Carte di controllo - e

Carte di controllo
Le carte di controllo sono uno STRUMENTO PER IL MONITORAGGIO DI PROCESSI PRODUTTIVI. Siccome tali processi sono influenzati da molteplici fattori, i loro prodotti non hanno mai
caratteristiche esattamente identiche e mediante l’impiego di carte di controllo si persegue l’obiettivo
di ottenere prodotti con caratteristiche possibilmente omogenee.
I fattori che influenzano processi produttivi si possono distinguere in:
• FATTORI ACCIDENTALI che sono difficilmente controllabili e/o individuabili e sui quali è
difficile intervenire (differenze impercettibili nella qualità di materie prime, piccoli cambiamenti delle condizioni in cui si svolge un processo produttivo come per esempio variazioni della
temperatura, piccoli sbalzi di tensione, etc)
• FATTORI SPECIFICI sui quali è abbastanza semplice intervenire per eliminare la variabilità nei prodotti da essi causata (impostazioni non corrette dei macchinari, sensori che non
funzionano correttamente etc).
Se un processo produttivo è influenzato solo da fattori accidentali si dice che esso è ”SOTTO
CONTROLLO”.
E’ importante tenere presente che un processo produttivo mal congegnato può essere sotto controllo anche se produce molti pezzi non conformi a dei cosiddetti LIMITI DI SPECIFICA, ossia a dei
limiti che talune caratteristiche quantitative e/o qualitative dei prodotti devono soddisfare affinché
essi siano idonei all’uso e/o alla vendita. Tali limiti vengono solitamente determinati dalla direzione
aziendale e dai responsabili del processo produttivo.
Qualora un processo sotto controllo producesse troppi prodotti non conformi ai limiti di specifica
occorrerà migliorarlo cercando intervenire anche sui fattori accidentali per ridurre la variabilità nelle
caratteristiche dei prodotti da essi indotta.
Si consideri ora un processo produttivo sotto controllo il cui funzionamento è in linea con gli
obiettivi fissati dalla direzione aziendale, nel senso che la variabilità nelle caratteristiche dei suoi
prodotti e la quantità di prodotti non conformi sono ritenute sostenibili dal punto di vista economico.
Attraverso l’impiego di opportune carte di controllo si può verificare se nel corso del tempo il processo
finisce ”fuori controllo”. Il principio secondo il quale funzionano tali carte di controllo è il seguente:
1) Si estrae periodicamente un campione dalla produzione.
1
2) Sulla base del campione estratto si calcolano i valori assunti da opportune STATISTICHE
TEST. Tali valori vengono riportati in uno o più grafici con il numero progressivo del campione
in ascissa ed il valore assunto dalla statistica test in ordinata.
3) Se il valore assunto dalla statistica test supera determinati LIMITI DI CONTROLLO, si
interviene sul processo produttivo per verificare se esso è ancora sotto controllo.
Affinché una carta di controllo sia EFFICACE ed EFFICIENTE, è necessario che le statistiche
test ed i limiti di controllo siano scelti in modo tale . . .
• . . . da MASSIMIZZARE la probabilità di scoprire la presenza di fattori specifici . . .
• . . . e da MINIMIZZARE la probabilità di SEGNALI DI FALSO ALLARME.
Infatti, queste due condizioni assicurano che siano minimizzate sia la produzione di prodotti non
conformi ai limiti di specifica che la perdita di tempo dovuta a inutili fermi produttivi.
A seconda del tipo di caratteristica monitorata attraverso una carta di controllo si distinguono:
• carte di controllo per VARIABILI (per caratteristiche qualitative),
• e carte di controllo per ATTRIBUTI (per caratteristiche quantitative).
Carte di controllo per variabili
Si consideri un processo di produzione di fasce elastiche per pistoni di automobili. Una caratteristica
di importanza critica è il diametro interno X delle fasce.
Si supponga che secondo gli obiettivi della direzione aziendale il processo produttivo sia sotto
controllo se le v.c.
X1 , X2 , . . . , Xi , . . .
che descrivono il diametro interno delle fasce elastiche sono indipendenti e seguono la distribuzione
normale con valore atteso
E(Xi ) = µ0 = 74mm
e varianza
V ar(Xi ) = σ02 = 0.0001.
2
Per monitorare il processo di produzione si analizzano ogni ora le ultime n = 5 fasce elastiche
prodotte e si riporta in un grafico il valore assunto dalla media campionaria
n
1X
X=
Xi .
n i=1
Siccome
E(X) = E(Xi )
e
V ar(X) =
V ar(Xi )
,
n
la media campionaria X sarà compresa tra
σ0
U CLx = µ0 + z1−α/2 √
n
σ0
LCLx = µ0 − z1−α/2 √
n
con probabilità 1 − α se il processo produttivo è sotto controllo (UCL e LCL sono gli acronimi di
”Upper/Lower Control Limit”).
Ponendo nelle formule per calcolare U CLx e LCLx
z1−α/2 = 3
⇔
α = 0.0027,
si ottengono i cosiddetti LIMITI DI CONTROLLO A 3 SIGMA per la media campionaria. Nell’esempio delle fasce elastiche si ottiene
0, 01
U CLx = 74 + 3 × √ = 74.0134
5
0, 01
LCLx = 74 − 3 × √ = 73.9866
5
Si osservi che se il processo è sotto controllo, la probabilità che la media campionaria rispetti questi
limiti di controllo ammonta a
1 − α = 1 − 0.0027 = 0.9973.
Pertanto, è estremamente INVEROSIMILE che il processo sia sotto controllo se la realizzazione di
una data media campionaria cade al di fuori dei limiti di controllo.
Avendo definito dei limiti di controllo per X, si potrà monitorare il comportamento di X riportando ogni ora il valore x assunto da X in un grafico con una linea centrale in corrispondenza
di
CLx = µ0 = 74mm
e con limiti di controllo in corrispondenza di
U CLx = 74.0134
e LCLx = 73.9866.
Il grafico cosı̀ ottenuto è una CARTA DI CONTROLLO PER X.
3
74.00
73.98
73.99
media campionaria
74.01
74.02
Carta di controllo per la media
0
10
20
30
40
50
numero campione
Si tenga presente che:
• Un valore di x all’interno dei limiti controllo equivale all’accettazione dell’ipotesi
H0 : µ = µ0
in un test che contrappone H0 all’ipotesi alternativa bilaterale
Ha : µ 6= µ0 .
Il livello di significatività di tale test è pari a
α = 2 × (1 − Φ(3)) = 0.0027,
se i limiti di controllo LCLx e U CLx si trovano a distanza ”3 sigma” dalla linea centrale CLx .
• Un valore di x esterno ai limiti di controllo equivale al rifiuto dell’ipotesi H0 nel suddetto test.
In questo caso si deve arrestare il processo produttivo e cercare di individuare le cause (i fattori
specifici) che hanno determinato questo segnale d’allarme.
Come nei test d’ipotesi, con una carta di controllo si possono commettere due tipi di errore:
4
• l’ERRORE DI PRIMA SPECIE: la carta potrebbe fornire un segnale di fuori controllo anche
se in realtà il processo produttivo è sotto controllo.
Nel caso della media campionaria delle fasce elastiche ciò accade se per un dato campione x
non rientra nei limiti di controllo anche se in realtà il processo è sotto controllo.
• l’ERRORE DI SECONDA SPECIE: la carta potrebbe non fornire un segnale di fuori controllo
anche se il processo in realtà non è sotto controllo.
Nel caso delle fasce elastiche ciò accade se per un dato campione x rientra nei dei limiti di
controllo anche se in realtà il processo è fuori controllo.
Per valutare l’EFFICIENZA della carta di controllo per la media bisogna valutare la FREQUENZA con la quale essa fornisce segnali di ”falso allarme” e la frequenza con la quale essa non fornisce
segnali d’allarme quando il processo è fuori controllo.
Sotto l’ipotesi di normalità, se i limiti di controllo sono posizionati a distanza ”3 sigma” dalla
linea centrale . . .
a) . . . la probabilità di osservare un segnale di falso allarme è pari a α = 0.0027. Il numero medio
di campioni che intercorrono tra due segnali di falso allarme consecutivi è pari a
ARL =
1
1
=
' 370.
α
0.0027
(ARL è l’acronimo di ”Average Run Length”; traduzione: ”lunghezza media delle sequenze”)
b) . . . la probabilità β di non ottenere un segnale d’allarme quando il valore E(Xi ) passa da µ0 in
µ1 = µ0 + k × σ 0
è data da
β = P LCLx ≤ X ≤ U CLx µ1
σ0 = P X ≤ µ0 + 3 √ µ1 +
n
σ0 − P X ≤ µ0 − 3 √ µ1
n
..
.
√
√
= Φ(3 − k n) − Φ(−3 − k n).
Pertanto, tra il momento dello spostamento di E(Xi ) da µ0 in µ1 e un segnale d’allarme sulla
carta di controllo per la media trascorrono mediamente
ARL =
5
1
1−β
campioni.
Si osservi che
√
√
β = Φ(3 − k n) − Φ(−3 − k n)
(e quindi anche il corrispondente valore dell’ARL) è decrescente sia in k che in n (verificare
graficamente).
La curva con k in ascissa e β in ordinata per un prefissato valore di n si chiama CURVA
OPERATIVA CARATTERISTICA per la media campionaria.
6
beta
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
7
0
1
2
k
3
4
Curve operative caratteristiche per la carta per la media con limiti a 3 sigma
n=20
n=15
n=10
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
5
I seguenti esempi illustrano alcune possibilità d’impiego del grafico con le curve operative caratteristiche:
• Nell’esempio sul diametro delle fasce elastiche si ha n = 5. Esaminando l’andamento della
curva caratteristica corrispondente a tale valore di n si vede che in corrispondenza di k = 1
si ha β = 0.7775. Ciò significa che la probabilità che la carta per la media NON RILEVI AL
SUCCESSIVO CAMPIONE uno spostamento della media del processo E(Xi ) da µ0 = 74mm
a µ1 = µ0 + σ0 = 74.01 è pari a β = 0.7775.
Mediamente trascorrono
ARL =
1
1
=
= 4.4944 campioni
1−β
1 − 0.7775
a partire dal momento dello spostamento prima che si osservi un segnale d’allarme sulla carta
per la media.
Visto che, per ipotesi, i campioni vengono estratti a intervalli di tempo regolari di ampiezza
h = 1 ora, si può anche affermare che mediamente trascorrono
AT S = h × ARL =
=
h
1−β
1
= 4.4944 ore
1 − 0.7775
prima che lo spostamento dia luogo ad un segnale d’allarme sulla carta per la media. (ATS è
l’acronimo per ”Average Time to Signal”; traduzione: ”tempo medio al segnale”).
• Si supponga di voler portare il valore dell’ATS a 2 ore quando la media del processo si trova
in µ1 = 74.01mm, mantenendo la frequenza di campionamento a
f = 1/h = 1
campione/ora.
Come si può raggiungere questo obiettivo?
Aumentando la numerosità campionaria n! Infatti,
AT S = h ×
1
1−β
e dato che β diminuisce all’aumentare di n (si veda il grafico delle curve caratteristiche), l’ATS
può essere ridotto aumentando n. Di quanto?
Per rispondere, si osservi in primo luogo che uno spostamento della media da µ0 = 74 a
µ1 = 74.01 corrisponde a
k=
µ1 − µ0
74.01 − 74
=
= 1 deviazione standard σ0 .
σ0
0.01
8
In secondo luogo si osservi che
AT S = 2
h
=2
1−β
⇔
⇔
β =1−
h
1
= .
2
2
Consultando il grafico delle curve operative caratteristiche, si vede che il punto con ascissa
k = 1 e ordinata β =
1
2
si trova nell’area compresa tra le curve caratteristiche corrispondenti a
n = 5 e n = 10.
1.0
Curve operative caratteristiche per la carta per la media con limiti a 3 sigma
0.8
n=1
n=2
n=3
n=4
0.6
n=5
n=15
●
n=20
0.0
0.2
0.4
beta
n=10
(1;0.5)
0
1
2
3
4
5
k
Siccome il punto è più vicino alla curva caratteristica con n = 10, conviene provare a calcolare
il valore di β corrispondente a n = 9 e k = 1:
n=9
e
k=1
⇒
β = Φ(3 −
√
9) − Φ(−3 −
√
9) =
1
2
Con un po’ di fortuna il tentativo ha condotto alla soluzione esatta. Con n = 9 si ottiene un
ATS esattamente pari a 2 ore per spostamenti di k = 1 deviazione standard σ0 della media del
processo rispetto alla linea centrale CLx = 74mm.
Solitamente alla carta di controllo per la media campionaria viene affiancata una CARTA DI
CONTROLLO PER IL RANGE CAMPIONARIO
R = max{Xi , 1 ≤ i ≤ n} − min{Xi , 1 ≤ i ≤ n}
= Xmax − Xmin
9
allo scopo di monitorare anche cambiamenti nel valore σ 2 della varianza delle v.c. Xi .
Se il processo produttivo è sotto controllo (si ricordi che il processo è ”sotto controllo” se le v.c.
Xi sono indipendenti e seguono la distribuzione normale con valore atteso µ0 = 74mm e varianza
σ02 = 0.0001), allora la distribuzione del range relativo
W =
Xmax − Xmin
R
=
,
σ0
σ0
dipende solo dalla numerosità campionaria n e pertanto anche i parametri della distribuzione di W
dipendono solo da n. Siccome
R = σ0 × W,
e quindi
E(R) = σ0 × E(W )
e
p
p
V ar(R) = σ02 × V ar(W ),
p
V ar(W ) per determinare la linea centrale ed i limiti di controllo
p
”3 sigma” di una carta di controllo per il range campionario R. I valori di E(W ) e di V ar(W )
è sufficiente conoscere E(W ) e
in corrispondenza di diversi valori della numerosità campionaria n sono riportati nella cosiddetta
CARTA DEI FATTORI nelle colonne ”d2 ” e ”d3 ”. Usando tali valori si ricavano la linea centrale
CLr = d2 × σ0
ed i limiti di controllo ”3 sigma”
U CLr = d2 × σ0 + 3 × d3 × σ0
LCLr = d2 × σ0 − 3 × d3 × σ0 .
della carta di controllo ”3 sigma” per il range campionario R. Nell’esempio delle fasce elastiche
(n = 5, σ0 = 0.01) si ottiene
CLr = 2.326 × 0.01 = 0.02326
e
U CLr = 0.02326 + 3 × 0.864 × 0.01 = 0.0319
LCLr = 0.02326 − 3 × 0.864 × 0.01 = 0.0146.
Per valutare l’efficienza della carta di controllo ”3 sigma” per il range campionario sarebbe utile
conoscere l’ARL e l’ATS quando il processo è sotto controllo e quando esso è fuori controllo. Tali
parametri dipendono dalla distribuzione di R, che non viene analizzata nell’ambito di questo corso.
10
Come nella carta di controllo per la media campionaria, i limiti di controllo della carta per il
range campionario sono posizionati a distanza ”3 sigma” rispetto alla linea centrale in modo del
tutto arbitrario. In generale, carte di controllo con limiti di controllo ”3 sigma” (per sigma si intende
lo sqm della statistica test che viene monitorata) vengono chiamate CARTE DI CONTROLLO DI
SHEWHART.
Esempio 1. Secondo gli obiettivi fissati dal responsabile per la produzione, il peso X di un certo tipo
di bulloni prodotti in un reparto dovrebbe seguire la distribuzione normale con valore atteso µ0 = 5
grammi e scarto quadratico medio σ0 = 0.002 grammi. Per monitorare il processo produttivo vengono
esaminati ogni h = 20 minuti gli ultimi n = 10 bulloni prodotti.
a) Qual è la distribuzione della media campionaria se il processo di produzione è sotto controllo?
b) Qual è la distribuzione della media campionaria se il valore atteso del peso dei bulloni si sposta
in µ1 = 5.002 grammi
Si consideri una carta di controllo a ”3 sigma” per la media campionaria.
c) Qual è la probabilità che la media campionaria non rientri nei limiti di controllo quando il
processo è sotto controllo? Quanto tempo trascorre mediamente prima che ciò accada?
d) Qual è la probabilità che la media campionaria non rientri nei limiti di controllo quando il valore
atteso del peso dei bulloni è pari a µ1 = 5.002 grammi? Quanto tempo trascorre mediamente
prima che ciò accada?
e) Attraverso quali interventi si potrebbe ridurre il tempo d’attesa determinato al punto d)?
f ) Di quanto bisogna aumentare la numerosità campionaria per portare il tempo d’atteso medio
del punto d) a 25 minuti?
g) Si determinino i limiti di controllo a ”3 sigma” della carta di controllo per il range campionario.
Risposte:
a) Se il processo è sotto controllo, la media campionaria ha distribuzione normale con
E(X) = 5 grammi
e
q
0.002
V ar(X) = √
= 0.0006.
10
11
b) Se il valore atteso del peso dei bulloni si sposta in µ1 = 5.002 grammi, anche il valore atteso
della media campionaria si sposterà µ1 = 5.002 grammi.
c) I limiti di controllo a ”3 sigma” per la media campionaria sono dati da


U CLx = 5.0018
5.00 ± 3 × 0.0006 =

LCLx = 4.9982
La probabilità che la media campionaria non vi rientri quando il processo è sotto controllo è
data da
α=P X∈
/ (4.9982, 5.0018)|µ0
= P (X < 4.9982|µ0 ) + P (X > 5.0018|µ0 )
4.9982 − 5
5.0018 − 5
=Φ
+1−Φ
0.0006
0.0006
= Φ(−3) + (1 − Φ(3))
= 2(1 − Φ(3)) = 0.0027
come per tutte le carte di controllo a ”3 sigma” dove la statistica test ha distribuzione normale.
Il numero medio di campioni che trascorre prima che la media campionaria assuma un valore
esterno ai limiti di controllo è dato da
ARL =
1
1
=
' 370.
α
0.0027
Ciò corrisponde ad un tempo d’attesa medio di
AT S = 20 × 370 = 7400 minuti.
d) La probabilità che la media campionaria non rientri nei limiti di controllo quando il valore
atteso del peso dei bulloni è pari a µ1 = 5.002 grammi è pari a
1−β =P X ∈
/ (4.9982, 5.0018)|µ1
= P (X < 4.9982|µ1 ) + P (X > 5.0018|µ1 )
4.9982 − 5.002
5.0018 − 5.002
+1−Φ
=Φ
0.0006
0.0006
= Φ(−6.33) + (1 − Φ(−0.33))
' 0 + Φ(0.33)
= 0.6293
12
Mediamente ciò accade una volta ogni
1
= 1.5891 campioni
0.6293
ARL =
o una volta ogni
AT S = 20 × 1.5891 = 31.78 minuti.
e) Il tempo d’attesa può essere ridotto aumentando la frequenza di campionamento o la numerosità
campionaria.
f ) In generale, il tempo d’attesa medio è dato da
AT S = h ×
1
.
1−β
Volendo avere
AT S = 25 minuti
occorre che
β =1−
20
= 0.20
25
se il valore atteso del peso di un bullone passa da µ0 = 5 grammi a µ1 = 5.002 grammi. Siccome
tale spostamento corrisponde a
k=
|µ1 − µ0 |
|5.002 − 5|
= 1 deviazione standard σ0 ,
=
σ0
0.002
e siccome
√
√
β = Φ(3 − k n) − Φ(−3 − k n),
il valore di n richiesto deve soddisfare
0.20 = Φ(3 − 1 ×
√
n) − Φ(−3 − 1 ×
√
n).
Esaminando il grafico delle curve operative caratteristiche si vede che il punto di con k = 1
e β = 0.20 si trova nell’area compresa tra le due curve caratteristiche con n = 10 e n = 15.
Pertanto il valore di n richiesto è compreso tra questi due valori. Provando a calcolare il valore
di β corrispondente a n = 15 (e k = 1) si trova
√
√
β = Φ(3 − 1 × 15) − Φ(−3 − 1 × 15)
= Φ(−0.87) − Φ(6.87)
' Φ(−0.87)
= 1 − Φ(0.87)
= 1 − 0.8078 = 0.1922.
13
Commettendo un piccolo errore di approssimazione, si può dunque affermare che con n = 15
si raggiunge il valore desiderato per l’ATS.
g) La linea centrale della carta di controllo per il range campionario è data da
CLr = d2 × σ0 = 3.078 × 0.01 = 0.03078
e i limiti di controllo ”3 sigma” si trovano in corrispondenza di


U CLr = 0.0388
CLr ± d3 × σ0 = 0.03078 ± 0.797 × 0.01 =

LCLr = 0.0228
Si consideri ora la scelta della NUMEROSITA’ CAMPIONARIA n e della FREQUENZA DI
CAMPIONAMENTO. Come si è visto nell’esempio precedente, questi due parametri sono di cruciale
importanza per l’efficienza delle carte di controllo per la media e per il range.
Si consideri in primo luogo la scelta della numerosità campionaria n:
• All’aumentare di n aumenta la probabilità di scoprire spostamenti del valore atteso E(Xi )
rispetto al valore obiettivo µ0 e la probabilità di scoprire aumenti indesiderati di V ar(Xi )
rispetto a σ02 . Ne consegue che trascorreranno meno campioni dal momento dello spostamento
al momento in cui si osserva un punto esterno ai limiti di controllo sulle carte di controllo per
la media e per il range.
• D’altra parte, all’aumentare di n aumentano anche i COSTI D’ISPEZIONE.
Vale la pena osservare, che un valore troppo elevato per n introduce inoltre problemi per l’individuazione delle cause di situazioni di fuori controllo. Infatti, se il valore di n è troppo elevato,
aumenta il rischio che si verifichino cambiamenti nel valore di E(Xi ) per v.c. campionarie Xi
dello stesso campione. Si consideri che cosa accadrebbe in questo caso: siccome la distribuzione
di probabilità del range campionario
R = Xmax − Xmin
si ”sposterebbe” verso valori più elevati, diventerebbe più probabile un segnale d’allarme anche
sulla carta per il range, nonostante che in realtà si sia spostato solo il valore atteso E(Xi ).
Per quanto concerne invece la scelta della frequenza di campionamento f = 1/h (h indica il tempo
tra due campioni consecutivi), è abbastanza immediato constatare che essa deve tenere conto
14
• dei COSTI PER LA PRODUZIONE DI PRODOTTI NON CONFORMI (diminuiscono all’aumentare di f )
• e dei costi d’ispezione (aumentano all’aumentare di f )
L’individuazione di valori ”ottimali” per la numerosità campionaria n e per la frequenza di campionamento f dipende dunque dalla relazione tra questi parametri e da un lato i costi d’ispezione, e
dall’altro lato i costi per la produzione di prodotti non conformi. Esplicitando un modello per tale
relazione, sarà possibile individuare valori ”ottimali”.
Volendo introdurre una carta di controllo per monitorare un processo produttivo già attivo,
conviene inizialmente stimare il valore atteso E(Xi ) e la varianza V ar(Xi ) utilizzando i valori osservati
per Xi sui prodotti in uscita dal processo. La procedura che viene solitamente seguita è la seguente:
1) Si osservano le medie campionarie
x1 ,
x2 ,
...
, xm
e i range campionari
r1 ,
r2 ,
...
, rm
di un certo numero m di CAMPIONI PRELIMINARI (di solito 20 ≤ m ≤ 30). Per determinare
la numerosità campionaria e la frequenza di campionamento in questa fase preliminare si può
fare riferimento a dei VALORI OBIETTIVO per E(Xi ) = µ0 e V ar(Xi ) = σ02 e per l’ARL e
l’ATS corrispondenti a determinate situazioni di fuori controllo.
2) Si calcola
m
1 X
x=
xm ,
m i=1
per stimare E(Xi ) e
m
1 X
r=
ri .
m i=1
p
che, diviso per d2 , fornisce una stima puntuale per V ar(Xi ).
3) Sulla base delle stime ottenute al punto precedente si calcolano dei LIMITI DI CONTROLLO
DI PROVA. Quelli della carta per la media sono dati da
x±3×
15
r
√
d2 n
mentre quelli della carta per il range sono forniti da
r
d2
p
(si ricordi che r/d2 fornisce una stima puntuale per V ar(Xi )).
r ± 3 × d3
4) Si verifica se i valori di xi e ri riferiti ai campioni preliminari rispettano i limiti di controllo di
prova. In caso affermativo, i limiti di controllo di prova potranno essere utilizzati per monitorare
la produzione futura. Altrimenti, si deve indagare sulle cause che hanno generato dei punti
esterni ai limiti di controllo di prova, intervenire sul processo produttivo e ripetere la procedura.
p
Ovviamente, se le stime puntuali per E(Xi ) e V ar(Xi ) ottenute dai campioni preliminari
(le stime puntuali sono date rispettivamente da x e r/d2 ) suggeriscono che il processo produca troppi prodotti non conformi, si dovrà comunque intervenire sul processo e ripetere la
procedura.
Avendo portato a termine con successo la fase di avviamento, si potrà valutare se modificare la
numerosità campionaria n e/o della frequenza di campionamento allo scopo di migliorare l’efficienza
delle due carte di controllo.
Esempio 2. Per monitorare un processo di riempimento di fusti di detersivo, viene misurato, a
intervalli di tempo regolari di h = 20 minuti, il contenuto (in litri) di un campione di n = 5 fusti. La
seguente tabella riporta le medie campionarie xj ed i range campionari rj riferiti a m = 10 campioni.
n.camp.
1
2
3
4
5
6
xj
1.014
0.981 0.998 1.001 0.997
rj
0.057
0.034 0.039 0.038 0.031
7
8
9
10
Totale
0.999 0.991 0.986 0.984
1.005
9.956
0.040 0.087 0.048 0.054
0.060
0.488
a) Si determinino dei limiti di controllo di prova per la media ed il range.
b) Si stabilisca se si può ritenere che il processo fosse sotto controllo durante il periodo di rilevazioni dei campioni.
c) Con riferimento ai limiti di controllo determinati al punto a), si calcoli la probabilità che la
carta di controllo per la media non rilevi al successivo campione uno spostamento del valore
atteso del contenuto dei fusti in µ1 = 1.020 litri.
d) Con riferimento alla carta di controllo ottenuta al punto a) ed alla situazione di fuori controllo
descritta al punto c), si determini, con l’ausilio delle curve operative caratteristiche, la numerosità campionaria n che assicura un tempo medio al segnale pari a 25 minuti, ferma restando
la frequenza di campionamento (1 campione ogni h = 20 minuti).
16
Risposte:
a) Partendo dai dati nella tabella, si ottengono le seguenti stime puntuali per il valore atteso µ e
lo sqm σ delle v.c. Xi che descrivono il contenuto dei fusti:
10
x=
e
1 X
9.956
= 0.996
xj =
m j=1
10
10
σ
b=
1
1 X
0.488
1
×
×
= 0.021.
rj =
d2 m j=1
2.326
10
Pertanto, i limiti di controllo di prova per la media campionaria sono dati da


0.021 1.024
0.996 ± 3 √ =

5
0.968
e quelli per il range sono dati da
2.326 × 0.021 ± 3 × 0.864 × 0.021 =


0.103
.

−0.006
I valori delle costanti d2 e d3 si trovano nella tavola dei fattori. Essendo negativo, il limite di
controllo inferiore per il range può essere ignorato.
b) Per stabilire se il processo era sotto controllo, si riportano le medie campionarie e i range
campionari in due grafici con il numero progressivo dei campioni in ascissa.
1.00
0.99
0.98
0.97
media campionaria
1.01
1.02
Carta di controllo per la media
2
4
6
numero progressivo del campione
17
8
10
0.06
0.04
0.00
0.02
range campionario
0.08
0.10
Carta di controllo per il range
2
4
6
8
10
numero progressivo del campione
Siccome tutte le medie campionarie e tutti i range campionari rientrano nei limiti di controllo
di prova e siccome i punti nei due grafici sembrano disposti in modo casuale, si può ritenere
che il processo fosse sotto controllo durante il periodo di rilevazione dei campioni.
c) Ipotizzando che il contenuto dei fusti segua la legge normale con sqm pari a σ
b = 0.021 (la stima
ottenuta al punto a)), si ottiene
β = P LCLx ≤ X ≤ U CLx µ1
1.024 − 1.020
0.968 − 1.020
√
√
=Φ
−Φ
0.021/ 5
0.021/ 5
= Φ(0.43) − Φ(−5.54)
' Φ(0.43)
= 0.666
Alla probabilità β = 0.666 corrisponde una lunghezza media delle sequenze pari a
ARL =
1
1
=
= 3.0 campioni
1−β
1 − 0.666
ed un tempo medio al segnali pari a
AT S = h × ARL = 20 × 3 = 60 minuti.
18
d) Nella situazione di fuori controllo descritta al punto c), si ha uno spostamento di
k=
1.020 − 0.996
1.020 − 0.996
=
= 1.14 deviazioni standard σ
b
σ
b
0.021
del valore atteso rispetto alla linea centrale x = 0.996. Siccome viene esaminato 1 campione
ogni h = 20 minuti, per tale spostamento si avrà
AT S =
h
= 25 minuti
1−β
se e solo se
β =1−
20
= 0.20.
25
Nel grafico con le curve operative caratteristiche il punto di coordinate (k = 1.14, β = 0.20)
si trova nell’area compresa tra la curva corrispondente alla numerosità campionaria n = 10 e
n = 15. Pertanto la numerosità campionaria richiesta è compresa tra questi due valori.
La capacità di un processo produttivo
Per CAPACITA’ di un processo produttivo si intende l’attitudine del processo a produrre prodotti
conformi a determinate SPECIFICHE TECNICHE definite dalla direzione aziendale.
Con riferimento a caratteristiche quantitative X dei prodotti, le specifiche tecniche di solito
impongono un limite inferiore LSL (Lower Specification Limit) e un limite superiore U SL (Upper
Specification Limit).
Per valutare la capacità del processo rispetto a LSL e U SL si può ricorrere a diversi indici:
• L’indice con l’interpretazione più immediata è dato da
P (LSL ≤ X ≤ U SL).
Esso valuta semplicemente la probabilità che la caratteristica quantitativa X di un dato prodotto in uscita dal processo rientri nei limiti di specifica. Se X ha distribuzione normale con
valore atteso µ e sqm σ, si ottiene
U SL − µ
P (LSL ≤ X ≤ U SL) = Φ
+
σ
LSL − µ
−Φ
.
σ
• Un indice alternativo diffusamente utilizzato è dato da
Cp =
U SL − LSL
p
.
6 V ar(X)
19
Questo indice informa che l’ampiezza dell’intervallo di specifica (ossia U SL − LSL) è pari al
Cp × 100% dell’ampiezza dell’intervallo di TOLLERANZA NATURALE, ossia dell’intervallo
con estremi dati da
E(X) ± 3 ×
p
V ar(X).
Non è difficile verificare che se X ha distribuzione normale, allora X rientrerà nell’intervallo di
tolleranza naturale con probabilità pari a 0.9973.
E’ importante tenere presente che l’indice Cp può risultare fuorviante, in quanto un valore
elevato di tale indice non implica necessariamente che anche la probabilità
P (LSL ≤ X ≤ U SL)
sia elevata. Infatti,
– se E(X) coincide con il centro
U SL + LSL
2
dell’intervallo di specifica, allora un valore elevato dell’indice Cp implica che anche
P (LSL ≤ X ≤ U SL)
sia elevata.
– se d’altra parte il valore di E(X) è molto lontano dal centro dell’intervallo di specifica,
allora la probabilità
P (LSL ≤ X ≤ U SL)
potrebbe essere bassa anche in presenza di un valore elevato dell’indice Cp
– in ogni caso, se Cp < 1, allora la probabilità
P (LSL ≤ X ≤ U SL)
sarà bassa.
Per ovviare al problema della ”centratura”, accanto all’indice Cp si calcolano spesso anche gli
indici di capacità unilaterale
Cu =
U SL − E(X)
p
3 V ar(X)
e
Cl =
Siccome
Cp =
20
Cu + Cl
,
2
E(X) − LSL
p
.
3 V ar(X)
il valore di
Cpk = min{Cu , Cl }
non potrà mai superare il valore dell’indice Cp (Cpk ≤ Cp ). Dato che il valore dell’indice Cpk
raggiunge il valore dell’indice Cp se e solo se
E(X) =
U SL + LSL
,
2
si dice che Cp misura per la capacità ”potenziale” del processo produttivo (se esso fosse
”centrato”) e che Cpk ne misura invece la capacità ”effettiva”.
Esempio 3. Si consideri ancora il processo di produzione di fasce elastiche per pistoni di automobili.
Secondo le specifiche tecniche una fascia elastica è conforme se il suo diametro interno è compreso
tra LSL = 73.9mm e U SL = 74.1mm. Il diametro interno X delle fasce elastiche in uscita dal
processo produttivo segue la distribuzione normale con µ = 74.02mm e σ = 0.01mm. Si calcolino i
valori degli indici Cp e Cpk .
Risposte:
Il valore dell’indice Cp è dato da
Cp =
74.1 − 73.9
= 3.33
6 × 0.01
Si può pertanto affermare che l’intervallo di specifica è 3.33 volte più ampio dell’intervallo di tolleranza naturale.
Gli indici di capacità unilaterali sono dati da
Cl =
74.02 − 73.9
=4
3 × 0.01
e
Cu =
74.1 − 74.02
= 2.67
3 × 0.01
cosicché
Cpk = min{4, 2.67} = 2.67 < Cp .
Siccome il processo non è centrato, la sua capacità effettiva è inferiore a quella potenziale.
Carte di controllo per attributi
La carta di controllo per la frazione di non conformi (carte p e np)
Si consideri il caso in cui le v.c.
X1 ,
X2 ,
...,
21
Xi ,
...
assumono il valore 1 se le corrispondenti unità prodotte presentano un determinato difetto, ed il
valore 0 altrimenti. Per monitorare la produzione, si riportano in una carta di controllo i valori
assunti dalle frequenze relative campionarie
n
pe =
1X
Xi
n i=1
riferite a campioni di numerosità n estratti a intervalli di tempo regolari dalla produzione.
Siccome
p(1 − p)
,
n
dove p = P (Xi = 1), la linea centrale di una carta di controllo per la frequenza relativa campionaria
E(e
p) = p
e
V ar(e
p) =
è posizionata in corrispondenza di
CLp = p0
ed i corrispondenti limiti di controllo a ”3 sigma” si trovano in corrispondenza di
r
p0 (1 − p0 )
p0 ± 3 ×
.
n
Nelle espressioni che definiscono la linea centrale ed i limiti di controllo p0 indica il valore di p quando
il processo è sotto controllo. La carta di controllo cosı̀ ottenuta è nota come ”carta p”.
A volte, al posto della frequenza relativa si preferisce riportare direttamente il numero totale
P
p, tale carta di controllo
Y = ni=1 Xi di unità difettose in una carta di controllo. Dato che Y = ne
viene chiamata ”carta np”. La linea centrale ed i limiti di controllo per la carta np si ottengono
moltiplicando semplicemente per n la linea centrale ed i limiti di controllo della carta p. Ovviamente
le informazioni ricavate dalle due carte di controllo sono esattamente equivalenti: si ha un segnale
d’allarme su una delle due carte se e solo se si ha anche un segnale d’allarme sull’altra.
P
Siccome Y = ni=1 Xi , le probabilità di commettere errori di valutazione (errore di prima e di
seconda specie) con la carta p e/o la carta np si ricavano, a stretto rigore, da distribuzioni binomiali.
Tuttavia, se n è sufficientemente elevato (tale che np > 5 e n(1 − p) > 5), si può ricorrere ad approsP
simazioni normali ragionando come se le statistiche test pe e Y = ni=1 Xi seguissero distribuzioni
normali. Pertanto, per n sufficientemente elevato, si ha
α = 1 − P (LCLp < pe < U CLp |p0 ) ' 0.0027
e
β = P (LCLp < pe < U CLp |p)




U CLp − p 
LCLp − p 
' Φ q
− Φ q
p(1−p)
n
p(1−p)
n
22
Esempio 4. Secondo gli obiettivi fissati dalla direzione aziendale, la percentuale fiammiferi prodotti
da un macchinario che presentano una data imperfezione non dovrebbe superare il 5%. Per monitorare il processo di produzione vengono esaminati ogni 20 minuti gli ultimi n = 50 fiammiferi
prodotti.
a) Determinare i limiti di controllo a ”3 sigma” della carta p per monitorare il processo di
produzione.
b) Qual è la probabilità che una data frequenza relativa campionaria non rientri nei limiti di
controllo se l’ignota percentuale di fiammiferi con l’imperfezione passa al 10%? Quanto tempo
trascorre mediamente prima che ciò accada?
Risposte:
a) I limiti di controllo si trovano in corrispondenza di

r

0.05 × 0.95 U CLp = 0.115
0.05 ± 3 ×
=

100
LCLp = −0.015
Siccome il limite di controllo inferiore LCLp è negativo, esso può essere ignorato.
b) La probabilità richiesta è data da 1−β, dove β è la probabilità di rientrare nei limiti di controllo
quando p = p1 = 0.1. Ignorando il limite di controllo inferiore e ricorrendo all’approssimazione
normale, si ottiene
β = P (e
p < U CLp |p1 )


U CLp − 0.1 
' Φ q
0.1×0.9
100


0.115 − 0.1 
= Φ q
0.1×0.9
100
= Φ(0.5) = 0.6915,
mentre il calcolo esatto basato sulla distribuzione binomiale ha per risultato
β = P (e
p < U CLp |p1 )
X
n
=
0.1y × 0.9n−y
y
0≤y≤n×U CL
p
= 0.7030
23
In quanto segue si userà il risultato β = 0.6915 ottenuto dall’approssimazione normale.
La probabilità di scoprire al successivo campione la situazione di ”fuori controllo” in questione
ammonta a
1 − β = 1 − 0.6915 = 0.3085.
Mediamente trascorrono circa
ARL '
1
= 3.24 campioni
0.3085
prima di osservare un punto esterno ai limiti di controllo. A tale valore dell’ARL corrisponde
ad un tempo medio al segnale pari a
AT S = 20 × 3.24 = 64.8 minuti.
Come per ogni carta di controllo, la numerosità campionaria n è decisiva anche per l’efficienza
delle carte p ed np. Solitamente si usa uno dei seguenti criteri come punto di partenza per scegliere
n:
a) Scegliere n in modo tale che il limite di controllo inferiore sia positivo.
Questo criterio può essere utile per evidenziare situazioni in cui il processo produttivo funziona
bene e/o per evidenziare problemi nelle procedure d’ispezione.
Secondo questo criterio si deve avere
r
p0 − 3 ×
p0 (1 − p0 )
> 0,
n
e dunque
n>9×
1 − p0
.
p0
Si noti che questo criterio potrebbe dar luogo a numerosità campionarie molto elevate se p0 è
molto prossimo a 0. Ponendo, per esempio, p0 = 0.1 si ottiene già n > 81.
b) Un altro criterio suggerisce di scegliere la numerosità campionaria n in modo tale da assicurare
che quando il processo è ”sotto controllo”, la probabilità di ottenere almeno un’unità difettosa
in un campione non sia inferiore ad un valore minimo P ∗ prefissato.
Anche questo criterio può rivelarsi utile per evidenziare situazioni favorevoli per il processo
produttivo e/o per scoprire problemi nelle procedure d’ispezione.
24
Secondo questo criterio, n deve essere tale che
P {Y > 0} ≥ P ∗ ,
dove Y segue la distribuzione binominale con parametri n e p0 . Siccome
n 0
P {Y > 0} = 1 −
p (1 − p0 )n−0 ,
0 0
si dovrà avere
n 0
1−
p0 (1 − p0 )n−0 ≥ P ∗
0
1 − (1 − p0 )n ≥ P ∗
(1 − p0 )n ≤ 1 − P ∗
log(1 − P ∗ )
n ≥
.
log(1 − p0 )
(si tenga presente che log(1 − p) < 0 per ogni 0 < p < 1). Si osservi che il limite inferiore per
n cresce all’aumentare di P ∗ e al diminuire di p0 . Pertanto, se il valore di P ∗ è troppo elevato
e/o il valore di p0 è troppo piccolo, questo criterio potrebbe dar luogo a costi d’ispezione non
sostenibili.
c) Il criterio proposto da Duncan (1986). Secondo questo criterio, la numerosità campionaria n
deve assicurare che sia pari a 0.50 la probabilità di individuare uno spostamento di p = P (Xi =
1) da p0 ad un determinato valore p1 ritenuto troppo elevato.
La numerosità campionaria n deve dunque soddisfare la seguente condizione:
P (e
p ≤ LCLp |p1 ) + P (e
p ≥ U CLp |p1 ) = 0.5
Per determinare il valore di n che risolve questa equazione conviene trascurare la probabilità
P (e
p ≤ LCLp |p1 ) e ricorrere all’approssimazione normale per P (e
p ≥ U CLp |p1 ). In questo modo
si ottiene l’equazione


U CLp − p1 
1 − Φ q
= 0.5
p1 (1−p1 )
n
da cui si ricava
U CLp − p1
q
=0
p1 (1−p1 )
n
25
e quindi
r
p 1 = p0 + 3 ×
p0 (1 − p0 )
n
..
.
n=
3
p1 − p0
2
p0 (1 − p0 )
La formula ottenuta è basata sull’approssimazione normale alla distribuzione binomiale con
probabilità di successo p1 . Siccome l’errore di approssimazione è trascurabile solo se np1 > 5,
conviene sempre verificare se il valore di n ottenuto mediante il presente approccio soddisfa
anche quest’ultima condizione.
Si osservi che se p1 è molto prossimo a p0 , la numerosità campionaria ottenuta sarà molto
elevata e potrebbe dunque dar luogo a costi d’ispezione non sostenibili. Si ponga per esempio
che p0 = 0.05 e p1 = 0.10. Sostituendo questi valori nella formula di Duncan per determinare
la numerosità campionaria si ottiene
2
3
n=
0.05(1 − 0.05) = 171
0.10 − 0.05
Questo risultato evidenzia che servono numerosità campionarie molto elevate per rilevare mediante l’uso di una carta p cambiamenti di lieve entità nella percentuale p di prodotti difettosi.
Carte p sono pertanto poco adatte per processi produttivi lenti con quantità ridotte.
Esempio 5. Si supponga che un dato processo produttivo sia sotto controllo se la percentuale di
prodotti difettosi è pari a p0 = 0.05.
a) Qual è la numerosità campionaria che assicura un limite di controllo inferiore positivo sulla
carta p?
b) A quanto deve ammontare la numerosità campionaria n se si vuole che la probabilità di osservare almeno un prodotto difettoso non sia inferiore a 0.75?
c) Secondo la formula di Duncan, quanti prodotti bisogna esaminare se, quando la percentuale di
prodotti difettosi passa a p1 = 0.07, si vuole che sia pari a 0.5 la probabilità di avere un segnale
d’allarme su una carta p con limiti di controllo a ”3 sigma”?
Risposte:
a) La numerosità campionaria richiesta deve essere almeno pari a
n=9×
1 − 0.05
= 171.
0.05
26
b) Se si vuole che un campione contenga con probabilità almeno pari a P ∗ = 0.75 almeno un
prodotto difettoso, allora si deve avere
n≥
1 − 0.75
= 27.
1 − 0.5
c) La numerosità campionaria ottenuta mediante la formula di Duncan è data da
n=
3
0.07 − 0.05
2
0.05(1 − 0.05) = 1068.75 ' 1069.
Per avviare una carta p (o una carta np) occorrono due parametri: un valore p0 per la probabilità
p = P (Xi = 1) e la numerosità campionaria n. Il valore di p0 viene solitamente stimato sulla base
dei prodotti in uscita dal processo produttivo che si intende monitorare, seguendo una procedura
analoga a quella già vista per la carta di controllo per la media:
1) Si osserva un certo numero m di campioni preliminari (di solito compreso tra 20 e 30) rilevati a
intervalli di tempo regolari. Per determinare la numerosità campionaria n da utilizzare in questa
fase conviene fare riferimento ad un valore obiettivo per p0 e applicare uno dei tre criteri visti
sopra. Per la determinazione della frequenza di campionamento si può invece fare riferimento
a obiettivi in termini di ATS corrispondente a determinate situazioni di fuori controllo.
2) Si stima l’ignoto valore di p = P (Xi = 1) mediante
m
1 X
p=
p,
m j=1 j
dove pj sono le frequenze relative di prodotti non conformi osservate nei m campioni preliminari.
3) Si calcolano i limiti di controllo di prova
r
p±3×
4)
p(1 − p)
n
Si verifica se le frequenze relative pj ottenute nei campioni preliminari rispettano i limiti di
controllo di prova. In caso affermativo, i limiti di controllo di prova potranno essere utilizzati
per monitorare anche la produzione futura, altrimenti si deve intervenire sul processo e ripetere
la procedura.
Ovviamente, se la stima per l’ignoto valore di p = P (Xi = 1) ottenuta al punto 3) risultasse
troppo elevata, si dovrà comunque intervenire sul processo e ripetere la procedura.
27
Avendo portato a termine con successo la fase di avviamento, si potrà valutare se modificare la
numerosità campionaria n e/o della frequenza di campionamento allo scopo di migliorare l’efficienza
della carta di controllo.
Esempio 6. Per monitorare un processo di stampa di CD-ROM si ispezionano a intervalli di tempo
regolari campioni di un certo numero di CD-ROM. La direzione aziendale ritiene che nel lungo
periodo sia sostenibile una percentuale di CD-ROM difettosi al più pari all’1%. Si consideri pertanto
una carta p con linea centrale in corrispondenza di p0 = 0.01 e con limiti di controllo a ”3 sigma”.
a) Si determini il valore dell’ampiezza campionaria n che assicura un limite di controllo inferiore
positivo.
b) Si determini la numerosità campionaria n che assicura che la probabilità di osservare almeno
un CD-ROM difettoso in un campione sia superiore a 0.90.
c) Si determini la numerosità campionaria n tale che sia pari a 0.50 la probabilità di scoprire un
aumento al 4% della percentuale di CD-ROM difettosi.
d) Analizzando m = 15 campioni n = 250 CD-ROM sono state riscontrate le seguenti frequenze
relative di CD-ROM difettosi.
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
yj
0
3
2
4
3
5
4
2
5
1
3
2
3
6
0
Tot.
43
p
bj
0,000
0,012
0,008
0,016
0,012
0,020
0,016
0,008
0,020
0,004
0,012
0,008
0,012
0,024
0,000
0,172
Si determinino, sulla base dei campioni della tabella, dei limiti di controllo di prova per la carta
p. Si stabilisca se il processo era sotto controllo durante il periodo nel quale sono stati estratti
gli m = 15 campioni.
e) Si supponga che i campioni vengano estratti ogni h = 4 ore. Con riferimento ai limiti di
controllo determinati al punto precedente, si calcoli il tempo che mediamente trascorre prima
di individuare uno spostamento della percentuale di CD-ROM difettosi nel valore p1 = 0.03.
a) La numerosità campionaria richiesta deve essere almeno pari a
n=9×
1 − 0.01
= 891.
0.01
b) La numerosità campionaria n richiesta deve essere tale che
n>
log(1 − 0.90)
= 230.
log(1 − 0.01)
28
c) Usando la formula di Duncan si ottiene
2
3
0, 01(1 − 0, 01) = 99.
n=
0, 04 − 0, 01
d) Sulla base degli m = 15 campioni della tabella, si ottiene la seguente stima per l’ignota
percentuale di CD-ROM difettosi prodotti dal processo:
p=
43
0.172
=
= 0.0115.
250 × 15
15
I corrispondenti limiti di controllo di prova sono dati da
r
0.0115 ± 3 ×

0.0115(1 − 0.0115)  0.0317
=
 −0.0087
250
Dato che il limite di controllo inferiore è negativo, lo si può ignorare.
0.020
●
0.015
●
●
●
●
●
●
●
●
0.010
frazione di unità difettose
0.025
0.030
Carta di controllo per la frazione di unità difettose con limiti a 3 sigma
●
0.000
0.005
●
●
●
●
●
2
4
6
8
10
12
14
numero campione
Siccome le frequenze relative di tutti i campioni della tabella rientrano nei limiti di controllo
di prova, si può ritenere che il processo fosse sotto controllo durante il periodo nel quale sono
stati estratti i campioni. I limiti di controllo di prova potranno pertanto essere utilizzati per
monitorare la produzione futura.
e) Per definizione, il tempo medio al segnale è dato da
AT S =
29
h
,
1−β
dove β è la probabilità dell’errore di seconda specie. Nella presente fattispecie, si ha p1 = 0.03
e
β = P (LCLp < pe < U CLp |p1 )
= P (e
p < 0.0317|p = 0.03)


0.0317 − 0.03 
' Φ q
0.03×0.97
250
= Φ(0.0158) = 0.5063.
Pertanto servono mediamente
ARL =
1
1
=
= 2.025 ' 2 campioni
1−β
1 − 0.5063
per individuare uno spostamento della percentuale di CD-ROM difettosi nel valore p1 = 0.03.
A tale valore dell’ARL corrisponde un tempo medio al segnale pari a
AT S =
h
= 4 × 2.025 = 8.10 ore.
1−β
Carte di controllo per non conformità (”carta c” e ”carta u”)
Si supponga che
X1 , X2 , . . . , Xi , . . .
siano variabili casuali che contano il numero di difetti o di non conformità presenti su una singola
unità prodotta o su un determinato numero k di unità prodotte.
Solitamente è ragionevole assumere che le v.c. Xi seguano la legge di Poisson
P (Xi = x) =
e−λ λx
x!
per
x = 0, 1, 2, . . .
per qualche λ > 0. Si ricordi che il parametro λ rappresenta sia il valore atteso che la varianza della
distribuzione di Poisson. Si osservi che nel caso in cui le variabili casuali Xi si riferiscono a k > 1
unità prodotte, Xi seguirà la legge di Poisson di parametro λ se le variabili casuali che contano i
difetti nelle SINGOLE unità prodotte sono INDIPENDENTI e se esse seguono la distribuzione di
Poisson di parametro λ/k.
Per monitorare cambiamenti nel valore di λ, si può riportare il valore assunto dalle v.c. Xi in una
carta di controllo (”carta c”) con linea centrale in corrispondenza di un dato valore λ0 , che rappresenta
il valore di λ quando il processo è sotto controllo, e con limiti di controllo in corrispondenza di
p
λ0 ± 3 λ0 .
30
La probabilità α di ottenere un segnale di falso allarme e la probabilità β di commettere un errore
di seconda specie possono essere calcolate ricorrendo alla funzione di probabilità di Poisson.
Vale la pena osservare che le carte di controllo per il numero di difetti o di non conformità sono
utili non solo per monitorare difetti gravi che pregiudicano la possibilità di utilizzo e/o di vendita di
prodotti, ma anche per il monitoraggio di difetti di portata minore.
Per l’avviamento di una carta di controllo per il numero di non conformità si possono seguire procedure analoghe a quelle viste per la media campionaria e per la frazione di non conformi. Il seguente
esempio illustra come si potrebbe implementare l’avvio di una carta di controllo per monitorare il
numero di non conformità in un processo di verniciatura.
Esempio 7. Per monitorare un processo di verniciatura di cofani per un determinato modello di
automobile, è stato rilevato il numero di difetti riscontrati negli ultimi 15 cofani verniciati.
numero del cofano 1
numero di difetti
0
2
3
4 5
6
7
8
9 10
11 12
13 14
15 Tot.
3
2
5 4
5
5
2
6
3
4
0
1
2
7
49
a) Si determinino dei limiti di controllo di prova per il numero totale di difetti riscontrati in un
cofano. Si stabilisca se si può ritenere che il processo fosse sotto controllo durante il periodo
nel quale sono stati raccolti i dati della tabella.
b) Si supponga che il tempo necessario per verniciare un cofano sia pari a h = 20 minuti. Con
riferimento ai limiti di controllo determinati al punto precedente, si calcoli il tempo medio al
segnale quando il numero medio di difetti per cofano è pari 8.
Risposte:
a) In base ai dati riportati nella tabella si stima che il numero medio di difetti per cofano ammonti
a
x=
49
= 3.27.
15
Se le v.c. Xi che descrivono il numero totale di difetti di verniciatura in un singolo cofano
seguono la legge di Poisson con parametro λ = 3.27, quasi tutte le loro realizzazioni dovrebbero
rientrare nei limiti di controllo dati da

 8.69
√
3.27 ± 3 × 3.27 =
 −2.15
Siccome il limite di controllo inferiore è negativo, esso può essere ignorato.
31
Riportando le realizzazioni riportate nella tabella in un grafico con i limiti di controllo di prova
determinati sopra, si vede che esse rientrano nei limiti di controllo e che sono disposte in
modo casuale intorno alla linea centrale. Si può pertanto concludere che il processo fosse sotto
controllo durante il periodo nel quale sono stati raccolti i dati della tabella e i limiti di controllo
di prova potranno quindi essere utilizzati per monitorare la produzione futura.
8
Carta di controllo per il numero di non conformità con limiti a 3 sigma
●
●
●
●
●
4
numero difetti
6
●
●
●
●
2
●
●
●
0
●
●
●
2
4
6
8
10
12
14
numero unità
b) Per definizione il tempo medio al segnale è dato da
AT S =
h
,
1−β
dove β rappresenta la probabilità di rientrare nei limiti di controllo quando il numero medio di
difetti per cofano è pari a λ1 = 8. Supponendo che le v.c. Xi seguano la legge di Poisson, si
ottiene
β=
3
X
e−λ1 λx
1
x=0
=
x!
3
X
e−8 8x
x=0
x!
= 0.0003 + 0.0027 + 0.0107 + 0.0286+
+ 0.0573 + 0.0916 + 0.1221 + 0.1396 + 0.1396
= 0.5925
32
Siccome h = 20 minuti, il tempo medio al segnale richiesto ammonta a
20
= 49.08 minuti.
1 − 0.5925
AT S =
A volte, al posto del numero totale di difetti o di non conformità riscontrati nelle unità prodotte,
si preferisce riportare in una carta di controllo il numero medio di difetti o di non conformità
n
X=
1X
Xi
n i=1
in campioni di numerosità n (”carta u”). Ciò può rivelarsi utile in particolare se si ha l’intenzione di
variare n nel corso del tempo e si vuole ottenere una carta di controllo con linea centrale che invece
rimane invariata (i limiti di controllo dovranno ovviamente variare al variare di n).
Ipotizzando che le v.c. Xi siano indipendenti e che esse seguano la legge di Poisson con valore
atteso λ, si ha
E(X) = λ
e
λ
V ar(X) = √ .
n
La linea centrale della carta di controllo per il numero medio di difetti o di non conformità (”carta
u”) si trova quindi in corrispondenza di un determinato valore λ0 che rappresenta il valore atteso
comune alle variabili casuali Xi sotto l’ipotesi che il processo sia sotto controllo. I corrispondenti
limiti di controllo a ”3 sigma” sono dati da
λ0
λ0 ± 3 × √ .
n
Come per le altre carte di controllo, nella fase di avvio conviene utilizzare al posto di λ0 una
stima basata su campioni di prodotti in uscita dal processo produttivo che si intende monitorare.
Esempio 8. Per monitorare un processo di produzione di magliette, si esaminano a intervalli di
tempo regolari di h = 4 ore campioni di n = 25 magliette. La seguente tabella riporta il numero
totale di non conformità riscontrate in m = 10 campioni:
numero campione
1 2
3
4
5
6 7
8
9
10 Tot.
numero di non conformità
2 0
1
4
6
5 1
3
0
2
24
a) Si determinino dei limiti di controllo di prova per il numero medio di non conformità per
campione (”carta u”). Si stabilisca se si può ritenere che il processo fosse sotto controllo
durante il periodo nel quale sono stati raccolti i dati della tabella.
b) Si calcoli la probabilità α di ottenere un segnale di falso allarme utilizzando la carta di controllo
determinata al punto precedente.
33
c) Si determini il tempo medio al segnale ATS quando in media vi sono λ1 = 0.15 non conformità
per maglietta.
Risposte:
a) Dagli m = 10 campioni della tabella si ottiene la seguente stima per il numero medio di non
conformità in una singola maglietta:
x=
24
= 0.096.
25 × 10
Pertanto i limiti di controllo di prova della carta u per il numero medio di non conformità in
campioni di numerosità n = 25 si trovano in corrispondenza di

r

0.096 0.282
0.096 ± 3
=

25
−0.090
Siccome il limite di controllo inferiore è negativo, esso può essere ignorato.
Riportando le medie campionarie ricavate dalla tabella (numero totale di difetti riscontrati nel
campione/numerosità campionaria n) nella carta di controllo con i limiti di controllo di prova,
0.20
0.15
0.10
0.00
0.05
numero medio di non conformità
0.25
0.30
si ottiene il seguente grafico:
2
4
6
8
10
numero campione
Siccome le medie riferite a tutti gli m = 10 campioni rientrano nei limiti di controllo di prova
ed i punti sembrano disposti in modo casuale intorno alla linea centrale, si può ritenere che il
processo fosse sotto controllo durante il periodo di rilevazione dei campioni. I limiti di controllo
di prova potranno pertanto essere utilizzati per monitorare la produzione futura.
34
b) Se le v.c. Xi sono indipendenti e seguono la legge di Poisson con parametro λ0 = 0.096, allora
la variabile casuale
Y =n×X =
25
X
Xi
i=1
sarà distribuita secondo la legge di Poisson con parametro
λ = n × λ0 = 25 × 0.096 = 2.4.
Quindi,
α = P {X > 0.282|λ0 }
)
( 100
X
=P
Xi > 25 × 0.282 λ0
i=1
= P {Y > 25 × 0.282| λ0 }
= P {Y > 7.05| λ0 }
=
∞
X
e−2.4 2.4y
y!
y=8
=1−
7
X
e−2.4 2.4y
y=0
y!
= 1 − (0.091 + 0.218 + 0.261 + 0.209 + 0.125 + 0.060 + 0.024 + 0.008)
= 1 − 0.996 = 0.004.
Ad α = 0.004 corrisponde un segnale di falso allarme ogni
ARL =
1
1
=
= 250 campioni,
α
0.004
ovvero ogni
AT S =
h
4
=
= 1000 ore.
α
0.004
c) Per calcolare l’ATS serve la probabilità β di commettere l’errore di seconda specie sotto l’ipotesi
che le Xi seguano la distribuzione di Poisson di parametro λ1 = 0.15. In questo caso Y =
Pn
i=1 Xi seguirà la distribuzione di Poisson di parametro
λ = n × 0.15 = 25 × 0.15 = 3.75
35
e
β = P {X < 0.282|λ1 }
)
( 25
X
=P
Xi < n × 0.282 λ1
i=1
= P {Y < n × 0.282| λ1 }
= P {Y < 7.05| λ1 }
=
7
X
e−3.75 3.75y
y!
y=0
= 0.024 + 0.088 + 0.165 + 0.207 + 0.194 + 0.145 + 0.091 + 0.049
= 0.963.
Quindi si ha
ARL =
1
1
=
= 27.03 campioni,
1−β
1 − 0.963
e
AT S =
4
h
=
= 108.10 ore.
1−β
1 − 0.963
Bibliografia
Douglas C. Montgomery, ”Controllo statistico della qualità”, seconda edizione. Casa editrice McGrawHill.
36