tracciando, sulla
sabbia, altrettante dita, oppure facendo altrettante tacche su un pezzo di legno. Contava anche
associando a ciascun oggetto un bastoncino: era quindi in grado di annotare il totale
conservando il mazzetto di bastoncini. Attraverso i secoli, l’uomo ha imparato a dare un nome
ad ogni numero e a rappresentare ogni numero con un simbolo.
I numeri naturali sono stati introdotti, fin dall’antichità, per contare gli oggetti di un dato
insieme.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test finale
1) Indicare quali proprietà si sono applicate per ognuna delle seguenti uguaglianze:
217-132=220-135=85
(12-2)·3=12·3-2·3=30
721-361=(721-21)- (361-21)=700-340=360
72·5·10=10·5·72=3600
882:14=(882:2):(14:2)=
441:7=63
2) Calcola, nell’insieme N, le seguenti espressioni:
a) 2·(3+5-7)=
b) 0·(14+5-7)=
c) (17-5+1-12)·5=
d) (7-6)·[(8-7)·(12-11)]=
e) 100-50·(6-4)=
f) (100-50)·(6-4)=
g) 100-50:(6-4)=
h) (100-50):(6-4)=
i) 100-34·2-4·5+3·12:6-60:2:3-4·2=
l) (45-9·4-243:3)·39+6·8:16+20:4-64:2:4=
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Mappa concettuale
Insieme N
dei numeri naturali
in esso si
definisce
ORDINAMENTO
ADDIZIONE
a+b
MOLTIPLICAZIONE
a·b
Potenza
an
attraverso
Se a multiplo di b
e b 0
Se ab
SIMBOLI
 
ammette
l’operazione
inversa
SOTTRAZIONE
a-b
TEST FINALE
ammette
l’operazione
inversa
DIVISIONE
a:b
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Il concetto di numero
razionale
• Le frazioni
• I numeri razionali
MENU GENERALE
Le frazioni
•
•
•
•
•
La frazione come operatore
Prodotto e potenza di frazioni
Frazioni equivalenti
Confronto tra frazioni
Addizione e sottrazione di frazioni
MENU GENERALE
MENU
RAZIONALI
I numeri razionali
• Il concetto di numero razionale
• I numeri decimali
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
La frazione come operatore
La parola “frazione” deriva dal latino frangere che
significa “rompere, “fare a pezzi”.
m
In matematica la frazione
di una certa quantità è
n
quella parte ottenuta dividendo tale quantità in m parti
uguali e considerandone n.
m
L’operatore frazionario ×
è il procedimento che
n
consente di dividere in n parti uguali la quantità di
partenza e di considerarne m.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esempio
4
 
6

Quantità iniziale
Operatore frazionario
MENU GENERALE
Frazione
MENU RAZIONALI
Se la quantità iniziale è rappresentata da un numero p non
divisibile per m (cioè non esiste un numero intero q che
m
moltiplicato per m ci dia p) allora l’operatore frazionario x
n p
applicato a p ci dà:
m
n
5  8 40
5

di 8 equivale a
3
3
3
2
2  5 10

di 5 equivale a
3
3
3
3
3 13  3 39

di 13 equivale a 13  
5
5
5
5
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Se n=m allora l’operatore frazionario lascia invariata la quantità
4
5
su cui viene applicato. Ad esempio di 3 dà proprio 3, di 8
4
5
dà 8. Questo perché prima abbiamo diviso in parti uguali una
certa quantità e poi l’abbiamo ricomposta mettendo insieme le
parti in cui l’avevamo frazionata.
n
In una generica frazione
, n viene detto numeratore e d
d
denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da
zero perché la divisione per 0 non è definita.
Il denominatore indica in quante parti bisogna dividere l’unità.
Il numeratore n indica in quante volte bisogna considerare
1
l’unità frazionaria
d
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esempi
3
di 12
4
3
12   12  4  3  9
4
1
di 6
3
1
6   6  3 1  2
3
5
di 8
2
5
8   8  2  5  20
2
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esercizi
Calcola:
13
di 24
6
7
8
2
5
di
di 270
3
9
7
di 21
3
1
di 20
5
2
5
MENU GENERALE
di 160
di
3
di 24
6
MENU RAZIONALI
Prodotto e potenza di frazioni
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per
numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il
prodotto dei denominatori delle frazioni date.
Esempi
m p m p
 
n q nq
2 5 2  5 10
 

3 7 3  7 21
3 9 3  9 27
 

8 2 8  2 16
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Divisione tra frazioni
p
m
Dividere una frazione
per una frazione
significa
q
n
p
m
moltiplicare
per l’inversa di
:
q
n
m p m q
:  
n q n p
Esempio:
5 4 5 3 5  3 15
:   

12 3 12 4 12  4 48
Due frazioni sono inverse fra loro quando il loro prodotto
è uguale a 1
2 5 2  5 10
5
2
 

1
Esempio:
è inversa di
infatti
5 2 5  2 10
2
5
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Potenza di frazioni
Data la frazione
n
a
a
e il numero naturale n, si definisce potenza n-esima di
b
b
a
e si scrive  a  , il prodotto di n fattori uguali ad
.
b
b
4
 2   2   2   2   2  2  2  2  2 16 2
  4
        
 3   3   3   3   3  3  3  3  3 81 3
4
0
a
Se n=0,    1 ,cioè qualunque frazione, elevata a 0, dà come risultato 1.
 b   0 0
L’espressione   con b≠0 non è definita in quanto è uguale a 00,
b
espressione priva di significato matematico.
n
a
c
c
Se n
allora    a

b
b
d
d 
2
Esempio
4 2
2
22
4

 infatti    2 
25 5
5
25
5
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esercizi
Calcola:
3 7

2 5
2
3
  ;
7
;
2 4

;
9 3
3
5
  ;
6
8 3
3 1
:
:
;
;
7 5
4 9
5
2
  ;
3
MENU GENERALE
 12 
 
 19 
0
12
:5
17
1
;
4
 
3
MENU RAZIONALI
Frazioni equivalenti
Data una qualsiasi frazione m , se moltiplichiamo o
n
dividiamo numeratore e denominatore per uno
stesso numero otteniamo un’altra frazione
m
detta “frazione equivalente” ad
.
n
p
q
Esempio
2 2  3 2  5 2  7 2  10




 
3 3  3 3  5 3  7 3  10
15 15 : 5 3 3 : 3 1

 

30 30 : 5 6 6 : 3 2
36 36 : 12 3

 3
12 12 : 12 1
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore
e denominatore sono primi fra loro, cioè se non hanno fattori in
16
comune. Consideriamo ad esempio la frazione
.
24
La prima cosa che andiamo a fare è fattorizzarne i termini, cioè
scomporre numeratore e denominatore in fattori primi:
16 2  2  2  2

24 2  2  2  3
Dividendo per 2 si ottiene:
2 2 2
2 23
Come si può vedere il numeratore e il denominatore hanno
ancora un fattore in comune, cioè il 2. Quindi dividiamo ancora e
2
otteniamo
. La frazione ottenuta si dice ridotta ai minimi
3
termini.
Una frazione non ridotta ai minimi termini si dice riducibile.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Quando si calcola il prodotto tra frazioni è quindi utile ridurre
prima le frazioni ai minimi termini. Dopo aver effettuato tale
operazione occorre vedere se la frazione prodotto ottenuta
è a sua volta riducibile e procedere alla semplificazione di
questa.
2 15 2  15 2  3  5 5
 


3 4
3 4 3 2  2 2
Potevamo operare anche in questo modo:
1
2 15 5 5
 
13
42 2
che comunemente viene detto procedimento di
semplificazione in croce.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Tutte le frazioni equivalenti fra loro costituiscono un insieme
infinito di frazioni di cui una sola è ridotta ai minimi termini;
le altre possono ottenersi da essa moltiplicandone
numeratore e denominatore per uno stesso numero.
A tale insieme viene dato il nome di “classe di frazioni
equivalenti”.
1
2
1000
2000
2
4
19
38
6
12
18
36
50
100
MENU GENERALE
3
5
300
500
6
10
12
20
15
75
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30
50
24
40
2
Consideriamo adesso due frazioni qualsiasi:
3
3
e
7
Determiniamo alcune frazioni equivalenti:
2 4 6 8 10 12 14 16
  




 
3 6 9 12 15 18 21 24
3 6
9 12



 
7 14 21 28
2
Come si può osservare, tra le frazioni equivalenti a e
3
3
a
sono presenti due frazioni aventi a denominatore
7
14
9
lo stesso numero:
e
21
21
Naturalmente ve ne saranno infinite con uguale
denominatore e precisamente tutte quelle che hanno a
denominatore un multiplo del numero 21, detto
comunemente minimo comune multiplo dei denominatori.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
In generale comunque è sempre possibile trasformare due
frazioni qualsiasi in frazioni ad esse equivalenti e aventi lo
stesso denominatore.
Per poter fare questo occorre:
• cercare un multiplo comune ai denominatori
• dividere tale nuovo denominatore per ciascun vecchio
denominatore
• moltiplicare ciascun quoto per il corrispondente
numeratore.
Esempio
2
3
Vogliamo trasformare
e
in frazioni ad esse equivalenti aventi lo
5
4
stesso denominatore. Tra i multipli comuni a 5 e a 4 prendiamo il numero
20 (potremmo prenderne qualsiasi). Dividendo 20 per 5 otteniamo 4 e
dividendo 20 per 4 otteniamo 5. moltiplicando questi quoti per 2 e per 3
otteniamo le frazioni
8
15
e
.
20 20
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Esercizi
1) Scrivi almeno 5 frazioni equivalenti a ciascuna delle
seguenti:
2
3
3
7
4
1
5
2) Dove è possibile, riduci ai minimi termini:
64
48
2
19
9
36
24
6
17
32
3) Riconduci allo stesso denominatore le seguenti
frazioni:
a)
2
3
b)
c)
1
3
5
6
4
9
2
5
12
15
3
4
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MENU RAZIONALI
Addizione e sottrazione di frazioni
Somma e differenza di frazioni con
uguale denominatore
La somma (o differenza) di due o più frazioni aventi uguale
denominatore è una frazione che ha per denominatore il
denominatore dato e per numeratore la somma (o differenza)
dei numeratori.
a c a  c 
 
b b
b
a c a  c) 
 
b b
b
Esempi
3 7 10
 
4 4 4
6 2 4
 
7 7 7
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Somma e differenza di frazioni con diverso denominatore
Quando si devono sommare (o sottrarre) frazioni con diverso
denominatore occorre prima di tutto trasformare le frazioni date in
frazioni equivalenti che abbiano per denominatore un multiplo comune
dei denominatori dati. Di solito, per brevità di calcolo, si sceglie il
m.c.m. tra i denominatori.
Il procedimento da seguire per addizionare o sottrarre le frazioni è il
seguente:
• tracciare una linea di frazione abbastanza lunga da contenere tutti i
numeratori;
• sotto la linea di frazione scrivere il denominatore-multiplo scelto (è
conveniente scrivere il minimo comune multiplo dei denominatori);
• dividere tale denominatore per ciascuno dei denominatori delle
frazioni che si stanno sommando (o sottraendo);
• moltiplicare il quoto ottenuto per il corrispondente numeratore;
• scrivere il risultato al posto del vecchio numeratore;
• sommare (o sottrarre) i nuovi numeratori;
• scrivere la nuova frazione ottenuta. MENU RAZIONALI MENU GENERALE
Esempi
3 1 5  3  4  1 15  4 19
 


4 5
20
20
20
2 3 10  9 1
 

3 5
15
15
7 1 3 42  4  9 47
  

2 3 4
12
12
Esercizi
Calcola:
3 2
 
7 9
6 11


17 17
5
13 7


12 12
3 1
 
2 5
5 7
 
2 8
12
7 1
3  
5
4 2
MENU GENERALE
2 13 1
  
5 3 4
19 12 7
 

3 5 30
MENU RAZIONALI
I numeri decimali
Uno stesso numero razionale può essere
rappresentato da tante frazioni diverse, purchè tutte
2 4 12
equivalenti fra loro. Ad esempio le frazioni
,
,
3 6 18
rappresentano lo stesso numero razionale perché
sono equivalenti.
Ma vi è un altro modo di rappresentare i numeri
razionali: la scrittura decimale.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
m
La scrittura
esprime il risultato della divisione m : n.
n
Quindi:
3
 3 : 5  0,6
5
17
 17 : 8  2,125
8
14
 14 : 3  4,666666...
3
13
 13 : 6  2,166666...
6
15
 15 : 7  2,14285714285714...
7
Come si può notare, mentre le
prime due frazioni hanno dato
luogo ad un numero decimale
finito, le altre sono espresse
da un numero decimale
illimitato, in cui però ci sono
dei gruppi di cifre che si
ripetono costantemente, cioè
un numero decimale periodico.
La domanda che ci si pone è la
seguente: dato un numero
razionale espresso sotto forma
di frazione, come sarà la sua
rappresentazione decimale?
8
 8 : 11  0,72727272...
11
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Definizione
Si chiama frazione decimale una frazione che ha per
denominatore una potenza del 10 con esponente
maggiore di zero.
Sono ad esempio frazioni decimali
7
25
3
16
,
,
,
10 100 1000 10
Ogni frazione decimale si può rappresentare, con un
numero decimale finito. Infatti la divisione per una
potenza del 10 comporta un semplice spostamento a
sinistra della virgola:
7
 0,7
10
254
 2,54
100
MENU GENERALE
3456
 345,6
10
MENU RAZIONALI
Le potenze del numero 10 danno luogo ad una scomposizione
che contiene come fattori primi solo potenze del 2 e del 5. Se
una frazione, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un
numero che ha come fattori della scomposizione solo potenze
del 2 e/o del 5, è facile trasformarla in una frazione equivalente
che sia una frazione decimale, che dà origine cioè ad un
numero decimale finito.
Per esempio:
3 3
3  53 375
 3  3 3  3  0,375
8 2
2 5
10
37
37
37  5 185
 2  2 2  2  1,85
20 2  5 2  5
10
39
39
39  22 156

 3 3  3  0,156
3
250 2  5
2 5
10
15 15 15  53 1875
 3 3 3
 1,875
3
8 2
2 5
10
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Un numero decimale finito può essere sempre scritto per
mezzo di una frazione decimale moltiplicando e dividendo per
le opportune potenze del 10. Ad esempio:
7,5  10 75
7,5 

10
10
8,36  102 836
8,36 

2
10
100
0,03  102
3
0,03 

2
10
100
Se una frazione ridotta ai minimi termini, ha per denominatore
un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e
al 5, essa non potrà essere trasformata in una frazione
decimale, e quindi il numero decimale ad essa associato non
potrà essere finito. MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Ad esempio la frazione
14
 4,6666... dà origine ad un
3
numero decimale illimitato.
Ma questo vale per tutte le frazioni con a denominatore un numero la
cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5?
Quando eseguiamo una divisione a:b otteniamo un quoziente intero
con un resto che è minore del divisore b (ad esempio 17:6=2 con resto
5, e 5 è minore di 6). Si può proseguire la divisione moltiplicando per
10 il resto e dividendo di nuovo. Otteniamo come quoziente la prima
cifra decimale ed un nuovo resto con le stesse caratteristiche del
precedente (50 : 6 = 8 con resto 2, e 2 è minore di 6). Se ripetiamo il
procedimento altre volte, non troveremo comunque mai resto zero,
altrimenti il numero decimale sarebbe finito e la frazione sarebbe una
frazione decimale, cosa che abbiamo esclusa.
Il resto sarà dunque una cifra compresa tra 1 e b (nell’esempio il resto
potrà solo assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5). Perciò dopo al massimo b
divisioni (6 divisioni nell’esempio), la cifra del resto dovrà ripetere un
valore precedente. Da quel punto in poi i quozienti ed i rispettivi resti si
dovranno ripetere in successione costante.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esempi
7 : 9  0,777....
15 : 7  2,1428571428.......
17 : 6  2,833
37 : 22  1,6818
si scrive
0,7
si scrive
2,142857
si scrive
2,8 3
si scrive
1,681
Un numero come 0,7 o 2,142857 si dice periodico semplice perché il
periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripetono, inizia subito dopo la
virgola.
Un numero come 2,8 3 o 1,681 si dice periodico misto perché il
periodo non inizia subito dopo la virgola. In quest’ultimo caso, la parte
compresa tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo
Ad esempio:
4, 53
2,6 3
non c’è antiperiodo
53 periodo
6 antiperiodo
3 periodo
64,57 8
0,124
57 antiperiodo
8 periodo
1 antiperiodo
24 periodo
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
La frazione che genera un numero decimale periodico è determinabile
mediante una semplice regola.
La frazione generatrice di un numero decimale periodico
è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il
numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero
intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per
denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti
0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi
2, 24 
224  2 222 74


99
99 33
8524  852 7672 1918
8,524 


900
900
225
1,7 3 
173  17 156 26


90
90 15
20
2
1
0,0002 


9900 9900 4950
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Riassumendo, possiamo dire che:
Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore
un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o
del 5, dà origine ad un numero decimale finito
Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore
un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e
al 5, dà origine ad un numero decimale periodico
Un numero razionale quindi può essere espresso o da una qualsiasi
delle frazioni equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza
introdotta o dalla sua espressione decimale:
3
4
12
16
9
12
0,75
sono espressioni diverse dello stesso numero razionale.
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esercizi
1) Scrivi sotto forma di numero decimale le frazioni che seguono:
7
10
11
10
3
100
21
10 2
32
103
1422
105
2) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali:
7
5
8
3
24
12
21
23
7
8
18
50
14
15
3) Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni:
3,5
2, 32
7,04
1,0 4
0, 02
4) Senza eseguire le divisioni, stabilisci quali frazioni danno origine a
numeri decimali finiti, quali a numeri decimali periodici semplici, quali a
numeri decimali periodici misti.
3
14
7
5
28
21
72
15
14
35
8
30
6
22
9
5
38
19
7
20
95
38
13
6
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Confronto tra frazioni
Confrontare due frazioni se queste hanno lo stesso denominatore è semplice: la
frazione maggiore è quella che ha il numeratore maggiore.
D’altra parte, se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, se ne possono
scegliere altre ad esse rispettivamente equivalenti che abbiano lo stesso
denominatore.
Per fare ciò possiamo considerare le due frazioni che hanno per denominatore il
m.c.m. fra i denominatori delle due frazioni, o anche
il prodotto stesso dei due denominatori. Date due frazioni
prenderemo dunque le frazioni ad esse equivalenti
mq
nq
e potremo dire che
m p

n q
p
m
e
q
n
n p
nq
se e solo se
mq  n p
Per confrontare due numeri razionali positivi possiamo allora
confrontare due qualsiasi frazioni che li rappresentino.
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
Esempi
3 7

4 8
5 4

2 7
3 10

5 3
19
3,5 
5
2,8  2,8
38  7  4
infatti
5 7  4 2
infatti
3  3  10  5
infatti
infatti
infatti
35 7
3,5 

10 2
ed è
7 19

2 5
perchè
2,8  2,8888...
MENU GENERALE MENU RAZIONALI
7  5  2 19
Esercizi
1) Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali:
3
4
9
2
3,85
45
12
21
28
1, 6
0,5
2) Confronta le seguenti coppie di frazioni e individua
la minore
3 5
,
2 6
13 11
,
11 13
MENU GENERALE
26
,5
5
15 28
,
7 4
MENU RAZIONALI
Il concetto di numero razionale
Supponiamo di avere a disposizione
una serie di nove bicchieri graduati
tutti uguali e due siringhe da 10ml:
una per l’acqua e una per l’inchiostro.
Immettiamo nei primi tre bicchieri
rispettivamente 1ml, 5ml e 10ml di
inchiostro e tanta acqua quanto basta
per portare il livello del liquido a 10ml.
Nella seconda serie da tre bicchieri
immettiamo rispettivamente 2ml, 10ml
e 20 ml di inchiostro e tanta acqua
quanto basta per portare il livello del
liquido a 20ml.
Infine nella terza serie da tre bicchieri
immettiamo rispettivamente 3ml, 15ml
e 30ml di inchiostro e tanta acqua
quanto basta per avere un livello del
liquido risultante pari a 30ml.
MENU GENERALE
1/10
5/10
10/10
2/20
10/20
20/20
3/30
15/30
30/30
MENU RAZIONALI
Il rapporto inchiostro/liquido-totale naturalmente varia tra i bicchieri e
può essere espresso attraverso una frazione numerica. La cosa
interessante è che i bicchieri aventi del liquido con la stessa gradazione
di colore sono rappresentati da frazioni tra loro equivalenti. Questo ci
permette di affermare che operando una partizione dell’insieme dei
bicchieri in base al criterio del colore, tali bicchieri formano una classe
di equivalenza.
Se non abbiamo limitazioni sulla quantità d’acqua e di inchiostro,
possiamo ottenere un dato colore in numero infinito di modi, poiché
esistono infinite frazioni equivalenti ad una data.
Ciò significa che ogni classe di equivalenza individuata dal colore è
costituita da infinite frazioni.
Chiameremo ciascuna classe di equivalenza col nome di numero
razionale.
Nel nostro gioco mentre a ogni bicchiere corrisponde una frazione, a
ogni colore corrisponde un numero razionale.
Il numero razionale rappresenta il rapporto fra il numeratore e il
denominatore delle frazioni equivalenti che esso rappresenta
MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
Esercizi
1) Scrivi almeno 5 frazioni di una classe di equivalenza
2
individuata dal numero razionale
3
2) Scrivi il rappresentante della classe di equivalenza
cui appartengono le seguenti frazioni:
24
30
35
42
17
32
90
100
3) Indica fra le seguenti frazioni quelle corrispondenti
allo stesso numero razionale:
15
20
70
14
3
5
25
5
9
12
MENU GENERALE
21
28
50
10
MENU RAZIONALI
Test finale A
1) 7 signore dividono una pezza di seta in parti uguali, ma 3 di esse decidono di mettersi in
comune e di usare 2/5 della loro seta per fare abiti di Carnevale. Se la seta era 70 metri, quanti
metri serviranno per gli abiti di carnevale?
2) Lorenzo si versa nel bicchiere ¼ della bottiglia di aranciata. Se Ilaria, con una spinta, gliene fa
cadere 2/3, quale frazione dell’aranciata della bottiglia è caduta? Sapresti dire, allora, quale
frazione di tale aranciata rimane a Lorenzo?
3) Ognuno di noi ha ricevuto metà del corredo cromosomico dal padre e metà dalla madre.
Quale frazione abbiamo del corredo cromosomico del nonno? E del padre di questi?
4) L’acqua di un grosso condotto viene suddivisa in 5 condotti uguali e ognuno di questi riversa la
sua acqua in 5 tubi, ognuno dei quali porta acqua a 5 ville. Se nel condotto iniziale fluiscono 5000
litri di acqua al secondo, quanta acqua al secondo arriverà a ogni villa? Essa equivale a quale
frazione dell’acqua iniziale?
5) Il capitale di Marco aumenta ogni anno diventando i 5/4 dell’anno precedente. Di quanto
sarà aumentato dopo 3 anni? E dopo 5 anni? E dopo n anni?
6) Devo dividere 9 litri di olio in ampolle da 3/8 di litro. Quante ampolle occorreranno?
7) Divido 3 focacce fra 4 amici. Se gli amici diventano 20, quante focacce dovrò avere
per dar loro sempre la stessa quantità?
8) Se le donne che ricoprono le alte cariche pubbliche da 7/30 diventassero 2/9, per i
movimenti paritari questo sarebbe un traguardo augurabile oppure no?
9) Luigi guadagna 5/4 dello stipendio di Alessio, mentre Andrea guadagna i 7/3
dello stipendio di Alessio. Chi guadagna di più?
10) Percorro in macchina 5/8 della strada e in bicicletta 3/10. Il resto della strada è ancora
di 6 chilometri. Quanto è lungo tutto il percorso?
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Test finale B
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
1 13   5  31
 7 5   1



3

   1   

 
3 6   9  36
 2 3   4
1  2  10 1 
1 1 


6


 
   
2  11  9 4 
9 4 
 5 5  2  2 1 3  2  5 3  
1  1


2
:

2






2



 
 

 
2 5  3  3 4  
2  4
 3 4  3 
1 1
0,1 6 : 0,8 3    
4 2
3
2
5
 1
: 1    1  0,4   1,8 : 1, 3  
3
 4

1 
2 
4


1
,
6


0
,
6

:
1

0
,
1
6

0
,
63
:
0
,
45

 


9 
3 
15

MENU GENERALE
MENU RAZIONALI
• RAPPORTI E PROPORZIONI
• PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA
MENU GENERALE
• Dal rapporto alla proporzione
• Proprietà delle proporzioni
MENU GENERALE
MENU
PROPORZIONI
Dal rapporto alla proporzione
Dati due numeri a e b, con b≠0, si chiama rapporto fra i due numeri il
quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b.
Si chiama invece, rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il
secondo per il primo, cioè b : a.
Tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di
frazione.
Esempi di rapporti
Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo
numero per il secondo.
(2 : 5 = 0,4)
Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene (15kg : 3kg = 5kg)
dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della
prima grandezza rispetto alla seconda).
Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si
ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda
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(40m : 5s = 8m/s)
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In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore
conseguente.
L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione:
a:b=c:d
Tale uguaglianza si legge in questo modo: “Il rapporto fra a e b è uguale al
rapporto fra c e d” oppure: “a sta a b come c sta a d”.
I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della
proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il
secondo e il terzo medi.
Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
Esempio:
36 : 12 = 12 : 4
In generale la forma di una proporzione continua è la seguente:
a:b=b:c
In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale
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La proprietà fondamentale
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi.
SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d
Esempi
7 : 2 = 21 : 6
3 2 3 2
: 
:
4 5 20 25
→
→
2 x 21 = 7 x 6 = 42
2 3
6
3 2


 
5 20 100 4 25
Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se
quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione.
Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà
fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito
conoscendo gli altri termini della proporzione.
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Poniamoci una domanda su un problema abbastanza
semplice: se un operaio percepisce 900€ in un mese
quanti euro percepirà in due mesi e mezzo?
In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e
otterremo il risultato. Ma se pensiamo il problema in
termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono,
potremmo andare a scrivere la seguente proporzione:
900 : 1 = x : 2,5
Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo:
1 ∙ x = 900 ∙ 2,5
Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal
prodotto tra i termini numerici dati.
Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo
calcolare il valore dell’incognita tenendo conto ogni volta della
posizione che essa occupa all’interno della proporzione. In
particolare:
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Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il
prodotto dei medi per l’estremo noto.
Esempi
x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 ∙ 4 = x ∙ 9 e quindi
3  4 12 4
x
 
9 9 3
Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il
prodotto degli estremi per il medio noto.
Esempi
5 : x = 15 : 7
→
x
5  7 35 7


15 15 3
Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora
esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il
termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il
quadrato del medio per l’altro estremo.
SE a : b = b : c ALLORA b ∙ b = a ∙ c.
2
b
Cioè b2 = a ∙ c. Dunque b  a  c e a 
c
b2
mentre c 
a
Esempi 3 : x = x : 12 → x  3  12  36  6
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Proprietà delle proporzioni
Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno
uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i
più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali
proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi.
Vediamole tutte quante.
PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE
Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono
uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni
posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la
proporzione resta valida.
SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c
Esempi
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6 : 3 = 24 : 12
diventa
3 : 6 = 12 : 24
9 : 2 = 45 : 10
diventa
2 : 9 = 10 . 45
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PROPRIETA’ DEL PERMUTARE
In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli
estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi
fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida.
a : c  b : d
SE a : b = c : d ALLORA 
d : b  c : a
Esempio
permutando i medi
4 : 20 = 6 : 30
4 : 6 = 20 : 30
permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4
Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati
simultaneamente si ottiene un risultato “banale” cioè la proporzione
scritta a rovescio.
Esempio
7 : 5 = 21 : 15
diventa
15 : 21 = 5 : 7
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PROPRIETA’ DEL COMPORRE
In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al
primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta
al terzo (o al quarto).
a : b = c : d → (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d
Esempi
4 : 7 = 12 : 21
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(4 + 7) : 4 = (12 + 21) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12
Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti:
4 ∙ 33 = 11 ∙ 12 = 132.
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PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE
La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo)
come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Data la proporzione : a : b = c : d,
se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure
(a – b) : b = (c – d) : d;
se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare
ai termini della proporzione la proprietà dell’invertire.
Esempio
7 : 2 = 28 : 8
Applichiamo la proprietà dello scomporre:
(7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8
Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 ∙ 20 = 5 ∙ 8 = 40
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Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime
quando si tratta di risolvere problemi del tipo “somma-rapporto” e del
tipo “differenza-rapporto”.
Esempio
Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40.
Determinare i due numeri.
x + y =40
x :y = 2 : 5
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(x + y) : x = (2 + 5) : 2
40 : x = 7 : 2
40  2 80
x

7
7
80 280  80 200
y  40 


7
7
7
Esercizio
Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è
uguale a 3/2.
(devi applicare la proprietà dello scomporre)
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Esercizi
1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9:
3/7;
7/3;
25/13;
210/90;
49/21
2) Calcola il valore di x
3
5
x
9
x
2
x
7
4
3) Calcola il, termine incognito
x:3 4:5
x : 4  9: x
2: x  x:8
16 : x 
4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro
rapporto 4/5
5) Nell’anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di
ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di
anidride solforica?
6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne
possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno?
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2 4
:
25 25
Grandezze direttamente ed inversamente
proporzionali
Prima di analizzare nei dettagli l’argomento riguardante la
proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare
brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo
uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione.
Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo
con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due
grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la
seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni
valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della
y diremo allora che y è funzione di x.
Denoteremo questa condizione con la scrittura
y = f(x)
nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la
grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da
questa dipendono da quelli assegnati alla x.
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Consideriamo ora un’esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di
ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3.
La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume.
Volume (cm3)
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Peso (g)
7.8
15.6 23.4 31.2 39.0 46.8
Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una
regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè
quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia,
triplica, ecc… Possiamo esprimere questa regolarità anche notando
che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti:
7.8 15.6 23.4


 ...
1.0
2.0
3.0
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In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro rapporto si
mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono
direttamente proporzionali.
In formule scriveremo :
y
k
x
(dove k rappresenta una qualsiasi costante)
e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta.
Si considerino ora l’insieme dei rettangoli aventi per area un valore
dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e l’altezza dei
rettangoli in questione, l’espressione che determina l’area sarà
b∙h=A
Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma
di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è
immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc.,
affinchè l’area si mantenga sempre uguale ad A. occorre
necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un
terzo, ecc.
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In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro prodotto si
mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono
inversamente proporzionali. In formule scriveremo
x ∙ y = k (k costante qualsiasi)
e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa.
La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere
meglio quanto è stato detto.
Posto A = 24 cm2 assegniamo valori arbitrari alla base b e
determiniamo i corrispondenti valori dell’altezza h.
base b
(cm)
1
2
3
4
6
8
12
24
Altezza
h (cm)
24
12
8
6
4
3
2
1
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ESERCIZI
1) Stabilisci se tra le seguenti coppie di grandezze variabili esiste una
relazione di proporzionalità diretta, inversa oppure non esiste alcun
legame di proporzionalità.
Diretta
Inversa
Nessun legame
Calorie assimilate e
peso di una persona
Superficie e altezza
di un trapezio
Strada percorsa e
benzina consumata
da un’auto
Numero di operai e
tempo di esecuzione
di un lavoro
Crescita di una
pianta e tempo
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2) Individua le relazioni fra gli elementi delle seguenti tabelle e
trova gli elementi mancanti.
x
y
2
1
4
2
6
3
10
…
x
y
2
8
4
4
8
2
16
…
x
1
5
8
10
y
3
7
10
…
x
y
4
9
5
11
7
15
6
…
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