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Tecnica Amministrativa
Modulo I
Lezione n.2 del 30/11/2009
Gli strumenti matematici per l’E.A.
L’Interesse Semplice
• E’ il compenso che spetta a chi cede temporaneamente una somma
di denaro ad un altro soggetto. In particolare è il compenso per
trasferire in avanti un capitale.
•
•
•
tempo
t0 -> capitale C0, tempo t1 -> capitale C1
I=C1-C0 (Interesse = Capitale alla scadenza-Capitale iniziale)
da cui:
C1=C0+I (capitale da restituire alla scadenza)
I dipende da:
dal capitale C;
dal tempo: t (se espresso in anni) m (se espresso in mesi) g (se espresso in giorni)
dal tasso percentuale: r
Formula dell’Interesse:
I=(C*r*t)/100
I=(C*r*m)/1200
I=(C*r*g)/36500 (anno civile)
I=(C*r*g)/36600 (anno civile bisestile)
I=(C*r*g)/36525 (anno standard:si usa per calcolo biennale che comprende anno bisestile)
I=(C*r*g)/36000 (anno commerciale: per convenzione tutti i mesi considerati da 30 gg)
L’Interesse Semplice
• Incognita I
• Incognita C,r,t
->
->
Problemi diretti
Problemi inversi
C=(100*I)/(r*t); C=(1200*I)/(r*m);
C=(36500*I)/(r*g); C=(36600*I)/(r*g)…
r=(100*I)/(C*t); r=(1200*I)/(C*m);…
t=(100*I)(C*r);
m=(1200*I)/(C*r)
g=(36500*I)/(C*r)
g=(36000*I)/(C*r)
L’Interesse Semplice: Esempi
•
Esempio:
Gli interessi su un prestito di 10.000 Euro al 12% dal 1° gennaio al 15 febbraio (45 giorni) saranno
pari a:
I = (C*r*g)/36500=(10.000 x 12 x 45) / 36.500 = 147,95 Euro.
•
Esempio:
Gli interessi su un prestito di 10.000 Euro al 12% per un anno saranno pari a:
I = (C*r*g)/100=(10.000 x 12 x 1) /100 = … Euro.
•
Esempio:
Prendo a prestito un Capitale di € 50.000,00 al 9% per 180 giorni (anno commerciale). Quale
interesse dovrò pagare alla scadenza?
I = 50.000,00 x 9 x 180 = 2.250,00 €
36000
(interessi totali da pagare)
L’Interesse Semplice: Esempi
Per calcolare il Capitale o il tasso, partendo dagli altri elementi?
• 1) Il calcolo del capitale iniziale (tempo in anni)
Esempio:
C = 9.000,00 x 100 = 50.000,00 €
9x2
(capitale iniziale)
• 2) Il calcolo del tasso (tempo in anni)
Esempio:
r = 9.000,00 x 100 = 9 %
50.000,00 x 2
(tasso)
Il Montante
• E’ la somma che si deve restituire alla scadenza
ossia
M=C+I (Montante = Capitale iniziale + Interesse)
da cui otteniamo
M=C(1200+r*m)/1200
M=C(36500+r*g)/36500
M=C(36600+r*g)/36600
M=C(36525+r*g)/36525
M=C(36000+r*g)/36000
Montante: Problemi Inversi
•
Dato M e C ->
otteniamo I=M-C
da cui:
r= (vedi formule inverse dell’Interesse)
t= (vedi formule inverse dell’interesse)
•
Dato M
per trovare il Capitale si deve applicare la formula
ottenuta matematicamente dalla formula del Montante:
C=(100*M)/(100+r*t)
C=(1200*M)(100+r*m)
…
Il Montante: Esempi
•
•
Supponiamo che Tizio prenda oggi a prestito da una banca una somma (C) pari a
1.000 euro da restituire dopo un anno (t), aumentata degli interessi maturati nel corso
di quell’anno (I) pari al 5%. Per motivi di semplicità supponiamo anche (e questa è
una ipotesi lontana dalla realtà) che la banca erogante non chieda commissioni o
spese per l'istruzione della pratica.
Gli interessi maturati dopo un anno sono pari a
I = (1.000*5*1)/100 = 50
E quindi il montante da rimborsare dopo un anno è pari a
M = C + I = 1000 + 50 = 1.050 Euro
•
Applicando direttamente la formula
otteniamo
M= 1000(100+5*1) = 1050 Euro
100
Lo Sconto
•
E’ il compenso che spetta a chi paga anticipatamente il proprio debito
ovvero è il compenso per portare all’indietro un Capitale.
C0 = C1 - S (ovvero il Capitale odierno è uguale alla differenza tra il
Capitale dovuto alla scadenza e lo sconto)
Il concetto di interesse e quello di sconto sono simili.
La differenza: l’interesse viene calcolato sul capitale odierno e si aggiunge
per trovare il capitale a scadenza, lo sconto si toglie dal capitale a scadenza
per ottenere il capitale odierno.
Nella pratica commerciale esistono due tipi di sconto:
– Sconto Mercantile
– Sconto Commerciale
Sconto Mercantile
• Sconto mercantile: applicato nelle
operazioni di compravendita delle merci.
Dipende dal capitale C (prezzo della
merce) e dal tasso r.
Per determinarlo basta il calcolo di una
percentuale.
Rappresenta una riduzione di prezzo
concessa dal venditore al compratore in
caso di pagamento per pronto cassa.
Sconto Commerciale
• Si incontra nelle operazioni finanziarie e
consiste in una riduzione di capitale da pagare
alla scadenza.
• viene calcolata in proporzione al capitale, al
tempo di anticipo ed al tasso:
- C capitale alla scadenza
- T, m, g (durata dell’operazione in anni, mesi o
giorni)
- r (tasso percentuale o ragione o saggio
percentuale)
Sconto Commerciale: formule
E’ uguale a quella per il calcolo dell’interesse semplice I
•
•
•
•
•
•
Sc = C * r * t
100
Sc = C * r * m
1200
Sc = C * r * g
36500
Sc = C * r * g
36600
Sc = C * r * g
36525
Sc = C * r * g
t = anni
m = mese
g = giorni (anno civile)
g = giorni (anno civile bisestile)
g = giorni (anno standard)
g = giorni (anno commerciale)
3600
Es. Pago oggi un effetto cambiario di 5.000 € con scadenza a tre mesi; dato il tasso
dell’8,5%, lo sconto da praticare con questo metodo è pari a € 106,25:
Sc= C * r * m = 5000 * 8,5 * 3 = 106,25
1200
1200
Sconto commerciale:
problemi inversi
•
r = 100 * S
t*C
•
C = 100 * S
r*t
•
r = 1200 * S
m* C
•
C = 1200 * S
r*m
•
r = 36500 * S
g*C
•
C = 36500 * S
r*g
•
r = 36000 * S
g*C
•
C = 36000 * S
r*g
•
t = 100 * S
r*C
•
m = 1200 * S
r*C
•
g = 36500 * S
r*C
•
g = 36000 * S
r*C
Sconto Commerciale: esempi
1) A quale tasso è stata scontata la somma di € 15000 pagata 5 mesi
prima della scadenza se al suo posto si sono versati € 14750?
Applicando la formula r= (1200 * S)/(m * C) e tenendo conto che S =
€(15000-14750)= € 250, si ha:
r = (1200 * 250)/(5 * 15000) perciò il tasso è il 4%.
2) Un tale pagando 8 mesi prima della scadenza un debito, ha ottenuto
al tasso del 5% lo sconto di € 720. Qual'era il valore nominale del
debito?
Applicando la formula C=(1200 * S)/(m * r), si ha:
C = (1200 * 720)/(8 * 5) = 21600 1
Valore Attuale
•
E’ la differenza tra il capitale finale C e lo sconto commerciale S
V=C-S
Si determina in due modi:
1) Determinando prima lo sconto S (con le formule viste in precedenza) e poi sottraendolo al capitale C;
oppure
2) Applicando la formula diretta:
V = C(100 – r * t)
100
V = C(1200 – r * m)
1200
V = C(36500 – r * g)
36500
V = C(36000 – r * t)
36000
Valore attuale: problemi inversi
•
•
•
Si hanno quando bisogna trovare il tasso, il tempo e il Capitale
Per quanto riguarda il tasso ed il tempo prima si determina lo sconto Sc e
poi si applicano le formule inverse dello sconto commerciale.
Per quanto riguarda il calcolo del capitale C si usa la formula che deriva da
quella del valore attuale V:
C=
100 * V
(100 – r * t)
C=
1200 * V
(1200 – r * m)
C=
36500 * V
(36500 – r * g)
C=
36000 * V
(36000 – r * t)
valore attuale: esercizi
•
Devo riscuotere una cambiale di 3000 euro tra 3 mesi. Mi rivolgo a un
Istituto di Credito che mi propone di pagarmela subito trattenendo un
compenso calcolato al tasso di sconto del 4.76%. Quanto ricevo se
accetto l'offerta?
V = C(1200 – r * m) = 3000(1200-4,76*3)= 2964,3
1200
1200
oppure
–
si determina prima lo sconto S=(C*r*m)/1200 e poi lo si
sottrae al capitale C