• Stato limite ultimo di sezioni in c.a. soggette a pressoflessione

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• Stato limite ultimo di sezioni in c.a. soggette
a pressoflessione
– SLU per sezioni rettangolari in c.a. con
d
doppia
i armatura
t
• determinazione del campo di rottura
• determinazione del momento ultimo
– Esempio: verifica di sezione rettangolare a
doppia armatura
– Prescrizioni normative
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Definizione del Problema
N
c
e
Si consideri una sezione rettangolare in c.a.
con doppia armatura soggetta a pressione
applicata al centro di pressione c con
eccentricità
t i ità e. Ragioni
R i i di equivalenza
i l
statica
t ti
permettono di considerare la sollecitazione
come composta da una forza applicata al
ba icent o della sezione
se ione e un
n momento
baricentro
flettente pari a M=N×e.
Si vuole effettuare la verifica di resistenza
allo stato limite ultimo,
ultimo valutando quindi lo
sforzo Normale e il Momento ultimo che la
sezione è capace di esplicare nel rispetto
delle condizioni di equilibrio e di congruenza
della sezione.
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Definizione del Problema
Mu
Nd
Naturalmente esistono infinite coppie N,M
che rispettano tali condizioni.
Resta dunque individuata una regione detta
d
dominio
i i di resistenza
i t
all di fuori
f
i del
d l quale
l il
limite ultimo della sezione viene superato.
La verifica
e ifica consiste dunque
d nq e nel verificare
e ifica e che
Esempio di dominio di Resistenza
Mu(Nd) ≥ Md
controllando che Nd non superi il valore
massimo esplicabile dalla sezione.
In q
quanto segue
g
si farà riferimento alle
NTC08
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Ipotesi di lavoro (generali)
1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)
2. Il calcestruzzo teso non è reagente
3. Non vi è scorrimento relativo tra
acciaio e cls (perfetta aderenza)
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Ipotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
Legge costitutiva del Cls (tensione-deformazione)
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Ipotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
Legge costitutiva dell’acciaio
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Ipotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
Leggi costitutive del Cls e dell’Acciaio
NTC08
σ
Legge costitutiva dell’acciaio
k
f yd =
σ
Tratto parabolico
f yk
0.85 f cd = 0.85
1.15
ε
fyd/Es
10%°
La norma permette di tener conto per l’acciaio di un
incrudimento k con deformazione massima al 1%
ε
2%°
3.5%°
Legge costitutiva del CLS
f ck
1 .5
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Ipotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
Leggi costitutive del Cls e dell’Acciaio
NTC08
La legge costitutiva
del cls può essere
sostituita dallo stress
bl k (di
block
(diagramma
rettangolare equivalente
alla parabola rettangolo)
con altezza pari a 0
0.8
8
volte l’altezza dell’asse
neutro rispetto al lembo
superiore della sezione
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Ipotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
CLASSI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO
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Campi di rottura
εc1
εcu
ε cu = 3.5 0 00
As’
As
d’
(3)
3/7 h ε su = 10 0 00
ε c 1 = 2 0 00
(4)
h
ε sy =
((2))
f yd
Es
(1)
(0)
As
εsu
b
Campi di Rottura
εsy
(0’)
(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)
(1) sez. fortemente armata
(2) Sez. normalmente armata
(3) Sez. debolmente armata
(4) Piccola eccentricità (Trazione)
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Determinazione del campo di rottura
Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende
oltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione
semplice)
p
) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di
N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento
per compressione uniforme, che per sezioni simmetriche corrisponde
al caso di pressione centrata.
Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori il
campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo
normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che
corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura.
Sarà poi sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N
prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.
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Determinazione del campo di rottura
Piccola eccentricità : compressione centrata
Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezione
conduce alla seguente equazione:
fcd
C
C’+C’’
N max = 0.8bhf cd + ( As + As ' ) f yd
C’
nmax =
C
N max
= 0.8( 1 + δ ) + ( μ s + μ s ' )
bdf cd
δ=
d'
d
C’’
C
Dovrà ovviamente risultare che
nd<nmax altrimenti l’equilibrio alla
traslazione risulterà impossibile
Il coefficiente 0.8 nella componente associata al
csl dipende dal fatto che la normativa impone nel
caso di compressione
i
centrata
t t che
h il coefficiente
ffi i t
γc venga aumentato del 25%.
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Determinazione del campo di rottura
Piccola eccentricità : sezione interamente compressa
Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta ancora interamente
compressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.
εcu
N 0 = 0.8bhf cd + As σ s + As ' f yd
fcd
La deformazione dell’acciaio inferiore
è immediatamente
i
di
ricavabile
i
bil
d
da
semplici considerazioni geometriche
C’
C
C’’
a.n.
ε s = ε cu
δ
1+ δ
In termini adimensionalizzati si ha:
αu =
ε cu
ε sy
n 0 = 0.8(1 + δ ) + μ s α u
δ
1+δ
+ μs '
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : retta di separazione campo 0 e campo 1
Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta parzializzata con
l’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura tesa.
εcu
N 0 ' = 0.8bdf cd + As ' f yd
IIn termini
t
i i adimensionalizzati
di
i li ti sii
ottiene la semplice espressione:
C’
C
a.n.
n0 ' = 0.8 + μ s '
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : retta di separazione campo 1 e campo 2
Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata con
l’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore.
L’
L’acciaio
i i inferiore
i f i
risulta
i l essere teso e snervato.
εcu
N 1 = 0.8byc f cd + As ' f yd − As f yd
C’
yc
an
a.n.
T
εy
L asse neutro yc si trova con
L’asse
semplici proporzioni
C geometriche
ε cu
yc =
d
ε cu + ε sy
n1 = 0.8
ε cu
− μs + μs '
ε cu + ε sy
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : retta di separazione campo 2 e campo 3
Nel passaggio tra campo 2 e campo 3 la sezione risulta essere in condizioni
di rottura bilanciata, ossia sia il cls che l’acciaio hanno raggiunto la loro
tensione
i
massima.
i
I l
Inoltre
l’
l’acciaio
i i inferiore
i f i
è naturalmente
l
snervato.
εcu
C’
a.n.
yc
εsu
T
εs '=
K −δ
ε cu = 0.0035 × (1 − 3.857δ )
K
C
N 2 = 0.8byc f cd + As ' σ s ( ε s ' ) − As f yd
ε cu
yc =
d = Kd = 0.259d
ε cu + ε su
n 2 = 0.207 − μ s +
σs'
f yd
μs '
L’acciaio compresso risulta in genere
snervato per travi con h>30 cm
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : Esempio di rottura in campo 2
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : retta di separazione campo 3 e campo 4
Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta
completamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.
N 3 = − As 'σ s (ε s ' ) − As f yd
a.n.
T’
essere
ε sll
αl =
ε sy
n3 = −α l δμ
μ s '− μ s
εsl
d'
ε s ' = ε sl = δε sl
d
T
L’acciaio superiore risulta in genere
non snervato per travi con h>20 cm
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Determinazione del campo di rottura
Campo 2
e2
e1
e0
N2
N1
Noti gli sforzi normali
corrispondenti alle linee
di separazione tra i
Campo 1
diversi campi di rottura
rottura,
Campo 0 questi ultimi possono
essere facilmente
individuati e visualizzati
sul diagramma di
N0
interazione M-N
Nmax
M/N > h/30>20 mm
(EC2)
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Determinazione del Momento Ultimo
Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione
g
in sequenza
q
i seguenti
g
due p
passi:
considerata occorre seguire
1. Determinazione della posizione dell’asse neutro
2. Determinazione del valore del Momento Ultimo
Nelle prossime slide si fornisce una espressione del Momento
Ultimo in relazione al campo di rottura precedentemente
determinato
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Determinazione del Momento Ultimo
Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax
ma )
2%°
εc
Determinazione asse neutro
fcd
La posizione dell
dell’asse
asse neutro yc si determina
a partire dall’equazione di equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta generalmente non snervato per cui:
C’ y0=3/7 h
εc1
d
C’’
yc
a.n.
C
N d = N u = C + As ' f yd + As σ s ( ε s )
yc − y0
C = by 0 f cd + b ∫ σ (ε )dy
yc − h
K’=yc/h
⎡
⎤
64
C = bhf cd ⎢1 −
2⎥
⎢⎣ 21(7 K '−3) ⎥⎦
ε = ε c1
y
yc − y0
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Determinazione del Momento Ultimo
Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax
ma )
2%°
Determinazione asse neutro
εc
fcd
Ill valore
l
max di C è li
limitato
i
dalla
d ll massima
i
resistenza a compressione ammessa per il cls
C’ y0=3/7 h
εc1
yc
C’’
C
a.n.
C
⎧
K
'
=
1
= 0.81
⎪⎪
bdf cd
⎨
C
⎪ K'= ∞
=1
⎪⎩
bdf cd
C max = 0.8bdf cd
N d = N u = C + As ' f yd + As σ s ( ε s )
K'=
ε c1 (d / h) − (3 / 7)ε s
ε c1 − ε s
K'> 1
σ s( εs ) =
N d − 0.8bhf cd − As ' f yd
As
εs =
σs
Es
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Determinazione del Momento Ultimo
Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax
ma )
2%°
εc
Determinazione Momento Ultimo
fcd
L equazione di equilibrio alla rotazione
L’equazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo della
sezione
C’
C’’
yc
a.n.
C
M c = bh 2 f cd
160
147(7 K '−3)2
y 0 ⎞ yc − y0
⎛
⎛h
⎞
⎛h
⎞
M = + As ' f yd ⎜ − d ' ⎟ + Asσ s (ε s )⎜ − d ⎟ + by0 f cd ⎜ yc − ⎟ + b ∫ σ (ε ) ydy
2 ⎠
yc − h
⎠
⎠
⎝2
⎝2
⎝
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)
εcu
fcd
C’
yc
a.n.
εs< εsy T
Equazione algebrica di 2° grado
0.81K 2 + K ( μ s '+ μ sα u − nd ) − μ sα u = 0
C
Determinazione Asse neutro
La pposizione dell’asse neutro yc si determina a
partire dall’equazione dei equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta per definizione non snervato. L’equilibrio
alla traslazione si scrive come segue:
N d = N u = 0.81byc f cd + As ' f yd − Asσ s ( ε s )
σ s (ε s ) = E s ε cu
yc − d
y
K −1
= E s ε cu
;K= c
yc
K
d
Sostituendo la precedente nella equazione di
equilibrio alla traslazione si ha:
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)
εcu
Determinazione Momento Ultimo
fcd
C’
yc
a.n.
εs< εsy T
C
L equazione di equilibrio alla rotazione
L’equazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo della
sezione
sezione.
ε s = ε cu
K −1
K
⎛h
⎞
⎛h
⎞
⎛h
⎞
M u = 0.81by
b c f cd ⎜ − 0.416 y c ⎟ + As ' f yd ⎜ − d' ⎟ + Asσ s ( ε s )⎜ − d' ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
εcu
fcd
C’
C
a.n.
yc
εs> εsy T
Determinazione Asse neutro
La pposizione dell’asse neutro yc si determina
a partire dall’equazione dei equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta certamente snervato e quindi
nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso
sia snervato l’equilibrio alla traslazione si
scrive :
HP: acciaio compresso snervato
K=
nd + μ s − μ s '
0.81
N d = N u = 0.81by c f cd + As ' f yd − As f yd
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
εcu
C’
2%°
a.n.
fcd
C
yc
Determinazione Asse neutro
Nel caso l’ipotesi
p
di armatura compressa
p
snervata non sia verificata occorre esprimere
l’equazione alla traslazione in funzione di K
ottenendo l’equazione di secondo grado con
incognita la stessa K
εs> εsy T
Equazione per la determinazione dell’asse
Neutro nel caso che ll’armatura
armatura compressa
non risulti snervata
0.81K 2 − K (nd + μ s − μ s 'α u ) − μ s 'α u δ = 0
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
εcu
C’
Determinazione Momento Ultimo
fcd
C
a.n.
yc
εs> εsy T
L equazione di equilibrio alla rotazione
L’equazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo della
sezione
sezione.
ε s = ε cu
K −1
K
⎛h
⎞
⎛h
⎞
⎛h
⎞
M u = 0.81byc f cd ⎜ − 0.416 y c ⎟ + As ' σ s ( ε s ' )⎜ − d' ⎟ + As f yd ⎜ − d' ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
ε c<εcu
a.n.
C
C’
yc
εs= εsl
fcd
T
Determinazione Asse neutro
La pposizione dell’asse neutro yc si determina
a partire dall’equazione dei equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta certamente snervato e quindi
nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso
sia snervato l’equilibrio alla traslazione si
scrive :
Equazione per la determinazione dell’asse
N
Neutro
nell caso che
h l’armatura
l’
compressa
risulti snervata
K=
nd + μ s − μ s '
0.81
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
ε c<εcu
a.n.
fcd
C
C’
yc
Determinazione Asse neutro
p
di armatura compressa
p
Nel caso l’ipotesi
snervata non sia verificata occorre esprimere
l’equazione alla traslazione in funzione di K
ottenendo l’equazione di secondo grano con
incognita la stessa K
εs= εsu T
Equazione per la determinazione
dell’asse
N
Neutro
nell caso che
h l’armatura
l’
compressa
risulti non snervata
0.8K 2 − K (n d + 0.8 + μs + μs 'α l ) + μs 'α lδ + μs + n d = 0
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
Determinazione Momento Ultimo
ε c<εcu
a.n.
fcd
C
C’
yc
εs= εsu T
L equazione di equilibrio alla rotazione
L’equazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo della
sezione
sezione.
ε s ' = ε su
K −δ
1− K
⎛h
⎞
⎛h
⎞
⎛h
⎞
M u = 0.81by
b c f cd ⎜ − 0.416 y c ⎟ + As ' σ s ( ε s ' )⎜ − d' ⎟ + As f yd ⎜ − d' ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠