diamo i numeri con eulero

DIAMO I NUMERI CON EULERO
Renato Betti
Politecnico di Milano
“L’amore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri”.
(A. Weyl)
Pristem & Polymath
Scuola di Idro
13 settembre 2008
1) Contenuto = Numeri
Il termine “teoria dei numeri” fa la prima comparsa in
E279 (De resolutione formularum quadricarum
indeterminarum per numeros integros), pubblicato
nel 1764.
2) Metodo = Tensione al risultato / rigore
3) La matematica che serve?
E quanti soldi occorre pagare per liberarsi da chi vuole
imparare solo la matematica che serve?
4) Matematica di Euclide
Matematica dell'abaco
5) Continuità e generalità
La costruzione di una rete di proprietà
Eulero e la matematica che serve
Dal piccolo teorema di Fermat (1640) al teorema di
Eulero-Fermat (E271, Theoremata arithmetica
nova metodo demonstrata, 1758).
Piccolo teorema di Fermat:
Fermat studiava i numeri perfetti attraverso i numeri
primi della forma 2m -1 (primi di Mersenne) e le
proprietà dei coefficienti binomiali  p 
k
 
Numeri perfetti
“Proprietà magiche o mistiche dei numeri ricorrono in molte culture. In qualche modo,
nell’antica Grecia, o anche prima, l’idea di perfezione fu associata a quegli interi che
sono uguali alla somma dei propri divisori”.
(A. Weyl)
Euclide (IX,36) dimostra che i numeri della forma
2m –1(2m –1), con 2m –1 primo, sono perfetti
Eulero (1756), dimostra che i numeri di questa forma
sono tutti i numeri perfetti pari
Non si conoscono numeri perfetti dispari (ma se ne
esistono devono essere > 10300
La dimostrazione del piccolo teorema di Fermat
segue subito osservando che i coefficienti binomiali
 p
 
k
sono divisibili per p esattamente quando p è primo
(k = 1, 2,…,p).
Infatti:
 p  p
 p 

2  2  (1  1)  2        ....  
1 2
 p  1
p
p
è divisibile per 2p
Prime dimostrazioni del piccolo teorema di Fermat
Eulero 1741(E54, Theorematum quorundam ad numeros
primos spectantium demonstratio) per induzione su a
Eulero 1750 (E134, Theoremata circa divisores
numerorum) basata sulla proprietà:
Eulero 1763 (E271, Theoremata arithmetica nova
methodo demonstrata) generalizza p–1 a φ(n):
Matematica di Euclide / Matematica dell'abaco
F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65.537
Nel 1729 Goldbach comunica ad Eulero la congettura
di Fermat
Ma F5 e divisibile per 641
Eulero 1732 (E26, Observationes de theoremate quodam
Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus):
Eulero 1747 (E134, Theoremata circa divisores
numerorum):
ha divisori primi solo della forma 2m+1·h + 1
ha solo divisori primi della forma 26 · h + 1
Niente è più bello di ciò che è vero
(H. Minkowski)
Bastano cinque tentativi per trovare il divisore
primo 641 di F5.
Occorre rivalutare i fenomeni matematici!
Continuità e generalità
“La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dall’esterno, ma come
un’abitudine del pensiero”.
(P.A. Florenskij)
'600 Fermat
'700 Eulero
'800 Gauss . . .
Cosa ha fatto Eulero il 18 settembre 1783?
Secondo Condorcet:
pranza con gli allievi
discute il fenomeno Montgolfier (idrodinamica)
calcola (con Lexell) l'orbita di Urano
cessa di vivere e di calcolare
La formula del prodotto
Eulero 1744 (E72, Variae observationes circa series
infinitas):
Teorema 8. Se usiamo la serie dei numeri primi per
formare l’espressione
allora il suo valore è uguale alla somma della serie
In simboli:
Ma….
Teorema 7. “Il prodotto esteso all'infinito della frazione
in cui i numeratori sono numeri primi e superano di
un'unita i denominatori, uguaglia la somma della serie
infinita
ed entrambe le somme sono infinite”.
Come dire
(?!)
Dim.
Nel nostro linguaggio:
Il problema di Basilea
Viene posto nel 1644 da Pietro Mengoli:
Nel 1730 il “Methodus differentialis” di James Stirling
fornisce l’approssimazione:
Eulero dimostra:
[tre dimostrazioni in E41, De summis serierum
reciprocarum (1735), una quarta in E63, Demonstration
de la somme de cette suite 1+1/4+1/9+1/16+… (1743)]
Dim.
La funzione
Se
allora
Per analogia:
implica
ha gli zeri
La ζ di Riemann
Il problema di Basilea corrisponde a:
In E41, De summis serierum reciprocarum (1735),
Eulero calcola la somma ζ (s) per ogni s= 2n pari.
L'infinità dei primi
Prima dimostrazione in Euclide (IX,20)
Eulero, E72, Variae observationes circa series
infinitas (1744):
Inoltre: “La serie degli inversi dei numeri primi
è infinitamente minore della serie armonica”
“il valore della serie armonica è uguale al logaritmo
di infinito”
“La prima somma è quasi il logaritmo della seconda”
In simboli:
Questo anticipa il “teorema dei numeri primi”,
congetturato da Gauss nel 1793, da Legendre nel
1798 e dimostrato nel 1896 sia da Hadamard che da
La Vallée Poussin.