Lezione 5

Nella lezione precedente:









Abbiamo definito e caratterizzato un’antenna “corta”
Calcolato il campo lontano di un dipolo a mezz’onda
Antenna Marconiana
Monopolo in quarto d’onda su piano di massa
Altezza efficace di un’antenna verticale/Orizzontale su
piano di massa
Altezza efficace di una spira elementare
Caratteristiche di un’antenna filiforme rettilinea di
lunghezza arbitraria
Calcolo della sua impedenza di ingresso: i metodi
variazionali
Il dipolo ripiegato
Nella lezione precedente:


Antenne a banda larga: a onda progressiva
Antenne a banda larga: a elica
Dipolo Ripiegato
Riprendiamo un attimo il dipolo ripiegato
Abbiamo detto che si analizza considerando la sovrapposizione
degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di
ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari)
IT
+
V/2
IT
V/2
+
+
IA
IA
+
V/2
+
V/2
IA+ IT
IA- IT
V
Per il modo antenna: per l’ipotesi sulla spaziatura, vi sarà una
differenza di fase trascurabile tra i campi radiati dai singoli
conduttori: campo tot. In zona lontana doppio rispetto al singolo
conduttore
Per il modo linea: per la stessa ipotesi, i campi irradiati si
cancellano
Dipolo Ripiegato
IA+ IT
L’impedenza di ingresso sarà:
V
Z in 
I A  IT
IA- IT
V
Ora, nel caso linea, i punti A e B sono allo stesso potenziale per
A
questioni di simmetria.
IT
Del resto, nel caso antisimmetrico, come
IT
sappiamo, potremmo inserire un muro elettrico
+
V/2
V/2
nel mezzo.
+
Quindi è come se A e B fossero cortocircuitati.
Se indichiamo con ZT l’impedenza di ingresso di un trattoBdi
linea di lunghezza L chiuso su corto circuito, avremo
V /2
IT 
ZT
Dipolo Ripiegato
essendo quindi:
ZT  jZ 0 tan(l )
Per il modo di antenna invece questi due
punti sono allo stesso potenziale V/2, quindi li
possiamo mettere in contatto
I
IA
+
V/2
+
V/2
IA
A
V /2
2I A 
ZD
IA
+
V/2
Dove ZD non differisce di molto dall’impedenza di ingresso di un
dipolo ordinario
Dipolo Ripiegato
Quindi l’impedenza complessiva di ingresso:
Zi 
V
I A  IT

V
V
V

4Z D 2Z T

4Z D Z T
Z T  2Z D
Nel caso particolare di dipolo ripiegato di lunghezza 2L=l/2
abbiamo che L=p/2
Il corto della linea è diventato un aperto e ZT=per cui
Z i  4Z D
Quindi ricordando che un dipolo a mezz’onda in risonanza ha
una impedenza reale di 70 W, il dipolo ripiegato presenterà
un’impedenza di ingresso di circa 280 W.
Dipolo Ripiegato
Il dipolo ripiegato ha inoltre una banda intrinsecamente più
larga: infatti l’ammettenza di ingresso in condizioni di risonanza
è
Yi  1 / Z i  1 /(4Z D )  1 /(2ZT )
 1 /(4Z D )  j cot(l ) /(2Z 0 )
La parte immaginaria ha un effetto compensativo quando si è
fuori risonanza, mentre è nulla alla risonanza.
Schiere o “Array” di antenne
All’aumentare della lunghezza, un’antenna filiforme presenta
crescenti caratteristiche direttive del lobo principale
Tuttavia aumenta il numero di lobi secondari vanificando gran
parte del vantaggio
Per avere caratteristiche direttive occorre usare molteplici
antenne e dimensionarle per sfruttare fenomeni di interferenza
in aria: le schiere
Il campo a grande distanza sarà quindi la somma vettoriale dei
campi a grande distanza di ciascun elemento
Schiere o “Array” di antenne: parametri di
progetto

Disposizione (lineare, circolare, rettangolare ecc.)

Distanza relativa tra gli elementi radianti

Ampiezza delle eccitazioni su ciascun elemento

Fase delle eccitazioni su ciascun elemento

Diagramma di radiazione di ciascun elemento
Schiera di due dipoli elementari
Due dipoli a
distanza d e con
correnti diverse
z
r
q
z'
r'
q'
d
r
f
r'
dl I0’
x
I0
f'
y
Il campo nel punto
di osservazione
sarà

e  jkr
 '
e  jkr '
E j
I 0 dlsinq
uq  j
I 0 dlsinq '
uq '
2l
r
2l
r'
Al solito faremo le approssimazioni (per il modulo)
r // r ' r  r' uq  uq '
Schiera di due dipoli elementari
mentre per la fase
z
r  x2  y2  z 2
r
q
z'
r' 
r'
q
'
d
dl I0
’
x
I0
f
r
r'
f
'
y
x  d 2  y 2  z 2
 x 2  y 2  z 2  2 xd  d 2  r 2  2 xd  d 2
2
x d d2
d d 2 r 1  1   2sinq cosf d  d  
 r 1 2
 2  r 1  2sinq cosf  2 
r r 2 
 2 
r r
r r r
x x r

 cosf sinq
r r r
d2
 r  dsinq cosf 
2r
 r  dsinq cosf
Schiera di due dipoli elementari
Se poi poniamo
z
r
q
z'
I 0'  aI 0e jk
r'
q
'
d
dl I0
’
x
I0
f
r
r'
f
'
y
cioè una sorgente in relazione
ad ampiezza e sfasamento
dell’altra, avremo


e  jkr
Eq  j
I 0 dl
sinq  1  ae j e jkdsinq cosf
2l
r
Campo di un singolo elemento in
un punto di riferimento
(solitamente l’origine)

Fattore di schiera (array
factor)
Schiere



Allora abbiamo ottenuto che il campo lontano è il prodotto
del campo del singolo elemento della schiera per un fattore
che dipende solo dalla schiera (posizione relativa d,
sfasamento , rapporto tra le ampiezze a) [purché la schiera
coinvolga un solo tipo di radiatori]
Il diagramma di radiazione si può quindi ottenere con la
“moltiplicazione dei diagrammi”
A tal fine occorre valutare il fattore di schiera: poiché non
dipende dalle caratteristiche direttive degli elementi della
schiera, si può valutare usando una schiera di antenne
isotrope con la stessa distribuzione delle sorgenti e
spaziatura (e topologia)
Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari
con uguale eccitazione distanti l/2
I0=I0’ (a=1, =0); d=l/2




e  jkr
Eq  j
I 0 dl
sinq  1  e jpsinq cosf
2l
r
Diagramma di radiazione
E(q , f )
1
f (q , f ) 
 sinq 1  e jpsinq cosf uq
z
E(q max , fmax ) 2
Campo lontano


Grafichiamolo sui vari piani: XZ (f=0)


1
f (q , f  0)  sinq 1  e jpsinq 
2
p
p
  j p sinq
j sinq  j sinq
1
e 2
sinq e 2
e 2

2


p
p
 j sinq
sinq cos sinq e 2
2


y
z
x
Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari con uguale eccitazione
distanti l/2
z
Grafichiamolo sul piano YZ (f=p/2)
f (q , f 
p
2
)  sinq
y
z
sinq
y
x
y
Grafichiamolo sul piano XY (J=p/2)
fq (q 
p
p
2
,f ) 

cos cosf e
2

j


1
1  e jp cosf 
2
p
2
cosf
x
Impedenza mutua
Per avere il diagramma desiderato, dovremo imporre una
certa distribuzione di corrente
A tal fine occorre conoscere con precisione l’impedenza di
ingresso
Tuttavia l’impedenza di ingresso di un’antenna è alterata
dalla presenza dell’altra: occorre tener conto dei “mutui
accoppiamenti”
Il modo corretto di trattare un problema in generale è
usando una matrice di impedenza che tenga conto di tutto
La valutazione di tale matrice è un problema complesso (si
è per esempio risolto di nuovo con tecniche variazionali per
due antenne filiformi)
Per schiere lunghe e con elementi uguali l’effetto del mutuo
accoppiamento può talvolta essere ignorato
Impedenza mutua
Schiere Lineari Uniformi

n elementi lungo una linea retta
equispaziati

Correnti ugual ampiezza

Sfasamento progressivo

Im
 e  j
I m 1
f
dcosf
0
1
d
n-1
2
d
d
x
Schiere Lineari Uniformi



La differenza di cammino dell’onda prodotta da due
elementi successivi è   d cosf
Cui corrisponde uno sfasamento per differenza di cammino
k  kd cosf
E a cui si sovrappone lo sfasamento della corrente, per cui i
campi generati da due elementi successivi arrivano sfasati
all’osservatore di
 kd cos 

f 
f
dcosf
0
1
d
n-1
2
d
d
x
Schiere Lineari Uniformi

Quindi il campo totale sarà
ET  E0  1  e
j
e
j 2
e
j 3
 .......  e
j ( N 1)
Fattore di Schiera


Notate che il fattore di schiera è di fatto una serie
geometrica del tipo 1  x  x 2  ... x n
n
Che ha come somma 1  x
1 x

Quindi il fattore di schiera diventa
AF 
1  e jN
1  e j

e
jN
e
j

2
e
 jN

2
e
j

2
e
jN
e
j

2


2
2

sinN
sin

2

2

Simile al Sinc ma
periodico (di 2p)
Schiere Lineari : Polinomio associato

Se avessimo considerato un array lineare ad elementi
equispaziati, ma non necessariamente con la stessa
ampiezza di corrente, avremmo più in generale ottenuto
ET  E0  a0  a1e j  a2 e j 2  a3e j 3  .......  a N 1e j ( N 1)



Notate che il fattore di schiera è di fatto un polinommio
2
n
complesso del tipo
a0  a1x  a2 x  ...an x
Tale polinomio si definisce polinomio associato della
schiera, introdotto da Schelkunoff nel 1943
Vale quindi il teorema: il fattore di schiera di una schiera ad N
elementi è un polinomio di grado N-1; viceversa ogni
polinomio di grado N-1 può essere interpretato come fattore di
schiera di una schiera ad N elementi equispaziati
Schiere Lineari: Polinomio associato

Dato poi che il prodotto di due polinomi è ancora un
polinomio, si ha il corollario:
Date due schiere lineari, esiste sempre una schiera il cui fattore
di schiera è il prodotto dei rispettivi fattori
Schiere Lineari Uniformi
Tornando al caso uniforme:
Il fattore graficato in Y
AF 
sinN
sin

2

2
Notate che

Al crescere del numero di elementi il lobo
principale (Y =0) si stringe
Il numero di lobi secondari aumenta

Ma la loro ampiezza diminuisce


La larghezza del lobo principale è doppia
rispetto a quella dei lobi secondari
Visto che il fattore di schiera è calcolato
considerando antenne isotrope, esso è
simmetrico rispetto all’asse della schiera
stessa
Schiere Lineari Uniformi
Quindi basta considerare il solo intervallo 0<f<p.
Il che, ricordando
  kd cosf  
Implica
kd      kd  
Spazio visibile
della schiera
AF
2p
p

kd Spazio visibile
kdp
2p
Può capitare che nello spazio visibile cada più di un lobo
principale: tali lobi vengono definiti “Grating Lobes”

Schiere Lineari Uniformi
Per esempio: il fattore di schiera è periodico
Per cui il lobo principale (Y=0) si ripete  m
Implica
kd cosfm    kd cosf0    2mp
Essendo f0 l’angolo del primo lobo
Quindi
 '    2mp
 2mp
2mp
cosf m  cosf0 
kd
0  0
E’ chiaro che più lobi principali cadono nello spazio visibile se
tale equazione ha soluzione reale, ovvero se
2 mp
Per m=1 diventa
kd
2p
2p

1
2p
kd
d
l
d l
1
Schiere Lineari Uniformi
0  kd cosf0  
Il massimo principale è chiaramente
cos f0  

kd
Quindi
Per avere una schiera Broadside (lobo principale ortogonale
all’asse della schiera)
f0 
p
 0
Schiera lungo z
2
f0 
p
2
x
Schiere Lineari Uniformi
Per avere una schiera Endfire (lobo principale lungo l’asse
della schiera)
f0  0 oppure f0  p
   kd
x
Schiere Lineari Uniformi
Avremo punti in cui il fattore di array si annulla: questi si
dicono zeri di radiazione.
Nel caso di schiere uniformi avremo quindi
quindi gli zeri sono
AF 
sinN
sin

2 0

2
N

2
  qp
q=1,2..
Ma diverso dai
multipli di N
ovvero, ricordando il valore di Y
2qp
kd cosf    
N
 cosf  

kd

2qp
 l q l


Nkd
2p d N d
chiaramente, all’aumentare del numero di elementi N, anche il
numero di zeri aumenta
Schiere Lineari Uniformi
Tra due zeri (approssimativamente a metà per N grandi)
avremo un massimo.
Avremo quindi massimi secondari in corrispondenza dei
massimi del numeratore del fattore di schiera
sinN
ovvero
 max
2
1
N
 max  (2m  1)
 max
p
2
 (2m  1)
p
2
N
Il primo massimo è per m=1; infatti se mettessimo m=0,
avremmo come massimo p/N; ma sappiamo che il primo
massimo è a Y=0, il primo nullo è a 2p/N, quindi non può
esserci un massimo tra il primo nullo ed il primo zero (massimi
e zeri devono alternarsi).
Schiere Lineari Uniformi
Quindi il primo lobo secondario si ha per
 max  3
p
N
L’ampiezza del primo lobo secondario è allora pari a
 max
se N grande (così
1
2N l’argomento del seno è
2 

 max
 3p 
3p piccolo ed approssimiamo
sin
sin

il seno con il suo
2
 2N 
argomento
L’ampiezza del lobo principale era per Y=0, ovvero larghezza N
Quindi in un array lineare uniforme, il primo lobo secondario ha
ampiezza 2/3p il lobo principale, ovvero circa -13.5dB sotto al
lobo principale indipendentemente dal numero degli elementi
sinN
Schiere Lineari Uniformi
Tale quantità (rapporto tra l’ampiezza del primo lobo
secondario e l’ampiezza del lobo principale, espresso in dB
(20Log) si definisce SSL (Side Lobe Level)
Quanto trovato dimostra che al crescere di N si arriva ad un
punto in cui non si riesce a migliorare tale rapporto che vale al
piu’ -13.5 dB per questo genere di schiere
Schiere Lineari Uniformi: Direttività
Il calcolo della direttività è, almeno in linea di principio, semplice
…anche se vengono fuori espressioni da incubo….
P(r ,q max , fmax ) P(r ,q max , fmax )
D

Wr
Pis
4pr 2
con
2
1 Emax
P(r ,q max , fmax ) 
2 
Per il fattore di schiera consideriamo N sorgenti puntiformi, che
generano quindi un campo lontano
Dove A è una costante che
 
sin N 
dipenderà dalla potenza
A
A  2
E  AF 
irradiata dalla schiera
r
r sin 
2
Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Broadside
Il risultato per una schiera broadside, che viene fuori
riesprimendo in una sommatoria il fattore di schiera, è
N
D
l N 1 N  q
d

1
) sin 2qp 
(
pNd q 1 q
l

che se rappresentata al
variare del numero di
elementi e della
spaziatura, graficamente
restituisce
15
40
10
30
20
10
M
8
5
6
4
10
2
0
0
Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Endfire
Invece per una schiera endfire
N
D
l N 1 ( N  q) 
d
1
sin 4qp 

2pNd q 1 q
l

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
Consideriamo:

Array lungo
 Trascuriamo radiazione lobi secondari

Assumiamo che tutta la potenza sia irradiata in un
angolo solido corrispondente alla larghezza del fascio a
metà potenza
q
HP
Quindi: angolo solido a metà potenza
:qHPfHP
Cui corrisponde una superficie
A  r 2 q HP fHP
Quindi la densità di potenza della direzione di massima
radiazione
Wrad
Wrad
Pmax 
A

r 2 q HP f HP
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
Quindi:
P(r ,q max , fmax )
4p
D

Wr
q HP f HP
4pr 2
Occorre ora valutare gli angoli nei diversi tipi di schiere
Broadside
fHP
N
Il campo nella direzione di max vale N
Quindi occorre trovare il valore angolare
dove esso si riduce di radice di 2:
cerchiamo
 
sin N 
N
2

  kd cosf
E HP 


2
sin
2
N
2
f
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
Ora vale:
Quindi
f HP
f 
2
2
 p f HP 
p
cosf  cos
2

2
fHP
N
f HP
f HP

  sin
2
2

vera per un’antenna molto direttiva (lobo stretto)
f HP
  kd
2 
E HP
f HP 

kd


2

sin N
2







f HP 

 kd

2

sin
2






f HP
 kd
2
sin N
2




f HP
kd
2
2





 N
2
N
2
f
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
In definitiva dobbiamo risolvere l’equazione:
cui corrisponde la soluzione approssimata
f HP
2 1.4

dN
p
l
f

 kd HP
2
sin N
2



f HP
Nkd
2
2





 1
2
Rispetto alla variabile J invece la schiera è perfettamente
simmetrica (simmetria cilindrica rispetto all’asse), quindi
q HP  2p
Quindi la direttività diventa
4p
4p
dN p dN
dN
D


p
 2 .2
q HP f HP
2p 2 1.4 l 1.4 l
l
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
Nel grafico della direttività rappresenta la tangente alla curva di
direttività (nel caso del disegno la tangente è per N=10)
60
D( 2  dOnLambda )
D( 3  dOnLambda )
40
D( 4  dOnLambda )
D( 10  dOnLambda )
dOnLambda .2.2 .10
20
0
0
N
10
0.5
1
dOnLambda
1.5
2
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
Endfire
  kd
ricordate? occorre
   kd cosf  kd
ora però
quindi
f
f HP
2
cosf  1 
2
f HP
8
2
f HP
   kd
8sin Nkd f HP2 
e l’equazione da risolvere diventa
con soluzione approssimata
f HP
E HP
f
fHP
2


f
HP


 sin Nkd 16
16




2
2
 f HP 
f HP

kd
sin kd

16
16


1 .4
4
2pNd / l



 N
2
Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata
In questo caso, però, la simmetria cilindrica intorno all’asse
produce (considerando che irradia in direzione dell’asse)
q HP  f HP
E la direttività diventa
4p
4p
p2
D


Nd / l  3.5 Nd / l
q HP f HP 16 1.4
2.8
2pNd / l
Schiere Lineari non Uniformi
Poniamo di avere N elementi equispaziati: il fattore di array è
chiaramente
N 1
j ( nkd cosf  n )
f (f ) 
an e
n 0
evidenziamo nello sfasamento n la parte di sfasamento
progressivo scrivendo

n
 n
Deviazione
  'n
zn
Sfasamento progressivo
N 1
f (f )   an e
j n ' jn( kd cosf  )
e
  An e
jn
n 0
n 0
An
N 1
N 1
  An z
n 0
n
La porzione di cerchio unitario
descritta da z quando f varia
tra 0 è p è l’intervallo di
visibilità
Schiere Lineari non Uniformi
Notate che l’intervallo di visibilità è esattamente un giro per
d=l/2, meno per d< l/2 e più di un giro per d> l/2 (grating
lobes….)
Notate poi che per un polinomio di grado N-1 ci sono N-1 zeri
(alcuni possono essere multipli), ed il polinomio può essere
riscritto come
f ( z )  AN 1 z  z1 z  z 2 ...z  z N 1 
e il modulo quadrato semplicemente
2
2
2
2
f ( z)  AN 1 z  z1 z  z 2 ... z  z N 1
2
Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale
Ha l’obiettivo di NON avere lobi secondari
consideriamo due elementi, a distanza d ed alimentati da corrent
di ugual ampiezza; il fattore di schiera sarà
f ( z)  1  z
Sappiamo ora che è possibile costruire un secondo array che ha
fattore di schiera pari al quadrato di quello dato, ovvero
f ( z )  1  z   1  2z  z 2
2
non rappresenta una schiera uniforme, poiché la ampiezze delle
correnti sono nel rapporto 1:2:1, sebbene si tratti di una schiera di
elementi equispaziati con fattore di fase progressivo
Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale
La stessa procedura si può eseguire elevando il polinomio alla mesima potenza, ottenendo la “schiera binomiale”, con fattore
m n
   z
f ( z )  1  z 
n  0 n 
m


m!
essendo
  
 n  n!(m  n)!
m
m
ora tale funzione ha un unico zero di molteplicità m in z=-1
Quindi un unico lobo (purché la spaziatura sia meno di mezza
lunghezza d’onda!)
Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale
Facciamo un grafico al variare dell’ordine
1
1
f(   1 )

f( 0  1 )

f(   2 )
f( 0  2 )
0.5
Quindi:
non ci sono lobi laterali
il lobo principale diviene
via via più stretto
però:
f( 0  3 )

Il lobo principale è molto
più largo (a parità di
0
0
elementi) rispetto ad una
4
2
0
2
4
3.141593

3.138407
schiera uniforme
Notiamo: la schiera a 3 elementi binomiale ha correnti con
ampiezza 1:2:1 (triangolare), ovvero rastremata ai bordi
f(   3 )
Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale
Una proprietà che deriviamo (e che risulta poi del tutto generale)
è

Addolcire la distribuzione spaziale di corrente, in modo che
essa diminuisca verso gli estremi della schiera, riduce l’entità
dei lobi laterali, ma allarga il lobo principale
E’ possibile generalizzare il progetto delle antenne binomiali,
considerando potenze m-esime di distribuzioni con più di due
elementi. Il numero di zeri ovviamente aumenta (non più solo -1)
e quindi ci sono lobi laterali, ma possono essere molto più bassi
di una schiera uniforme