- Istituto Italiano degli Attuari

Istituto Italiano Attuari
Seminario
2 Dicembre 2008
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un
confronto tra approccio standard e modello stocastico
Luca Bianchi
Gruppo Aviva Italia
Paolo De Angelis
Università Sapienza Roma
Indice dell’intervento
 1. Solvency II: Riferimenti normativi
 2. Modello Standard:
 Aspetti metodologici
 Applicazioni
 3. Modello stocastico:
 Opzioni implicite
 Fonti di rischio e modelli stocastici dinamici
 Parametri market consistent
 Applicazioni
 4. Considerazioni finali
2
L. BIANCHI
 1. Solvency II: Riferimenti normativi
 2. Modello Standard:
 Aspetti metodologici
 Applicazioni
3
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa sulle
riserve in 15 punti (1)

Bozza di direttiva comunitaria 10.7.07

1. art 74: la valutazione delle riserve tecniche (brevemente TP) deve essere basata sul “current exit
value”… in “a prudent, reliable and objective manner”.
2. art. 73: le “liabilities” devono corrispondere al valore presumibile di scambio fra controparti disposte ad
effettuare la transazione alla pari.





Ci sono diverse interpretazioni fra le quali quella del CRO Forum (documento emesso nel luglio 2008) secondo il
quale l’Impresa che riceve le riserve e gli attivi non ha un portafoglio storico (è vuota) e quindi non ha un bagaglio
di conoscenze storiche tali da poter proporre un’alternativa valida alle ipotesi specifiche dell’impresa che le
trasferisce il portafoglio.
3. art 75:[TP] è la somma della “best estimate” e del “risk margin”….
4. art 75: Best estimate e risk margin sono da valutare “separatamente” a meno che i futuri flussi di cassa
possano essere replicati utilizzando strumenti finanziari il cui valore di mercato è direttamente osservabile
[“hedgeable risks”].
5. La best estimate deve essere pari alla media ponderata dei futuri flussi di cassa, considerando il valore
temporale del denaro tramite l’utilizzo della curva di tassi privi di rischio. Art.73: Nessun aggiustamento è
consentito per tener conto del proprio merito di credito [è vietato in particolare l’aggiunta di uno spread
alla curva dei tassi].
4
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(2)

6 art 75: La best estimate deve basarsi su ipotesi (6a) aggiornate (6b) credibili e (6c) realistiche su
(6d) tutti i flussi di cassa sia “inflows” che “outflows” derivanti (6e) sia da operazioni di lavoro
diretto che indiretto e (6f) per tutta la vita attesa del portafoglio.




(6d): Gli outflows e gli inflows sono le componenti rispettivamente positive e negative delle riserve. Ad
esempio i caricamentti sono inflows mentre le spese future sono outflows. I proventi degli investimenti
sono esclusi dagli inflows e, in loro vece, c’è la considerazione dei rendimenti proporzionali alle stesse
riserve tecniche che risultano implicite nell’attualizzare a tassi privi di rischio, cioè a tassi di rendimento
equiparabili ai tassi di rendimenti dell’attivo (proventi degli investimenti).
7 art 76: I flussi di cassa devono includere tutte le spese che saranno sostenute per far fronte agli
impegni assicurativi e su quelle si deve tener conto dell’inflazione; tutti gli impegni verso i
“policyholders” e [più in generale] verso i beneficiari, inclusi i “future discretionary bonuses” sia
che siano garantiti dal contratto sia che non lo siano [obbligazioni di fatto]
8 art 75: La best estimate deve essere costituita al lordo del lavoro ceduto.
9 art 79: le riserve [best estimate] a carico della riassicurazione passiva devono essere aggiustate
per tener conto delle perdite attese per il default del riassicuratore. Questo aggiustamento deve
essere basato su una stima della probabilità di default della controparte e della perdita media che
ne deriva.

Questo articolo stabilisce (1) che chi trasferisce l’aliquota “alfa” del proprio rischio, trasferisce una quota
minore di alfa della propria best estimate; (2) che non c’è risk margin esplicito sul lavoro ceduto. Da
notare, inoltre, che il rischio di controparte del riassicuratore è un componente dell’SCR nonostante tale
rischio sia già incluso nel calcolo della best estimate ceduta.
5
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(3)

10. art 77. [TP] devono tener conto del valore delle garanzie finanziarie e di qualunque opzione
inclusa nel contratto. Ogni ipotesi sulla possibilità di esercitare tali opzioni, incluse quelle sulle
decadenze anticipate e sui riscatti, devono essere realistiche e basate su informazioni aggiornate e
credibili. Occorre tener conto dell’impatto che mutamenti delle condizioni finanziarie e non
finanziarie possono avere nelle ipotesi sulle [frequenze delle] opzioni.


11. art 75. Il risk margin [calcolato solo per rischi non hedgeable] è il costo del margine di
solvibilità. Il “Cost of Capital Rate” è lo stesso per il lavoro diretto ed indiretto.


Questo articolo poggia le basi per le valutazioni stocastiche da adottare quando il contraente ha la
possibilità di esercitare opzioni contrattuali a lui favorevoli ed in particolare quelle che risulteranno
favorevoli in relazione al realizzarsi di certe condizioni finanziare nel mercato. Lo puntualizza il manuale
tecnico del QIS4 alla voce TS.II.D.42. Lo stesso manuale stabilisce alla voce TS.II.D.42 che l’uso della
simulazione stocastica è da preferire per i contratti “with-profit”.
La direttiva non descrive in dettaglio la formulazione del risk margin. Per questo occorre guardare i lavori
del CEA che hanno ispirato i QIS terzo e quarto ed il lavoro del CRO Forum del luglio 2008 che si occupa
in particolare dei principi sottostanti la determinazione del “cost of capital rate”
12. art 78. Le imprese devono segmentare il portafoglio in rischi omogenei creando gruppi che
abbiano come minimo dettaglio la linea di business.

La direttiva si preoccupa della segmentazione nonostante questa non incida affatto sulla valutazione delle
best estimate deterministica: questa è sempre la stessa a prescindere dall’unita di valutazione (unit of
account). Tuttavia la segmentazione incide sulla valutazione del risk margin perché questa componente di
riserva - legata principalmente al rischi di underwriting - deve essere valutata per ciascun gruppo senza
compensazione fra gruppi. La segmentazione significa dunque l’accumulo di tante riserve risk margin
senza poter usare le matrici di correlazione per la diversificazione dei rischi fra gruppi distinti.
6
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(4)

13. Il manuale tecnico del QIS4 stabilisce che nella proiezione dei flussi futuri di cassa occorre
tener conto del comportamento degli assicurati (voci da TS.II.D.11 a TS.II.D.15) ed in particolare
la loro reazione a cambiamenti nei mercati finanziari e la reazione alla riduzione della solvibilità
dell’assicuratore. Lo stesso manuale specifica che è doveroso includere le “management actions”
alla voce TS.II.D.16.



Le management actions sui contratti rivalutabili italiani sono azioni prevedibili sugli attivi a copertura delle
gestioni separate, sulla base di politiche di Impresa già note alla data di valutazione, che incidono sul
rendimento degli stessi e quindi anche sulle rivalutazioni future da mettere a riserva. La voce TS.II.D.34
limita la previsione dei rendimenti degli attivi ai tassi “forward” impliciti nella curva risk free, e subito
dopo puntualizza che ciò vale laddove non ci sono “financial options and guarantees”, dunque escludendo
da tale ambito i contratti profit sharing. Il documento emesso dal CRO Forum nel luglio 2008 sostiene che i
rendimenti dell’attivo a fronte di contratti profit sharing si basano sulla curva risk free ma dipendono anche
dalla composizione dell’attivo alla data di valutazione.
14. Art .80 La direttiva chiede agli Stati Membri di richiedere alle Compagnie di dotarsi di
processi interni e di procedure che assicurino l’appropriatezza, la completezza e l’accuratezza dei
dati utilizzati nelle valutazioni delle riserve tecniche.
15. Art 81 le Compagnie hanno processi e procedure che consentano loro di verificare l’aderenza
delle ipotesi adottate nelle valutazioni rispetto all’esperienza. Laddove il confronto identifica
scarti sistematici, le Imprese aggiusteranno le ipotesi di valutazione.
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. SCR, BSCR, ADJ
SCR  BSCR  Adj  SCR op
Dove l’ultimo termine è la componente di rischio operativo.
L’aggiustamento per il potere di assorbimento del rischio del portafoglio di polizze rivalutabili (DPF) e
della (riduzione delle) imposte differite è
Adj  Adjdpf  Adj DT
Con
Adjdpf  min([ SCR'  SCR]0,5  [nSCR'  nSCR]0,5 ; DPF )
Dove SCR e nSCR sono i vettori ove sono riportati le quote di margine spiegate da ciascun fattore,
rispettivamente al lordo ed al netto degli effetti di “management actions” sulle polizze rivalutabili .
Σ è la matrice di correlazione fra i vari rischi.
DPF è la componente di riserva inclusa nelle Best Estimate e riferita alle rivalutazioni future eccedenti le
garanzie di minimo.
AdjDT  Deferredtaxes | SCRshock
E’ l’aggiustamento dell’SCR in virtù della riduzione delle imposte differite come effetto della riduzione
del patrimonio netto della quantità
BSCR  Adjdpf  SCR op
Dove L’SCR di base è
BSCR  radqSCR '  SCR
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. SCR(op) e SCR(mkt)
Il rischio operativo si misura nel modo seguente:
SCR op  min( 30% BSCR; OPnonlinked )  25% EXPlinked
Dove l’ultimo termine rappresenta le spese generali relative al portafoglio unit ed index linked (overhead
expenses, no commissioni) mentre la componente di rischio operativo del portafoglio diverso da unit ed
index linked è:
OP nonlinked MAX (3% premi _ lordi _ non _ linked ;0.3%riserve _ lorde _ non _ linked )
L’SCR per rischi di mercato è il seguente:
SCRmkt  [ MKT ' (mkt) MKT ]0,5
Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi di mercato è la stessa da usare
per calcolare la seguente espressione per l’SCR di mercato al netto dei benefici del portafoglio di polizze
rivalutabili
SCRmkt  [ MKT ' (mkt) MKT ]0,5
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio di tasso di
interesse.
Il vettore dei rischi di mercato “MKT” include il rischio di tasso, il rischio azionario, il rischio immobili,
lo spread, il rischio di concentrazione ed il rischio di divisa.
Il rischio di tasso di interesse “INT” è misurato due volte, rispetto ad uno shift up e rispetto ad uno shift
down della curva dei tassi (euroswap) privi di rischio. L’effetto è misurato rispetto alla variazione di
NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende
quello che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:
nINTup  NAV | upwardshock
nINTdown  NAV | downwardshock
Se nINTup  nINTdown
Allora:
nINT  nINTup.........nINT  0
Altrimenti
nINT  nINTdown.........nINT  0
e INT  NAV | upwardshock
e INT  NAV | dowwardshock
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio azionario.
Il rischio azionario si misura aggregando gli effetti di shock azionari sul NAV di due sotto gruppi di azioni correlate con coefficiente “c” (1<=c<=1); 0.75 nel QIS4) : (A) le “Global” e (B) gli altri indici dove entrano azioni quotate di mercati emergenti, azioni non quotate, hedge
funds ed investimenti alternativi.
EQ(a)  NAV | fall 32%
Con EQ(a)>=0
e
EQ(b)  NAV | fall 45%
EQ(b)>=0
EQ  [ EQ(a) 2  EQ(b) 2  2 * 0,75 * EQ(a) * EQ(b)]1 / 2
L’alternativa Dampener pone in gioco una relazione inversa fra la “duration” delle riserve ed il rischio azionario di tipo A.
Se la quota di riserve riferite al portafoglio di duration di almeno K>3 anni è 0<=α<=1, allora l’equity risk del gruppo A - il cui valore di
mercato alla data “t” di valutazione è MKT(A) - secondo l’approccio dampener è:
EQdamp  MKT ( A) * [(1   ) * 32%  ( F (k ) C t *G(k )) *  ]
Dove F(k) e G(k) sono fattori decrescenti in funzione della duration “k” (nel QIS4 F parte da 0,29 ed arriva a 0,22 mentre G parte da 0,20
ed arriva a 0,07).
C(t) è la componente ciclica definita in funzione della media logaritmica dell’indice azionario
Yt
N


N 1
i 0
Ln(Yt i )
N
come
C (t )  Yt 10  Yt 365
Cioè come differenza fra l’indice calcolato rispetto ai 10 giorni lavorativi che precedono la data di valutazione dell’SCR e l’indice calcolato
rispetto ai circa 250 giorni lavorativi dell’ultimo anno.
CT = -0,013 al 31/12/2007 .
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio divisa ed il
rischio immobili.
Il rischio di divisa è misurato due volte, rispetto ad un apprezzamento dell’euro del 20% e rispetto ad un
deprezzamento del 20% rispetto alla divisa di riferimento dell’attivo. L’effetto è misurato rispetto alla variazione
di NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende quello
che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:
nFXup  NAV | fxupwardshock
nFXdown  NAV | fxdownwardshock
Se nFXup  nFXdown
Allora:
nFX  nFXup.
Altrimenti
nFX  nFXdown
e FX  NAV | fxupwardshock
e FX  NAV | fxdowwardshock
Il rischio di svalutazione del 20% del valore di mercato degli immobili (MKT(prop) ) è valutato nel modo
seguente:
PROP  NAV | 20%MKT ( prop )
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio spread.
Il rischio spread “SP” ha origine negli strumenti finanziari ed è espresso dalla volatilità dei “credit spreads” sopra
la curva dei tassi di interesse privi di rischio. Si escludono i rischi governativi o da governi dell’area comunitaria.
Ha tre componenti: il rischio spread dei bonds (SPbond), il rischio spread dei prodotti di credito strutturato
(SPstruct) ed il rischio spread dei derivati (SPderiv). Le tre componenti si sommano (assenza di correlazioni).
I primi due si ottengono entrambi come sommatoria rispetto a tutte le singoli esposizioni il cui valore di mercato è
“MV”, la cui duration è “dur” e con rating “rating”. Il rischio spread dei bond sul portafoglio unit ed index linked
và misurato a parte come incremento della riserva (“Liab”) a fronte di garanzie/opzioni “embedded”.
SPbonds  liabul   MVi * m(duri ) * F (rating i )
i
SPstruct   MVi * n(duri ) * G(rating i )
i
F e G sono funzioni crescenti al diminuire del rating; nel QIS4 vanno rispettivamente da un massimo di 11,20% ad
un minimo dello 0,25% e da un massimo del 29,71% ad un minimo del 2,13% .
L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato rispetto ad una
diminuzione di valore di mercato del sottostante (controvalore delle quote) pari alla duration per il fattore F che
corrisponde al rating del sottostante.
N(dur) e m(dur) sono duration ma quando il rating è inferiore a tripla B, sono limitate da un massimo che a sua
volta diminuisce al diminuire del rating.
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio di
concentrazione.
Il rischio di concentrazione ha origine dalla volatilità aggiuntiva che esiste su attivi esposti a poche controparti e
dal relativo rischio di default . Sono escluse altre forme di concentrazione come quella geografica o quella su
settori di industria. Il rischio sui portafogli unit ed index linked si misurano a parte; i titoli governativi o da
governi dell’area comunitaria devono essere esclusi.
Se Assets(nl) rappresenta il totale dei valori di mercato non linked (inclusi i titoli governativi e governativi EEA) e
CT(rating) una soglia che vale (QIS4) 5% o 3% a seconda del rating della controparte, ed infine E(i) l’esposizione
netta nei confronti della controparte (i), allora il rischio di concentrazione sulla controparte “i” è data
dall’espressione seguente.
Conci  liabul  Assetsi * g i * XS i
XS i  max[ 0;
Ei
 CT ]
Assets(nl )
Dove g(i) è decrescente al crescere del rating e va (QIS4) da 0,15 a 0,73 .
L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato svalutando il
controvalore delle quote (sottostante) del fattore XS *g prendendo questi fattori in funzione dal rating del
sottostante.
Il rischio di concentrazione sull’intero portafoglio è calcolato sull’ipotesi di indipendenza fra controparti:
Conc  ( Conci ) 0,5
2
i
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi di
mortalità, di invalidità e di sopravvivenza.
L’SCR per rischi assicurativi (underwriting) è il seguente:
SCRmkt  [UW ' (uw)UW ]0,5
Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi assicurativi è la stessa da
usare per calcolare la seguente espressione per l’SCR assicurativo al netto dei benefici del portafoglio di
polizze rivalutabili
nSCRmkt  [nUW ' (uw)nUW ]0,5
Il vettore dei rischi assicurativi “UW” include il rischio di mortalità, il rischio di sopravvivenza, il rischio
di invalidità, la decadenza anticipata, le spese , il catastrofale ed il “revision”, l’ultimo dei quali
riguarda le garanzie di rendita a seguito di sinistri non vita la cui riserva è calcolata con tecniche tipiche
del vita e la cui rendita è rivedibile; il rischio è rappresentato dall’effetto sul NAV a seguito
dell’incremento del 3% della rendita vitalizia.
Il rischio di mortalità ed il rischio di sopravvivenza sono misurati come effetti sul NAV, rispettivamente,
di un incremento della mortalità del 10% e di una diminuzione della mortalità del 25% .
Il primo ed il secondo sono misurati su portafogli i cui capitali sotto rischio sono rispettivamente positivo
e negativo. Le sommatorie si riferiscono a portafogli omogenei. Per il rischio di invalidità si assume un
incremento delle frequenze del 25% dal secondo anno rispetto alla valutazione e del 35% nell’anno
immediatamente successivo.
Mort   NAV | mortshock
i
Dis   NAV | disshock
i
Long   NAV | longshock
i
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi
catastrofale, decadenza anticipata e spese.
Il rischio catastrofale è misurato rispetto ad un incremento della mortalità e della morbilità, entrambi di un punto e
mezzo per mille in valore assoluto; l’incremento della mortalità agisce solo per i dodici mesi successivi alla data di
valutazione.
Ad esempio una frequenza di mortalità del 2 per mille diventa (per l’anno successivo) il 3,5 per mille. La
maggiore morbilità è crescente nell’arco dei successivi due anni: un terzo nel primo semestre, un altro terzo nel
successivo semestre e l’ultimo terzo nei successivi dodici mesi.
CAT  NAV | catshock
Il rischio di decadenza è l’effetto peggiore sul NAV fra un incremento del 50% ed una diminuzione del 50% delle
frequenza di decadenza anticipata. La valutazione va effettuata polizza per polizza. C’è una soglia minima sul
totale pari al 30% della somma delle differenze di segno positivo fra Valore di Riscatto e Riserva Best Estimate
(Lapse Mass”). Per i contratti che non hanno ancora valore di riscatto alla data di valutazione, si prende il valore
attuale (a tassi privi di rischio) del riscatto più vicino nel tempo.
Lapse  max[ 30% Lapsemass ;  max( NAV | lapsedown; NAV | lapseup )]
i
IL rischio spese è l’effetto sul NAV di un incremento del 10% nelle spese future e dell’1% del tasso di inflazione
(rilevante perché le spese sono indicizzate all’inflazione). Nei contratti che danno la possibilità all’assicuratore di
rivedere i caricamenti, il 75% degli incrementi previsti dal test possono essere recuperati dal terzo anno successivo
alla data di valutazione.
EXP  NAV | exp shock
16
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio di controparte.
Il rischio di controparte (default) è misurato come somma di due componenti: (1) gli strumenti di mitigazione del rischio come derivati e
riassicurazione e (2) crediti verso intermediari e tutte le altre esposizioni che non sono considerate nel rischio spread.
Il default sul portafoglio è la somma algebrica dei rischi rispetto a tutte le controparti.
Il rischio sulla controparte “i” è calcolato con l’espressione che segue:
DEFi  LGDi * N [
1
R 0,5
* G ( PDi )  G (0,995) * (
) ]
0,5
(1  R)
1 R
Dove N(x) e G(p) sono rispettivamente il valore della funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata in “x” e l’inversa
della distribuzione normale standard in “p” (0<= p<=1) .
Il “Loss Given Default” di una controparte è dato da:
l’esposizione di credito verso altre controparti come ad esempio le reti di vendita
Per ciascun riassicuratore dalla formula:
gross
net
LGD  0,5 * max( 0; re cov erables  SCRuW
 SCRUW
 collateral )
Dove la componente assicurativa di SCR va calcolata sia NON considerando (gross) che considerando i benefici della riassicurazione.
Per ciascuna controparte sui derivati dalla formula:
gross
net
LGD  0,5 * max( 0; MKTvalue  SCRMKT
 SCRMKT
 collateral )
Dove la componente di mercato dell’SCR va calcolata sia non considerando (gross) che considerando i benefici di mitigazione dovuti
all’uso dei derivati.
Il Fattore R (correlazione implicita per il default di una controparte) è calcolato - separatamente per le esposizioni in riassicurazione, le
esposizioni in derivati ed altre esposizioni - come
 LDG
R  0,5 * (1 
( LGD)
2
i
2
)
i
PDi
è la probabilità di default della controparte “i” che dipende soltanto dal rating. Nel QIS4 va da un minimo dello 0,002% ad un
massimo del 30,41% ; fa eccezione la riassicurazione interna allo stresso gruppo per la quale si usa un coefficiente legato al suo “Solvency
II ratio”.
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (1)
La Best Estimate deterministica è la somma per tutte le polizze in portafoglio dei flussi di cassa futuri relativi a
sinistri (S), riscatti (VR) - incluse le rivalutazioni future minime e discrezionali eccedenti le minime - le spese
generali e di gestione degli investimenti (spese), le provvigioni e compensi similari (comm).
Nel modello si è assunto per semplicità che i flussi futuri siano concentrati a fine anno.
n 1
BELt   * [ [( S  VR )  ( Spese  Commt )  ( Puri  Caricamenti )] * v(t ,  1)]
i
 t
Sinistri e riscatti sono proporzionali alle somme assicurate, non solo alle rivalutazioni della riserva prospettiva
pura di primo ordine fino all’epoca “t “ ma anche alle rivalutazioni future sia minime che discrezionali (eccedenti
le minime)
Il fattore di sconto è legato al tasso spot calcolato in t sulla durata n:
v(t , n)  1 / spot (t , n) .
Se il fine è la costruzione di un modello di proiezione della riserva, occorre sostituire la somma rispetto alle
polizze in portafoglio con il coefficiente n(t) che rappresenta il numero delle polizze sopravvissute in (t) (n(0)=1):
t 1
nt   (1  f ( s  1)) * (1 s / q x )
s 0
Che la formula sovrastante esprime in maniera ricorrente in relazione alle decadenze anticipate realistiche f(s)
(f(0)=0) ed alle probabilità di morte desunte dalla tavola realistica.
18
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (2)
In virtù dell’ipotesi di concentrazione dei flussi a fine anno, la best estimate si può esprimere in modo ricorrente.
BELt  BELt 1 (1  fw(t ))  net _ cash _ flows
Dove fw(t) è il tasso forward privo di rischio valutato in t-1 per l’anno t e “net_cash_flows” sono i flussi di cassa
netti (quelli in uscita con segno + e quelli in entrata con segno -)
La quantità BELt 1 * fw(t )
È l’unwinding discount della riserva; la differenza fra proventi degli investimenti (plus e minus di mercato
+redditi realizzati sugli attivi + flusso cedolare) e unwinding discount (costo) rappresenta il reddito netto degli
investimenti da rappresentare nel conto economico nel regime di solvibilità 2.
In una valutazione per polizza su un portafoglio in vigore alla data di valutazione (non su un modello) la best
estimate non potrà essere calcolata in modo ricorrente; l’exit value è una valutazione prospettiva e la differenza
rispetto ad una valutazione fatta ad inizio anno con il metodo ricorrente rappresenta l’utile o la perdita
proporzionale all’errore di previsione sulle ipotesi non economiche. Questa analisi è il primo passo per una
revisione delle ipotesi non economiche nel calcolo della Best Estimate.
19
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Risk Margin
Il risk margin secondo il metodo “Cost of Capital” è il seguente:
RM t  CoCt *  t 1 SCRUWOD(t , ) * v(t , )
Ossia il costo unitario del capitale stabilito all’epoca di valutazione per la somma dei valori attuali dell’SCR
proiettati per un periodo che va dall’anno successivo e fino ad estinzione del portafoglio; a tal fine, non si deve
fare alcuna ipotesi di nuova produzione. L’SCR deve includere le sole componenti di rischi assicurativo, di
default della riassicurazione ed operativo.
QIS4 ha ipotizzato CoC al 6%. Se non si è in grado di proiettare l’SCR, è sufficiente prendere l’SCR(t), cioè il
valore all’epoca di valutazione, scorporarlo dei rischi esclusi (mercato, default diverse dalla riassicurazione) e
proiettarlo con un driver.
Il driver è un parametro che posto a uno al tempo “t” ne rappresenta l’evoluzione sul portafoglio in vigore al
tempo “t” e fino a sua estinzione: è appropriato utilizzare la Best Estimate in relazione al portafoglio delle polizze
rivalutabili ed al portafoglio unit ed index linked, il valore attuale dei sinistri futuri in relazione alle temporanee
caso morte.
La formula si semplifica dunque nella seguente:
RM t  CoCt * SCRUWOD(t , t ) *  t 1 driver (t , ) * v(t , )
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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
accumulation of profits (present value)
year
Solvency II
profit
Solvency II
Solvency II
profit
profit
and loss
profit
without
and loss
risk margin
local
0
local
1
893,80
28,22
853,71
908,72
26,96
2
96,22
34,37
941,77
985,71
58,41
3
88,82
100,36
1.019,58
1.058,33
146,33
4
87,24
114,02
1.092,65
1.128,50
241,82
5
83,67
127,46
1.159,62
1.192,79
343,84
6
68,23
131,02
1.211,77
1.242,49
443,98
7
68,03
144,04
1.261,38
1.289,82
549,02
8
85,26
153,04
1.320,64
1.346,94
655,39
9
66,73
151,54
1.364,79
1.389,12
755,64
10
75,97
152,06
1.412,59
1.435,05
851,32
11
39,95
141,36
1.436,48
1.457,16
935,87
12
26,26
131,44
1.451,41
1.470,30
1.010,58
13
20,43
120,40
1.462,44
1.479,50
1.075,62
14
14,33
106,30
1.469,80
1.484,94
1.130,20
15
10,71
90,03
1.475,03
1.488,14
1.174,12
Total
1.725,64
1.725,64
21
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Andamento dei profitti
nel tempo nel bilancio di solvibilità 2




I profitti cumulati fino ad estinzione del portafoglio non dipendono dal metodo di
valutazione delle riserve (sono sempre pari a 1725,64); invece la distribuzione del
profitto nel tempo ne dipende sensibilmente.
Le riserve Solvency II (brevemente TPS) fanno si che i profitti siano concentrati nel
primo anno ed in modo particolare il giorno della decorrenza del contratto (“profit at
inception”).
Il metodo locale di valutazione della riserva equidistribuisce i profitti; nel caso
esaminato si nota una leggera concentrazione nel periodo centrale.
Ne consegue che il valore [attuale] del portafoglio è maggiore sotto Solvency II
(1475,03 contro 1174,12). La presneza del risk margin incide marginalmente su tale
misurazione: senza il risk margin, il valore attuari dei profitti futuri sarebbe 1488,14 .
22
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
0
RISK
MA
RGI
N
BEST
local
asset
net
investment
eoy
cash flows
income
ESTIMATE
CoC reserve
technical
liability
"BEL"
"RM"
provisions
eoy
868,44
66,97
1
75,73
57,60
133,33
998,90
1.027,12
984,95
42,17
2
1.063,15
45,50
1.108,65
2.036,08
2.098,67
984,13
87,42
3
1.967,91
39,57
2.007,48
2.923,37
3.086,32
857,17
130,48
4
2.810,37
36,12
2.846,49
3.735,61
4.012,57
751,88
174,37
5
3.594,93
32,77
3.627,70
4.473,02
4.877,44
654,36
210,51
6
4.325,92
29,56
4.355,48
5.138,01
5.673,45
561,54
234,46
7
5.007,35
26,43
5.033,78
5.740,31
6.419,78
473,01
273,31
8
5.641,08
23,36
5.664,44
6.303,19
7.135,70
386,99
328,94
9
6.231,38
20,38
6.251,77
6.805,71
7.789,76
305,12
348,94
10
6.777,70
17,40
6.795,10
7.272,95
8.409,06
225,99
393,31
11
7.282,32
14,43
7.296,75
7.673,19
8.950,67
151,48
390,13
12
7.742,31
11,28
7.753,59
8.024,85
9.433,77
80,55
402,56
13
8.159,44
7,88
8.167,33
8.338,61
9.867,93
12,62
421,54
14
8.533,37
4,14
8.537,51
8.616,83
10.252,44
-
52,39
436,91
1.725,64
-
8.979,22
452,42
15
-
Tot.solvency
-
-
-
801,47
-
-
-
23
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Andamento delle riserve
nel tempo.





La Best Estimate alla decorrenza è negativa (-868,44) in quanto il prodotto è
profittevole e la Best Estimate al tempo zero è l’attualizzazione dei flussi di cassa
attesi fino ad estinzione; pertanto sconta i futuri profitti attesi,

con l’eccezione dei proventi degli investimenti che vanno sostituiti con i
rendimenti lordi delle stesse riserve tecniche.
Nei premi unici, la Best Estimate torna ad essere positiva già dopo un giorno la
decorrenza, subito dopo la contabilizzazione del premio iniziale e della provvigione
iniziale.
Nei premi annui o ricorrenti può rimanere negativa anche dopo la decorrenza. Nella
mista a premio annuo torna ad essere positiva soltanto dopo un anno (+75,73).
Il Risk Margin ha sempre segno positivo. Il suo peso relativo decresce nel tempo.
Trascorsi 6/7 anni su 15 il suo peso è intorno allo 0.7 / 0.5% il valore della Best
Estimate. Questo valore è in linea con quello registrato sulle polizze rivalutabili
durante gli studi di impatto quantitativo (QIS) quale media nel mercato italiano
basato sul campione delle Imprese partecipanti.
24
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
Present value at time zero of future
year
BEST
0
ESTIMATE
minimum
DPF to the
Investment
Investment
net margin from
"BEL"
guaranteed
policyholders
income
income
the investments
868,44
2.301,26
65,40
2.769,53
402,87
1
75,73
2.369,32
68,41
42,17
2.857,41
419,68
2
1.063,15
2.285,31
66,31
87,42
2.764,66
413,04
3
1.967,91
2.176,84
66,32
130,48
2.648,41
405,25
4
2.810,37
2.044,16
62,46
174,37
2.498,85
392,23
5
3.594,93
1.890,09
59,12
210,51
2.323,25
374,04
6
4.325,92
1.721,85
59,17
234,46
2.137,38
356,36
7
5.007,35
1.542,71
58,08
273,31
1.930,59
329,80
8
5.641,08
1.355,59
40,64
328,94
1.692,73
296,49
9
6.231,38
1.162,97
29,11
348,94
1.452,28
260,20
10
6.777,70
966,79
7,91
393,31
1.193,25
218,56
11
7.282,32
769,18
2,36
390,13
948,57
177,03
12
7.742,31
572,05
1,47
402,56
707,81
134,30
13
8.159,44
377,56
0,58
421,54
468,29
90,15
14
8.533,37
186,58
0,41
436,91
232,27
45,28
-
452,42
15
-
Present value (accumulation) at time zero
Gross
-
-
Total
-
-
4.327,47
25
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Scomposizione della Best
Estimate Deterministica

La Best Estimate deterministica si può scomporre in tre componenti:




[valore attuale medio] prestazioni future senza includere gli interessi;
[valore attuale medio] interessi futuri maturandi sulle riserve tecniche stesse e da
riconoscere agli Assicurati od a Terzi;
[Valore attuale medio] spese future al netto dei caricamenti (qui non considerati);
La seconda componente si può scomporre in tre componenti



[valore attuale medio] garanzie di tasso di interesse;
[valore attuale medio] rivalutazioni discrezionali “Policyholder Dividends”;
[valore attuale medio] commissioni ricorrenti legate ai rendimenti della gestione separata o
ad altri fattori legati ai tassi di rendimento (qui non considerati).
Per poter isolare ciascuna di queste 3 sotto-componenti della 2nda componente dalla prima
componente occorre definire convenzionalmente una riserva di riferimento che nel caso
esaminato di polizza mista è la riserva locale.

Nel caso esaminato la componente “Policyholder Dividends” è di gran lunga inferiore
alla componente di minimo garantito soltanto perché la gestione separata ha
rendimenti di poco superiori alla garanzia di minimo (4%), ma con garanzie di
minimo al 2% i pesi sono delle due componenti si equivalgono.
26
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La proiezione delle
prestazioni future



Le prestazioni future si rivalutano in funzione dei rendimenti prevedibili della
gestione separata.
I rendimenti prevedibili dipendono dalla curva dei tassi risk free alla data di
valutazione.
I Successivi elementi dipendono da fattori soggettivi:




Scelta della curva risk free governativa piuttosto che euroswap (QIS4 ha scelto la seconda).
Scelta del metodo di interpolazione per ricavare le curve forward/spot (es. cubic spline,
bootstrap).
Scelta della politica di ALM (“management actions”).
Le management actions sono azioni sull’attivo che incidono sui rendimenti
prevedibili e di conseguenza sulle riserve per “policyholder dividends”.



Come e quando reinvestire la liquidità disponibile dalle quietanze future e dagli
investimenti in scadenza non necessari per far fronte alle liquidazioni.
Come reinvestire le cedole dei titoli obbligazionari.
Se e quando realizzare le plusvalenze o le minuvalenze latenti.


Se farlo a fronte di liquidazioni.
Se farlo a prescindere dalle liquidazioni per il reimpiego in altri investimenti.
27
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La riserva per
“policyholder dividends” ed il fattore RPS (1).

Qualora non si disponga ancora di un metodo esatto di scorporo della componente DPF inclusa nella Best
Estimate, c’è un metodo di stima della riserva “Policyholder Dividends” come descritto nel questionario
qualitativo del QIS4 applicato a gruppi di portafogli rivalutabili (non polizza per polizza). Ecco come
viene descritto nel questionario qualitativo QIS4:

The information come from the system used twice a year for the ALM (compulsory for the local balance sheet) and for the
calculation of the (eventual) additional reserves to cover the minimum guarantees.

We had already the 2 streams of local liabilities as outcomes: the projections over 15 years over the portfolio in force as at
31.12.2007 and split by fund and by minimum guaranteed. The 1st stream is the TP and the 2nd stream represents the TP
without the DPF component (TPM briefly).

At time T, TP(t) – TPM(t) represents the accumulation of DPF in the liabilities matured from time zero (the evaluation
date) and time T, relevant to the portfolio in force at time T.

We define f(t) the probability that the contracts do not survive between time t-1 and time t, for death or for lapse (with
f(1)=0).

At time T, [TP(t) – TPM(t)] – [TP(t-1) – TPM(t-1)] * (1-f(t))= DPF(t)
Is the estimate of the increase of liability due to the recognition of the dividends in the range (t-1,t] to the policyholders survived in
“t”.

Therefore the whole DPF liability is:

DPF=
 DPF (t ) /(1  sp(t )) ............with...DPF (t )  0..  t
t
t 1
Where sp(t) is the risk free spot rate as to t
28
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La riserva per
“policyholder dividends” (DPF) ed il fattore RPS (2).






Il Fattore RPS è la diminuzione della riserva DPF dopo un shock di mercato od
assicurativo.
Questa diminuzione dipende soltanto dalla ri - determinazione dei rendimenti
prevedibili della gestione separata.
Questa ri – determinazione non è automatica (interpretazione valida solo dal QIS4)
ma dipende da politiche di ALM specifiche di Impresa.
L’ALM agisce sugli attivi (non sulle politiche di customer care od altre politiche sul
portafoglio polizze) e di conseguenza sui rendimenti prevedibili.
L’RPS è limitato al più al valore della riserva DPF prima dello shock
Nonostante l’RPS sia una misura di [variazione di] riserva, si conviene di
considerarla come sconto sul margine di solvibilità da costituire SCR.
29
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
Tot.solvency
asset
Solvency II
Net assets
technical
eoy
profit (PR)
A
provisions
0
Free capital
B
A-B
801,47
1.000,00
1
133,33
1.027,12
893,80
893,80
368,84
524,95
2
1.108,65
2.098,67
96,22
990,01
513,94
476,07
3
2.007,48
3.086,32
88,82
1.078,83
621,15
457,69
4
2.846,49
4.012,57
87,24
1.166,08
728,16
437,91
5
3.627,70
4.877,44
83,67
1.249,75
800,00
449,75
6
4.355,48
5.673,45
68,23
1.317,97
848,50
469,47
7
5.033,78
6.419,78
68,03
1.386,00
865,47
520,53
8
5.664,44
7.135,70
85,26
1.471,26
855,21
616,05
9
6.251,77
7.789,76
66,73
1.537,99
818,97
719,02
10
6.795,10
8.409,06
75,97
1.613,96
761,62
852,34
11
7.296,75
8.950,67
39,95
1.653,92
687,87
966,04
12
7.753,59
9.433,77
26,26
1.680,18
600,81
1.079,37
13
8.167,33
9.867,93
20,43
1.700,60
507,61
1.192,99
14
8.537,51
10.252,44
14,33
1.714,93
424,10
1.290,83
1.725,64
10,71
1.725,64
15
-
A(t)=A(t-1)+PR(t)
SCR
-
-
1.725,64
1.725,64
30
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Attivo e patrimonio
libero; ring fencing





L’attivo ad estinzione del portafoglio – se non si distribuiscono dividendi - è pari a
1725,64 ossia al cumulo dei profitti, a prescindere dal metodo di valutazione della
riserva.
Il capitale libero, ossia il patrimonio netto non impegnato a coprire il margine di
solvibilità SCR, tende a diminuire nel primo biennio per poi incrementare a ritmo
crescente fino ad equivalere all’attivo (1725,64) ad estinzione del portafoglio.
Il ring fencing di un fondo assicurativo è la considerazione del fondo assicurativo alla
stregua di un’Impresa di Assicurazione separata dalle altre ring-fenced / Imprese di
Assicurazione e dagli altri attivi.
Un fondo “ring fenced” non può mettere a disposizione il patrimonio libero per
coprire la solvibilità di altri fondi ring fenced né la solvibilità della Compagnia.
Il QIS4 ha sperimentato gli effetti di ring fencing Paese per Paese. Per l’Italia lo si è
sperimentato solo sul margine di gruppo ma non sul margine di solvibilità
individuale.
31
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
worst case
INT rate risk
Equity risk
Property risk
Spread risk
Conc.risk
Currency risk
0
1
-
233,29
-
19,10
-
-
3,59
-
8,22
-
2
-
442,63
-
39,04
-
-
7,35
-
16,79
-
3
-
600,86
-
57,41
-
-
10,80
-
24,69
-
4
-
716,09
-
74,63
-
-
14,04
-
32,10
-
5
-
791,30
-
90,72
-
-
17,07
-
39,02
-
6
-
828,40
-
105,53
-
-
19,86
-
45,39
-
7
-
833,22
-
119,41
-
-
22,47
-
51,36
-
8
-
810,37
-
132,72
-
-
24,97
-
57,09
-
9
-
758,27
-
144,89
-
-
27,26
-
62,32
-
10
-
682,13
-
156,41
-
-
29,43
-
67,27
-
11
-
580,85
-
166,48
-
-
31,33
-
71,61
-
12
-
459,15
-
175,47
-
-
33,02
-
75,47
-
13
-
320,19
-
183,54
-
-
34,54
-
78,94
-
14
-
166,33
-
190,70
-
-
35,88
-
82,02
-
32
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: rischi di mercato






I rischi di mercato possono essere individuati per il complesso della Compagnia (es.
rischio di concentrazione) od al più per una gestione separata.
Pertanto l’individuazione del contributo di un gruppo di contratti può essere soltanto
stimato partendo dal valore registrato sull’intero portafoglio.
Ciascun rischio di mercato ha un contributo pari all’effetto sul profitto al lordo delle
imposte. Il profitto è quello del bilancio Solvency II, i cui attivi sono contabilizzati a
valore di mercato (no regole locali, no regole bilanci ias/ifrs phase I).
Il rischio di tasso di interesse è il peggiore fra uno shift down ed uno shift up della
curva risk free euroswap. Nel caso di shift up le riserve (generalmente) diminuiscono
e gli attivi perdono valore; viceversa nel caso di shift down. Gli effetti su riserve ed
attivo (generalmente) si bilanciano
L’equity risk è il cumulo degli effetti su attivo e riserve di un equity fall: gli effetti si
sommano (cioè non si bilanciano ma hanno lo stesso segno)
Il rischio di concentrazione è materiale nelle piccole Compagnie.
33
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: il rischio di tasso di
interesse

L’effetto di uno shift up sulle riserve realistiche deve essere desunto sperimentalmente; può essere
tuttavia anche desunto facendo alcuni ragionamenti a priori (stessi ragionamenti anche sullo shift
down):

1) la Best Estimate è la differenza fra [valore attuale medio] cash flows positivi (impegni e spese)
e [valore attuale medio] cash flows negativi (caricamenti e penali di decadenza)
BEL = PVO – PVI
2) Sia PVO che PVI tendono a zero al crescere del “discount rate” (cioè con lo shift up della curva tassi)
a parità di cash flows a numeratore.
3) Sia PVO che PVI includono a numeratore cash flows che non reagiscono ai tassi di interesse (PVOn e
PVIn) come spese e caricamenti sui premi futuri
BEL = (PVOr – PVIr) + (PVOn – PVIn)
4) PVOn-PVIn = 2nda componente, se positiva diminuisce, se negativa aumenta.
5) PVOr è generalmente di gran lunga superiore a val.ass.(PVIr) e dipende – in modo diretto – dai
rendimenti prevedibili se e solo se le prestazioni future ne sono legate.
6) Il legame è presente se (a) impatta sulle rivalutazioni future o/e (b) impatta sul time value delle
garanzie di minimo.
7) Occorre verificare se i rendimenti prevedibili aumentano o dimunuiscono con uno shift up (il più delle
volte aumentano) ed il loro impatto (vedi punto 6) .
34
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
Tot Market risk
Tot Market risk
average
without
with
effect of
Default
Default
Default
diversification
diversification
diversification
excl.reins.
solo reins.
Tot
0
1
264,21
235,21
11,0%
-
0,72
-
0,21
0,92
2
505,80
446,71
11,7%
-
1,47
-
0,42
1,89
3
693,76
607,13
12,5%
-
2,16
-
0,62
2,78
4
836,87
724,66
13,4%
-
2,81
-
0,80
3,61
5
938,11
802,33
14,5%
-
3,41
-
0,98
4,39
6
999,17
842,09
15,7%
-
3,97
-
1,13
5,11
7
1.026,46
849,92
17,2%
-
4,49
-
1,28
5,78
8
1.025,16
830,65
19,0%
-
4,99
-
1,43
6,42
9
992,75
782,89
21,1%
-
5,45
-
1,56
7,01
10
935,24
712,39
23,8%
-
5,89
-
1,68
7,57
11
850,27
618,81
27,2%
-
6,27
-
1,79
8,06
12
743,11
508,80
31,5%
-
6,60
-
1,89
8,49
13
617,21
390,30
36,8%
-
6,91
-
1,97
8,88
14
474,93
280,09
41,0%
-
7,18
-
2,05
9,23
35
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: diversificazione (1)




Ci sono due livelli di effetti di diversificazione: il primo agisce fra le sotto-categorie
di rischi di mercato e fra le sotto-categorie di rischi assicurativi; la seconda agisce fra
rischi di mercato, assicurativi e default/controparte.
La diversificazione viene colta tramite le correlazioni (uso di matrici di correlazione):
Se A, B e C sono le misure di tre rischi (calcolati ciascuno nell’ipotesi di assenza di
stress sugli altri due) le cui correlazioni sono alfa, beta, delta (compresi fra -1 e +1), il
rischio cumulato è
Rischio = [A^2 + B^2 + C^2 + 2*(alfa*A*B + beta*B*C + delta*A*C)]^(1/2)
C’è diversificazione in quanto:
1) La probabilità che due fattori sfavorevoli si verifichino nello stesso anno è
inferiore alla somma delle probabilità (probabilità misurata come VAR al 99,5%
ad un anno)
2) Un fattore che agisce sfavorevolmente su un rischio può avare un effetto
positivo su un altro (es. mortalità e longevità)
36
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: diversificazione (2)

C’è un ulteriore diversificazione per l’appartenenza ad un Gruppo
Assicurativo per:
1)
2)
3)
4)
La probabilità che uno stesso fattore agisca sfavorevolmente su un rischio nello
stesso anno per due Imprese del Gruppo è inferiore alla somma delle
probabilità, soprattutto se dislocate su due aree geografiche
Maggior numero di polizze esposte ai rischi assicurativi
Maggior uniformità di distribuzione degli elementi esposti al rischio (es.
rischio di concentrazione)
Compensazioni. Ad esempio se lo shift up di tasso ha l’effetto sfavorevole per
l’Impresa uno e lo shift down di tasso ha l’effetto sfavorevole per l’Impresa
due, i due effetti si bilanciano per il margine di solvibilità SCR di Gruppo.
37
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
underwriting
underwriting
underwriting
underwriting
underwriting
underwriting
mortality
longevity
disability
lapse
expense
revision
0
1
-
10,40
-
-
-
179,53
-
-
2
-
10,86
-
-
-
93,31
-
-
3
-
11,34
-
-
-
53,48
-
-
4
-
11,86
-
-
-
55,37
-
-
5
-
12,40
-
-
-
57,01
-
-
6
-
12,94
-
-
-
59,07
-
-
7
-
13,52
-
-
-
61,34
-
-
8
-
14,16
-
-
-
62,88
-
-
9
-
14,80
-
-
-
66,18
-
-
10
-
15,50
-
-
-
69,37
-
-
11
-
16,16
-
-
-
77,09
-
-
12
-
16,80
-
-
-
87,75
-
-
13
-
17,45
-
-
-
100,89
-
-
14
-
18,10
-
-
-
116,85
-
-
38
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
underwriting
underwriting
average
CAT
without
with
effect of
risk
diversification
diversification
diversification
0
1
-
29,84
219,77
182,29
17,1%
2
-
28,34
104,16
98,12
5,8%
3
-
25,17
64,82
60,18
7,2%
4
-
22,20
67,23
60,83
9,5%
5
-
19,43
69,41
61,49
11,4%
6
-
16,82
72,01
62,77
12,8%
7
-
14,38
74,86
64,44
13,9%
8
-
12,14
77,04
65,59
14,9%
9
-
10,02
80,99
68,56
15,4%
10
-
8,07
84,87
71,53
15,7%
11
-
6,21
93,24
79,01
15,3%
12
-
4,47
104,55
89,45
14,4%
13
-
2,86
118,33
102,42
13,4%
14
-
1,37
134,95
118,25
12,4%
39
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: i rischi assicurativi




Il rischio lapse (decadenza anticipata) è sensibilmente decrescente nei primi anni. Nei
primi anni risente del test sul “surrender floor”: il valore imputabile come rischio
lapse non può essere inferiore al 30% della differenza fra [valore attuale del] valore di
riscatto esigibile e Best Estimate della riserva . Successivamente questo vincolo non
ha effetto.
Il rischio di mortalità è poco materiale sul portafoglio di polizze miste.
Il rischio di sopravvivenza pur essendo presente nell’elemento di capitale differito,
non va misurato: per ciascun contratto occorre decidere se misurare il rischio di
mortalità o quello di sopravvivenza (escluso rischio di sopravvivenza legato ad
opzione in rendita)
Il rischio catastrofale si riferisce alla mortalità e non più (come nel QIS3) anche al
rischio lapse cioè alle conseguenze del catastrofico abbandono dei contratti non
appena il valore di riscatto diviene esigibile..
40
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
market
default
life
health
non life
0
1
235,21
0,92
182,29
-
-
2
446,71
1,89
98,12
-
-
3
607,13
2,78
60,18
-
-
4
724,66
3,61
60,83
-
-
5
802,33
4,39
61,49
-
-
6
842,09
5,11
62,77
-
-
7
849,92
5,78
64,44
-
-
8
830,65
6,42
65,59
-
-
9
782,89
7,01
68,56
-
-
10
712,39
7,57
71,53
-
-
11
618,81
8,06
79,01
-
-
12
508,80
8,49
89,45
-
-
13
390,30
8,88
102,42
-
-
14
280,09
9,23
118,25
-
-
41
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
TOT
TOT
average
without 2nd
with 2nd
effect of
level of
level of
diversification
diversification
diversification
BSCR
1
418,43
331,95
20,7%
327,11
2
546,71
481,26
12,0%
518,37
3
670,09
625,65
6,6%
644,92
4
789,10
743,17
5,8%
766,89
5
868,21
821,04
5,4%
848,79
6
909,96
861,29
5,3%
893,14
7
920,13
869,81
5,5%
905,75
8
902,66
851,14
5,7%
890,52
9
858,45
804,66
6,3%
848,43
10
791,49
735,61
7,1%
783,42
11
705,87
645,36
8,6%
699,66
12
606,74
540,60
10,9%
602,27
13
501,60
430,21
14,2%
498,74
14
407,57
333,04
18,3%
406,20
42
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.
year
BSCR
Thereof
and deferred
RPS adj.
taxes adj
Operational
SCR
1
327,11
4,83
-
30,00
357,11
2
518,37
5,16
-
29,98
548,35
3
644,92
5,42
-
29,95
674,88
4
766,89
5,09
-
28,14
795,03
5
848,79
4,78
-
26,43
875,21
6
893,14
4,72
-
24,82
917,96
7
905,75
4,55
-
23,31
929,06
8
890,52
3,11
-
21,89
912,41
9
848,43
2,15
-
20,55
868,99
10
783,42
0,56
-
20,33
803,75
11
699,66
0,16
-
21,85
721,51
12
602,27
0,09
-
23,23
625,49
13
498,74
0,03
-
24,48
523,22
14
406,20
0,02
-
25,60
431,80
43
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico



L’RPS adjustment è piccolo perché nel portafoglio esaminato è piccola la riserva DPF
per rivalutazioni discrezionali. Ciò si deve alla garanzia di minimo al 4% che è
prossima ai rendimenti futuri prevedibili della gestione separata.
Il Deferred Taxes Adjustment è nullo per prudenza. Tuttora sono presenti diverse
interpretazioni da parte delle Compagnie partecipanti. È la riduzione delle riserve per
imposte differite a seguito di uno shock (es. shock sui tassi di interesse). Non deve
essere inteso come effetto favorevole per l’eventuale cambio di regime fiscale con il
passaggio al bilancio di solvibilità 2 .
Il rischio operativo non risente dei benefici di diversificazione con gli altri rischi.
44
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (1)
Profit sharing
annual premium
1000
front end load
thereof
thereof
thereof overhead
initial comm.
renewal comm.
and service for claims
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
15
40
0
40
0
0%
term, age at entry, age shift, calc.age and sex (0=m, 1=f)
initial commission
on premium
renewal commission
on inv.yield
0%
renewal expenses (% deposit)
0,00%
0,00%
renewal expenses (per contract)
0
minimum guaranteed
initial expenses
claims cost
0,00%
0,0
inflation rate
SCR unit cost
0
2,50%
6%
4%
max invest.yield for the entity
2,00%
min invest.yield for the entity
0,10%
share for the Entity (gross)
5%
hipothesis on the concentrations of the cash flows
a) end of year: benefits paid to pol.holder, interests, fee for the sales agencies, renewal expenses
b) beginning of year: premiums, commissions
Mortality table used for pricing and for unit TP
initial local dac
period of amortization
Kind of application
SIM1981
10
0
(pure premium)
45
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (2)
realistic
mortality table
year
implied
lapses
(IPS55 imp.diff.)
surrender
free risk
free risk
segregated
penalty
spot
forward
fund inv.
rate
rate
yield
1
0,000753
0,0%
100,0%
4,70%
4,70%
4,22%
2
0,000757
0,0%
100,0%
4,53%
4,36%
4,31%
3
0,000771
6,0%
32,5%
4,51%
4,48%
4,21%
4
0,000801
6,0%
28,3%
4,53%
4,60%
4,33%
5
0,000861
6,0%
26,0%
4,55%
4,63%
4,30%
6
0,000917
6,0%
23,6%
4,58%
4,71%
4,11%
7
0,000964
6,0%
21,1%
4,61%
4,82%
4,24%
8
0,001034
6,0%
18,6%
4,65%
4,93%
4,60%
9
0,001108
6,0%
16,0%
4,70%
5,06%
4,46%
10
0,001186
6,0%
13,4%
4,74%
5,14%
4,66%
11
0,001279
6,0%
10,8%
4,78%
5,21%
4,33%
12
0,001389
6,0%
8,1%
4,82%
5,21%
4,23%
13
0,001521
6,0%
5,4%
4,85%
5,22%
4,23%
14
0,001681
6,0%
2,7%
4,88%
5,22%
4,21%
15
0,001862
100,0%
0,0%
4,90%
5,22%
4,22%
46
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (3)
segregated
minimum
fund inv.
guaranteed
yield
to policyholder
4,22%
4,00%
4,31%
for the entity
DPF
to policyholder
year
0,21%
0,01%
1
4,00%
0,22%
0,10%
2
4,21%
4,00%
0,21%
0,00%
3
4,33%
4,00%
0,22%
0,12%
4
4,30%
4,00%
0,22%
0,09%
5
4,11%
4,00%
0,11%
0,00%
6
4,24%
4,00%
0,21%
0,03%
7
4,60%
4,00%
0,23%
0,37%
8
4,46%
4,00%
0,22%
0,24%
9
4,66%
4,00%
0,23%
0,43%
10
4,33%
4,00%
0,22%
0,11%
11
4,23%
4,00%
0,21%
0,02%
12
4,23%
4,00%
0,21%
0,02%
13
4,21%
4,00%
0,21%
0,00%
14
4,22%
4,00%
0,21%
0,01%
15
47
P. DE ANGELIS
 3. Modello stocastico:
 Opzioni implicite
 Fonti di rischio e modelli stocastici dinamici
 Parametri market consistent
 Applicazioni
 4. Considerazioni finali
48
Fasi Operative per la Costruzione di un
modello interno
 Modello attuariale per il Fair Value del contratto
assicurativo:


Best Estimate Liability
Risk Margin Value:

Quantile Approach vs. Cost of Capital
 Definizione processi aleatori delle fonti di rischio e
scelta dei modelli stocastici dinamici
 Calibratura dei parametri dei processi aleatori
 Scelta delle misure di rischio
49
Fair Value e Misure di Rischio
 “The required capital is defined as the excess of the
insurer’s required assets over its liabilities to avoid
insolvency over the specified time horizon at some
given level of risk tolerance.”
K  X   W  X   V  X 
K  X   Required capital
W  X   Risk measure
V  X   Fair Value of liabilitie s
V  X   Best Estimate Liability  Risk Margin Value
50
Schema della Struttura Patrimoniale
Solvency II compliant
Fonte: CFO Forum
s
51
Modello Attuariale FV forme rivalutabili:fonti
di incertezza
 Assumiamo per il teorico mercato di riferimento le usuali
proprietà di efficienza, ovvero l’informazione è
disponibile a tutti gli operatori simultaneamente, ciascun
operatore agisce razionalmente e non sono possibili
profitti da arbitraggio non rischioso.
 Siano rt ; t  1,2,.... xt ; t  1,2,.... S t ; t  1,2,....,rispettivamente,
il processo aleatorio del tasso di interesse spot di mercato,
il processo aleatorio dell’intensità istantanea di mortalità
ed il processo aleatorio del valore del portafoglio
finanziario di riferimento, misurabili rispetto alle
filtrazioni F r , F  , F S
52
Fair Value di un contratto di assicurazione
rivalutabile
 Componente Base
Mista
Costante- Componente di deposito
 Opzione di partecipazione
PE pari al Minimo
a
Capitale
Opzione cliquet -
 Opzione in rendita
Opzione di tipo europeo
– PE pari al reciproco del coeff. Conversione
 Opzione di riscatto
American-style option
53
Fair Value di un contratto di assicurazione
rivalutabile: opzioni implicite
 Polizza mista rivalutabile a premio annuo costante
  n t

 m t
r,μ,S
[7] Ê Ct   t,t  τ  1 qx t τ  1, τ   t,n t  px t n t   P   t,t  τ  1 px t τ  1 Ft 
  τ 1

 τ 1

 t ,t     e

 rt  u du
il fattore di sconto stocastico tra t e t+τ;
0
   xt u : u du 
   xt u : u du 


0
 1
q x t   1,   e
1  e






   x t u : u du
p x  t    e 0
 1

 τ
  rt  u du 

ψt,t  τ    1  ρ t  k e 0
 k 1



la probabilità stocastica di decesso dell’assicurato
di età x+t nel t+τ - esimo anno di contratto;
la probabilità stocastica dell’assicurato di
età x+t di essere in vita tra τ anni;
τ
il prezzo stocastico in t di un zero coupon bond
indicizzato con valore nominale unitario e
scadenza in t+τ.
54
Fair Value di un contratto di assicurazione
rivalutabile: opzioni implicite

Contratto Base
 
B
x
FV t V

 r ,  
 Ft 


Contratto Base + Opzione di partecipazione
 
P
x
FV t V

s t
  s t

 Ê  C0  vt , t     1/1q x t  vt , s s t p x t   P  vt , t    1 1 px t
   1
 1

s t
  s t

 Ê   Ct  1 vt , t     1/1q x t  Cs vt , s s t p x t   P vt , t    1 1 p x t
   1
 1

 r , 
 Ft 


Contratto rivalutabile + opzione in rendita [Ballotta and Haberman (2003)]


  
FV t VxOTA  FV t VxP  Ê OTAs vt , s s t px t Ft r ,

dove il valore a scadenza dell’opzione di conversione in rendita è:
max G Cs ax s , Cs   Cs  G Cs max 0, ax s  K   Cs  OTAs
55
Fair Value di un contratto di assicurazione
rivalutabile: opzione di riscatto_backward recursive
procedure

Il valore di continuazione al tempo s-1 per la traiettoria j è pari a [Andreatta e
Corradin (2003)]:


Wsj1  v  j  s  1, s  Csj1 qx s 1  max G Cs j ax j s , Cs j  px  s 1  P

Al tempo t < s – 1


Fair Value dell’intero contratto
[8]



Wt  Ct q x t vt , t  1  p x t Eˆ vt , t  1Ft 1  P
[7]
FV tVxT   Ft  max Wt , Rt

Con opzione di conversione in rendita [Baione, De Angelis, Fortunati (2006)]




Wnj1    j  n  1, n Cn j 1 qxn1  max Cn j ; GCn j RVAx j n pxn1  P
56
Scelta modelli stocastici dinamici
 Rischio demografico
modello stocastico di tipo
Mean-Reverting Brownian Gompertz (MRBG).
 Rischio finanziario
Ross .
modello di Cox, Ingersoll e

57
Rischio demografico - modello MRBG
 La dinamica del processo  xt ; t  1,2,.... è descritta da un
modello stocastico di tipo Mean-Reverting Brownian
Gompertz (MRBG); in particolare se
 Tx
= V.A. durata di vita residua di un assicurato di età x,
  x t:t = intensità istantanea di mortalità stocastica di un
individuo di età x+t, osservata sull’anno di calendario t
allora:
[2]


s p x  Prob Tx  s F 0

   s  x t:t dt  
 E e 0
F0 


P. De Angelis
58
Rischio demografico - modello MRBG
[26]  x t   x:0e


g x t   Yt
, con g x ,  ,  x:0  0
g x riassume
x
la correzione di tipo deterministico prodotta
contestualmente dalla variazione dell’età e dall’effetto del
longevity risk, su cui si innestano perturbazioni aleatorie
prodotte dal processo Y
t
rappresenta la deviazione standard del processo  xt ;
 


  è un processo mean reverting, la cui dinamica è descritta da:
 Yt
[27] dYt  bYt dt  dWt  ,
con b il coefficiente di mean reverting e
standard.
Y0  0 , b  0
W  moto Browniano

t
P. De Angelis
59
Rischio finanziario - modello CIR
 
rt
 Per il processo
si assume una dinamica del
 tipo Mean Reverting Square Root,
[28]

drt  k   rt dt   r rt dWt

k


 r la volatilità dello spot rate,

r
il coefficiente di mean reverting,
il tasso normale di lungo periodo,
W un moto Browniano standard.
r
t
P. De Angelis
60
Rischio finanziario – Processo aleatorio
rendimento gestione separata
 La dinamica del portafoglio di investimento a cui sono agganciate le
prestazioni assicurative:
 benchmark : prevalente componente obbligazionaria ed una
minore componente azionaria
[29] dSt  rt St dt   S St dZ tS
 rt il valore dello spot rate al tempo t;

St
il valore dell’indice di riferimento al tempo t;

S
la volatilità dell’indice;

W  un moto Browniano standard.
S
t
P. De Angelis
61
Una applicazione del modello di Fair Value
Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
replicazioni:100.000).
Caratteristiche Contratto A: Premio annuo costante 1.000€
Sesso
M
Età all’emissione
40
Antidurata
Durata residua
0
15
Tasso tecnico di attualizzazione
4,00%
Tavola demografica
SIM 81
Capitale assicurato iniziale
19.984,23 €
Capitale rivalutato
19.984,23 €
Aliquota di retrocessione
95,0%
Coefficiente di conversione in rendita
7,06%
Penalità del valore di riscatto
5,50%
Aliquote di composizione del portafoglio di
riferimento:
Indice Azionario
Indice Obbligazionario
4,5%
95,5%
5,25%
62
Una applicazione del modello di Fair Value
Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
replicazioni:100.000).
Caratteristiche Contratto A1: Premio annuo costante 1.000€
Sesso
M
Età all’emissione
40
Antidurata
Durata residua
0
15
Tasso tecnico di attualizzazione
2,00%
Tavola demografica
SIM 81
Capitale assicurato iniziale
17.074,05 €
Capitale rivalutato
17.074,05 €
Aliquota di retrocessione
95,0%
Coefficiente di conversione in rendita
7,06%
Penalità del valore di riscatto
5,50%
Aliquote di composizione del portafoglio di riferimento:
Indice Azionario
Indice Obbligazionario
4,5%
95,5%
5,25%
63
Una applicazione del modello di Fair Value
Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
replicazioni:100.000).
Caratteristiche Contratto A2: Premio annuo costante 1.000€
Sesso
M
Età all’emissione
40
Antidurata
Durata residua
0
15
Tasso tecnico di attualizzazione
0,00%
Tavola demografica
SIM 81
Capitale assicurato iniziale
14.623,99 €
Capitale rivalutato
14.623,99 €
Aliquota di retrocessione
95,0%
Coefficiente di conversione in rendita
7,06%
Penalità del valore di riscatto
5,50%
Aliquote di composizione del portafoglio di riferimento:
Indice Azionario
Indice Obbligazionario
4,5%
95,5%
5,25%
64
Una applicazione del modello di Fair Value
Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
replicazioni:100.000).
Caratteristiche Contratto B: Premio annuo costante 1.000€
Sesso
M
Età all’emissione
40
Antidurata
Durata residua
5
10
Tasso tecnico di attualizzazione
4,00%
Tavola demografica
SIM 81
Capitale assicurato iniziale
19.984,23 €
Capitale rivalutato
20.084,23 €
Aliquota di retrocessione
95,0%
Coefficiente di conversione in rendita
7,06%
Penalità del valore di riscatto
5,50%
Aliquote di composizione del portafoglio di
riferimento:
Indice Azionario
Indice Obbligazionario
4,5%
95,5%
5,25%
65
Stima dei parametri
 Modello CIR: calibrazione sulle quotazioni degli
interest rate swaps, caps e floors al 31 dicembre
2007.
 Modello MRBG : stimatori di massima
verosimiglianza sulle variazioni delle intensità
istantanee di mortalità osservate sulle tavole di
mortalità ISTAT - anni di rilevazione: 1931, 1951,
1961, 1971, 1981, 1991; il parametro g x , s è stato
ricalibrato in riferimento alla tavola di mortalità
IPS55D.
66
Stima dei parametri

Stima dei parametri processo rendimento del portafoglio: serie
storica delle quotazioni giornaliere del ”JP Morgan GBI EMU” e
del “S&P /MIB Index”, osservate sul periodo 01/01/200731/12/2007.

Strategia finanziaria della gestione separata ispirata ad una
gestione passiva sul benchmark di riferimento.
 xt
rt
r0
k

r
0,0446
0,0036
0,1900
b

g
St
0,5
0,12
0,11
S0
S
 r ,S
100
0,03
-0,1
0,0010
67
Una applicazione del modello di Fair Value
Figura [1] Percorso Aleatorio del processo del tasso spot
r(t)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Anno di Bilancio
68
Una applicazione del modello di Fair Value
Figura [2] - Percorso Aleatorio del processo dell’intensità istantanea di
mortalità (per 1000)
x+t
2,80
2,30
1,80
1,30
0,80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Anno di Bilancio
69
Fair Value del contratto ed opzioni
Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A
Anno di
bilancio
Contratto
Base
Componente
Rivalutazione
Opzione
Minimo
Garantito
4%
0
-1.003,63
471,39
848,90
1.046,81
0,00
1.363,47
0,00
5
4.345,72
651,24
1.048,65
1.286,24
0,00
7.331,85
5.527,79
10
11.089,02
1.019,00
1.274,20
1.538,37
0,00
14.920,59
12.912,47
15
19.984,23
1.685,01
1.545,93
1.802,29
0,00
25.017,47
23.215,17
Opzione
di rendita
Opzione di
Riscatto
Fair Value
Contratto
Riserva
Matematica
70
Fair Value del contratto ed opzioni
Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A1
Anno di
bilancio
Contratto
Base
Componente
Rivalutazione
Opzione
Minimo
Garantito
2%
0
-2.465,49
1.910,80
341,76
971,01
0,00
758,08
0,00
5
2.524,67
2.462,69
418,83
1.194,28
0,00
6.600,46
5.496,30
10
8.807,76
3.326,71
501,87
1.431,98
0,00
14.068,32
12.627,30
15
17.074,05
4.679,27
592,25
1.681,76
0,00
24.027,32
22.345,57
Opzione
di rendita
Opzione di
Riscatto
Fair Value
Contratto
Riserva
Matematica
71
Fair Value del contratto ed opzioni
Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A2
Anno di
bilancio
Contratto
Base
Componente
Rivalutazione
Opzione
Minimo
Garantito
0%
0
-3.675,63
3.272,00
89,64
957,51
0,00
643,51
0,00
5
1.015,08
4.175,40
110,87
1.177,04
0,00
6.478,39
5.569,60
10
6.905,61
5.508,24
130,34
1.409,78
0,00
13.953,98
12.713,01
15
14.623,99
7.502,68
152,06
1.654,21
0,00
23.932,94
22.278,73
Opzione
di rendita
Opzione di
Riscatto
Fair Value
Contratto
Riserva
Matematica
72
Fair Value del contratto ed opzioni
Riserva Matematica e Fair Value del Contratto B
Anno di
bilancio
Contratto
Base
Componente
Rivalutazione
Opzione
Minimo
Garantito
4%
5
4.422,85
451,88
699,91
1.645,53
0,00
7.220,17
5.464,86
10
11.202,64
622,41
864,54
2.024,53
0,00
14.714,12
12.344,80
13
16.169,53
798,58
972,49
2.261,35
0,10
20.202,05
17.703,74
15
19.984,23
951,91
1.051,92
2.422,86
0,00
24.410,93
21.988,07
Opzione
di rendita
Opzione di
Riscatto
Fair Value
Contratto
Riserva
Matematica
73
Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto :
Contratto A – senza OTA
Coefficiente Penalità Riscatto
Minimo Garantito
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
0,00%
309,12 180,05
72,88
8,44
0,00
0,00
0,00
1,00%
200,86
87,87
20,58
0,84
0,00
0,00
0,00
1,50%
149,68
43,52
12,50
0,00
0,00
0,00
0,00
2,00%
116,00
32,78
5,11
0,00
0,00
0,00
0,00
2,50%
97,73
20,97
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3,00%
72,51
12,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3,50%
55,54
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4,00%
32,67
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
74
Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto :
Contratto A
Coefficiente Penalità Riscatto
Coefficiente Conversione
Rendita
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
4,61%
830,96 371,46 104,33
6,54
0,00
0,00
0,00
5,19%
782,61 355,45 106,98
0,95
0,00
0,00
0,00
5,49%
737,96 340,44
98,94
0,00
0,00
0,00
0,00
5,79%
674,50 311,29
89,97
0,00
0,00
0,00
0,00
6,10%
609,55 266,49
77,30
0,00
0,00
0,00
0,00
6,42%
524,18 232,73
60,89
0,00
0,00
0,00
0,00
6,74%
451,33 195,76
38,24
0,00
0,00
0,00
0,00
7,06%
365,67 148,13
17,48
0,00
0,00
0,00
0,00
75
Analisi di sensitività dell’opzione di
conversione in rendita : Contratto A
Minimo Garantito
Coefficiente
Conversione Rendita
0,00%
4,61%
9,81
1,00%
5,19%
80,33
1,50%
5,49%
153,47
2,00%
5,79%
242,06
2,50%
6,10%
412,26
3,00%
6,42%
571,18
3,50%
6,74%
749,95
4,00%
7,06%
1.005,00
Opzione
Rendita
76
Alcune considerazioni finali
Implementazione di un modello di
Rating per le compagnie vita
77
77
Passi operativi per l’implementazione di un
modello di Rating per le compagnie vita
Rating   K  X , X ,  
 Specificazione modello matematico per il Fair Value
della riserva matematica
 Coerenza con il principio IAS 39
 Specificazione processi aleatori implicati dalle fonti di
rischio tipiche della gestione assicurativa vita.
 Definizione approccio operativo
 Quantile Approach vs Cost of Capital.
 Calibratura coefficiente di sicurezza su dati di
mercato.
78
78
Collegamento tra Security factor –probabilità
di default e rating di impresa.
 È possibile fissare una relazione tra il livello di Security Factor (SF)
e la probabilità di default, direttamente osservabile sul mercato,
ovvero:
SF  1 Pr ob_Default 0, T 
T
essendo
 Prob_Default: la probabilità annua di default riferita ad una
esposizione al rischio su T anni, per una data classe di rating,
osservata sul mercato;
 T : una misura del tempo di esposizione al rischio della compagnia
rispetto al tempo di run-off del portafoglio.
79
Ordinamento statistico del FV della riserva
matematica
4000
3500
Numero Simulazioni
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.5
1
1.5
Euro
2
2.5
x 10
4
80
Calibratura Market Consistent del coefficiente di
sicurezza
Rating
Y1
Y5
Y10
Y15
AAA
0,000
0,096
0,443
0,583
AA
0,010
0,293
0,815
1,276
A
0,041
0,586
1,831
2,847
BBB
0,274
2,831
5,824
8,320
BB
1,117
10,653
18,294
21,576
B
5,383
24,161
32,377
37,181
CCC/C
27,021
47,560
53,047
55,896
Rating
Y1
Y5
Y10
Y15
AAA
100,000
99,904
99,557
99,417
AA
99,990
99,707
99,185
98,724
A
99,959
99,414
98,169
97,153
BBB
99,726
97,169
94,176
91,680
BB
98,883
89,347
81,706
78,424
B
94,617
75,839
67,623
62,819
CCC/C
72,979
52,440
46,953
44,104
Coefficienti di sicurezza
Fonte: Standard & Poor's CreditPro®
81
Capitale Economico e Rating del portafoglioContratto A
FV Riserva
1.363,47
MdS
96,95
Rating
Security Factor
VaR
Requisito di
Capitale
CTE
Requisito di
Capitale
AAA
99,42%
10.992,37
9.157,52
12.102,39
10.267,53
AA
98,72%
9.794,69
7.959,84
11.165,07
9.330,21
A
97,15%
8.167,32
6.332,46
9.930,74
8.095,88
BBB
91,68%
5.618,26
3.783,40
7.790,13
5.955,27
BB
78,42%
2.663,62
828,77
5.430,63
3.595,77
B
62,82%
1.258,88
0,00
3.889,40
2.054,54
CCC/C
44,10%
1.258,78
0,00
3.009,46
1.174,60
82
Capitale Economico e Rating del portafoglioContratto A1
FV Riserva
758,08
MdS
88,22
Rating
Security Factor
VaR
Requisito di
Capitale
CTE
Requisito di
Capitale
AAA
99,42%
8.635,96
5.967,08
9.604,10
6.935,22
AA
98,72%
7.655,59
4.986,71
8.787,75
6.118,88
A
97,15%
6.356,55
3.687,67
7.811,83
5.142,95
BBB
91,68%
4.164,99
1.496,12
6.024,28
3.355,41
BB
78,42%
1.730,36
0,00
4.049,94
1.381,06
B
62,82%
646,79
0,00
2.777,58
108,70
CCC/C
44,10%
646,71
0,00
2.064,80
0,00
83
Capitale Economico e Rating del portafoglioContratto A2
FV Riserva
643,51
MdS
80,87
Rating
Security Factor
VaR
Requisito di
Capitale
CTE
Requisito di
Capitale
AAA
99,42%
7.867,37
3.951,85
8.817,97
4.902,45
AA
98,72%
6.908,18
2.992,67
8.020,33
4.104,81
A
97,15%
5.829,27
1.913,75
7.100,85
3.185,33
BBB
91,68%
3.837,64
0,00
5.511,82
1.596,30
BB
78,42%
1.599,96
0,00
3.719,61
0,00
B
62,82%
568,27
0,00
2.558,53
0,00
CCC/C
44,10%
568,19
0,00
1.892,76
0,00
84
Capitale Economico e Rating del portafoglioContratto B
FV Riserva
7.220,17
MdS
262,45
Rating
Security Factor
VaR
Requisito di
Capitale
CTE
Requisito di
Capitale
AAA
99,56%
18.983,50
11.311,46
20.090,71
12.418,67
AA
99,19%
17.861,99
10.189,95
19.217,35
11.545,31
A
98,17%
16.194,16
8.522,12
17.957,35
10.285,30
BBB
94,18%
13.438,57
5.766,53
15.637,68
7.965,63
BB
81,71%
9.766,34
2.094,30
12.704,41
5.032,37
B
67,62%
7.499,80
0,00
10.896,25
3.224,21
CCC/C
46,95%
7.129,48
0,00
9.442,51
1.770,46
85
Possibili sviluppi scientifici
 Management option
 Simulazione numerica, ottimizzazione
stocastica e procedure di mitigazione del
rischio
 Procedure di ottimizzazione e regole di
allocazione del capitale di rischio
 Longevity Bond e applicazioni di finanza
matematica al processo aleatorio
86
Referencees
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