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GRISU' OPEN DAY SU
SCIENZA E INGEGNERIA DEI MATERIALI E GRID COMPUTING
Napoli - 3 Aprile 2009
Aula Magna Partenope - Centro Congressi FEDERICO II
Massimiliano Fraldi
Dipartimento di Ingegneria Strutturale - DIST
Centro Interdipartimentale per la Ricerca sui Biomateriali – CRIB
Università di Napoli “Federico II”
OMOGENEIZZAZIONE E OTTIMIZZAZIONE DI MATERIALI ETEROGENEI
Modelli evolutivi multi-scala per la crescita e il rimodellamento del tessuto osseo
Esempi di gerarchia strutturale nei tessuti biologici
MINERALIZED SKELETAL SYSTEM OF EUPLECTELLA (DIATOMEE)
TENDON
BONE
SRUTTURA GERARCHICA DEL TESSUTO OSSEO:
omogeneizzazione e localizzazione multi-scala
Modelli continui analitici
Macroscala
Struttura porosa trabecolare
Porosità isotropa
Localizzazione
Legge di Rho
TAC/FEM
Porosità anisotropa
Fabric Tensor
Rimodellamento
Microscala
Struttura composita osteone
Modelli continui analitici
FGMCs
Interfacce
osso-osso o osso protesi
Omogeneizzazione
Dinamica visco-elastica
Fatica/Micro-buckling
Leggi evolutive
Modelli Discreti
Nanoscala
Meccanica a singola cellula
Localizzazione
Compositi trigonali
Micromeccanica
Ottimizzazione
Topologica
Crescita/Rimodellamento
Tensegrity
Omogeneizzazione
Modelli Continui
GEL-like
OMOGENEIZZAZIONE/LOCALIZZAZIONE
Prescribed Macrostress
t 0  n  0
on V
 0  c
Traction uniformi applicate alla frontiera del RVE
  D : 0
Deformazioni medie
 0  D : 0
c 
  H :
c
V
Funzione di Green
0
  D  H  :  0
Prescribed Macrostrain
u  x    G  x , y   t 0 dS
1
1
 n  u + u  n dS
V  2
D D  H
C  C C : J
•Identificazione di parametri microstrutturali significativi ai fini della
risposta meccanica del materiale
•Le proprietà elastiche del mezzo poroso vengono espresse in
funzione di tali parametri
Tensori di
perturbazione
dipendenti dalla
presenza dei vuoti

C = C  ,T  2n

 non omogeneità
T  2n anisotropia
Omogeneizzazione e Localizzazione della micro-struttura
porosa del tessuto osseo: macro-scala
Modello Continuo Equivalente
Inomogeneità spaziale
Frazione volumetrica
o densità apparente
Architettura microstrutturale e anisotropia
Fabric Tensor
Proprietà meccaniche della matrice
Moduli elastici
Omogeneizzazione
MICROSTRUTTURA NON ORIENTATA: inomogeneità
Dilute Distribution of voids
Flugge model: Soluzioni
valide per frazioni
volumetriche prossime
all’unità
•Non omogeneo
•Isotropo
•Elasticità matrice solida
•Frazione volumetrica
Ricerca di relazioni costitutive
generali valide su tutto il range
di frazioni volumetriche e
indipendenti dalla specifica
morfologia in esame
MICROSTRUTTURA ORIENTATA: anisotropia
Low Volume Fraction
(LVF)
Microstruttura
•Non omogeneo
•Anisotropo
High Volume Fraction
(HVF)
Orientamento dei vuoti
•Elasticità matrice solida
•Frazione volumetrica
Generalizzazione di soluzioni
analitiche di letteratura
Relazioni costitutive per
microstruttura generica mediate
dal tensore d’inerzia
Modello costitutivo continuo
basato sul Fabric Tensor
ottenuto mediante un’opportuna
normalizzazione del tensore
d’inerzia
MICROSTRUTTURA INOMOGENEA ORIENTATA
APPROCCIO MICROMECCANICO TRAMITE FABRIC TENSOR
•Matrice solida isotropa
•Anisotropia deriva dalla geometria microstrutturale
(scalare , tensore doppio simmetrico G)
 è una funzione isotropa di , E e G
•Funzione di un set di invarianti di  , E e G
T
T
•  E ,  , G     Q EQ,  , Q GQ 
   E, ,G  


Q  Orth
Tr  E  , Tr  E 2  , Tr  E 3  ,  , Tr G 2  , Tr G 3  ,

Tr  EG  , Tr  E 2G  , Tr  EG 2  , Tr  EG 
2

c
c
c1 2
c
Tr  E   2 Tr  E 2   3 Tr 2  EG   c4Tr  E 2G   5 Tr 2  EG 2 
2
2
2
2

c6
2
Tr  EG   c7Tr  E  Tr  EG   c8Tr  EG  Tr  EG 2   c9Tr  E  Tr  EG 2 
2
ci  ci  , I G  , II G  , III G  
 2
C 
 E , ,G 
E 2
Tensore di elasticità medio


 c1 I  I  c2 I I  c3 G G  c4 G  I + I G  c5G 2  G 2  c6G G
 c7  I  G  G  I   c8 G  G 2  G 2  G   c9  I  G 2  G 2  I 
Riferimento
principale di G
G  gi Gi
autovalori di G
Gi  gi  gi
autovettori di G

C  ii Gi  Gi  ij*  Gi  G j  G j  Gi  + 2 ij Gi  G j  G j  Gi

ii  c1  c2  c3 gi2  2c4 gi  c5 gi4  c6 gi2  2c7 gi  c8 gi3  2c9 gi2
ij*  c1  c3 gi g j  c5 gi2 g 2j  c7  gi  g j   c8  gi g 2j  g j gi2   c9  gi2  g 2j 
?
ij  12 c2  12 c4  gi  g j   12 c6 gi g j
Coefficienti ci
Funzioni di  e degli autovalori del Fabric Tensor gi
Fabric
?
Coefficienti ci
?
MATERIALI POROSI CON MICROSTRUTTURA
NON ORIENTATA
Esibiscono piani di simmetria geometrici che suggeriscono
comportamenti uguali nelle diverse direzioni di prova
•Non omogenei
•Isotropi
Obiettivo
Stabilire relazioni tra le costanti
elastiche omogeneizzate e la frazione
volumetrica
Metodologia
Simulazioni sperimentali numeriche (FEM) su RVE cubici con vuoti centrati e porosità
variabile
Valutazione sperimentale delle costanti elastiche omogeneizzate sotto diverse condizioni di
carico (prescribed tractions / prescribed displacements)
Determinazione di curve sperimentali C  C   
Interpolazione polinomiale delle curve sperimentali imponendo opportune condizioni limite
SIMULAZIONI NUMERICHE FEM
MODELLO
•RVE cubico di lato unitario
•Cavità cubica centrata nel RVE
•Matrice solida omogenea e isotropa
(E0, n0)
•
   0.06, 1
CONDIZIONI DI CARICO
•Spostamenti imposti
•Pressioni imposte
ANALISI
•Prove uniassiali
•Prove di taglio
•Prove triassiali
RISULTATI
•Modulo di Young medio
•Bulk Modulus medio k
E
MATERIALI POROSI CON MICROSTRUTTURA NON ORIENTATA
Una sfera
55%
68%
Otto Sfere
99%
48%
Sette Ellissoidi
79%
98%
14%
65%
98%
I risultati sperimentali sono contenuti in un fuso piuttosto stretto il che suggerisce che la
risposta meccanica dei RVE analizzati sia ininfluente rispetto alla forma della cavità
E’ ragionevole pensare di estrapolare dai risultati numerici curve C  C    generali, che
prescindano dalla geometria dei vuoti
Young modulus
cavities
sensitivity
Normalized
Young
Modulus
bulk modulus
cavities
sensitivity
Normalized
Blulk
Modulus
normalized Young modulus
1.2
eight
spheresdisplacemen
t
seven polar
ellipsoides
displacement
dice displacement
1
0.8
0.6
single sphere
traction
0.4
eight sphere traction
0.2
seven polar
ellipsoides traction
0
0
0.5
volum e fraction
1
1.5
dice traction
normalized bulk modulus
single sphere
displacement
single sphere
displacement
eight spheres
displacement
1.2
seven polar
ellipsoides
displacement
1
0.8
dice displacement
0.6
single sphere
traction
0.4
0.2
eight sphere traction
0
0
0.5
volum e fraction
1
1.5
polar ellypsoides
traction
dice traction
FORMULAZIONE ANALITICA PER IL FITTING
Polinomio di terzo grado in 
  0,1
    C1  C2    C3   2  C4   3
C1  0
Condizioni Limite
Rispetto delle soluzioni
analitiche relative ai casi
 0
 1
2 (1  2n )
c 
3 (1 n )
 1   1 ,


0  0  c




1  1


C2  c
1  3  c  2  c2
c
1  2  c  c2
C4 
c
C3  
   0,0.15
   0.85,1
Modello di Flugge
(Flugge, 1972)
dice cavity
1,2
normalized bulk
modulus
   c  
k   

  1
k0      1 
c

  0    0 ,
1
0,8
displacements
0,6
tractions
0,4
algebraic function
0,2
0
Dilute distribution of voids
(Nemat-Nasser, 1993)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
volum e fraction
1
1,2
GENERALIZZAZIONE DI MODELLI ESISTENTI
Legge di Rho
1  3  c  2  c2 2 1  2  c  c2 3
    c   
 
  ;   0,1
c
c
2 (1  2n )
c 
3 (1 n )
Risultati relativi allo specifico
sito anatomico in esame
Rho et al.
Med.Eng.Phys., 1995, 17, 347-355
y  383  5.27 x
r 2  0.91
y  0.819 x1.27
r 2  0.94
La presenza di coefficienti numerici fa perdere di generalità
al modello rendendolo inapplicabile per casi o materiali
differenti da quello esaminato (femore distale)
OSSERVAZIONI
•E’ una legge di validità generale, sempre applicabile nei casi di microstruttura non orientata
• () definita su tutto l’intervallo di variabilità della frazione volumetrica (0,1)
• () è indipendente dalla morfologia microstrutturale del RVE
• () rispetta le condizioni limite di alte/basse frazioni volumetriche
Fabric
?
PROPOSTA DI FABRIC TENSOR
Identificazione del Tensore d’Inerzia con il Fabric Tensor
(Consistenza meccanica, semplicità di misurazione, indipendenza
dall’operatore di interpolazione)
•L’orientamento è mediato del tensore d’inerzia attraverso la relazione
L  J
Momento angolare
Velocità angolare
VALUTAZIONE DELLE CARATTERISTICHE
GEOMETRICHE DELLA CELLA EQUIVALENTE
Lettura dei
parametri
microstrutturali sul
RVE reale
H/n
t1 , t2 , t3 , n
 , J11 , J 22 , J 33
h  Tr  J c 
Jc
k  Tr  J c    Tr  J 
H

H4 
t1  t2  t3  1  2  n 2  1   t1   J11

 I11 

12n 


H4 
2

I

t

t

t
1

2
n
 1   t2   J 22



 22 12n  1 2 3 


4
 I  H  t  t  t 1  2 n 2  1   t   J
  3  33
 33 12n  1 2 3  

 f  t1  t2  t3  

H
t1  5
2
h4
h
 3k  2h  6 J11 
3k
t2  5
2
h4
h
 3k  2h  6 J 22 
3k
t3  5
2
h4
h
 3k  2h  6 J 33 
3k
n
h
3k
VALUTAZIONE DEL TENSORE DI ELASTICITA’
RVE EQUIVALENTE
TIPO A
A
ti  ti   , J 
    , J 
SOLUZIONE ANALITICA DI FLUGGE
GENERALIZZATA AL CASO ORTOTROPO
 E (t2  t3 )
 a(1  n 2 )

 n Et3
 a(1  n 2 )

 n Et2

a(1  n 2 )

C

0



0



0


n Et3
a(1  n 2 )
n Et2
a(1  n 2 )
n Et1
a(1  n 2 )
0
0
0
0
E (t1  t3 )
a(1  n 2 )
n Et1
a(1  n 2 )
E (t1  t2 )
a(1  n 2 )
0
0
0
0
Et1
a(1  n )
0
0
0
0
Et2
a(1  n )
0
0
0
0




0 


0 


0 


0 

Et3 

a(1  n ) 
RVE EQUIVALENTE
TIPO B
0
B
ti  ti   , J 
n  n  , J 
C1111 
4 h
4
2n
4n h 2
4n
4 h 2 4
2 
 J11 ; C2233 

 
 J11 ; C2323  2 
 
 J11 ;
3 1 n  k
3k
k
1 n  k
1 n  3 1 n  k
1 n  k
C2222 
4 h
4
2n
4n h 2
4n
4 h 2 4
2 
 J 22 ; C1133 

 
 J 22 ; C1313  2 
 
 J 22 ;
3 1 n  k
3k
k
1 n  k
1 n  3 1 n  k
1 n  k
C3333 
4 h
4
2n
4n h 2
4n
4 h 2 4
2 
 J 33 ; C1122 

 
 J 33 ; C1212  2 
 
 J 33 .
3 1 n  k
3k
k
1 n  k
1 n  3 1 n  k
1 n  k
OSSERVAZIONI
RVE EQUIVALENTE
TIPO A
RVE EQUIVALENTE
TIPO B
A
B
C  C  , J 
2
3
  1  
k
h
n
h
3k
•In ambito elastico si riscontra una sostanziale indifferenza rispetto alla scelta della
tipologia del RVE equivalente
•In ambito ultraelastico tale scelta può diventare significativa (il RVE di tipo B, a
causa della sua specifica morfologia, non è adatto a descrivere fenomeni di
instabilità)
•I parametri  ed n possono caratterizzare la risposta ultraelastica del RVE in esame
LEGAME COSTITUTIVO BASATO SUL TENSORE D’INERZIA
3
3
3
C  , G     0  20   g Gi  Gi   0 g g Gi  G j   20 k gil g lj Gi  G j
k
i 1
2l
i
k
i , j 1
i j
3
3
i 1
i 1
l
i
l
j
i , j 1
i j
G   giGi  gi  gi  gi 
G f J
FABRIC TENSOR
Elasticità matrice solida
Frazione Volumetrica
Tensore d’inerzia
Funzione di normalizzazione f

f funzione di normalizzazione
(eventualmente da determinare)
J tensore d’inerzia
Tali parametri sono immediatamente valutabili
qualora si disponga di immagini vettoriali
(scansioni TAC) del RVE in esame interrogando
specifici software (Rhinoceros, Ansys, AutoCad…)
Da valutare in virtù dello specifico problema
analizzato
Calcolo e problemi computazionali: gradi di libertà, non-linearità, variabilità con il tempo
Simulazione del rimodellamento osseo
tramite customizzazione di tecniche di
ottimizzazione topologica (ANSYS)
•Ottimizzazione di protesi
•Diagnosi rischio frattura
3
3
3
C  , G     0  20   g Gi  Gi   0 g g Gi  G j   20 k gil g lj Gi  G j
k
i 1
2l
i
k
i , j 1
i j
l
i
l
j
i , j 1
i j
Ottimizzazione topologica di una protesi d’anca
Gruppo di Ricerca
Ing. L. Esposito (FEM & Electronical Engineering)
Dott. M. Macrì
(Dental implants)
Ing. G. Perrella (PhD DIST, Mechanical Engineering)
Ing. M.C. Pernice (PhD DIST, Structural Engineering)
Ing. C. Capone
(PhD DIMP/DIST, prof. P.A. Netti, Biomaterials)
Ing. V. Panzetta (PhD DIMP/DIST, prof. P.A. Netti, Biomaterials)
Ing. A. Cutolo
(PhD DIMP/DIST, prof. G. Mensitieri, Thermodynamics of Mateials)
Ing. A. Marzullo (PhD DIMP/DIST, prof. P.A. Netti, Biomaterials)