La Matematica dell`incerto

Il nostro percorso
 Prima fase
 Discussione sulle risposte al
questionario proposto
Classica
Frequentista
Soggettiva
 Definizioni di Probabilità
Assiomatica
 Definizione di spazio campionario,
evento, eventi compatibili ed
incompatibili, eventi dipendenti e
indipendenti frequenza assoluta,
frequenza relativa
 Seconda fase
 Legge dei grandi numeri
Al crescere del numero dei lanci
la frequenza relativa tende alla
probabilità
Attività: Lancio della moneta
 Le probabilità di un evento
dipendono dal numero di
modi in cui può accadere”
 Attività
 lancio di due dadi
 simulazione con Excel
 lancio di tre dadi
 Simulazione con Excel
 Terza fase
 Ricerca storica
La teoria della probabilità nasce,
all’inizio del XVII secolo, dagli
studi riguardanti la soluzione di
alcuni problemi sorti nei vari
giochi d’azzardo, quali ad esempio
il gioco dei dadi.
I nobili, infatti, facendo di queste
attività uno dei propri passatempi
preferiti, affidavano ai vari
studiosi del tempo il compito di
risolvere i loro quesiti a tal
proposito.
I primi studi sui modi con cui i
dadi
possono cadere
Sino al secolo XV troviamo poche tracce
del calcolo delle probabilità; ciò
suggerisce l'emergere dell'idea che
fosse possibile un calcolo sui risultati dei
dadi.
Era
presente
la
nozione
complementare
di
lanci
corretti.
Potrebbe anche essere che qualche
persona intelligente abbia sviluppato gli
elementi di una teoria per se stesso, ma
deve aver tenuto per sé il segreto a
motivo del valore monetario.
De Vetula (Ovidio)
Enuncia il più antico modo di contare le
combinazioni in cui tre dadi possono
cadere (incluse le permutazioni).
Fra Luca Pacioli
Nato a Borgo Sansepolcro (1445-1517) e per questo
detto anche Luca di Borgo.
Studiò matematica a Venezia .
Nel 1494 Ludovico il Moro gli conferì la cattedra di
matematica a Milano, dove strinse amicizia con
Leonardo da Vinci.
Nello stesso anno pubblicò a Venezia la
Summa de Arithmetica, Gometria, Proportioni et
Proportionalitate". Tratta di aritmetica, algebra,
trigonometria e getta le basi per i più importanti sviluppi
della matematica che ebbero luogo di lì a poco in
Europa. Diede ordine e pose anche le basi pratiche e
teoriche alla moderna scienza della ragioneria e dell'
economia aziendale.
Tratta di numeri interi e frazionari, calcolo degli
interessi, la tenuta dei libri a partita doppia, accenni a
quello che diverrà poi il calcolo delle probabilità
Nacque a Pavia, figlio di
Fazio Cardano, un notaio
versato nella matematica
amico di Leonardo da
Vinci e della ben più
giovane vedova Chiara
Micheria.
Scrisse intorno al 1560 un
libro sulle probabilità nel
gioco, il Liber de ludo
aleae, testo che però
venne pubblicato solo nel
1663; esso contiene la
prima trattazione
sistematica della
probabilità, insieme a
una sezione dedicata a
metodi per barare
efficacemente.
Girolamo
Cardano
1511- 1576
1654 - Pascal e
Fermat
Scambio
epistolare
nel quale
vennero
fondati e
dimostrati i
principi
basilari della
teoria della
probabilità.
Fermat
Nacque a Beaumontde-Lomagne, città a
58 chilometri a nordovest di Tolosa. Figlio
di un mercante di
cuoio, studiò legge e
divenne avvocato al
Parlamento di
Tolosa, dove si
trasferì nel 1631
In una corrispondenza del 1650 con
Blaise Pascal, Fermat sviluppò il
calcolo delle probabilità, del
quale è considerato uno dei
fondatori. In particolare questa
corrispondenza verteva sui
problemi del gioco d'azzardo
come, per esempio: Se si
lanciano più volte due dadi,
quanti lanci sono necessari
affinché si possa scommettere
con vantaggio che esca il doppio
sei? Nel carteggio con Pascal si
trova anche la prima soluzione al
problema della divisione della
posta, che consiste nella
divisione del soldi in gioco se si è
costretti ad interrompere una
partita d'azzardo senza essere
arrivati alla fine.
Pascal
Clermont-Ferrand, 19 giugno 1623 – Parigi, 19 agosto 1662
E’ stato un
matematico, fisico,
filosofo e teologo
francese.
Dal 1654 lavorò con Pierre de
Fermat sulla teoria delle
probabilità che influenzò
fortemente le moderne
teorie economiche e le
scienze sociali. Dopo
un'esperienza mistica
seguita ad un incidente in
cui aveva rischiato la vita,
nel 1654, abbandonò
matematica e fisica per
dedicarsi alle riflessioni
religiose e filosofiche.
Morì due mesi dopo il suo
39º compleanno, nel 1662,
dopo una lunga malattia
che lo affliggeva dalla
fanciullezza.
Pascal
A lui si deve il triangolo mostrato in
figura che permette di calcolare il
numero di modi in cui si può scegliere
un certo numero di oggetti da un
gruppo composto dallo stesso numero o
da un numero superiore. Ad esempio, il
terzo numero nella fila dell’8 ci dice il
numero di diversi gruppi di due che si
possono formare, il quarto il numero di
diversi gruppi di tre e così via Questo
ragionamento si applica ad ogni fila
Nel 1657Huygens pubblicò il
De ratiociniis in ludo aleae ,primo libro a
stampa sulla probabilità ,basato sul lavoro
di Pascal e Fermat e grazie al quale è
considerato uno dei fondatori della
disciplina del calcolo delle probabilità.
Huygens 1629-1695
Galileo
Galileo nel suo frammento Sulla scoperta
dei dadi, scritto prima del 1640 (data
della sua morte), dà una soluzione
completa di un problema di probabilità
con l'annotazione corretta di tutte le
possibilità e scrive come se fosse nuovo,
non richiamando nessun precedente
autore.
JAKOB
BERNOULLI
1654-1705
La sua opera principale è
Ars Conjectandi
pubblicato postumo nel
1713, un lavoro
fondamentale della
teoria delle probabilità.
Formulò la legge dei grandi
numeri, detta anche legge
empirica del
caso oppure teorema
aureo
JAKOB
BERNOULLI
1654-1705
La legge dei grandi
numeri, detta anche
legge empirica del
caso oppure teorema
aureo, descrive
il comportamento della
media di una sequenza di
n variabili casuali indipendenti e
caratterizzate dalla stessa
distribuzione di probabilità (n
misure della stessa grandezza, n
lanci della stessa moneta ecc.)
al tendere ad infinito della
numerosità della sequenza
stessa (n). In altre parole,
grazie alla legge dei grandi
numeri, possiamo fidarci che la
media che calcoliamo a partire
da un numero sufficiente di
campioni sia sufficientemente
vicina alla media vera.
Abraham
de Moivre
La fama di De
Moivre è legata
al fatto che egli
riuscì a
prevedere
esattamente il
giorno della
propria morte
servendosi di
un calcolo
matematico
Pierre-Simon Laplace
1749-1827
Nel suo Essai
philosophique sur
les probabilités,
Laplace
formalizzò il
procedimento
matematico del
ragionamento per
induzione basato
sulla probabilità,
che noi oggi
riconosciamo
come quello di
Thomas Bayes.
Nel 1774 ricavò il
teorema di Bayes
senza essere
probabilmente a
conoscenza del
lavoro pubblicato
nel 1763) di Bayes
(morto nel 1761).
Andrej Nikolaevič
Kolmogorov
1903-1987
In Fondamenti
della teoria della
probabilità
Ha tracciato un
approccio
assiomatico per
la moderna
teoria della
probabilità,
compiendo una
rivoluzione
nell'approccio
alla materia.
Perchè il calcolo della
probabilità ci mise tanto
tempo ad emergere?
Non possiamo supporre che i greci
fossero incapaci di operare le
necessarie generalizzazioni. Lo stesso
vale per gli arabi e per gli europei del
basso medioevo.
Altre quattro possibilità meritano il
nostro esame:
a) l'assenza di un'Algebra combinatoria (o
almeno di idee combinatorie);
b) la superstizione degli scommettitori;
c) l'assenza della nozione di evento
casuale;
d) barriere religiose o morali che si
frapponevano allo sviluppo dell'idea di
casualità e di caso.
Quarta fase
Il Metodo Monte Carlo
Il metodo monte carlo è usato per trarre
stime attraverso simulazioni. Si basa su
un algoritmo che genera una serie di
numeri tra loro incorrelati, che seguono
la distribuzione di probabilità che si
suppone abbia il fenomeno da indagare
Una volta calcolato un campione casuale,
la simulazione esegue delle 'misure'
delle grandezze di interesse su tale
campione. La simulazione Monte Carlo
è ben eseguita se il valore medio di
queste misure sulle realizzazioni del
sistema converge al valore vero.
Il Metodo Monte Carlo
Le sue origini risalgono alla metà degli anni
40 all'interno del Progetto Manhattan. I
formalizzatori del metodo sono John von
Neumann e Stanisław Marcin Ulam, il
nome Monte Carlo fu inventato in seguito
da Nicholas Constantine Metropolis in
riferimento alla nota tradizione nei giochi
d'azzardo del mini stato omonimo nel sud
della Francia
L'algoritmo Monte Carlo è un metodo
numerico che viene utilizzato per trovare le
soluzioni di problemi matematici, che
possono avere molte variabili e che non
possono essere risolti facilmente, per
esempio il calcolo integrale. L'efficienza di
questo metodo aumenta rispetto agli altri
metodi quando la dimensione del problema
cresce.
•Calcolo dell’area del segmento
parabolico utilizzando il software
•Geogebra con il metodo dei
plurirettangoli
Calcolo dell’area del suddetto
segmento con il metodo
Montecarlo utilizzando il software
Excel
Verifica del teorema di
Archimede
Con i comandi Sommasuperiore[] e
Sommainferiore[] si costruiscono i plurirettangoli
inscritti e circoscritti nella parte di piano delimitata dal
segmento OC e dal ramo di parabola OD.
Facendo variare lo slider e quindi il numero di
suddivisioni dell’intervallo, si può notare che le due
superfici si sovrappongono e ricoprono la parte di
piano delimitata dal segmento OC e dal ramo di
parabola OD
Verifica del teorema di
Archimede
Area del segmento parabolico A(OCDE) – A(OCD) = area1
R = area1/A(OCDE) = 2/3 = 0.67
Verifica del teorema di Archimede
col metodo Montecarlo
Sia f(x) =ax2 con vertice nell’origine, concavità verso
l’alto e primo coefficiente variabile.
Individuato un intervallo (0, b) tracciamo il
rettangolo che ha per dimensioni b e f(b).Nella
figura a = 1,5, b = 15, f(b) = 337,5.
Verifica del teorema di
Archimede
 Definiamo due numeri
casuali, uno variabile tra 0
e b e l’altro variabile tra 0
e f(b).
 Calcoliamo le ordinate
f(x) corrispondenti a
ciascun numero casuale
variabile in (0 , b).
 Confrontiamo ciascun
numero casuale compreso
tra 0 e f(b) con le ordinate
f(x) corrispondenti a
ciascun numero casuale
variabile in (0 , b). e
facciamo in modo che se
il primo è maggiore o
uguale del secondo, nella
cella venga scritto 1,
altrimenti 0.
Verifica del teorema di
Archimede
 Contiamo i punti che cadono all’interno della curva,
contando il numero di 1 presenti nella colonna.
 Contiamo quanti zeri (numero di punti esterni) sono
presenti nella colonna.
 La somma dei punti interni e dei punti esterni è uguale al
numero di prove effettuate.
 Il rapporto tra i punti interni e il numero di prove è
0,67= 2/3
 Il fiammifero di Buffon:
Risoluzione del problema con
Geogebra e con Excel.
Il fiammifero di Buffon:
Lasciando cadere un pugno di fiammiferi
su un foglio con rette parallele
equidistanti, quanti di essi
intersecheranno una delle rette?
Il fiammifero di Buffon
 Supponiamo che i
fiammiferi AB abbiano
una lunghezza l e che le
rette parallele abbiano una
distanza pari a d (vedi
figura). Supponiamo,
inoltre, che risulti
l < d.
Poniamo:
HM = y
AMG=x
con M punto medio di A B
Un fiammifero interseca una
delle rette solo se risulta
soddisfatta la condizione y
< AG , cioè se
Y<l/2senx
Il fiammifero di Buffon
I limiti geometrici per y e x, sono i seguenti:
0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2
Quindi l’evento E:”il fiammifero interseca una delle
rette”, ammette come casi favorevoli quelli dati
dalla relazione :
mentre l’insieme dei casi possibili è definito dalle
condizioni
0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2
Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le
precedenti considerazioni, la probabilità dell’evento
E, risulta dal rapporto fra l’area sottesa dalla curva di
equazione y<l/2senx
e l’area del rettangolo di dimensioni
0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2
Il fiammifero di Buffon
Nella figura seguente, costruita in
ambiente GeoGebra è mostrato un
esempio con d = 6 e l=4
Il fiammifero di Buffon
Utilizzando un foglio di Excel generiamo
N numeri casuali all’interno del
rettangolo e contiamo quelli NS che
cadono sotto la curva.
Il rapporto NS /N =Fr si chiama
frequenza relativa e per valori di N
abbastanza grandi tende al rapporto
delle aree delle due figure
 Verifichiamo che il metodo Monte
Carlo risulta affidabile quando N
cresce. Esso fornisce un valore per Fr(E)
che è una stima attendibile del valore di
probabilità dell’evento E .
Il fiammifero di Buffon
P(E) = area sottesa dalla curva/area del rettangolo
=1/π=0,318
Dal calcolo precedente è possibile ricavare un valore
approssimato di π
Hanno partecipato
 Di Giovannantonio Marco III F
 Lucibello Gennaro III F
 Patanè Vittorio III F
 Di Stasio Simone III F
 Di Giovannantonio Marco III F
 Della Valle Dalila IV G
 Sammarco Maria IV G
 De Pasquale Silvio IV C
 Nocera Brenda IV B
 Raimondo M. Pia III E
Referente
Prof. Filomena Grella