Campionamento per la revisione contabile 1

Corso di Laurea Magistrale in Economia e Professioni
Statistica per l’analisi dei dati
Prima parte: Il campionamento
nella revisione contabile
Dispensa I
Argomenti: Quadro di riferimento, il campionamento nella revisione,tipologie di
campionamento
a.a. 2011-12
Prof. GiorgioTassinari
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Quadro di riferimento
i principi di revisione
obiettivi della revisione
fasi della revisione
concetti di rischio e significatività
elementi probativi
Il campionamento nella revisione
Tipologie di campionamento
Elementi di statistica inferenziale variabili casuali e loro distribuzioni
statistiche campionarie
distribuzioni campionarie
stima puntuale e per intervalli
verifica di ipotesi
Stimatori statistici nella revisione stimatori mean-per-unit
La stratificazione
Il campionamento monetario
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certificazione di bilancio
bilancio d’esercizio
Documento contabile di sintesi che permette di determinare
al termine di ogni esercizio il risultato della gestione di
un’impresa e dal quale è possibile ricavare informazioni circa
la sua situazione patrimoniale, finanziaria ed economica.
Si compone:
• dello stato patrimoniale, che dimostra la situazione patrimoniale
dell’impresa alla fine dell’ esercizio,
• del conto economico, dal quale si rileva il risultato economico
conseguito dall’ impresa nell’ esercizio,
• della nota integrativa che illustra le poste dello stato patrimoniale e
del conto economico esplicitando i criteri applicati nella valutazione
delle voci.
bilancio consolidato
bilancio che evidenzia la consistenza patrimoniale e
l'andamento economico di un insieme di società controllate
da una stessa società capogruppo che lo redige.
Ha lo scopo di rappresentare in modo veritiero, chiaro e corretto la situazione
patrimoniale e finanziaria nonché il risultato economico della gestione.
I destinatari del bilancio sono tutti coloro che hanno interessi nei confronti
dell’azienda (stakeholder): individui e gruppi che dipendono dall’impresa per la
realizzazione dei loro obiettivi o da cui l’azienda è dipendente (soci o azionisti,
sistema creditizio e terzi finanziatori, dipendenti, fornitori, clienti, ecc.)
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La certificazione di un bilancio consiste nell'espressione di un giudizio
professionale, raggiunto in seguito ad una revisione contabile svolta
secondo i principi di revisione statuiti, sull'attendibilità con cui il bilancio
stesso presenta la situazione patrimoniale-finanziaria ed il risultato
economico.
La revisione contabile è lo strumento operativo che consente al
revisore di esprimere tale giudizio sull'attendibilità del bilancio; consiste
nell'insieme delle attività di verifica necessarie alla formazione di una
opinione in merito alla attendibilità di un bilancio redatto in base a
determinati principi contabili.
OBIETTIVO:
Appurare che il bilancio è stato redatto con CHIAREZZA e rappresenta
in modo VERITIERO e CORRETTO la situazione patrimoniale e
finanziaria ed il RISULTATO ECONOMICO della società è CONFORME alle
norme che disciplinano il bilancio di esercizio
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L’attività di verifica si sviluppa attraverso varie fasi, che hanno lo scopo di:
 accertare l'affidabilità dei dati desunti dalla contabilità aziendale, in
quanto gli stessi costituiscono necessariamente la base per la
formazione e la redazione del bilancio;
 verificare la ragionevolezza e l'attendibilità degli elementi oggetto di
stima che concorrono alla formazione del bilancio d'esercizio.
Il soggetto incaricato del controllo esamina quindi:
• le scritture,
• la contabilità sociale,
• il bilancio di esercizio e, ove redatto, il bilancio consolidato
accertando:
 la regolare tenuta della contabilità
 la corretta rilevazione nelle scritture contabili dei fatti di gestione
 l’esistenza della documentazione a supporto
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ed esprime un giudizio “professionale” su quanto esaminato attestando
la conformità del bilancio alle:
 risultanze delle scritture contabili
 risultanze degli accertamenti eseguiti
 norme che disciplinano il bilancio d’esercizio e consolidato
il revisore esprime il suo giudizio circa:
1. l'esistenza delle attività e passività e la loro corretta esposizione in
bilancio;
2. l'attendibilità delle valutazioni delle attività e delle passività;
3. l'attendibilità della configurazione contabile dei risultati di gestione;
4. l'adeguatezza e la chiarezza dei dati contabili presentati nei prospetti
di bilancio e nelle note esplicative annesse.
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La certificazione è l'atto conclusivo di questo processo e si sintetizza in
un atto formale che attesta, mediante un parere, l'attendibilità del
bilancio, giudicata sulla base dei principi contabili e di revisione
generalmente riconosciuti come validi e corretti.
Il parere del revisore è formulato sull'attendibilità del bilancio nel suo
complesso, attendibilità che non si riferisce all'esattezza al centesimo del
bilancio bensì alla congruità globale del medesimo.
Il giudizio finale sul bilancio deve essere espresso secondo quattro
possibili tipologie:
􀂾 giudizio positivo
􀂾 giudizio con rilievi
􀂾 giudizio avverso
􀂾 impossibilità di esprimere un giudizio
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Perché il certificatore possa esprimere un'opinione sul bilancio sono
necessari i seguenti parametri di riferimento:
1. i principi contabili in base ai quali è stato redatto il bilancio ed in
conformità ai quali egli esprime il proprio giudizio professionale;
2. i principi di revisione che sono norme, procedure e comportamenti
stabilenti come egli deve procedere nell'attuazione della revisione.
I principi contabili devono costituire lo strumento interpretativo-integrativo
delle norme di legge che disciplinano la tenuta della contabilità, la
formazione e il contenuto dei documenti contabili.
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Nello svolgimento del proprio lavoro il Revisore deve applicare i Principi
di Revisione emessi dagli ordini professionali che disciplinano l’attività di
controllo contabile nelle diverse fasi di lavoro in cui va suddivisa e nei
diversi aspetti che vanno presi in considerazione e , in particolare,
regolano:
 La responsabilità del revisore (serie dal 200 al 299)
 La valutazione dei rischi, la pianificazione e le procedure di
revisione in risposta ai rischi identificati e valutati (dal 300 al 499)
 La raccolta degli elementi probativi a supporto della revisione
(dal 500 al 599)
 L’utilizzo del lavoro di terzi (dal 600 al 699 )
Sono emanati dalla Commissione Paritetica costituita dai C.N.D.C. e R. dall’ottobre 2002,
sono raccomandati dalla Consob e mutuati dagli international Standards of Auditing (ISA)
emanati dall’International Auditing and Assurance Standards Board (IAASB)
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Il revisore deve operare in conformità alle norme di legge (la disciplina di
riferimento è il DLGs 39 del 27 gennaio 2010) ed ai principi di revisione.
I principi di revisione costituiscono un punto di riferimento vincolante per i revisori
(hanno la stessa rilevanza sia nei confronti dei revisori contabili indipendenti che operano
individualmente, sia per quelli che operano in forma associata).
Il revisore deve osservare le norme etico professionali, su cui sono basati i
principi di revisione, costituite da:
a) indipendenza;
b) integrità;
c) obiettività;
d) competenza e diligenza;
e) riservatezza;
f) professionalità;
g) rispetto dei principi tecnici.
Il revisore ha la responsabilità civile e penale stabilita dalla legge.
Responsabilità civile: il revisore è considerato inadempiente o in errore solo se non avesse
applicato o avesse applicato erroneamente i principi di revisione e se questo comportamento
avesse avuto conseguenze sulla correttezza del giudizio espresso nella relazione di revisione
Responsabilità penale: per falsità nelle relazioni o comunicazioni, per compensi illegalmente
percepiti, per l’utilizzazione e divulgazione di notizie riservate, ecc.
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Nello svolgere al meglio l’incarico, il revisore deve adottare un approccio di
scetticismo professionale, tenuto conto che possono esistere circostanze tali
da causare significativi errori nei bilanci.
L’atteggiamento di scetticismo professionale richiede che il revisore effettui una
valutazione critica interrogandosi sulla validità degli elementi probativi acquisiti e
prestando particolare attenzione a quegli elementi probativi che contraddicono o
mettono in discussione l’affidabilità della documentazione esaminata o delle
attestazioni della Direzione.
Un atteggiamento di scetticismo professionale deve essere mantenuto nel corso
dell’intero processo di revisione per ridurre il rischio di non considerare
adeguatamente circostanze dubbie, di compiere eccessive generalizzazioni nella
formulazione delle conclusioni sul lavoro di revisione nonché di utilizzare errate
assunzioni nella determinazione della natura, della tempistica e dell’estensione
delle procedure di revisione e nella valutazione dei risultati.
Indipendentemente dalla valutazione dell’integrità della direzione, le attestazioni
della direzione non possono sostituire l’acquisizione da parte del revisore di
elementi probativi appropriati e sufficienti che lo mettano in grado di trarre
ragionevoli conclusioni su cui basare l’espressione del proprio giudizio.
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L'obiettivo della revisione contabile è di acquisire ogni elemento
necessario per consentire al revisore di esprimere un giudizio se il
bilancio nel suo complesso sia redatto, in tutti gli aspetti significativi,
in conformità alle disposizioni che ne disciplinano i criteri di redazione.
Obiettivi e principi generali della revisione contabile del bilancio
documento n. 200
Lo scopo dei principi di revisione è stabilire delle regole di
comportamento e fornire una guida per il raggiungimento degli
obiettivi prefissati che possono essere perseguiti mediante una
opportuna verifica dei dati e delle informazioni, predisposti dalla
direzione e contenuti nel bilancio, partendo da alcune asserzioni.
Il giudizio del revisore non rappresenta comunque una garanzia del futuro funzionamento
dell’impresa né che la stessa sia stata amministrata in modo efficace ed efficiente
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Un revisore che svolge la revisione contabile in conformità ai principi di revisione
ottiene una ragionevole sicurezza che il bilancio nel suo complesso non
contenga errori significativi.
Al fine di ottenere tale ragionevole sicurezza, il revisore acquisisce ogni elemento
probativo ritenuto necessario per accertare se il bilancio sia viziato da errori
significativi e se risulti nel suo complesso attendibile.
Il revisore non può ottenere una sicurezza assoluta a causa delle limitazioni
intrinseche nel processo di revisione che influenzano la capacità del revisore di
individuare errori significativi.
Tali limitazioni possono derivare da fattori quali:

l’utilizzo di verifiche a campione

le limitazioni intrinseche in qualunque controllo interno

la natura persuasiva piuttosto che conclusiva di molti elementi probativi

presenza di elementi di valutazione soggettivi
La revisione non costituisce quindi una garanzia che il bilancio sia privo
di errori significativi
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Il revisore deve acquisire sufficienti ed appropriati elementi probativi che gli
consentano di trarre ragionevoli conclusioni, sulle quali fondare il proprio
giudizio sul bilancio.
Gli elementi probativi della revisione
documento n. 500
Nell’attestare che il bilancio è stato redatto in accordo con il quadro normativo di
riferimento e quindi fornisce una rappresentazione veritiera e corretta della
situazione patrimoniale e finanziaria dell’impresa e del risultato economico, il
revisore formula delle asserzioni con riguardo al riconoscimento, alla
misurazione, alla presentazione ed alla informativa dei vari elementi del bilancio.
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Il revisore deve utilizzare asserzioni sufficientemente dettagliate per classi di
operazioni, saldi contabili, presentazione ed informativa per formarsi una base di
valutazione dei rischi di errori significativi e per stabilire e svolgere le procedure di
revisione in risposta ai rischi identificati e valutati.
Le asserzioni utilizzate dal revisore si distinguono nelle seguenti categorie:

asserzioni relative a classi di operazioni ed eventi attinenti il periodo
soggetto a revisione contabile


asserzioni attinenti i saldi contabili di fine esercizio
asserzioni attinenti la presentazione e l’informativa
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a) asserzioni relative a classi di operazioni ed eventi attinenti
il periodo soggetto a revisione contabile:
i. manifestazione (o validità)
le operazioni e gli eventi che sono stati
registrati hanno avuto effettivamente luogo e
sono pertinenti all’impresa;
ii. completezza
tutte le operazioni e gli eventi che avrebbero
dovuto essere registrati sono stati
effettivamente registrati;
iii. accuratezza
gli importi e gli altri dati relativi alle
operazioni ed agli eventi sono stati registrati
correttamente;
iv.competenza
le operazioni e gli eventi sono stati registrati
nel corretto periodo contabile;
v. classificazione
le operazioni e gli eventi sono stati registrati
nei conti appropriati;
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b) asserzioni attinenti i saldi contabili di fine esercizio:
i. esistenza
le attività, le passività ed il patrimonio netto
esistono;
ii. diritti ed obblighi
l’impresa possiede, o controlla, i diritti sulle
attività, e le passività sono obbligazioni
dell’impresa (un’attività o una passività sono di
pertinenza dell’azienda, ad una certa data);
iii. completezza
tutte le operazioni e gli eventi che avrebbero
dovuto essere registrati sono stati
effettivamente registrati;
iv. valutazione e classificazione
le attività, le passività ed il patrimonio netto
sono esposti in bilancio per un importo
appropriato ed ogni rettifica di valutazione o
classificazione è stata registrata
correttamente;
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c) asserzioni attinenti la presentazione e l’informativa:
i. manifestazione e diritti ed obblighi
gli eventi, le operazioni e gli altri aspetti
rappresentati hanno avuto effettivamente
luogo e riguardano l’impresa;
ii. completezza
tutte le informazioni che avrebbero
dovuto essere fornite sono state riportate
in bilancio;
iii. classificazione e comprensibilità
le informazioni economico-finanziarie
sono presentate e descritte in modo
adeguato e l’informativa è espressa con
chiarezza;
iv.accuratezza e valutazione
le informazioni economico-finanziarie e le
informazioni di diversa natura sono
presentate correttamente e per il loro
corretto ammontare.
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Fasi della revisione:
1.
pianificazione e programmazione
2.
comprensione dell’impresa e valutazione dei
rischi di errori significativi
3.
esecuzione delle procedure di conformità
(test sui controlli)
4.
identificazione dei rischi non eliminati o
attenuati dalle misure di controllo interno
5.
applicazione delle procedure/sondaggi di
validità (test sostanziali)
6.
comunicazione dei risultati
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Pianificazione del Lavoro di Revisione
I principi di revisione riguardanti la pianificazione del lavoro di revisione
contabile sono:
300 La pianificazione
315 La comprensione dell’impresa e del suo contesto e la valutazione
dei rischi di errori significativi
320 Il concetto di significatività nella revisione
Lo scopo è quello di stabilire regole di comportamento e di
fornire una guida sulle considerazioni e le attività da
svolgere in sede di pianificazione della revisione del bilancio
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Si deve pianificare il lavoro di revisione in modo da poterlo svolgere in
modo efficace.
Questa fase richiede:
1. la definizione della strategia generale di revisione
2. lo sviluppo di un piano di revisione
al fine di ridurre il rischio di revisione ad un livello accettabilmente basso
Un’adeguata pianificazione consente al revisore di:
 prestare la dovuta attenzione alle aree importanti della revisione;
 identificare e risolvere tempestivamente eventuali problemi;
 organizzare e gestire adeguatamente l'incarico di revisione, per
svolgerlo in modo efficace ed efficiente.
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Attività preliminari dell’incarico
All’inizio di ogni incarico di revisione, il revisore deve:
 svolgere procedure riguardanti il mantenimento di rapporti con
l’impresa e dello specifico incarico di revisione;
 valutare il rispetto dei principi etici, inclusa l’indipendenza;
 considerare i termini dell’incarico.
Le attività preliminari hanno l’obiettivo di assicurare al revisore di aver
considerato ogni evento o circostanza che possa influenzare negativamente la sua
capacità di pianificare.
Servono per assicurare al revisore che:
 sia mantenuta la necessaria indipendenza e competenza per svolgere l’incarico;
 non vi siano problematiche riguardanti l’integrità della direzione che possano influenzare
il revisore nella prosecuzione dell’incarico;
 non vi siano malintesi con l’impresa circa i termini dell’incarico.
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Strategia generale
Nella fase di definizione della strategia generale di revisione si stabilisce
l’ampiezza, la tempistica e la direzione della revisione e guida lo sviluppo del più
dettagliato piano di revisione.
La predisposizione della strategia deve includere:

la definizione delle caratteristiche dell’incarico (tipo di bilancio) e della sua ampiezza,
l’individuazione del quadro normativo applicabile nonché la localizzazione delle
componenti dell’impresa o del gruppo

la definizione degli obiettivi dell’incarico con riferimento all’emissione delle relazioni,
per pianificare la tempistica del lavoro e la natura delle comunicazioni previste
(scadenze delle eventuali relazioni intermedie e della relazione finale nonché le date dei principali
incontri previsti con la direzione)

la considerazione di fattori rilevanti quali la determinazione di un appropriato livello di
significatività, l’identificazione preliminare delle aree dove il rischio di errori significativi
può essere più elevato, l’identificazione preliminare di componenti e saldi contabili
significativi, la considerazione sulla opportunità di pianificare di ottenere elementi
probativi sulla efficacia del controllo interno
In questa fase il revisore deve quindi definire la natura, la tempistica, e l’entità delle
risorse necessarie per lo svolgimento dell’incarico
•
•
•
•
le risorse da dedicare a specifiche aree di revisione;
la quantità di risorse da attribuire alle diverse aree di revisione;
quando impiegare tali risorse;
come gestire, dirigere e supervisionare tali risorse.
23
Piano di revisione
Una volta definita la strategia generale, il revisore è in grado di predisporre un
piano di revisione più dettagliato che deve includere:

una descrizione della natura, tempistica ed estensione delle procedure pianificate per la
valutazione dei rischi di errori significativi (come stabilito dal documento n. 315, “La
comprensione dell’impresa e del suo contesto e la valutazione dei rischi di errori significativi”) ;

una descrizione della natura, tempistica ed estensione delle conseguenti procedure di
revisione pianificate a livello di asserzioni per ogni significativa classe di operazioni, saldo
contabile ed informativa (come richiesto dal documento n. 330, “Le procedure di revisione in
risposta ai rischi identificati e valutati”). La pianificazione di tali procedure di revisione
conseguenti dipende dalla decisione del revisore di verificare l’efficacia operativa dei
controlli e dalla natura, tempistica ed estensione delle procedure di validità pianificate;

le altre procedure di revisione che è necessario svolgere per le finalità dell’incarico in
conformità con i principi di revisione (per esempio, la consultazione dei consulenti legali
dell’impresa).
Tale pianificazione dipende da molti fattori quali le dimensioni e la complessità dell’impresa, le
aree di revisione, il rischio di errori significativi
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Nella predisposizione del programma di revisione, si deve considerare la
specifica valutazione del rischio intrinseco, del rischio di controllo e dei
risultati attesi dallo svolgimento delle procedure di validità.
La strategia generale di revisione ed il piano generale revisione possono essere
aggiornati e modificati in base alle necessità intervenute nel corso del lavoro di
revisione.
La pianificazione é un processo continuo ed iterativo, che dipende dal
cambiamento delle condizioni o dal verificarsi di risultati inattesi nell’applicazione
delle procedure di revisione.
Le ragioni di cambiamenti significativi alla strategia generale di revisione ed il piano generale
di revisione devono essere adeguatamente documentate nelle carte di lavoro.
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Pianificare la revisione contabile significa sviluppare un programma di
lavoro dettagliato, sulla base dei seguenti elementi:
 Determinazione del “rischio di revisione”, ovvero il rischio che il
revisore esprima un giudizio non corretto nel caso in cui il bilancio
sia significativamente inesatto (le cui componenti sono il rischio intrinseco,
di controllo e di individuazione);
 Conoscenza del cliente, della sua attività, dell’organizzazione e delle
relazioni interne ed esterne;
 Analisi del sistema di controllo interno (sia a livello di ambiente
generale che a livello di singolo conto di bilancio);
 Analisi di bilancio (preventiva);
 Calcolo del livello di significatività (materialità).
Queste attività consentono di determinare l’ampiezza delle verifiche da effettuare
sulle poste di bilancio e la predisposizione dei programmi di verifica.
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Conoscenza dell’impresa
Il revisore deve comprendere l’impresa ed il contesto in cui opera,
incluso il suo controllo interno, in misura sufficiente ad identificare e
valutare i rischi di errori significativi nel bilancio, siano essi dovuti a
frodi o a comportamenti o eventi non intenzionali, ed in misura
sufficiente per stabilire e svolgere le procedure di revisione in risposta
ai rischi identificati e valutati.
La comprensione dell’impresa e del suo contesto e la valutazione
dei rischi di errori significativi
documento n. 315
la comprensione dell’impresa e del suo contesto consente di stabilire un quadro di
riferimento entro il quale il revisore pianifica la revisione ed esercita il suo giudizio
professionale per valutare i rischi di errori significativi in bilancio e per far fronte a
tali rischi nel corso della revisione,
Questa fase assume un ruolo fondamentale per identificare e valutare i rischi di errori
significativi nel bilancio e per stabilire le procedure di revisione in risposta ai rischi identificati
RISCHIO INTRINSECO GENERALE
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1. Studio delle condizioni economiche generali:
 situazione politica nazionale / internazionale;
 provvedimenti di politica economica;
 normativa valutaria;
 politiche monetarie (accesso al credito, andamento tassi interesse);
 inflazione.
2. Studio del settore d’appartenenza:
Condizioni del settore di attività
 Caratteristiche del mercato e grado di concorrenza
 Ciclicità o stagionalità dell’attività
 Cambiamenti nella tecnologia del prodotto
 Attività in declino o in espansione
Contesto normativo e regolamentare
 Principi contabili e specifiche prassi di settore
 Legislazione e regolamenti che influenzano l’attività
 Normativa fiscale
 Indirizzi governativi che influenzano la gestione
- aspetti fiscali;
- incentivi finanziari;
- tariffe;
- normativa ambientale
3. Studio dell’attività e organizzazione aziendale:
La direzione e la proprietà
 Natura e composizione del capitale
 Compagine societaria e parti correlate
 Consiglio di amministrazione
 Acquisizioni aziendali, fusioni, cessioni di rami aziendali, ecc.
 Business Plan
 Codici etici
 Struttura organizzativa
 Revisione interna (internal auditing)
L’attività
 Natura dell’attività (manifatturiera, commerciale, servizi, ecc.)
 Caratteristiche dei prodotti, politiche dei prezzi
 Localizzazione degli stabilimenti, sede, magazzini
 Clienti, modalità di pagamento, margini di profitto
 Fornitori
 Personale
 Attività di ricerca e sviluppo
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Le fonti da cui il revisore può ottenere tali informazioni sono molteplici, ad esempio:
– Colloqui con il management, il personale amministrativo, i consulenti della società
– Documentazione prodotta dalla società (verbali delle riunioni, bilanci, budget, rapporti
interni della Direzione, piani di marketing e vendita)
– Pubblicazione riguardanti il settore (testi specializzati, statistiche ed indagini di organi
ufficiali)
La conoscenza del cliente è fondamentale perché consente al revisore di:
•
Valutare il rischio intrinseco
•
Valutare in modo più consapevole gli elementi probativi emersi nel corso
dell’incarico di revisione
29
Le analisi di bilancio
◊
Le analisi di bilancio rappresentano un importante strumento per l’individuazione e la
valutazione del rischio intrinseco riferito, in particolar modo, ai singoli conti di bilancio o a
singole classi di operazioni.
◊
Lo scopo è quello di rilevare dati e di determinare indici atti a mettere in evidenza
situazioni che richiedono una particolare attenzione nello stabilire le procedure di
revisione.
◊
L’analisi diventa particolarmente significativa se effettuata attraverso la comparazione di
dati correnti di bilancio, dati storici e dati prospettici, nonché attraverso il confronto tra
consuntivi e preventivi (budget).
◊
L’analisi comparativa deve essere svolta mettendo in correlazione dati patrimoniali, dati
economici e flussi di cassa, cercando di individuare eventuali fluttuazioni anomale.
◊
Le fluttuazioni anomale devono sempre essere indagate, solitamente mediante richiesta
ed ottenimento di informazioni alla Direzione della Società.
▫
▫
Il revisore deve ricercare conferme di validità delle risposte della Direzione, mettendo ad
esempio a confronto le risposte ricevute con la propria conoscenza dell’azienda e del settore
e con gli altri elementi probativi acquisiti nel corso del lavoro di revisione.
In base alle risposte ottenute ed alle procedure di conferma effettuate, valutare l’opportunità
di svolgere altre procedure di revisione specifiche in merito alla anomalia individuata.
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Comprensione dei sistemi contabili e di controllo interno
Il sistema amministrativo contabile
Esso è rappresentato da quel complesso di procedure e metodi utilizzati
dalla società per elaborare le varie operazioni al fine di produrre i dati
contabili. Esso, di conseguenza, identifica, aggrega, analizza, calcola,
classifica, registra, sintetizza e riporta le operazioni e ogni altro tipo di
evento o fatto amministrativo.
Il revisore deve documentare ed analizzare una
serie di elementi che possiamo identificare in:
•
•
•
•
•
la struttura organizzativa;
la separazione delle funzioni;
la competenza del personale;
il grado di utilizzo dei sistemi informativi
controlli effettuati
Documentazione:
raccolte organiche (manuali);
descrizioni narrative;
questionari;
diagrammi di flusso
Metodi di acquisizione:
manuali
indagini con la Direzione ed il personale;
ispezioni di documenti e rilevazioni;
osservazioni delle attività svolte
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Il sistema di controllo interno è il mezzo attraverso il quale la
direzione di un’impresa controlla lo svolgersi della propria attività
Si sostanzia in un complesso di direttive, di procedure e delle
tecniche adottate da un’impresa per raggiungere una serie di
obiettivi:
 verificare che vengano effettivamente rispettate le procedure interne,
sia operative che amministrative, adottate al fine di garantire una
efficace ed efficiente gestione
 identificare, prevenire e gestire, nei limiti del possibile, i rischi di
natura finanziaria ed operativa e le frodi a danno della società
 garantire l’attendibilità dei dati
 garantire il rispetto delle normative di legge
 garantire la salvaguardia del patrimonio aziendale
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Il controllo interno può avere come oggetto:
la corretta rappresentazione contabile dei
fatti aziendali e la salvaguardia del
patrimonio (controllo amministrativocontabile)
gli aspetti gestionali dell’azienda
(controllo gestionale)
E’ l’insieme di procedure e tecniche che garantiscono alla direzione aziendale:
 la conformità delle operazioni svolte alle direttive generali o specifiche
impartite
 la corretta registrazione e rendicontazione (in bilanci e situazioni contabili)
delle operazioni
 la salvaguardia del patrimonio aziendale
 la conformità delle operazioni svolte alla normativa in vigore
La comprensione del controllo interno è utile al revisore per identificare le tipologie di
errori potenziali, per valutare i fattori che incidono sui rischi di errori significativi,
nonché per determinare la natura, la tempistica e l’ estensione delle procedure di
revisione in risposta ai rischi identificati e valutati.
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Componenti del sistema di controllo interno:
a) l’ambiente di controllo;
• L'ambiente di controllo include l'atteggiamento, la consapevolezza e le azioni della
Direzione e dei responsabili delle attività di governance in relazione al controllo
interno dell’impresa e alla sua importanza all’interno dell’impresa.
• L’ambiente di controllo comprende i seguenti elementi:
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
Comunicazione e vigilanza su valori etici ed integrità
Considerazione dell’importanza della competenza
Partecipazione dei responsabili delle attività di governance
Filosofia e stile operativo della direzione
Struttura organizzativa
Attribuzione di autorità e responsabilità
Politiche e procedure in tema di risorse umane
b) il processo per la valutazione del rischio adottato dall’impresa;
• Include le modalità con cui la direzione identifica i rischi attinenti alla preparazione di
un bilancio che dia una rappresentazione veritiera e corretta (o sia redatto
attendibilmente in tutti gli aspetti significativi) in conformità al quadro normativo
• Identificati i rischi, la direzione considera la loro significatività, la probabilità del loro
manifestarsi e come essi debbano essere gestiti.
−
−
−
−
−
cambiamenti nell’ambiente operativo
nuovo personale
sistemi informativi nuovi o aggiornati
nuova tecnologia
nuovi prodotti, nuove attività o nuovi modelli.
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c) il sistema informativo ed i processi di gestione correlati, rilevanti per
l’informativa economico-finanziaria e la comunicazione;
• Il sistema informativo è costituito dalle procedure e dalle registrazioni stabilite
per rilevare, registrare, elaborare le operazioni di impresa e darne informativa
e mantenere evidenza contabile delle relative voci di attività, passività e
patrimonio netto.
d) le attività di controllo;
•
l’insieme delle procedure aziendali che aiutano il management a verificare
il rispetto delle direttive impartite
•
Le attività di controllo rilevanti ai fini della revisione contabile possono
essere classificate come direttive e procedure attinenti i seguenti aspetti:
◊
◊
◊
◊
◊
Adeguata separazione dei compiti
Corretta autorizzazione per tutte le operazioni
Adeguata documentazione e registrazione delle operazioni
Controlli fisici su beni e registrazioni
Controlli indipendenti sulle prestazioni effettuate
e) il monitoraggio dei controlli
• Processo per valutare nel tempo la qualità del funzionamento del controllo
interno.
• Il monitoraggio è svolto per garantire che i controlli posti in essere dalla società
continuino ad operare con efficacia.
35
Conoscenza del
cliente
Analisi del
bilancio
Pianificazione del
lavoro
(Audit planning)
Valutazione del
sistema controlli
interni
Rilevazione dei
cicli
Determinazione
della materialità
Valutazione del
rischio intrinseco
Programmi di
verifica
(Audit program)
Valutazione del
rischio di
controllo
Valutazione del
rischio di
individuazione
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Definizione dei rischi e della significatività
1. Nello svolgimento del lavoro il revisore deve valutare, con riferimento allo
specifico incarico, la significatività e la sua correlazione con il rischio di
revisione.
2. Nei principi di revisione, un’informazione è significativa se la sua mancanza o
la sua imprecisa rappresentazione potrebbe influenzare le decisioni
economiche degli utilizzatori da prendere sulla base del bilancio.
La significatività dipende dalla dimensione e dalla natura della voce in esame
da valutare nelle particolari circostanze della sua omissione o imprecisione. Per
decidere se una voce o un insieme di voci è significativo, bisogna valutare
insieme la natura e il valore della voce.
Il concetto di significatività nella revisione
documento n° 320
37
La valutazione della significatività ha carattere relativo (soggettivo) in
quanto la rilevanza di un valore o di una classe di valori va analizzata
in rapporto alle specifiche circostanze aziendali ed alla strategia di
assunzione del rischio da parte del revisore.
Nella fase di pianificazione, il revisore definisce un livello di
significatività accettabile al fine di rilevare errori quantitativamente
(importo dell’errore) e qualitativamente (natura dell’errore, es:
inadeguata o non corretta descrizione di un principio contabile)
significativi.
Con riferimento al bilancio, la significatività può essere valutata sia
nel suo complesso, che in riferimento a singoli conti, classi di
operazioni e informazioni.
38
In termini operativi, dato che si possono avere bilanci riclassificati secondo
schemi diversi, la significatività degli errori può essere riferita ai singoli
aggregati dei bilanci riclassificati, attraverso la definizione di un errore
massimo che può essere tollerato (errore massimo tollerabile) su ciascuno
di essi, ovvero della soglia monetaria (assoluta o percentuale) che, se
superata, trasforma un errore in significativo.
Nei principi di revisione non esiste una raccomandazione circa la
modalità di calcolo del livello di significatività. Pertanto la sua
determinazione segue criteri stabiliti dalla migliore prassi
professionale.
39
La definizione dei limiti di significatività per gli aggregati dei bilanci
riclassificati avviene tipicamente attraverso la determinazione di
limiti percentuali, quali ad esempio:
Fatturato
Risultato lordo industriale
Risultato ante imposte
Totale attivo
Patrimonio netto
0,5%
0,5%
5,0%
0,5%
1,0%
- 1%
- 1%
- 10%
- 1%
- 5%
Ad esempio, se gli errori nel risultato ante imposte non eccedono la soglia del 5%, essi
non sono ritenuti significativi, in altri termini si ritiene che non sono tali da modificare
l’opinione del lettore di bilancio, in quanto non producono variazioni rilevanti negli indici
di bilancio che questi tipicamente determina.
Poiché, tuttavia, le verifiche di revisione hanno per oggetto le singole classi di valori e
non gli aggregati dei bilanci riclassificati, l’errore massimo tollerabile definito per
ciascun aggregato deve essere suddiviso tra le classi di valore che lo compongono, al
fine di allocare errori massimi tollerabili ai singoli conti.
40
Rischio di revisione
E’ il rischio che il revisore esprima un giudizio non corretto nel caso
in cui il bilancio sia significativamente inesatto.
Il concetto di significatività nella revisione
documento n. 320
Si tratta del rischio che un errore significativo non sia stato individuato nel
bilancio di esercizio sottoposto a verifica e che, quindi,
il revisore emetta una opinione non appropriata sul bilancio, accettando
l’ipotesi che il bilancio rappresenti la situazione finanziaria e patrimoniale e gli
andamenti economici dell’azienda oggetto di revisione secondo corretti principi
contabili, quando in effetti detta ipotesi dovrebbe essere rigettata.
Sostanzialmente ci sono due tipologie di rischi:
- che vengano introdotti in bilancio errori significativi
- che il revisore non individui un errore presente nel bilancio
41
Le componenti del rischio di revisione sono tre, al primo tipo di rischio si possono associare:
rischio intrinseco
rischio di controllo
Il rischio intrinseco è il rischio che, prima di riconoscere
l’efficacia dei sistemi di controllo, il bilancio contenga
errori o irregolarità rilevanti e varia per le diverse voci che
compongono il bilancio.
Alcuni fattori rilevanti nella valutazione del rischio intrinseco
sono:
• natura dei prodotti e dei sevizi, compresa la loro
commerciabilità, volatilità e predisposizione a essere oggetto
di furto,
• natura del settore di attività, condizioni economiche e
prospettive; politiche e pratiche finanziarie; struttura
operativa e reparti amministrativi;
• natura dell’attività e operazioni commerciali,
• soggettività o complessità delle contabilizzazioni,
• rilevanza degli importi o dei saldi di bilancio nel suo insieme,
è costituito dal rischio che i sistemi di controllo compresa la
revisione interna, non riescano a prevenire o identificare
tempestivamente errori o irregolarità rilevanti.
42
mentre alla seconda tipologia di rischio si associa:
rischio di
individuazione
Si tratta del rischio legato alla possibilità che le
procedure di revisione non identifichino un eventuale
errore o un’irregolarità rilevante.
Il rischio di individuazione è correlato all’efficacia delle
procedure di revisione ed alla loro applicazione da parte del
revisore.
Questo tipo di rischio nasce da:
•
•
•
esame di solo una parte degli elementi probativi
disponibili;
eventuale inefficienza di una procedura di revisione;
eventuali carenze nell’esecuzione delle procedure di
revisione o nella valutazione dei risultati della revisione.
43
Il rischio intrinseco ed il rischio di controllo sono quindi fortemente
correlati; devono essere valutati congiuntamente.
Il revisore deve considerare la valutazione dei livelli di rischio intrinseco
e di controllo nel determinare la natura, i tempi e l’ampiezza delle
procedure di validità necessarie per ridurre il rischio di revisione ad un
livello accettabile.
Esiste una relazione inversa tra il rischio di individuazione ed il livello
combinato del rischio intrinseco e quello di controllo.
Valutazione del rischio di controllo
Valutazione
del rischio
intrinseco
alto
medio
basso
molto basso
basso
medio
medio
basso
medio
alto
basso
medio
alto
molto alto
alto
All’interno della tabella è riportato il livello al quale deve essere portato il
rischio di individuazione
44
Quando il rischio intrinseco e quello di controllo sono valutati
“alti”, il livello del rischio di individuazione accettabile deve
essere molto basso per ridurre il rischio di revisione ad un livello
basso accettabile.
rischio intrinseco e di controllo
rischio di revisione
Le procedure di validità debbono quindi fornire elementi probativi sufficienti
ed appropriati al fine di ridurre il rischio di individuazione, e quindi il rischio
di revisione ad un livello accettabile.
Al contrario, quando il livello combinato del rischio intrinseco e di controllo è
“basso”, il revisore può accettare un più alto livello di rischio di
individuazione, mantenendo il rischio di revisione ad un livello basso
accettabile.
In generale avremo che: AR = IR x CR x DR
AR=Rischio di Revisione
IR=Rischio Intrinseco
CR=Rischio di Controllo
DR=Rischio di Individuazione
45
Significatività e rischio sono tra loro inversamente proporzionali:
ad un livello di significatività elevato, corrisponde un rischio di
revisione basso e viceversa.
Più BASSO
è il livello di SIGNIFICATIVITA’
Più ALTO
è il RISCHIO di REVISIONE
Il revisore deve considerare tale relazione inversa quando determina la
natura, la tempistica e l’ampiezza delle procedure di revisione da
svolgere.
46
elementi probativi
2) Il revisore deve acquisire sufficienti ed appropriati elementi probativi che gli
consentano di trarre ragionevoli conclusioni, sulle quali fondare il proprio
giudizio in merito al bilancio.
3) Gli elementi probativi si ottengono da un’appropriata combinazione di procedure
di conformità e procedure di validità. In alcune circostanze gli elementi probativi
possono essere ottenuti interamente attraverso l’applicazione di procedure di
validità.
4) Per “elementi probativi” si intendono le informazioni che il revisore ottiene per
giungere a conclusioni che gli permettano di formulare il proprio giudizio
professionale. Gli elementi probativi comprendono le fonti documentali e le
registrazioni contabili alla base del bilancio, nonché le informazioni di supporto
aventi altra origine.
5) Per “procedure di conformità” si intendono esami svolti al fine di acquisire gli
elementi probativi sull’adeguatezza della progettazione e sull’efficace
funzionamento dei sistemi contabile e di controllo interno.
6) Per “procedure di validità” si intendono esami svolti al fine di acquisire gli
elementi probativi per individuare significativi errori nel bilancio, esami che sono
di due tipi:
(a) verifiche di dettaglio sulle operazioni e sui saldi di bilancio;
(b) procedure di analisi comparativa.
Gli elementi probativi della revisione
documento n. 500
47
Principio di
revisione n. 500
Gli elementi probativi sono i risultati
delle procedure di revisione sui quali
è basato il parere professionale del
revisore sul bilancio
REQUISITI ELEMENTI PROBATIVI:
Sufficienza
Idoneità
48
PROCEDURE PER OTTENERE ELEMENTI PROBATIVI
Ispezioni
Si basa sull’esame di registrazioni, documenti, attività materiali (principio di
revisione 500). Con questa procedura si ottengono elementi probativi aventi
un grado di affidabilità decrescente secondo la loro fonte e la loro natura,
tenendo conto anche dell’esistente sistema di controlli interni:
– documenti preparati e detenuti da terzi;
– documenti preparati da terzi e detenuti dal cliente;
– documenti preparati e detenuti dal cliente.
Osservazioni
consiste nell’assistere a processi o procedure eseguite da altri; il revisore può
assistere all’esecuzione dell’inventario fisico fatto dai dipendenti del cliente o
ad altre procedure di controllo delle quali non rimangono tracce documentali.
Indagini e
conferme
possono essere formalizzate per iscritto e rivolte a terzi, o fatte verbalmente a
personale interno. Le risposte possono fornire informazioni non conosciute in
precedenza o elementi probativi.
Ricalcolo
consiste nel controllo della correttezza aritmetica dei documenti, delle
registrazioni contabili e nell’effettuazione di conteggi indipendenti.
Procedure
analitiche
Le procedure analitiche consistono nell’analisi di indici e tendenze significative
incluse le indagini svolte al fine di spiegare variazioni e relazioni incoerenti con
le altre informazioni rilevanti o diverse dai valori attesi.
Riesecuzione
dei controlli
Si tratta della riesecuzione da parte del revisore di procedure di controllo che
dovrebbero essere già state eseguite dall’entità assoggettata a revisione.
49
Elementi probativi
sono le informazioni che il revisore ottiene per
giungere a conclusioni che gli permettano di
formulare il proprio giudizio sul bilancio e
comprendono i documenti acquisiti, le
registrazioni contabili e altre informazioni
ritenute utili a tal fine.
procedure di conformità
procedure di validità
sono rappresentate da
esami svolti al fine
di acquisire
elementi probativi
sull’adeguatezza
della progettazione e
sull’efficace funzionamento
dei sistemi contabili e
di controllo interno
sono rappresentate da
esami svolti al fine
di acquisire
elementi probativi
per individuare
significativi errori nel bilancio
50
Nel definire le procedure di revisione da svolgere, il revisore deve
determinare appropriati metodi per la selezione delle voci da
esaminare al fine di raccogliere elementi probativi necessari al
raggiungimento degli obiettivi delle procedure di revisione.
I metodi a disposizione del revisore sono:
la selezione di
tutte le voci
(esame al 100%)
la selezione
di voci
specifiche
il campionamento
Campionamento di revisione
documento n. 530
51
Revisione integrale
non introduce “incertezze” nella
valutazione del bilancio
richiedendo un tempo maggiore:
- è più costosa
- è meno tempestiva
Selezione di voci
specifiche
Richiede meno tempo rispetto
alla revisione integrale
Viene effettuata sulla base del
giudizio del revisore, è quindi
soggetta al rischio non dipendente
dal campionamento
Le voci specifiche selezionate possono includere:
Voci di valore elevato o voci chiave - Il revisore può decidere di selezionare voci
specifiche nell’ambito di una popolazione in quanto di valore elevato o presentano altre
caratteristiche.
Tutte le voci superiori ad un certo importo - Il revisore può decidere di esaminare voci i
cui valori eccedono un certo importo.
52
Campionamento di revisione ed altre procedure di verifica
con selezione delle voci da esaminare
Documento n°530
Lo scopo di questo documento è di stabilire regole
e fornire una guida nell’ utilizzo delle procedure di
campionamento nella revisione nonché di altri
metodi di selezione delle voci da esaminare al fine
di raccogliere elementi probativi.
53
• Per “Campionamento di revisione” (campionamento) si
intende l’applicazione di procedure di revisione su un numero
di voci inferiore alla totalità delle voci che compongono il
saldo di un conto o una classe di operazioni in modo tale che
tutte le voci abbiano una probabilità di essere selezionate.
• Ciò consente al revisore di ottenere e valutare gli elementi
probativi su determinate caratteristiche delle voci selezionate
e trarre una conclusione sull’intera popolazione dalla quale il
campione è estratto.
• Il campionamento può essere effettuato utilizzando sia un
approccio statistico sia un approccio non statistico.
54
Il termine “Campionamento statistico” indica qualsiasi
metodologia di campionamento che possieda le seguenti
caratteristiche:
1. selezione casuale di un campione
2. utilizzo del calcolo delle probabilità per valutare i risultati
del campione, ivi inclusa la determinazione del rischio di
campionamento.
Il “Rischio di Campionamento” deriva dalla possibilità che le
conclusioni raggiunte dal revisore, sulla base di un campione,
possano essere diverse da quelle che si sarebbero raggiunte se
l’intera popolazione fosse stata sottoposta alla stessa procedura di
revisione. In termini matematici tali rischi sono denominati livelli di
affidabilità.
55
Esistono due diversi tipi di rischio di campionamento:
a) il rischio che il revisore concluda, nel caso di procedure di
conformità, che il rischio di controllo è inferiore rispetto a quello
realmente esistente, oppure, nel caso di procedure di validità,
che non esiste un errore rilevante laddove, invece, esso esiste.
Questo tipo di rischio ha effetti sull’efficacia della revisione e
può, verosimilmente, condurre ad un giudizio inappropriato sul
bilancio;
b) il rischio che il revisore concluda, nel caso di procedure di
conformità, che il rischio è superiore rispetto a quello realmente
esistente, oppure, nel caso di procedure di validità, che esiste
un errore rilevante laddove invece esso non esiste. Questo tipo
di rischio ha effetti sull’efficienza della revisione in quanto
normalmente conduce allo svolgimento di lavoro aggiuntivo per
stabilire se le conclusioni inizialmente raggiunte non siano
corrette.
56
Diagramma del rischio di revisione
Rischio di revisione
Rischio Intrinseco x Rischio di Controllo
Rischio che si verifichino errori
Rischio di Individuazione
Rischio che gli errori
non siano individuati
Rischio di Campionamento
Nonsampling Risk
Rischio di
Campionamento nei
Test di Controllo
Rischio di assegnare
un rischio di
controllo troppo alto
Rischio di assegnare
un rischio di
controllo troppo basso
Rischio di
Campionamento nei
Test di Sostanza
Rischio di un
Rifiuto non corretto
Rischio di Accettazione
non corretta
57
procedure di conformità
procedure di validità
Test di controllo
o
Compilance testing
Test di sostanza
o
Substantive testing
Verifica dell’effettiva esecuzione
delle prassi di controllo interno
Verifica della correttezza dei valori
riportati in bilancio
Sulla base della propria comprensione dei
sistemi contabile e di controllo interno, il
revisore identifica le caratteristiche o gli
elementi distintivi che indicano il
funzionamento di un controllo, nonché le
condizioni devianti che possono
determinare scostamenti da un adeguato
funzionamento dello stesso. Dopodiché, la
presenza o l’assenza di tali elementi
distintivi può essere verificata dal revisore.
Lo scopo delle procedure di validità è
quello di individuare inesattezze rilevanti
nel bilancio. Il campionamento può essere
utilizzato per verificare una o più asserzioni
relative ad una voce di bilancio (ad
esempio l’esistenza di “crediti”) o per
formulare una stima indipendente di alcuni
importi (ad esempio il valore del
magazzino obsoleto).
58
100%
Livello di sicurezza
95%
Rischio di revisione (es. 5%)
Procedure di validità
(test di sostanza)
Procedure di conformità
(test di controllo)
0%
Bassa
Alta
Affidabilità controllo interno
59
Test di controllo
o
Compilance testing
Test di sostanza
o
Substantive testing
valutare percentuali di errore
analizzare quantità monetarie
Sono necessarie tecniche differenti di
campionamento per raggiungere gli
obiettivi previsti da queste due
tipologie di test
Campionamento per attributi
determinare la percentuale del
verificarsi di alcune
caratteristiche della popolazione
Campionamento per variabili
stimare il valore di una particolare
popolazione
Discovery sampling
Estimation sampling
Sequential sampling
60
Tipologie di campione
Il problema riguarda la modalità di selezione delle unità che
compongono il campione
L’obiettivo è che il campione sia “rappresentativo” della
popolazione da cui è estratto
Le operazioni riguardanti il campione sono:
o progettazione (planning): definizione degli aspetti tecnici del
campionamento (criterio, popolazione di riferimento, dimensione
del campione)
o estrazione (selection): il campione deve essere scelto in modo
da essere rappresentativo dell’insieme di riferimento
o valutazione (evaluation): il revisore deve interpretare, estendere
e valutare i risultati ottenuti
61
Le modalità di selezione delle unità da inserire nel campione possono essere:
 casuale
campione casuale o statistico
 soggettiva
campione soggettivo o ragionato
Il campionamento soggettivo può essere:
 a scelta ragionata (judgement sampling)
 a scelta fortuita (haphazard)
La selezione del campione
è snella, ha tempi di
realizzazione rapidi ed
è quindi poco costosa
prevede una selezione “ragionata” ma non
casualizzata, ad esempio le n fatture di maggior
importo
prevede una selezione dovuta a circostanze
accidentali, in modo che il revisore non influenzi la
scelta delle unità, ad esempio le operazioni svolte
dall’azienda in un fissato periodo di tempo
• è facilmente contestabile, data l’elevata
componente discrezionale;
• le voci specifiche selezionate non possono essere
considerate rappresentative dell’intera
popolazione e pertanto i risultati delle procedure
di revisione applicate alle voci selezionate non
possono essere estesi all’intera popolazione
62
Il campione statistico (o probabilistico)
Ogni unità della popolazione ha una probabilità nota di essere inclusa
nel campione
Definiti i tre parametri:
 la popolazione di riferimento, ossia l’insieme più grande a cui
dovrebbe essere esteso il risultato campionario
 il criterio di campionamento, ossia l’insieme di tecniche che
portano alla scelta del campione
 la dimensione campionaria
si può fare riferimento all’universo dei campioni, che è costituito da tutti
i campioni che si possono estrarre una volta fissati i suddetti parametri
Se un’azienda ha 5 fornitori (A, B, C, D, E) e si decide
di sceglierne tre per controllarne le fatture, vi sono 10
possibili scelte:
ABC, ABD, ABE, ACD; ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
L’universo dei campioni è formato da questi 10 gruppi
di tre fornitori ciascuno
In un campionamento statistico ogni
campione C, appartenente all’universo
dei campioni, ha una probabilità di
estrazione.
63
Dell’universo dei campioni, essendo composto da tutti i possibili
sottoinsiemi della popolazione, faranno parte sia campioni rappresentativi
del parametro della popolazione oggetto di indagine, sia campioni non
rappresentativi
Supponiamo di avere una popolazione
composta da N=5 numeri:
P(1,4,7,10,13) e che il parametro oggetto di
indagine sia la media,
consideriamo tutti i possibili campioni con
ripetizione di numerosità n=2
Abbiamo 25 possibili campioni (Nn=52),
ognuno con probabilità 1/25 di essere
estratto
campione
(1,1)
(1,4)
(1,7)
(1,10)
(1,13)
(4,1)
(4,4)
(4,7)
(4,10)
(4,13)
(7,1)
(7,4)
(7,7)
(7,10)
(7,13)
(10,1)
(10,4)
(10,7)
(10,10)
(10,13)
(13,1)
(13,4)
(13,7)
(13,10)
(13,13)
media
1.0
2.5
4.0
5.5
7.0
2.5
4.0
5.5
7.0
8.5
4.0
5.5
7.0
8.5
10.0
5.5
7.0
8.5
10.0
11.5
7.0
8.5
10.0
11.5
13.0
media
1.0
2.5
4.0
5.5
7.0
8.5
10.0
11.5
13.0
probabilità
1/25 = 0.04
2*1/25= 0.08
3*1/25= 0.12
4*1/25= 0.16
5*1/25= 0.20
4*1/25= 0.16
3*1/25= 0.12
2*1/25= 0.08
1/25 = 0.04
64
Se il campione è scelto casualmente è possibile:
• calcolare il rischio d’errore a cui ci si espone nella stima delle
caratteristiche di interesse (errore casuale di campionamento)
• estendere mediante processi di inferenza induttiva inversa i risultati
all’intera popolazione
La valutazione delle probabilità di commettere errori di prefissata
ampiezza viene effettuata a partire dai dati osservati tenendo conto di
relazioni note tra i valori caratteristici della popolazione e quelli
corrispondenti dell’universo dei campioni casuali
Queste relazioni vanno riferite non già al campione selezionato, che è a
priori sconosciuto, ma all’insieme di tutti i possibili campioni. Solo in
questo senso si perviene a risultati che sono considerati affidabili
65
I vantaggi del campionamento statistico, rispetto al campionamento
soggettivo, possono cosi sintetizzarsi:
 calcolo, su basi oggettive, della dimensione del
campione;
 stima dell’errore di campionamento;
 maggiore accuratezza nell’estensione all’universo dei
risultati ottenuti mediante il campione;
 valutazione obiettiva dei risultati desumibili
dall’indagine campionaria;
 possibilità di sostituzione e di integrazione dei soggetti
preposti all’indagine campionaria.
Questo tipo di campionamento richiede però:
• adeguata formazione dei revisori
• attenta progettazione ed esecuzione
• chiara presentazione dei risultati
66
Selezione delle unità campionarie
campionamento casuale semplice senza ripetizione (o in blocco)
Ogni elemento, una volta estratto, non viene reimmesso nella
popolazione per cui, dopo ogni estrazione, la probabilità che gli
elementi restanti entrino a far parte del campione viene modificata.
Probabilità di estrazione di ciascun elemento
Universo campionario
1 1
1
,
,...,
N N 1
N  n 1
N (N  1)
(N  n  1) 
N!
(N  n)!
campionamento casuale semplice con ripetizione (o bernoulliano)
Ogni elemento che viene estratto viene reintrodotto nella popolazione in
modo tale che ad ogni estrazione successiva non venga alterata la
composizione della popolazione ed ogni elemento estratto ha sempre la
stessa probabilità di venire scelto.
Probabilità di estrazione di ciascun elemento
1 1
1
, ,...,
N N
N
Universo campionario
Nn
67
La selezione delle unità può essere effettuata per mezzo dell’utilizzo
delle tavole di numeri casuali o di software specifici che ne incorporano
gli algoritmi di calcolo
Data una popolazione di N unità, si assegna ad ognuna di esse un identificativo
progressivo, e, utilizzando le tavole dei numeri casuali, si estraggono n numeri che
identificheranno le unità da inserire nel campione.
Se ad esempio abbiamo N=700 fatture da
controllare, dobbiamo ottenere numeri compresi
fra 0 e 700; quindi ci servono numeri formati da
tre cifre: da 000 a 700. Supponiamo di avere
scelto casualmente la riga 41, prendiamo le cifre
3 a 3 come segue:
967 673 596 423 822 960 129 ecc.,
scartiamo i numeri >700, ed otterremo gli
identificativi delle fatture da campionare
673 596 423 129 ecc.
Riga
41
42
43
44
45
96767
72829
88565
62964
19687
35964
50232
42628
88145
12633
23822
97892
17797
83083
57857
96012
63408
49376
69453
95806
94591
77919
61762
46109
09931
65194
44575
16953
59505
02150
50842
24870
88604
69680
43163
53372
04178
12724
00900
58636
In alternativa si può utilizzare un software
come MsExcel e, per mezzo della funzione
INT(CASUALE()*N+1), estraiamo gli n
numeri casuali corrispondenti alle fatture da
campionare
Nel caso di campionamento senza ripetizione, se un numero si ripete, verrà escluso
68
campionamento sistematico
Nel caso della selezione campionaria con passo sistematico, data una
popolazione di numerosità N di documenti amministrativi o contabili ed un
campione di n documenti
si estrae casualmente un numero intero r per cui
1≤r≤k
dove k =
N
(detto passo di campionamento)
n
r rappresenta il posto occupato dal primo documento da estrarre
dalla lista di tutti i documenti che compongono la popolazione
Si prosegue selezionando r+k, r+2k, r+3k, fino a r + (n −1)k
Occorre fare attenzione a come è costruita la lista, che deve essere ordinata in modo
casuale.
Risulta meno efficiente del campionamento semplice se le unità presentano un
ordinamento ciclico e il passo di campionamento coincide con il ciclo. La procedura
sistematica produce in tal caso campioni distorti.
69
Altri tipi di campionamento sono:
campionamento stratificato
Consiste nel:
◊ dividere gli N individui della popolazione in sottopopolazioni, o strati,
sulla base di una caratteristica comune;
◊ nell’estrarre poi un campione casuale semplice da ogni strato in modo
indipendente,
◊ e nel riunire insieme i risultati dei singoli campionamenti per formare
un unico campione dell’ampiezza richiesta.
campionamento a grappolo
◊ Gli N individui nella popolazione sono suddivisi in molti gruppi, detti
grappoli (sottopopolazioni), in modo tale che ogni grappolo sia
rappresentativo dell’intera popolazione.
◊ Si estrae poi un campione casuale di grappoli e tutti gli individui di
ciascuno dei grappoli selezionati sono inclusi nel campione.
70
campionamento a due stadi
◊ Gli N individui nella popolazione sono suddivisi in molti gruppi, detti
grappoli (sottopopolazioni), in modo tale che ogni grappolo sia
rappresentativo dell’intera popolazione.
◊ Si estrae un campione casuale di grappoli
◊ Da ognuno dei grappoli selezionati viene estratto un campione
casuale semplice di unità da includere nel campione.
È possibile combinare i diversi piani di campionamento, ad esempio:
ad uno stadio
»
semplice
» stratificato
a due stadi
»
semplice in entrambi gli stadi
» stratificato nel primo stadio e semplice nel secondo
» semplice nel primo stadio e stratificato nel secondo
» stratificato in entrambi
71
Nel campionamento stratificato debbono essere note informazioni a priori
sulla popolazione. Tali informazioni devono essere usate per definire una
stratificazione in cui ciascuno strato presenti:
• la massima omogeneità tra le unità che lo formano;
• la massima variabilità rispetto agli altri strati.
Al contrario, nel campionamento per grappoli, i cluster debbono essere il
più possibile fedeli alla struttura della popolazione. Questo implica che le
unità che costituiscono ciascuno gruppo, debbono presentare la massima
variabilità, poiché solo i grappoli le cui unità sono fortemente eterogenee
all’interno, garantiscono la minore variabilità fra i grappoli stessi.
72
Campionamento casuale semplice
Vantaggi:
1. è il tipo di campionamento più semplice che consente di fare riferimento ai modelli più elementari di
calcolo delle probabilità;
2. richiede una minima conoscenza a priori delle caratteristiche della popolazione;
3. garantisce una scelta obiettiva delle unità da rilevare e tale da escludere qualunque distorsione nei
risultati;
4. le stime dei parametri della popolazione e dei loro errori medi sono molto facili;
5. è particolarmente conveniente quando la popolazione non è molto grande.
Svantaggi:
1. comporta spesso costi di rilevazione più elevati rispetto ad altri procedimenti di scelta delle unità
campionarie;
2. a parità di dimensione, ossia del numero di osservazioni, può condurre a stime dei parametri della
popolazione meno precise di quelle ottenute con altri tipi di campionamento;
3. nella pratica non viene molto impiegato, specie nelle indagini di grandi dimensioni;
4. in generale non vengono utilizzate tutte le informazioni che si posseggono sulla popolazione
Campionamento casuale stratificato
Vantaggi:
1. consente, in generale, di aumentare la precisione delle stime senza accrescere la dimensione
totale del campione;
2. è molto conveniente quando la distribuzione statistica della variabile da rilevare è fortemente
asimmetrica.
Svantaggi:
1. se non si hanno sufficienti informazioni a priori, la costruzione degli strati può risultare
alquanto costosa; inoltre se la stratificazione è errata si possono ottenere risultati fuorvianti.
73
Campionamento a grappolo
Vantaggi:
il campionamento a grappoli consente di ridurre i costi di rilevazione specialmente nei casi
in cui le unità siano diffuse territorialmente
Svantaggi:
risulta generalmente meno efficiente di quello semplice
Si ipotizzi di dover effettuare un controllo su tutte le fatture di vendita per una azienda
che ha punti vendita in tutto il territorio nazionale. Fissata una numerosità campionaria
complessiva di 400 fatture, si potrebbe avere il caso in cui i documenti selezionati
siano distribuiti, ad esempio, in 20 punti vendita in Italia (campione casuale semplice),
oppure in due soli grappoli, due punti vendita rappresentativi.
74
Nel caso della revisione di bilancio vengono utilizzate alcuni metodi di
campionamento, che, pur basandosi sulle tecniche di campionamento
classiche, possono avere obiettivi specifici.
 discovery sampling
 estimation sampling per attributi e variabili,
 sequential sampling
 acceptance sampling
 monetary unit sampling
75
I piani di campionamento comunemente utilizzati sono:
Estimation sampling: il piano di campionamento più diffuso e si distingue in:
Campionamento per attributi: è utilizzato quando la domanda a cui si vuole rispondere è
“quante volte?”. È utilizzato per determinare le caratteristiche o “attributi” di una
popolazione ed i risultati sono espressi come percentuale del tipo di evento analizzato.
Ogni osservazione può ricadere in una sola categoria.
Campionamento sequenziale (Stop or Go sampling): è un’estensione del campionamento
per attributi. È utilizzato per decidere se la percentuale del verificarsi di un evento sia
sotto o sopra un livello ben definito. Può consentire di raggiungere l’ obiettivo con un
campione più piccolo rispetto al classico modello per attributi.
Campionamento per variabili: è utilizzato quando la domanda è “quanto?”. Consente una
stima di una media o di un totale della popolazione.
Campionamento di accettazione: dato un campione estratto da una certa popolazione, se il
numero di errori riscontrato nel campione è inferiore ad un certo limite, la popolazione è
ritenuta accettabile. Questo tipo di campionamento consente solo una decisione di accettazione
o rifiuto.
Discovery sampling: è utilizzato quando la manifestazione di un singolo errore o
irregolarità richiede un approfondimento di indagine. È spesso utilizzato quando si è alla
ricerca di una frode, dell'evasione di controlli interni o regolamenti
Monetary unit sampling: può essere utilizzato sia per campionamenti per attributi che per
variabili. È caratterizzato dal fatto che le unità di campionamento sono rappresentate dalle
singole unità monetarie (e non dai documenti).
76
La selezione di un campione, dall’universo dei campioni, dà luogo ad un
risultato aleatorio
Le statistiche campionarie sono quindi variabili aleatorie (o casuali)
La distribuzione di queste variabili aleatorie dipende dal piano di
campionamento utilizzato
attributi
variabili
proporzione
percentuale
media
totale
stima dei parametri, verifica di ipotesi
77
una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica) può essere
pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è
prevedibile con certezza (ossia non è deterministico).
Considerando l'esperimento del lancio della moneta per tre volte, si associ ad ogni evento
elementare dello spazio campione il corrispondente numero di teste, che indichiamo con X. In
questo modo si definisce una variabile, il cui singolo valore, che corrisponde ad un
sottoinsieme dello spazio campione, è esso stesso un evento. L'insieme dei valori di X
costituisce uno spazio campione numerico su cui può essere definita una misura di probabilità:
eventi
X
e1
T T T
3
e2
T T C
2
e3
T C T
2
e4
T C C
1
e5
C T T
2
e6
C T C
1
e7
C C T
1
e8
C C C
0
78
Associando ad ogni possibile valore di X la sua probabilità, come somma delle
probabilità degli eventi elementari che forniscono quel determinato valore di
X, si ottiene la distribuzione di probabilità della variabile casuale X.
X
0
1
2
3
freq.
1
3
3
1
probabilità
1/8
= 0.125
3*1/8 = 0.375
3*1/8 = 0.375
1/8
= 0.125
1
In termini generali se l'insieme di eventi {A1,A2 A3 ..... An } definiti su uno spazio
campione costituiscono un insieme esaustivo di eventi mutuamente escludentisi
(dove A1,A2 A3 ..... An rappresentano i possibili valori della variabile casuale X) il
corrispondente insieme di valori di probabilità associato agli eventi in questione
{Pr(A1),Pr(A2), Pr(A3)..... Pr(An)} costituisce una distribuzione di probabilità.
79
Variabili casuali discrete
La variabile casuale X si chiama discreta se è definita in uno spazio campionario
discreto; potrà quindi assumere un numero finito o un'infinità numerabile di
valori.
Sono discrete, ad esempio, le variabili: numero di fatture di acquisto senza
timbro di approvazione sul totale delle fatture di acquisto; numero di documenti
“buoni” osservati fino al primo con errore.
Nel caso di una v.c. discreta che assuma X valori x1,x2 ..... xn dovranno essere
soddisfatte le condizioni:
la funzione p(xi)=Pr(X=xi) si dice funzione di massa di probabilità (FMP).
è invece la funzione cumulativa di distribuzione (FCD) o funzione di ripartizione e
rappresenta la probabilità che la v.c. X assuma valori inferiori ad un certo valore x
di X.
80
Variabili casuali continue
Una variabile casuale X si dice continua se è definita in uno spazio campionario
continuo, essa può quindi assumere tutti i valori di un certo intervallo.
Sono continue variabili come il saldo di un determinato conto, il valore del
magazzino, e così via.
Si definisce funzione di densità della variabile casuale continua X, definita in un
intervallo (l,L), la funzione f(x) che possiede le seguenti proprietà:
f ( x)  0
L
 f ( x)dx  1
I
Inoltre si definisce come funzione cumulativa di distribuzione o funzione di
ripartizione, sempre della variabile casuale continua X, la:
F ( x)  P( X  x0 ) 
x0

f ( x)dx

81
Parametri delle distribuzioni di probabilità
Una distribuzione di probabilità può essere rappresentata in modi diversi (grafici,
tabelle, funzioni), a volte però può essere sufficiente una sintesi di tali
distribuzioni. Si possono cioè osservare solamente alcune caratteristiche della
distribuzione, sintetizzabili in uno o più valori numerici in grado di fornire
sufficienti informazioni sulla distribuzione.
I due aspetti principali di una distribuzione sono costituiti da misure di tendenza
centrale (i valori assunti in media dalla v.c.) misure di dispersione o variabilità (la
tendenza dei valori della v.c. a differire tra loro).
Valore medio di una variabile casuale
Tra le misure di tendenza centrale particolare importanza riveste la speranza
matematica o valore medio atteso indicato con E(X):
per v.c. discrete:
E ( X )   xp( x)
x
per v.c. continue:

E( X ) 
 xf ( x)d ( x)

esempio: in una scommessa un individuo ha probabilità di 2/5 di vincere 10 e probabilità 3/5 di
perdere 5: il valore medio atteso di questa distribuzione di probabilità sarà:
E(X)=10(2/5)+(-5)(3/5)=1
1 è la vincita attesa se il giocatore ripete la scommessa un certo numero di volte.
82
Misure di variabilità
Una prima misura della variabilità può essere fornita dalla deviazione del valore x
dalla sua media: d=x-E(X).
Si può quindi costruire una media E[X-E(X)], ma il valore degli scarti è sempre
pari a 0.
Si possono quindi utilizzare i quadrati. Si otterrà quindi la varianza della v.c. X:
V ( X )  [ x  E( X )]2 p( x)  E( X 2 )  E( X )2
83
Modelli distributivi discreti
Modello di Bernoulli
E' il più semplice dei modelli probabilistici, e si riferisce ad una situazione
sperimentale in cui si hanno due soli risultati: l'evento E e il suo opposto Ē.
Si ha quindi a che fare con una v.c. che può assumere solo 2 valori:
E con probabilità p
Ē con probabilità (1-p):
X
p(x)
1
p
0
1-p
si può quindi esprimere la funzione di massa di probabilità (FMP) come:
P( x / p)  p x (1  p)1 x
In questo caso avremo:
E(X)=0(1-p)+1p=p
E(X²)=0²(1-p)+1²p=p
V(X)=E(X²)-E(X)²=p-p²=p(1-p)
84
Modello Binomiale
Se abbiamo una situazione sperimentale in cui:
1. numero n di prove indipendenti tra loro
2. ciascuna prova è di tipo bernoulliana E,
3. in tutte le prove la probabilità p, dell'evento E, si mantiene costante, e quindi
anche la probabilità di Ē è sempre (1-p)
e se in tale situazione si è interessati al numero di eventi E risultanti nel ripetersi
delle prove, si può derivare una v.c. X, detta binomiale, che rappresenta il numero
X degli eventi E che si manifestano nelle n prove.
Ad esempio una v.c. binomiale è data dal numero di teste che si presentano lanciando
una moneta per tre volte; dal numero di errori che si possono avere osservando 20
documenti.
La probabilità che su n prove si verifichi x volte l'evento E, sarà data da:
p x 1  p 
n x
Questa probabilità deve essere moltiplicata per il
numero di possibili sequenze in cui si hanno x
eventi E e n-x eventi Ē. Il numero di queste possibili
sequenze è dato dalla combinazione di x eventi E e
n-x eventi Ē, cioè:
 n  n(n  1)(n  2)...(n  x  1)
 
x( x  1)( x  2)...1
 x
85
In generale la funzione di massa di probabilità (FMP) della distribuzione
binomiale è data da:
n
P( x / n, p)    p x (1  p) n  x
 x
n
F ( x / n, p)     p i (1  p) n i
i 0  i 
x
La funzione di ripartizione (FCD) è invece data da:
che esprime la probabilità di una v.c. di tipo binomiale di assumere valori inferiori
ad un certo x.
Valore atteso: E(X) = np
Varianza: V(X) = np(1-p)
Supponiamo di controllare 20 fatture e di contare quelle errate. Il numero di fatture errate rappresenta una v.c.
binomiale.
La probabilità di trovare 2 fatture errate,
nel campione di 20, ipotizzando che la
percentuale di errore sia del 5%, sarà:
n
 20 
P( x  2 / n  20, p  0.05)    p x (1  p) n  x    0.052 (1  0.05) 202  0.1887
 x
2
 20 
F ( x  2 / n  20, p  0.05)     0.05i (1  0.05) 20i 
i 0  i 
2
Mentre la probabilità di trovare al
massimo 2 fatture errate, nelle
medesime condizioni, sarà:
 20 
 20 
 20 
0
20 0
   0.051 (1  0.05) 201    0.052 (1  0.05) 202  0.9245
  0.05 (1  0.05)
0
1
2
86
Modello ipergeometrico
In questo caso si ipotizza una popolazione composta da N elementi K dei quali hanno
una certa caratteristica, ed, evidentemente N-K non la posseggono.
Selezionando un elemento di questi N, potremo osservare uno dei K (successo) o
uno degli N-K. Ripetendo le prove n volte senza ripetizione, senza cioè reimmettere
gli elementi estratti, ciascuna prova è condizionata dai risultati precedenti e la
probabilità di successo o insuccesso si modifica da prova a prova.
Sarà quindi possibile determinare quale sia la probabilità di avere in n prove x
elementi dei K di un tipo e n-x elementi degli N-K.
Ad esempio si controllano 25 buste paga di un’azienda che ha 60 dipendenti e si verifica il numero
di dipendenti che risultano assunti negli ultimi due anni.
Il numero complessivo dei casi possibili sarà dato dal numero di
possibili modi in cui possono essere scelti gli n tra gli N dati:
N
 
n
I modi diversi in cui gli x elementi dei K possono presentarsi sono:
K
 
x
mentre i modi diversi in chi gli n-x dell'altro tipo si possono presentare sono:
N K


 nx 
87
La probabilità che la v.c. X assuma valore x sarà quindi:
 K  N  K 
 

x  n  x 

P( X  x / n, N , K ) 
N
 
n
Il valore medio atteso E(X) di questa distribuzione è data da:
mentre la varianza è:
E( X )  n
K
 np
N
 K  K  N  n 
V ( X )  n  1  

 N  N  N  1 
se vengono estratte 4 carte da un mazzo da poker contenente i soli onori (A,K,Q,J,10), con quale
probabilità si avrà 1 asso:
 4  20  4 
 

1  4  1  (4)(560)

P( X  1/ n  4, N  20, K  4) 

 0.4623
4845
 20 
 
4
88
Modello di Poisson
Viene utilizzato per rappresentare il numero di eventi che si verificano in un intervallo
di tempo prefissato, supponendo che la probabilità di accadimento degli eventi sia
costante in ogni momento, sapendo che mediamente se ne verifica un numero λ.
e   x
P( X  x /  ) 
,
x!
x  0,1, 2,3,...
Valore atteso e varianza: E(X) = λ, V(X) = λ.
La funzione di ripartizione (FCD) del modello di Poisson è data da:
e   i
F ( X )  p( X  x /  )  
i!
i 0
x
Per n molto grande il calcolo dei valori di probabilità della distribuzione binomiale diventa
difficoltoso. In questo caso è più semplice effettuare un calcolo approssimato di tali valori
utilizzando la distribuzione di Poisson; infatti si può dimostrare che al crescere di n, il valore di
probabilità calcolato mediante la formula binomiale, approssima sempre di più quello calcolato con
la formula di Poisson. L'approssimazione migliore si raggiunge per n molto grande e p molto
piccolo.
Si può dunque affermare che se n è molto grande e p è molto piccolo, la distribuzione binomiale
approssima la distribuzione di Poisson.
89
Se abbiamo un campione di 100 fatture da controllare, estratto da una popolazione
nella quale la percentuale di errore è dell’ 1%, la probabilità di trovare 0 errori nel
campione sarà:
λ=np=100*0.01=1
e110
P ( X  0 /   1) 
 0.3679
0!
100 
0
100 0
P( x  0 / n  100, p  0.01)  
 0.3660
 0.01 (1  0.01)
0


90
Modelli distributivi continui
Modello normale o gaussiano
Una v.c. si distribuisce normalmente, cioè secondo un modello normale o gaussiano,
quando la sua funzione di densità di probabilità è:
 1  x   2 
 
 
 2    
1
e
 2
In generale questo tipo di distribuzione è ipotizzabile per un certo fenomeno
quando le sue misure sono composte da una parte da un sistema di cause
costante, dall'altra da un errore giustificato da un insieme di cause contrastanti e
indipendenti tra loro.
La normale è completamente descritta dai parametri µ e σ², infatti l'esponente è
l'unica parte variabile. In realtà si tratta quindi di una famiglia di distribuzioni,
ognuna caratterizzata da una coppia (µ, σ²). Le distribuzioni normali possono
quindi differire per media o per varianza o per entrambi. La media rappresenta un
parametro di locazione e determina lo spostamento sull'asse X, mentre σ²
determina la forma della curva.
f ( x / , ) 
91
Distribuzione Normale (o gaussiana)
0.06
0.05
0.04
media=16, dev.st.=10
0.03
media=10, dev.st.=10
media=16, dev.st.=8
0.02
0.01
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-1
0
-1
2
-1
4
-1
6
0
Il valore massimo di ottiene in corrispondenza della media μ , mentre lo scarto σ rappresenta la
distanza tra il punto di massimo e ciascuno dei due punti di flesso.
92
Una caratteristica importante di questa distribuzione è che, applicando una trasformazione
lineare del tipo Z = aY + b ad una variabile Y normale di media m e scarto s, si ottiene ancora
una v.a. normale, che avrà media E(Z) = a m + b e scarto S(Z) = |a| s.
In particolare, se si applica la trasformazione (detta standardizzazione)
Z = (Y- m) / s = 1/ s Y - m / s
si ottiene una variabile aleatoria gaussiana di media 0 e scarto 1, che ha la seguente funzione
di densità:
f ( z) 
 1 
exp  z 2 
2
 2 
1
Il vantaggio della standardizzazione è che per calcolare le probabilità di intervalli riferiti a v.a.
normali di qualunque parametro si può sempre ricorrere alle tavole della normale
standardizzata.
93
Di particolare utilità è il fatto che se consideriamo l'intervallo da -σ a +σ l'area sottesa
alla curva in tale intervallo è sempre pari al 68% dell'area totale; se invece
consideriamo l'intervallo -1.96σ |--| +1.96σ l'area sarà pari al 95% dell'area
complessiva.
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
101
201
301
μ±σ = 68%
401
501
601
701
μ±1.65σ = 90%
μ±1.96σ = 95%
μ±2.58σ = 99%
94
data una v.c. X distribuita normalmente con media=50 e s.q.m.=5 determinare la probabilità che:
a) X sia minore di 57.5,
b) X sia compreso tra 49 e 52:
a)
prima di tutto si deve calcolare z:
Utilizzando la tavola della funzione di ripartizione della v.a. Normale Standard
avremo P(z1.5)=0.9332
95
96
b)
in questo caso avremo due valori di z:
Quindi
P(-0.2≤ z ≤ 0.4)=
P(z ≤ 0.4)-[1-P(z ≤ 0.2)]=
0.6554-[1-0.5793]=
0.6554-0.4207=0.2347
97