Introduzione alla Geometria

La filosofia [o scienza della natura] è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente ci sta aperto davanti agli
occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima
non si impara a intendere la lingua e conoscer li caratteri ne’
quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi non è possibile intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro
laberinto (G. Galilei)
Valenza educativa della Geometria
 Prima di tutto il carattere educativo della Geometria è connesso
alla sua stessa natura di scienza che rende razionale e oggettivo il
porsi dell’individuo nello spazio fisico. Infatti, una descrizione
geometrica della realtà implica la necessità di passare da
un’osservazione centrata sul soggetto a una che tenga conto della
pluralità di punti di vista e che, dunque, richiede anche forme
espressive atte alla comunicazione intersoggettiva.
Un’interpretazione soggettiva non è errata in sé, ma porta a
considerare lo spazio anisotropo, cioè dotato di direzioni privilegiate,
per cui la sua validità è strettamente condizionata alla presenza del
soggetto che la formula. Nel linguaggio quotidiano, per esempio,
usiamo frequentemente termini che rimandano all’assunzione di un
solo punto di vista (come alto/basso, davanti/dietro, sopra/sotto,
destra/sinistra). Tali informazioni sono informative e significative
nella misura in cui sono rivolte ad altri osservatori che si trovano
nelle medesime condizioni del soggetto che le esprime.
 Educazione all’osservazione e alla descrizione obiettiva della
realtà.
Valenza educativa della Geometria
 La Geometria è il contesto nel quale il ragionamento e i processi
deduttivi possono essere praticati senza richiedere un simbolismo
fortemente convenzionale.
 Rispetto all’Aritmetica e all’Algebra, nelle quali il linguaggio simbolico
può inibire i processi deduttivi, in geometria può essere sufficiente
anche il linguaggio naturale per avviare alla necessità del “rendere
ragione” (“argomentare e congetturare”) delle proprie affermazioni.
 Molte attività geometriche, inoltre, sviluppano l’immaginazione e
l’intuito, consentendo di educare la fantasia all’estrapolazione e
all’astrazione.
Spaziale e geometrico
Nel linguaggio naturale abbiamo a disposizione due aggettivi:
spaziale e geometrico, che spesso si considerano più o meno
sinonimi.
Possiamo invece differenziarne un po’ il significato: riserviamo
l’attribuzione di geometrico a ciò che in qualche modo è passato
attraverso un’elaborazione teorica, mentre spaziale si riferisce
anche a fatti più esperienziali.
Non opporremo invece “spaziale” a “piano”. Quando la situazione lo
richieda, lo spazio ambiente potrà avere due dimensioni.
Parlare di spazio
L’abitudine di studiare geometria ci fa spesso dimenticare che vi
sono altri modi di interagire con lo spazio: modi pre-linguistici,
attribuibili allo stadio sensomotorio dello sviluppo: si impara a girare
per casa, a raggiungere un oggetto, ecc., ben prima di sapere
nominar queste cose. (Orientamenti per la scuola materna 1991)
I discorsi sullo spazio sono molto impegnativi: si pensi alla difficoltà
che spesso incontriamo nello spiegare a un altro come raggiungere un
punto particolare della nostra città.
La Geometria “ufficiale” aggira il problema limitandosi a considerare
pochi tipi di figure. Tuttavia, si trovano situazioni spaziali troppo
complesse per potere essere dominate da qualsiasi linguaggio.
Questo non significa che si debba rinunciare a cercare di
“verbalizzare” le situazioni spaziali: affinare l’uso del linguaggio
corrente è un esercizio molto formativo.
Conoscere lo spazio: saper vedere, sapersi muovere, saperne
parlare, saper fare
Dallo spazio fisiologico allo
spazio geometrico
Possiamo distinguere uno spazio fisiologico, nel quale ci muoviamo
e operiamo, e uno spazio geometrico, che studiamo con il nostro
pensiero.
Esistono però anche dei livelli intermedi: lo spazio
rappresentativo, cioè quello delle nostre rappresentazioni mentali,
e lo spazio fisico, quello nel quale si svolgono i fenomeni fisici.
Questi spazi sono fra loro intimamente connessi. La Geometria
non va considerata quindi come una scienza astratta, non legata
alle esperienze percettivo-motorie. Il “percorso” dallo spazio
fisiologico a quello geometrico (raggiungibile alla scuola secondaria
superiore) deve prevedere delle tappe fondamentali che
garantiscano ad ogni alunno l’interiorizzazione dei concetti
geometrici.
La genesi psicologica
dei concetti geometrici
- Di regola, nell’uomo, sono le sensazioni muscolari, tattili
e visive, che, in connessione coi movimenti, concorrono
a formare, associandosi, le rappresentazioni spaziali.
Spazio visivo
Spazio geometrico
Limitato
Illimitato
Non omogeneo
Omogeneo (nel senso che
tutti i suoi punti sono
identici fra loro)
Anisotropo
Isotropo (nel senso che
tutte le rette che passano
per uno stesso punto sono
identiche fra loro)
Sensazioni visive
- Formazione dell’immagine sulla retina (immagine bidimensionale)
- I movimenti dell’occhio (accomodamento per la distinzione)
- Visione binoculare (visione tridimensionale)
La vista porta alla geometria proiettiva.
Le lunghezze e le distanze non sono percepite e abbiamo bisogno di
associare le sensazioni tattilo-muscolari
Sensazioni tattilo-muscolari
- Due punti che, in una certa posizione della cute, distino
tra loro meno di un certo intervallo (soglia della
sensazione) non vengono percepiti come distinti
- Una lunghezza costante viene percepita inegualmente
dalle varie parti della cute
- La grandezza di un oggetto mobile viene percepita più
perfettamente che quella di un oggetto in riposo
- Senso di sforzo e senso del movimento muscolare;
sensazioni di equilibrio e di orientamento
- Cambiamenti di stato e cambiamenti di posizione
Il tatto e le sensazioni muscolari portano alla topologia
Tatto speciale: mano e poi oggetti per il confronto e la misura
Spazio metrico (distanza)
Le immagini mentali
Che cosa sono gli oggetti di cui si occupa la geometria?
Ci sono le sensazioni provenienti dal mondo materiale e ci sono le
idee della nostra mente, come ad esempio, “quadrato”, “cerchio”, ecc.
Ma su queste ultime non si può operare geometricamente perché non
hanno forma o dimensione. Ci deve essere un livello intermedio,
dell’immaginazione, o “spazio rappresentativo”.
Le entità dell’immaginazione si chiamano oggi immagini mentali. Oggi
si discute su che cosa esattamente si tratti: possono essere le
immagini che si presentano nella nostra mente quando evochiamo un
disegno (un oggetto) che abbiamo osservato: per quanto interessa la
geometria, di queste immagini dovremmo tenere conto solo della
forma, escludendo, per esempio, il colore. Inoltre se lo vogliamo,
siamo in grado di semplificare l’immagine, nel senso che un disco
(oggetto concreto che non può essere del tutto regolare) può
suscitare l’immagine di un cerchio perfetto (in questo caso, saremmo
influenzati dalle nostre conoscenze, anche se molto elementari, di
geometria). Si chiameranno figure geometriche (o semplicemente
figure) tali immagini mentali.
Le immagini mentali
Qualcosa di analogo (anche se a un livello meno semplice)
accade nelle situazioni del tipo movimento, deformazione,
fotografia, “simmetrie” di un oggetto. Ai nostri scopi, nei primi
due casi interessano solo la posizione iniziale e quella finale
dell’oggetto che si muove; anche in questo caso, possiamo
semplificare l’immagine, per esempio immaginando che in un
movimento le distanze siano rigorosamente conservate.
Abbiamo così un altro tipo di immagini che rientrano nel tipo
trasformazioni.
Va attribuita alle “immagini mentali” anche la capacità di
orientarsi
in
situazioni
spaziali
non
chiaramente
rappresentabili con l’occhio della mente (ad esempio orientarsi
in una città sconosciuta).
Le immagini mentali
La caratteristica delle immagini mentali sta nel fatto che a esse
non corrisponde in quel dato momento nessun particolare stimolo
esterno. Sono un prodotto della mente o una rievocazione della
memoria.
Le figure geometriche sono idealizzazioni dell’esperienza sensibile
e in quanto tali possiamo dare a esse quei caratteri di esattezza
che gli oggetti materiali non possono avere: un disco non sarà mai
un cerchio perfetto, se non altro perché ha uno spessore: invece,
nella nostra immaginazione, possiamo attribuirgli due sole
dimensioni, se ci interessano solo queste, e possiamo immaginarlo
perfettamente circolare.
Un discorso analogo si può fare per le trasformazioni
geometriche: un movimento effettivo
deforma un
pochino gli oggetti, ma noi possiamo
idealizzarlo in
modo che nella nostra
immaginazione le distanze siano
conservate.
Dalle immagini mentali ai concetti
Questi sono gli individui di cui si occupa la geometria. Ma non
possiamo dare un nome proprio a tutti. Diamo lo stesso nome
ad un insieme di individui. Questi sono quelli che si chiamano i
concetti. Per la geometria alcuni parlano di concetti figurali
perché l’immagine astratta è accompagnata da da figure
(immagini mentali) che ne sono gli esempi.
I concetti si costituiscono nella fase evolutiva, tramite
progressiva astrazione, dopo che si è operato con diversi
esempi significativi, variando la posizione (ed eventualmente
la forma) degli oggetti, senza definizioni formali.
Oggetti concreti
Immagini mentali
Concetti
Dalle sensazioni alle astrazioni
La complessità delle sensazioni relative agli oggetti dell’ambiente
viene ridotta mediante progressiva astrazione: la fantasia trascura
alcune proprietà come il colore e focalizza l’attenzione su altre come
la forma, la dimensione, la posizione nell’ambiente; ne spinge altre
ancora al limite, per giungere all’elaborazione di immagini mentali e,
dopo un’ulteriore operazione di astrazione, dei concetti geometrici.
Concetto di punto: La fantasia elaborai dati della percezione, costruendo
l’immagine di un oggetto sempre più piccolo, indefinitamente piccolo.
Ovviamente questa elaborazione fantastica non è ancora la costruzione del
concetto di punto, ma ne è un momento essenziale; la definizione del
concetto di punto geometrico giunge a compimento quando si esprimono con
mezzi linguistici, e non con immagini, i rapporti logici che il concetto
determina e dai quali viene a sua volta determinato. In altre parole, la
definizione del concetto di punto può venire considerata completa quando si
enunciano delle frasi che riconducono il concetto stesso ad altri già
conosciuti, oppure quando si dia un insieme di proposizioni primitive, le quali
conducano alla definizione implicita del concetto stesso. (C.F.Manara)
Dalle sensazioni alle astrazioni
L’immaginazione è quindi un livello intermedio fra quello delle sensazioni
(due triangoli diversi) e quello dei concetti astratti (idea di “triangolo”
indipendente dal disegno).
Lo spazio rappresentativo comporta la rappresentazione mentale di figure,
di situazioni spaziali, e la capacità di riprodurle (per esempio mediante
disegni), tendenzialmente anche in assenza dell’oggetto al quale si
riferisce. Possiamo dire che il bambino ha raggiunto la fase intuitiva.
Alcuni stimoli, però, possono essere così devianti per gli studenti da
vincere sul controllo concettuale. Armonizzare i due aspetti (concreto e
astratto) evitando l’insorgere di ambiguità.
Attraverso strumenti linguistici: presentare il proprio modello e discutere
le proprie idee concettuali.
Macrospazio, mesospazio e microspazio
Si possono distinguere tre livelli di esperienza spaziale:
- il microspazio, fino a metà dell’altezza del soggetto (cioè
quando si pera su un tavolino)
- il mesospazio, da metà fino a cinque volte (entro una stanza)
- il macrospazio, oltre le cinque volte
L’esperienza nel mesospazio ha tra gli obiettivi la ricerca di
una conoscenza il più possibile integrale, cui concorra cioè
ogni parte del corpo, che viene sensibilizzata alla luce, alle
direzioni, alle forme e ai colori (N. Lanciano).
Il mesospazio ha alcune caratteristiche del microspazio (le
possibilità di una visione relativamente globale da un solo
punto di vista) pur circondando il soggetto e rendendo
quindi possibile una significativa attività di esplorazione con
il movimento.
Macrospazio, mesospazio e microspazio
Nel lavoro didattico quotidiano viene sottovalutato l’uso del
corpo come strumento di conoscenza, in particolare nelle
tematiche relative alla costruzione di una propria
consapevolezza dello spazio.
Da un contatto diretto con con lo spazio grande
tridimensionale nascono concetti geometrici fondamentali:
- è lo sguardo rettilineo che ci dà la prima esperienza di
linea retta
- è la fatica di una camminata che ci permette di stimare le
distanze
- è il guardarsi nello specchio che ci fa scoprire la simmetria
del corpo fornendoci un parametro per leggere lo spazio.
La percezione è strumento efficace di conoscenza
La geometria 3D
- La geometria solida non è solo calcolo di volumi, ma è fare
esperienza della realtà attraverso il movimento
- Risultano più “naturali” modelli ed attività che rientrano nella
geometria 3D (uso del corpo)
- Non sottovalutare le difficoltà di astrazione legate ad
immaginare un oggetto senza spessore
- Non sottovalutare le difficoltà di rappresentazione nel piano di
un’esperienza con il corpo (grafiche, manipolative, prospettiche)