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Approssimazione FD 1D su griglia non uniforme

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Approssimazione FD 1D su griglia non uniforme
Approssimazione
FD 1D su griglia non
uniforme
Metodi analitici e numerici per
l’Ingegneria Aerospaziale
15 Ottobre 2004
1
Il problema continuo
Consideriamo il problema:
dove ,g>0, f2C0(a,b) è data, con condizioni al
contorno:
dove ua e ub sono due valori assegnati.
2
Griglia non uniforme
Introduciamo sull’intervallo (a,b) una griglia non
uniforme di n nodi:
a = x 1<x 2<...<x n-1<x n = b
Definiamo i seguenti passi di discretizzazione:
hi := x i+1 – x i, i = 1,...,n-1
Indichiamo con ui l’approssimazione di u(x i).
Vogliamo calcolare ui, per i=1,...,n, usando uno
schema alle differenze finite.
3
Sviluppi con Taylor
A tale scopo calcoliamo uno schema centrato del
secondo ordine per la derivata prima e seconda.
Utilizziamo le formule di Taylor centrate in x i.
Poichè x i-1 = x i – hi-1 e x i+1 = x i + hi, abbiamo:
4
Approssimazione della derivata prima
Usando uno schema del tipo:
Du(xi) = -1u(xi-1) + 0u(xi) + 1u(xi+1),
otteniamo:
5
Approssimazione della derivata prima
Dobbiamo quindi richiedere che:
da cui otteniamo la soluzione:
6
Approssimazione della derivata prima
Abbiamo dunque il seguente schema centrato per
la derivata prima:
che, se u 2 C3(a,b), è accurato al secondo ordine
nel senso che l’errore si comporta come hi-1 hi.
7
Approssimazione della derivata seconda
Analogamente, usando uno schema del tipo:
D2u(xi) = -1u(xi-1) + 0u(xi) + 1u(xi+1),
otteniamo:
8
Approssimazione della derivata seconda
Dobbiamo quindi richiedere che:
da cui otteniamo la soluzione:
9
Approssimazione della derivata seconda
Abbiamo dunque il seguente schema centrato per
la derivata seconda:
Osserviamo che l’errore commesso, se u 2C3(a,b)
è:
Quindi lo schema è del primo ordine!
10
Approssimazione della derivata seconda
Per trovare uno schema del secondo ordine
abbiamo bisogno di uno stencil composto da
almeno 4 punti. Per ragioni di simmetria si usa
uno stencil con 5 punti:
x i-2, x i-, x i, x i+1, x i+2.
Useremo nel seguito lo schema riportato sopra.
Lasciamo per ESERCIZIO il calcolo di tale
schema. Si noti che in questo caso è necessario
calcolare schemi non centrati per il secondo e il
penultimo nodo.
11
Equazioni sui nodi interni
Otteniamo quindi le seguenti equazioni sui nodi
interni x 1, ..., x n-1:
Da cui:
12
Equazioni sui nodi di bordo
Bisogna ancora scrivere due equazioni per i nodi
di bordo in modo da ottenere un sistema
quadrato. Sfruttiamo le condizioni al contorno.
Per le condizioni di Dirichlet abbiamo
semplicemente:
un = ua,
mentre per le condizioni di Neumann
dobbiamo ancora cercare uno schema adeguato
(del secondo ordine non centrato).
13
Approssimazione della derivata prima: schema non centrato.
Utilizzando nuovamenti le formule di Taylor:
14
Approssimazione della derivata prima: schema non centrato.
e procedendo in maniera analoga a quanto fatto
prima, otteniamo lo schema:
che è accurato al secondo ordine, purchè
u2C3(a,b).
Discretizzando la condizione di Neumann
otteniamo quindi l’equazione:
15
Il problema discreto
Otteniamo quindi il seguente sistema lineare (di n
equazioni in n incognite):
Au = f ,
dove u = [u1,u2, ... ,un-1,un], f = [ua,f2, ... ,fn-1,ub] e
con:
per i = 2, ..., n-1:
16
Approssimazione della derivata seconda
ed
. Gli altri elementi di A sono nulli.
17
Condizione di Dirichlet: eliminazione di riga e colonna
Risolvendo il sistema appena scritto, abbiamo
incluso un tra le incognite. In realtà grazie alla
condizione di Dirichlet un è noto!
Abbiamo quindi n-1 incognite ) dobbiamo scrivere
n-1 equazioni nelle n-1 incognite u1,…, un-1. Le
equazioni sono ovviamente quelle relative ai nodi
interni e alla condizione di Neumann.
Osserviamo l’equazione relativa all’ultimo nodo:
18
Condizione di Dirichlet: eliminazione di riga e colonna
Tale equazione può essere riscritta come:
19
Il problema discreto
Abbiamo quindi il sistema (di n-1 equazioni in n-1
incognite):
Âu = c,
dove u = [u1,u2, ... ,un-1], c = [ua,f2, ... ,fn-1-cub],
con c =
,
e  = A(1:n-1,1:n-1) .
Possiamo dire che abbiamo eliminato, in maniera
opportuna, una riga e una colonna di A, quelle
relative al nodo con condizioni di Dirichlet.
20
Il probelma discreto
Osserviamo che:
• se ub = 0 possiamo limitarci ad eliminare
semplicemente una riga e una colonna di A ;
se in a avessimo avuto una condizione di
Dirichlet avremmo dovuto operare in maniera
analoga, ottenendo così un sistema tridiagonale
(n-2) x (n-2) .
•
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