Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Lezione 3 Acceleratori
•Lezione 3.
….. riassunto
– Anelli di collisione
• Generalità e definizione della luminosità (R=s L)
– Oscillazioni e stabilità dei fasci
• Oscillazioni longitudinali o di fase o di
sincrotrone dovute alla radiofrequenza
• Oscillazioni trasversali o di betatrone. Sono
causate dai campi magnetici.
• Piano di fase trasverso : Emittanza ed accettanza
Rivelatori di Particelle
1
Lezione 3 Anelli di collisione
Anelli di accumulazione ( generalità )
In un Collider tutto funziona come in un sincrotrone, ma le particelle non
vengono estratte alla fine del ciclo, ma mantenute nell’anello (e+e-, p-antip) o
negli anelli ( pp ) e mandate a collidere l’una contro l’altra.
In un anello di collisione si guadagna moltissimo in energia ( siamo nel c.m.)
anche se si perde in rate. [ luminosità minore]
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2
Lezione 3 Anelli di collisione
Energia
a
a b
b
Anelli di collisione
|pa|=|pb|
s=(Ea+Eb)2
Acceleratore
pb=0
s=ma2+mb2+2Eamb
~2Eamb
s½ (GeV)
E fascio (GeV)
Acceleratore
E fascio (GeV)
Collider
pp
10
100
1000
52
5200
5.4x105
5
50
500
e+e-
1
10
100
103
105
107
0.5
5
50
Rivelatori di Particelle
3
Lezione 3 Luminosità
Un anello di collisione non è altro che un sincrotrone  fasci in bunch.
Un bunch colpisce un altro bunch che si muove in senso opposto.
In questo caso più che di intensità del fascio (fasci) si parla di
luminosità della macchina. La luminosità dipende anche dalla
geometria dei fasci e dalla loro densità.
La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’urto
unitaria.
Per chiarire il concetto consideriamo:
1)
un fascio estratto da un acceleratore che colpisce una targhetta.
2)
due fasci di un collider che collidono l’uno contro l’altro.
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Lezione 3 Luminosità
1)
Fascio su targhetta
Consideriamo un fascio di intensità n1 particelle che colpisce una
targhetta di lunghezza l e di densità di particelle n2 
per ogni singola particella il numero di interazioni nella targhetta sarà
N=sintx n2xl
essendo sint la sezione d’ urto di interazione. Le dimensioni trasverse del
fascio e della targhetta non entrano in gioco (targhetta > dimensioni
fascio).
Il rate è
R=(dN/dt)=sintxn1xn2xl
e combinando le caratteristiche della targhetta e del fascio:
R=sintxL
L = luminosità ed ha le dimensioni [cm-2s-1]
La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’ urto
unitaria.
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Lezione 3 Luminosità
2)
Collider
Nel caso di un collider invece:



Importano le dimensioni ed allineamento dei fasci.
Possiamo non essere nel c.m. (Hera, PEP2).
Le particelle (bunch) possono incrociarsi ad angoli ≠ 0.
Quale semplice esempio consideriamo un collider ad e+e- oppure protone
antiprotone. In questo caso i due fasci viaggiano nello stesso anello, in direzioni
opposte, ma collidono in pochi punti, poiché sono tenuti separati al di fuori di questi
punti.
Nel caso protone-antiprotone si possono tenere separati i due fasci con dei
quadrupoli. Nel caso e=e- (LEP) i due fasci sono tenuti separati
elettrostaticamente.
4 metri
+
Rivelatori di Particelle
Vmax=± 150 KV
6
Lezione 3 Luminosità
Consideriamo 2 pacchetti in cui la densità di particelle per unità di area nel
piano trasverso è dato da:
dn1
n1

e
ds 2s xs y
 2

y2

 x

2
 2s x2
2
s
y 

dn2
n2

e
ds
2s xs y
 2

y2

 x

2
 2s x2
2
s
y 

Cioè 2 distribuzioni gaussiane identiche e normalizzate ad un totale di n1 ed n2
particelle rispettivamente.
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Lezione 3 Luminosità
Il numero di interazioni per ogni incrocio dei fasci si ottiene integrando
su tutte le particelle del fascio 1 moltiplicato per la loro probabilità di
interazione.
● Il numero di particelle del fascio 1 in un elemento di area dxdy è:
dn1  x, y  
n1
2s xs y
e
 2

y2

 x

2
 2s x2
2
s
y 

 dxdy
● la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 che si trova
in x,y è:
p ( x, y )  dn2  x, y  
n2
2s xs y
e
2
 2


 x
y
2
 2s x2
2
s
y 

 s int
= al numero di particelle del fascio 2 che si trovano in un’area pari alla
sint
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Lezione 3 Luminosità
Il numero totale di interazioni per bunch e per incrocio sarà:
N int   dn1  x, y p x, y   s int
 s int

n1n2
4 2s x2s y2
 dx  e
x
2
s x2


 dxe

x
y
2
y
1
2 s
 dxe
e




dxdy
2
s y2


 s
2
x
 dy  e
2
s x2
4 s s
2

Infatti:

n1n2
 x2 y2
 2  2
s s
y
 x
 s int
n1n2
4s xs y
x2
2  s



2
2
  s
2
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Lezione 3 Luminosità
Se abbiamo k pacchetti in ogni fascio ( 2k punti di incrocio ) e se f è la
frequenza di rivoluzione il rate per incrocio, essendo n1,2 il numero
totale di particelle per anello è:
R  s int  L 

n1n2
4s xs y k
L
 fs int
n1n2 f
4s xs y k
Oppure usando le correnti i1=n1ef ed i2=n2ef
i1i2
L
4kfs xs y e 2
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Lezione 3 Luminosità
• Esempio: paragone acceleratore-collider (stessa energia nel c.m. e
stessa sezione d’urto di interazione (e.g. e.m. ~ 1mb)
• Acceleratore
n= densità del fascio incidente =1012 particelle s-1
r= densità della targhetta = 1gr/cm3
n (s-1)
< l >
l= spessore della targhetta =1cm
sint= sem = 1mb
A= numero di Avogadro = 6x1023
R  n  r  l  A  s int  6 105 s 1
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Lezione 3 Luminosità
• Collider
n1=n2= particelle per bunch
n1
n2
i1= i2=i=50 mA  n1=n2=n=i/(ef)= 3.3x1011 particelle
F= sezione trasversa dei fasci= 0.1x0.01 cm2
B= numero di bunch = 1
f= frequenza di rotazione = 106 s-1
R
n1  n2  f
i i
 s int  1 2 2  s int  100s 1
F
f e  F
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Lezione 3 Luminosità
Osserviamo L ~ 1032 cm-2 s-1.
Luminosità tipiche di collider e+e- sono 1031÷1032
LHC (pp) ha una luminosità di progetto di 1034
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Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci
La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano
in pacchetti (bunch).
In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la
particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma
comunque molto vicina a FS ) delle oscillazioni di sincrotrone o
oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia).
Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a
quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in
genere minore) alla frequenza di rivoluzione.
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Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci
Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione
dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve
passare nella RF quando questa ha una fase FS</2 per
un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con
quadrupoli) quando la particella accelerata è non
relativistica ( g ~1 ), mentre per g più elevato deve essere
/2<FS<.
Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che
cambia per g più elevato  devo spegnere la RF  si
spacchetta il fascio  posso perdere il fascio.
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Lezione 3 Stabilità dei fasci
La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:
w
2
t

2bc
L
Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.
Differenziando ln(w) otteniamo:
dw
w

dt
t

db
b

 dp
dL  1
  2  a p 
L g
 p
Ricorda p=gbc
Dove ap è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come ap=(dL/L)/(dp/p)
L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:
htr 
1
g2
a p 
1
g2

1
g tr2
Si osserva che htr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=gtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni
all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.
È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.
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Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone
Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata
con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:
Energia totale U = Us+dU
Impulso p = ps+dp
Frequenza angolare w = ws+dw
Periodo di rivoluzione t = ts+dt
( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo
scrivere:
wrf = hws
Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un
giro della particella sincrona. Se indichiamo con fs la fase del voltaggio della RF quando la particella
sincrona arriva alla cavità RF e con f quella della particella generica avremo:
= df  f – fs
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Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone
Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi
quando la particella attraversa la cavità a RF):
DU = qV sinf
DUs = qV sinfs
Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU)n=U-Us alla
fine del giro n sarà:
(dU)n+1=(U+DU)-(Us+D Us)
Dopo un giro avremo che dU cambia di
D(dU)=DU- DUs=qV(sinf-sinfs)
Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:
d dU  DdU  qV


w s sin f  sin fs 
dt
ts
2
Che diventa definendo W=-dU/wrf=-(U-Us)/wrf
dW qV
sin fs  sin f 

dt
2h
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Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone
Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:
Dd/dt)ts=wrfdt
Dove dt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.
Dopo un giro dt cambia di:
D(dt)=t-ts=dt=-htrt(dp/p)
2
d w rf h tr
 2 W
dt
b Us

Dove
dp
p

1
dU
b 2U
Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d2/dt2 otteniamo per le
oscillazioni di fase della particella generica:
hws2htr qV
sin f  sin fs   0

2b 2U s
..
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Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone
hws2htr qV
sin f  sin fs   0

2b 2U s
..
Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:
sin f  sin( fs   )   cos fs  sin fs
ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:
..
  W 2s  0
W s  ws
con
hhtr cos fs qV
2b 2g mc 2
Ws è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.
Osserviamo che htrcosfs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e
per assicurare la stabilità di fase.
Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che
Ws/ws<<1.(meno di un’oscillazione per giro).
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Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone
Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare
con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di
quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che
funzionano quali lenti convergenti (divergenti).
 Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di
betatrone
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Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone
Oscillazioni di btrone.
Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.
P1
P2
P2
P1
s
Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e
verticale in direzione).
P1 dista da P2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa
per giro. (numero di oscillazioni = nx=Q=1).
Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà
una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m  tubo a vuoto
enorme ed apertura del magnete enorme.
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Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone
Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.
 Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)
Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione
trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di
riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio
attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Oscillazioni di betatrone
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Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone
Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le
oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di
sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc 100000 Tbtrone (radiali) ).
Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da
quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).
Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza >
di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la
dispersione in impulso.
 Tubo a vuoto ellittico
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Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci
Consideriamo il sistema di coordinate:
y
x
s
y’=dy/ds
x’=dx/ds
Si puo’ mostrare che:
R( s )  gy 2  2ayy ' by '2  R0  ellisse  costante
1
1  b '2 

a  b ' , g  1 
2
b
4 
Discorso del tutto analogo per le x.
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Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci
L’equazione:
R( s )  gy 2  2ayy ' by '2  R0  ellisse  costante
è l’equazione di un’ ellisse di area R2=ss’ con s e s’ = semiassi
dell’ellisse.
L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare
di s, in quanto a, b, g dipendono da s.
b (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e
bs/s’
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Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci
bs/s’

In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero
focalizzare nel punto d’interazione.
bI.P.=0.5 m
<b>arc=80 m
LHC
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Lezione 3 Emittanza ed accettanza
Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del
fascio sono contenuti in R0 (area ellisse), R0 è per definizione
l’emittanza del fascio.
Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.
Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso
delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano
trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente
(ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:
R( s) R( s)
cost 

p
bgm
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Lezione 3 Emittanza ed accettanza
Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)
y’
y’B
B
yB
y
L’inviluppo delle traiettorie delle
particelle del fascio non è altro
che l’ascissa del punto B (quello
con la y maggiore) in funzione di
s
 Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia
del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il
fascio di accettanza nota.
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Lezione 3 Emittanza ed accettanza
Accettanza.
L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla
camera a vuoto all’iniezione.
Accettanze ed emittanze si esprimono in  (mmxmrad)
Accettanza tipica di un sincrotrone è:
~ 30  (mmxmrad)
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