Modelli di capacità in strutture esistenti in c.a. e muratura

Corso di Formazione per
“Tecnico per il recupero edilizio ambientale”
Modulo E: Lezione n.3
12/03/2008
Modelli di capacità di strutture esistenti
26/03/2008
Verifiche di vulnerabilità sismica secondo OPCM 3274
02/04/2008
Analisi statica non-lineare di strutture intelaiate
07
09/04/2008
Applicazione ad un caso studio
Enzo Martinelli
Sommario
1. Definizioni e concetti di base;
2. Comportamento non lineare delle membrature;
3. Approcci alternativi per l’analisi non-lineare;
4. Le analisi pushover ed il Metodo N2;
5. Prime applicazioni di confronto.
Definizioni e
concetti di base
Concetti introduttivi: Azioni Sismiche
Poiché è ampiamente accettato il concetto che la massima variabilità nella risposta
dinamica delle strutture sia certamente ascrivibile all’azione sismica stessa, è
necessario disporre di modelli affidabili per la sua descrizione.
I dati relativi all’azione sismica di interesse per l’esecuzioni di analisi rivolte alla
descrizione del comportamento strutturale dipendono anche dal tipo di analisi che si
intende realizzare.
Tuttavia, uno dei dati di base per la descrizione dell’azione sismica è la storia di
accelerazioni indotte al suolo. A tale storia si da il nome di accelerogramma e, ai fini
della valutazione della vulnerabilità sismica delle strutture, si può far riferimento ad
accelerogrammi di diversa genesi:
- accelerogrammi naturali;
- accelerogrammi sintetici spettro compatibili;
- accelerogrammi derivanti da modelli sismologici.
Concetti introduttivi: Azioni Sismiche
Accelerogrammi naturali
ag [m/s2]
Le prime registrazioni accelerometriche risalgono agli albori dell’Ingegneria
Sismica e sono state effettuate negli anni ’40 del secolo scorso.
Gli
accelerogrammi
naturali
4.0
18/05/1940 Imperial Valley (CA, USA); N-S component conservano
le caratteristiche
(M=7.1; d=6.6 km)
3.0
specifiche dell’evento sismico in
2.0
termini di relazione tra parametro
di Intensità I nel sito, Magnitudo
1.0
M dell’evento e distanza d del sito
0.0
dall’epicentro:
0
5
10
15
20
25
30
-1.0
log I  b  g M ( m )  g D ( d )  
-2.0
(legge di attenuazione)
-3.0
PGA
-4.0
t [s]
L’utilizzo di tali accelerogrammi per analisi in siti diversi da quello di
registrazione può essere fuorviante poiché, anche a parità di “Intensità” le loro
caratteristiche possono essere molto diversa da quelle del sisma atteso.
Spettri di Risposta Elastici
Definizione dello spettro di risposta
A partire dal segnale accelerometrico, si possono valutare i suoi “effetti” su un
sistema ad un grado di libertà (SDOF). Per valutare tali effetti è necessario
integrare le equazioni del moto.
Si può procedere integrando le equazioni differenziali al fine di determinare la
legge oraria del moto x(t) ed i valori di velocità ed accelerazione:
mx  cx  kx  mx g
L’integrazione delle equazioni del moto possono condursi secondo diverse
metodologie, tutte di carattere numerico, data la natura del segnale per il quale
non esiste una unica espressione matematica in forma chiusa:
- Differenze finite;
- Metodo di Newmark ;
- Integrazione a tratti in forma chiusa.
t   t i , t i 1 
x g t   ai 
a i 1  a i
 t  t i 
t
mx  cx  kx  mx g ( t )

x ( t i )  x i
x ( t )  x
i
 i
Spettri di Risposta Elastici
Definizione dello spettro di risposta
k 2


m T
x  2x x   x  x g
2
x
c
c

c cr 2 km
Lo spettro di spostamento Sd(T,x) può definirsi come segue:
Sd T , x   max x ( t )
t
T ,x
La pseudo-velocità Sv(T,x) è la massima velocità nelle oscillazioni libere di un
sistema non smorzato di periodo T a partire da uno spostamento Sd(T,x):
Sv T , x     Sd T , x 
La pseudo-accelerazione Sa(T,x) è la massima accelerazione (assoluta) che si
ottiene a partire da uno spostamento pari a Sd(T,x):
Sa T , x     Sv T , x 
Spettri di Risposta Elastici
Definizione degli spettri di risposta
0.45
12
Spettro di spostamento
18/05/1940 Imperial Valley (CA, USA); N-S component
0.4
10
0.35
1.2
(M=7.1; d=6.6 km)
Spettro di pseudo-velocità
1
S [m]
Saede[m/s2]
0.3
8
0.8
Sve [m/s]
0.25
6
0.2
0.15
4
0.1
2
0.05
0.6
0.4
0.2
18/05/1940
Imperial Valley (CA, USA); N-S component
18/05/1940 Imperial Valley (CA, USA); N-S component
(M=7.1;
(M=7.1;d=6.6
d=6.6 km)
km)
Spettro di pseudo-accelerazione
0
0
0
0
0.5
0.51
1 1.5
1.5
2
2
T [s]T [s]
2.5 2.5
3 3
3.5
3.5
4
4
Spettri di Risposta Elastici
Definizione degli spettri di risposta: rappr. alla Newmark-Hall (1982)
La rappresentazione approssimata degli spettri di risposta elastici proposta da
Newmark & Hall (1982) si base sulla seguente definizione:
Ae ( T )  C a  PGA 0.4T1  T  T1
Ve ( T )  C v  PGV
T1  2 
T1  T  T2
De ( T )  C d  PGD T2  T
12
Il valore dei fattori Ca, Cv e
Cd si può ricavare da una
regressione numerica; valori
tipici sono stati individuati
da Vidic et Al. (1994) per
varie zone geografiche.
10
C v  PGV
C a  PGA
T2  2 
C d  PGD
C v  PGV
18/05/1940 Imperial Valley (CA, USA); N-S component
(M=7.1; d=6.6 km)
Sae [m/s2]
8
Ca=2.776
Cv=1.589
6
Cd=2.000
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
T [s]
2.5
3
3.5
4
Spettri di Risposta Elastici
14
12
8
6
4
2
0
Suolo A
Zona 1
0.00
T 
Sv (T ,Suolo
x )  SB,a (C,
T ,Ex )  

2



Suolo D
0.50
1.4
0.45
Zona 1
1.2
T 
Sd (T , x )  Sv (T , x )  

 2 
0.40
1.0
Spostamento S d [m]
10
Zona 1
1.6
pseudo-velocità spettrale Sv [m/s]
pseudo-accelerazione spettrale S a [m/s2]
Spettri di progetto elastici (Sa-T, Sv-T, Sd-T): OPCM 3431/05
0.8
0.6
0.4
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.2
0.50
0.0
0.00
0.10
1.00
Suolo A
Suolo B, C, E
Suolo A
Suolo D 2.00
1.50
0.05
0.50
1.00
0.00
0.00
2.50
3.00
3.50
4.00
Suolo B, C, E
3.50
Suolo
D
4.00
T [s]
1.50
2.00
2.50
3.00
T [s]
0.50
1.00
1.50
2.00
T [s]
2.50
3.00
3.50
4.00
Spettri di Risposta Elastici
Spettri di progetto elastici in formato ARDS (Acceleration-Displacement)
14.0
Zona 1
Suolo D
Pseudo-Accelerazione Sa [m/s 2]
12.0
Suolo B, C, E
Suolo A
10.0
 T 
S a ( T , x )  Sd ( T , x )  

 2 
8.0
2
6.0
4.0
2.0
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Spostamento [m]
0.35
0.40
0.45
0.50
Spettri di Risposta Inelastici
Spettri di progetto inelastici
Per un oscillatore semplice con
resistenza maggiore o uguale al
valore Fel(T) la risposta al sisma
atteso è di tipo elastico.
F
Fel(T)=mSa(T)
Fy
Se si assume un valore di resistenza
Fy<Fel(T) ed un comportamento non
fragile, la risposta è caratterizzata
da un certo numero di escursioni in
campo plastico con valore dello
spostamento massimo pari a xmax.
xy
xmax
x
Ad ogni valore di resistenza Fy<Fel corrisponde uno spostamento massimo richiesto
xmax, ovvero, rapportando tale spostamento a quello al limite elastico xy, una
duttilità cinematica richiesta m:
m F y ,T  
 
F ,T 
x max F y , T
xy
y
Spettri di Risposta Inelastici
Spettri di progetto inelastici
In base alle caratteristiche dei materiali e dei criteri di progetto adottati, le
strutture dispongono di valori limitati di duttilità m. Ha senso, dunque,
introdurre la definizione di fattore di riduzione delle forze Rm in funzione di
tale valore di duttilità disponibile:


Rm F y , T 
1
Fel T 
F y T ; m 
Sad  T  
0.8
Se  T ; x 
q
Sae/ag
0.6
a
q  Rm  u
ay
Spettro di progetto
0.4
0.2
0
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
T[s]
Considerando poi il comportamento incrudente delle strutture e definendo il
rapporto di incrudimento come au/ay si può definire il fattore di struttura
previsto dalle norme.
3.50
Spettri di Risposta Inelastici
Spettri di progetto inelastici: proposta di Vidic et Al. (1997)
La proposta di Vidic, Fajfar e Fischinger (1997) conserva l’assunzione della
cosiddetta Regola di Uguaglianza degli Spostamenti (Equal-Displacement Rule),
ma adotta una diversa legge di riduzione per i bassi periodi.
T
Rm  1.0  ( m  1) 
T0
Rm  m
T  T0
T  T0
T0  TC
Rm- Vidic, Fajfar e Fischinger
6
Non conservativo
5
4
3
2
1
Conservativo
0
1
2
3
4
La proposta in oggetto è stata recepita sia dalla 0Normativa
Italiana
che
dall’Eurocodice 8.
Rm-Analisi numerica
5
6
Comportamento non
lineare delle membrature
Relazioni Momento-Curvatura
La sezione in cemento armato esibisce un complesso comportamento in campo non lineare
direttamente ascrivibile alla non-linearità dei materiali strutturali. Questo
comportamento può essere sintetizzato in termini di relazioni momento-curvatura dalle
quali e facile desumere l’importanza del ruolo giocato dallo sforzo normale su rigidezza,
resistenza e duttilità.
2.50E+02
0
Momento [kNm]
2.00E+02
0.2
0.3
1.50E+02
0.4
0.5
1.00E+02
5.00E+01
0.00E+00
0.0000E+0
1.0000E-
2.0000E-
3.0000E-
4.0000E-
5.0000E-
6.0000E-
0
05
05
05
05
05
05
Curvatura [mm-1]
Domini di resistenza N-M1-M2
1.20
1.00
0.80
2
M/(bh fcd)
Non-dimensional Bending moment
La dipendenza tra sforzo normale applicato e resistenza flessionale può essere
descritta da domini M-N.
0.60
0.40
0.20
0.00
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
Non-dimensional axial force - N/(bhfcd)
0.00
0.20
Domini di snervamento N-M1-M2
Simili relazioni intercorrono tra il momento di snervamento e lo sforzo normale
applicato sulla sezione.
La condizione di snervamento viene generalmente definita dal raggiungimento di
una della due condizioni in termini di tensione valutate secondo un approccio
lineare:
- Raggiungimento della tensione di snervamento nell’armatura tesa;
- Raggiungimento di una deformazione pari ad 1.8 fc/Ec nel calcestruzzo
compresso.
Dettagli su un metodo
semplificato di analisi
http://www.crisbasilicata.it/admin/allegatidocumenti/upload/LG_Vuln-Basilicata_finale213482038764.pdf
1. Determinazione della rigidezza dei pilastri
Modelli di comportamento: in assenza di tamponatura
Una Metodologia lineare
Dettagli su un metodo lineare
Modelli di comportamento: in assenza di tamponatura
La rigidezza Kpil,i,j rappresenta la rigidezza traslante del pilastro iesimo al piano j-esimo.
La rigidezza K,j del piano j-esimo dovuta ai vari pilastri presenti a quel
piano vale:
V j , DL  K j  j , DL  0.005  K j h j ,DL
Per la valutazione della resistenza allo Stato Limite di Danno Limitato
è sufficiente determinare il tagliente di piano Vj che determina uno
spostamento pari allo 0.5%:
K j  K pil , j 
K
pil , i , j
i
Per lo Stato Limite di Danno Severo si possono fare due ipotesi in
merito al fatto che la rottura possa essere duttile o fragile
determinandosi una crisi per pressoflessione o per taglio.
Taglio in corrispondenza della crisi per pressoflessione
Dettagli su un metodo lineare
Taglio resistente dell’elemento
Dettagli su un metodo lineare
Dettagli su un metodo lineare
Modelli di capacità alternativo
Elementi non armati a taglio:
Dettagli su un metodo lineare
Modelli di capacità alternativo
Elementi armati a taglio:
Dettagli su un metodo lineare
Determinazione del taglio resistente – SL di Danno Severo
A questo punto è possibile, per ogni pilastro determinare il taglio resistente allo Stato
Limite di Danno Severo (o di Salvaguardia della Vita) secondo la nomenclatura del più
recente D.M. 14/01/2008 e stabilire che la resistenza da considerare nel calcolo è quella
che deriva dal valor minimo derivante dalla crisi per taglio o per pressoflessione:

Vpil,i,j  min Vflex.pil,i,j ;VRd,pil,i,j

In definitiva, è possibile definire un tagliante resistente di piano secondo la relazione
seguente:
Vpil,j 
V
i
pil,i,j
Come precisato sopra, i valori della resistenza di piano non tengono conto della presenza
di tramezzi e tamponature che pure possono avere un ruolo non trascurabile sia allo
Stato Limite di Danno severo che, soprattutto allo Stato Limite di Danno Limitato
modificando profondamente le caratteristiche di resistenza e rigidezza della struttura
e, dunque, la sua risposta sismica.
Dettagli su un metodo lineare
Modelli per la tamponatura
La presenza di tramezzi e tamponature e la sua influenza sulla risposta sismica della
struttura può essere considerata secondo una delle due modalità seguenti:
- esplicitamente, valutando rigidezza e resistenza dei singoli pannelli mediante formule di
comprovata affidabilità;
- implicitamente, considerando soltanto un incremento forfettario della capacità
dissipativa dell’edificio.
La rigidezza del pannello può
essere valutata considerando
l’ipotesi di puntone di larghezza
pari ad 1/10 della lunghezza
del pannello stesso:
Kmur,i,j  0.1 
Emt
d
 cos2 
Dettagli su un metodo lineare
Modelli per la tamponatura
La rigidezza di piano, dunque, può modificarsi tenendo conto della rigidezza dei pannelli
murari:
Kj  Kpil,j 
K
i
mur,i,j
In termini di resistenza i due contributi non si ritengono completamente sommabili a
causa della notevole differenza di duttilità che li contraddistingue. Pertanto la
resistenza di piano si determina come segue:

Vj,tot  max Vmur,j  Vpil,j ,Vpil,j

=0.8
Somma delle resistenze di piano dei vari pannelli.
Il contributo alla resistenza di piano dovuto alla muratura può determinarsi come segue:
Vmur,j  j,tamp
v
i
i,j,tamp
 j,tram
v
i
i,j,tram
Dettagli su un metodo lineare
Modelli per la tamponatura
Esistono
tre
meccanismi
di
crisi
per
il
pannello:

vi,j  min H0,1 ;H0,2 ;H0,3

Dettagli su un metodo lineare
Analisi delle sollecitazioni
Assumendo una pseudo-accelerazione unitaria alla struttura possiamo considerare forze
orizzontali Fh uguali al peso sismico W.
Sulla base di questa assunzione è pure possibile determinare le forze di piano distribuite
secondo quanto previsto nell’analisi statica lineare nella vigente normativa:
Fj 
Wz
j j
 Fh
 Wz
j
j j
Ottenendo facilmente il taglio agente al piano j-esimo:
Vag,j 
np
F
kj
k
Dettagli su un metodo lineare
Determinazione dei livelli prestazionali
Con riferimento allo Stato Limite di Danno Limitato è possibile derivare parametri
rappresentativi della prestazione strutturale dividendo le resistenze per le azioni
corrispondenti.
Danno Limitato:
SDL,j 
Vj,tot,DL
Vag,j
Danno Severo (o Collasso):
SDS,j 
Vj,tot,DS
Vag,j

 1  j

essendo:
j 
Wj  DS,j
Vj,DS  hj
DS,j 
Vj,DS
Vj,DL
 DL,j
Dettagli su un metodo lineare
Calcolo della Vulnerabilità sismica
Noto che sia il fattore SSL,j ai vari piani, è possibile risalire alla massima PGA al suolo o
alla corrispondente accelerazione massima su suolo rigido agj rispetto alla resistenza del
piano j-esimo e con riferimento ai vari Stati Limite secondo una relazione del tipo:
SSL,j 
PGAj  aPM  aAD  aDS
aDUT,j
In cui i parametri sono presentati nel seguito:

agj  S  aPM  aAD  aDS
aDUT,j
Dettagli su un metodo lineare
Calcolo della Vulnerabilità sismica
0.90
0.80
0.70
Se/g
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
T [s]
2.50
3.00
3.50
4.00
Dettagli su un metodo lineare
Calcolo della vulnerabilità sismica
Dettagli su un metodo lineare
Calcolo della vulnerabilità sismica
Dettagli su un metodo lineare
Calcolo della vulnerabilità sismica
In definitiva, il calcolo dell’accelerazione avviene piano per piano e, dunque, piani cui
corrispondono resistenze maggiori o valori più elevati del parametro SSL,j possono non
essere i piani critici a causa di modalità di crisi relativamente meno duttili e, dunque,
penalizzate dai parametri aDUT.
Il parametro S dipende dalle caratteristiche del suolo e dalle caratteristiche
topografiche e può essere assunto come segue, in ossequio alle prescrizioni dell’O.P.C.M.
3274/03:
-Suolo A:
S=1.00;
- Suolo B, C, E:
S=1.25;
- Suolo D:
S=1.35;
Ovvero essere desunto dalle caratteristiche di pericolosità del suolo secondo le
prescrizioni del D.M. 14/01/2008, potendo pure essere commisurata al periodo di
ritorno TR assunto per la struttura.
Approcci alternativi per
l’analisi non-lineare
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi
3D elements (Abaqus, Ansys)
Fiber Models (OpenSees,
Seismostruct)
Sectional Models (IDARC)
Lumped-plasticity (SAP 2000)
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi:formulazione a fibre
Fiber Models
(OpenSees, Seismostruct)
K e ( u( e ) )u( e ) 

 
Β( e )T   ( e ) dV
Calcestruzzo
V(e )
sezione
Β
( e )T
 
V(e )
Le
(e )
 ( e )T

(e )
 Β   dA  dz
 A

fibra
 dV   
0
 
elemento
Discretizzazione numerica

( e )T
w i B
i 1 

nG

nf
   
j
j 1
(e )



Numero di Punti di integrazione
(Gauss, Gauss-Lobatto)
Barre
http://opensees.berkeley.edu
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi: formulazione sezionale
Sectional Models (IDARC)
K e ( u( e ) )u( e ) 

M
Mu
 
Β( e )T   ( e ) dV
V(e )

 
Le



Β( e )T   ( e ) dV  Β( e )T   ( e ) , z dz
V(e )
My
0
Mcr
Discretizzazione numerica
nG
 w B
i
i 1
( e )T
M   i  
j
Criticità:
- dipendenza dei legami M- dallo sforzo normale.
Modellazione: non-linearità geometrica
Approcci alternativi: formulazione sezionale – Costruzione dei diagrammi M-j
Deformazioni
Tensioni
j
As2
h
M
N
M
As1
b
M
j
j
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi: Plasticità concentrata
Lumped-plasticity (SAP 2000)
- sulla resistenza di snervamento My ed
ultima Mu;
- sulla capacità rotazionale u.
1.20
1.00
0.80
2
M/(bh fcd)
Lo sforzo normale N ha effetto:
Non-dimensional Bending moment
Relazioni Momento-rotazione con o senza
interazione dello sforzo normale
0.60
0.40
0.20
0.00
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
Non-dimensional axial force - N/(bhfcd)
0.00
0.20
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi: Plasticità concentrata – Costruzione delle curve M-
Modelli “meccanici” per il calcolo della rotazione ultima
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi: Plasticità concentrata – Costruzione delle curve M-
Modelli “meccanici” per il calcolo della rotazione ultima

400
F>Fy
350
lpl [mm]
300
250
200
150
Priestley
100
Lehman
Pan & Fardis
50
Modello generale
0
0
500
1000
1500
2000
LV [mm]
Rotazione della corda
(chord rotation)
 pl   pl  l pl   pl  0.5  d 
  
   1
u  y  pl   y  min  cu co , su so    (k1  LV  k 2  d b )
1  xu  d
 xu
u 
u 
1
 el

L

L pl

 y  ju  j y L pl 1  0.5
Lv





 
 
2500
Modellazione: non-linearità meccanica
Approcci alternativi: Plasticità concentrata – Costruzione delle curve M-
Modelli “meccanici”: Osservazione.
9
Duttilità sezionale
0.1
7


m  u  1  pl
y
y
0.2
m
0.3
Duttilità in spostamento
5
3
y  pl
 pl  (lv  0.5  l pl )
l pl


m  u 
 1
 1  ( m  1)  1  0.5
y
y
 y  lv
lv




1
1
3
5
7
m
Modelli “empirici” per il calcolo della rotazione ultima (Panagiotakos & Fardis, 2001)
u 
1
  max  0.01,  '  
0.016   0.3 
fc 
 el
 max  0.01,   
0.225
 Lv 


 h 
0.35
f yw 

 asx

fc 

25
1.25
100d

9
Il metodo N2 ed altre
metodologie di Analisi
Statica non-Lineare
Analisi Statica: Pushover Analysis
Valutazione della capacità strutturale
L’analisi pushover viene condotta su un modello
non-lineare a plasticità diffusa o concentrata.
J
J2
/
2
m
l
i
l
problema dinamico, si considera
u
n
a
f
o
r
z
a
n
t
e
a
f
f
m
i
n
e
a
l
2
primo
Tagliante alla base
disaccoppiare
dapprima
d
e
l
l
’
e
v
o
l
u
z
i
o
n
e
delle
modo
Analisi Statica: Pushover Analysis
Valutazione della capacità strutturale
Curva Capacità MDOF (Tb – dtop)
Curva Capacità SDOF (T*b – d*top)
Sistema bilineare equivalente
Periodo elastico del Sistema bilineare equivalente
F* 
F

* 


Pushover Analysis
Valutazione della domanda
Spettro Elastico di Progetto
T>TC
 u Fel
m

 Rm
 y Fy
Applicabilità della regola
di uguaglianza degli
spostamenti
T
Rm  1.0  ( m  1) 
T0
Rm  m
T<TC
u
TC
m
 1  ( R m  1) 
y
T
Pushover Analysis
0.45
0.40
0.35
Stato Limite di Danno Severo (DS), La
struttura presenta danni importanti, con
significative riduzioni di rigidezze e resistenza. Danneggiamento degli elementi non
strutturali.
0.30
0.25
0.20
Livelli di Performance
Stato Limite di Danno Limitato (DL), i
danni alla struttura sono di modesta entità
senza significative escursioni in campo
plastico. La rigidezza e resistenza degli
elementi strutturali non sono compromesse;
Taglio alla base
Vb/W
Valutazione della capacità per i diversi stati limite
Spostamenti
Stato Limite di Collasso (CO),
0.15
0.10
Stato Limite di Danno
Limitato
0.05
Stato Limite di Danno Severo
0.00
Stato Limite di Collasso
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
di Capacità
La struttura Curva
è fortemente
danneggiata,
DL
con ridotte caratteristiche
di resistenza e
DS L’edificio se ha una ade
rigidezza residue.
guata duttilità
presenterà un fuori piombo
CO
significativo DS
senza
- collassare.
Taglio
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
top/H
Pushover Analysis
V*/m* [cm/s2]
Valutazione della capacità per i diversi stati limite
2200
LS of Near Collapse
V*/m* [cm/s2]
2000
V*/m* [cm/s2]
1800
1200
1600
Elastic Design Spectrum - Demand
1400
Elastic Design Spectrum - Capacity
LS of Severe Damage
Bi-linear Capacity Curve
1200
1400
1000
800
Elastic Design Spectrum - Capacity
Bi-linear Capacity
400Curve
800
200
Elastic Design Spectrum
- Demand
600
0
Elastic Design Spectrum - Capacity
0.0
400
600
Elastic Design Spectrum - Demand
LS of Damage Limitation
600
1000
800
Bi-linear Capacity Curve
1600
1200
1000
1800
10.0
20.0
30.0
40.0
200
400
0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
200
0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
 [cm]
30.0
35.0
40.0
45.0
 [cm]
50.0
60.0
 [cm]
Valutazione della Capacità
Rotazione alla corda

Mj
(d )
ij ,Y

 Xi ;
LviY

(d )
ji ,Y
 Xj

Lv jY
;
 Xi  Yi LviY   i ( LviY )   Xi
 Xj  Yj Lv jY   i ( LviY )   Xj
Lv jY  Lij  LviY
 y  y
db f y

Lv
h
 0,00131  1,15   0,13 y
3
Lv 
fc

 max 0,01;  ' 
u  0,016 0,3 
fc 


 el
max
0
,
01
;



1
 
0, 225
Drift di piano

Mi
 Xi   Xj
Lij
 Lv 
 
h
0, 35
f

 a sx yw
fc

25



1,25100 d
Valutazione della Capacità
OSSERVAZIONE
Meccanismo di piano
Nel caso di meccanismo di piano la lunghezza di taglio
tende ad L/2, il diagramma del momento flettente è a
farfalla assumendo in corrispondenza delle cerniere
plastiche di estremità valore Mu, per cui:
Rotazione alla corda ≈ Drift di piano
Meccanismo globale
Nel caso di meccanismo globale la lunghezza di taglio è
diversa da L/2 i valori dei momenti flettenti di
estremità dei pilastri sono diversi dai valori limite, per
cui:
Rotazione alla corda ≠ Drift di piano
V*/m* [cm/s2]
Analisi Statica: Vulnerabilità sismica
1000
SL di Danno
Severo (SD)
800
600
Bi-linear Capacity Curve
Elastic Design Spectrum - Demand
Elastic Design Spectrum - Capacity
Demand
ElasticDesign
DesignSpectrum
Spectrum--Capacity
Capacity
Elastic
Bi-linear Capacity Curve
Elastic Design
Spectrum
- Demand
PGA
PGADL
SD
a

au,SD=
e
PGA50%
PGA10%
m3
400
h3 J3/2
J3/2
m2
h2 J2/2
J2/2
m1
200
h1 J1/2
0
0,0
5,0
10,0 d,SL
15,0
20,0
J1/2
25,0
 [cm]
Analisi Statica: Vulnerabilità sismica
Indice di Estensione del Danneggiamento (DEI).
Il parametro η restituisce una misura del livello di danneggiamento che la struttura
esibirebbe nel raggiungere uno spostamento pari a quello richiesto Δd,SL:
 SL 
n SL
ntot
- nSL il numero di cerniere plastiche che raggiungono la rotazione limite, per uno
spostamento globale pari a Δd,SL, hanno superato il valore della rotazione θSL;
- ntot è il numero di cerniere plastiche considerate sul modello.
ηSL≈0:
crisi locale
d,SL
d,SL
ηSL≈1:
Danneggiamento
esteso.
Commenti sui parametri di vulnerabilità
lineare X +_DS
lineare X +_DL
4,00
3,50
F.Tedesco_B
3,00
F.Tedesco A
2,50
Borgo F_ A
2,00
B Ferrovia C
1,50
Rione Mazzini
1,00
Dante Alig
3,00
2,50
2,00
0,00
0,00
0,1
ηc
nc
0,15
Rione
Mazzini
Dante Alig
1,00
0,50
0,05
B Ferrovia C
1,50
0,50
0
F.Tedesco_
B
F.Tedesco
A
Borgo F_ A
3,50
Vsdp,DS
Vsdp,DL
VDSP=1/a
4,00
0
0,2
0,05
ηc
nc
0,15
0,2
lineare Y +_DS
lineare Y +_DL
4,00
4,00
3,50
2,00
Borgo F_ A
1,50
Rione
Mazzini
Dante Alig
1,00
3,00
Vsdp,DS
2,50
F.Tedesco A
F.Tedesco_B
3,50
F.Tedesco_B
3,00
Vsdp,DL
0,1
F.Tedesco A
2,50
Borgo F_ A
2,00
Rione
Mazzini
Dante Alig
1,50
1,00
0,50
0,50
0,00
0,00
0
0,05
0,1
ηc
nc
0,15
0,2
A valori di vulnerabilità elevata non si associano
sempre
valori elevati
di ηc (formazione
un
Il parametro
di vulnerabilità,
presodisingolarmente,
meccanismo
locale). per esprimere un giudizio sul tipo
non è sufficiente
di intervento da realizzarsi.
0
0,05
0,1
ηc
nc
0,15
0,2
Indica un livello di danneggiamento diffuso
Analisi Statica: Vulnerabilità sismica
Valutazione semplificata dei parametri indicatori del rischio (OPCM 3382/04)
I due parametri di vulnerabilità risultano legati tra loro da due semplici relazioni
analitiche determinate in base al fatto che il periodo fondamentale T della struttura sia
maggiore o minore di TC.
T>TC – si ritiene valida l’ipotesi di “uguaglianza degli spostamenti”:
2
2
T
T 
T 
 d,LS  Sd (T )     Sa (T )     PGAPdE,LS  2,5  
 2 
 2 
 TC




2
2
T
T 
T 
 c,LS  Sd (T )     Sa (T )     PGALS  2,5  
 2 
 2 
 TC




a LS 
PGALS
PGAPdE,LS

 c,LS
 d,LS
Analisi Statica: Vulnerabilità sismica
Valutazione semplificata dei parametri indicatori del rischio (OPCM 3382/04)
T<TC – si adotta la relazione di Fajfar come legame tra m e Rm:
mc 
T
c
 1  Rm,c  1  C
y
T


 2.5  m  PGA
 T
c
SL

mc 
1
 1  C

 T
y
Fy


2.5  m  PGASL
Fy
a LS 
PGALS
PGAPdE,LS

 T
c

1
 1 
 y
 TC



 T
c

1
 1 
 y
 TC




 T
d

1
 1 
 y
 TC


md 
md 


T
 1  Rm,d  1  C
y
T
d
 2.5  m  PGAPdE,SL
 T
1
 1  C

 T
y
Fy


d
2.5  m  PGAPdE,SL
Fy

 T
d

1
 1 
 y
 TC


Analisi Statica: Pushover Analysis
Valutazione della domanda sismica: Metodo dello Spettro di Capacità (CSM)
Mentre il Metodo N-2 determina
la domanda tramite spettri
inelastici, il metodo in oggetto in
uso nell’ambito delle norme
americane (ATC, FEMA) si basa
su spettri elastici a
smorzamento equivalente.
Il fattore k è legato alle
capacità dissipative della
struttura ed è tanto più piccolo
quanto più la struttura ha
comportamento ciclico
degradante.
Analisi Statica: Pushover Analysis
Valutazione della domanda sismica: Metodo dello Spettro di Capacità (CSM)
Espressione degli spettri elastici a smorzamento
equivalente alle dissipazione isteretica.
Analisi Statica: Pushover Analysis
Metodo del Coefficiente di Spostamento (DCM)
Spostamento dell’oscillatore
elasto-plastico di periodo T
Spostamento dell’oscillatore
elastico di periodo T
Te 2
 t  C 0C 1C 2C 3Sa 2 g
4
Converte la risposta dell’oscillatore
SDOF in quella del MDOF
Numero di piani
1
2
3
5
10+
Effetti P-
Fattore di modificazione C0
1.0
1.2
1.3
1.4
1.5
Converte la risposta elastica in
quella elasto-plastica.
Te  T0
Te  T0
C1  1
C 1  1  ( R  1)T0 Te  / R
S /g 1
R a
V y /W C0
C3  1 
a ( R  1)3/2
Te
Tiene conto del degrado della
struttura in ambito ciclico
Livello di
Prestazione
Strutturale
Agibilità
immediata
Salvaguardia
della vita
Non collasso
T=0.1 s
T=T0
Telai Tipo 1
Telai Tipo 2
Telai Tipo 1
Telai Tipo 2
1,0
1,0
1,0
1,0
1,3
1,0
1,1
1,0
1,5
1,0
1,2
1,0
Analisi Statica: Recenti avanzamenti
Metodo Pushover Multimodale: Modal Pushover Analysis (MPA, Chopra)
Come si è visto, in campo lineare la risposta strutturale sotto sisma più esse
disaccoppiata evalutata per sovrapposizione:
Se ciò fosse vero anche in campo nonlineare si potrebbe:
1. Effettuare n pushover con
forzanti proporzionali ai vari modi;
2. Valutare la domada di spostamento
Di associata al modo i-esimo;
3. Valutare lo spostamento D tramite
una combinazione SRSS (o CQC):
D
n
D
i
i 1
2
Analisi Statica: Recenti avanzamenti
Adaprive Pushover
P   P0
Per questa ragione ha senso
ritenere che le forme modali
valutate sul modello elastico non
abbiano molta relazione con il
moto della struttura in campo
post-elastico.
Sono state proposte, dunque,
diverse metodologie di analisi
statica non lineare nelle quali anche
l’andamento e non solo il valore dei
carichi orizzontali varia durante
l’analisi per seguire l’evoluzione
della risposta non-lineare della
struttura.
(k)
P
( k 1)
P
  P
(k)
(k)
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
T1
0.2
T2
0.2
0
0
0
1
base shear
Forzante per PO monomodali
Shift di periodi per effetto dell’escursione in
campo non-lineare
2
3
4
0
1
2
3
4
100
80
60
40
20
0
0%
1%
2%
3%
total drift
Applicazioni e confronti
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Casi di Studio
ANALISI EFFETTUATE
Modellazione: NLC (non-linearità concentrata)/NLD;
Solai: infinitamente rigidi nel loro piano/deformabili;
Effetti P-: non considerati
Vincolo terreno-struttura: Rigido/flessibile;
Analisi: Statiche non-lineari (pushover)/Dinamiche non-lineari;
Metodi: N2 (OPCM, EC8), CSM, Modal, NLTH;
Software: SAP2000 v10.1.0/OpenSEES.
Distribuzione di forze orizzontali:
- Distribuzione 1: proporzionale al prodotto tra
le masse di piano e gli spostamenti modali;
- Distribuzione 2: proporzionale alle masse di
piano.
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Modellazione
Ipotesi: Fondazione rigida;
Elementi fessurati – Valori di Progetto.
(fcd=21.5 MPa, fsd=382 MPa)
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione rigida – Valori di Progetto
PGASL,PdE
PGASL
171,68
429,19 643,78
252,33
420,45 544,55
V*/m* [cm/s2]
Analisi Pushover: plasticità concentrata – Meccanismi duttili (rot. alla corda)
1800
LS of Near Collapse
1600
Bi-linear Capacity Curve
1400
0,980
V*/m* [cm/s2]
1,470
PGAC/D
1200
0,846
V*/m* [cm/s2]
Elastic Design Spectrum - Capacity
LS of Severe Damage
1000
Bi-linear Capacity Curve
1000
800
Elastic Design Spectrum - Demand
1200
800
Elastic Design Spectrum - Demand
600
Elastic Design Spectrum - Capacity
LS of Damage Limitation
800
400
Bi-linear Capacity Curve
600
200
600
Elastic Design Spectrum - Demand
0
400
400
Elastic Design Spectrum
0,0 - Capacity
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
200
0
200
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
 [cm]
25,0
30,0
 [cm]
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
40,0
45,0
 [cm]
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Rigida - Meccanismi Duttili (Valori di Progetto)
Direzione X
Distribuzione 2
Distribuzione 1
PGASL,PdE
PGASL
PGAC/D
171,68
429,19 643,78
PGASL,PdE
252,33
420,45 544,55
PGASL
1,470
0,980
0,846
PGAC/D
171,68
429,19 643,78
249,83
421,65 544,57
1,455
0,982
0,846
Direzione Y
Distribuzione 2
Distribuzione 1
PGASL,PdE
171,68
429,19 643,78
PGASL
312,68
518,30
PGAC/D
1,821
1,208
612,59
0,952
PGASL,PdE
171,68
429,19 643,78
PGASL
311,33
514,33 607,92
PGAC/D
1,813
1,198
0,944
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Modellazione
Ipotesi: Fondazione rigida;
Elementi non-fessurati.
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione rigida
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
PGASL
385.72
671.91
781.60
2.247
1.566
2200
1.214
V*/m* [cm/s2]
1800
1200
Bi-linear Capacity Curve
1600
Elastic Design Spectrum - Demand
1400
Elastic Design Spectrum - Capacity
LS of Severe Damage
Bi-linear Capacity Curve
1200
1400
1000
800
Elastic Design Spectrum - Capacity
Bi-linear Capacity
400Curve
800
200
Elastic Design Spectrum
- Demand
600
0
Elastic Design Spectrum - Capacity
0.0
400
600
Elastic Design Spectrum - Demand
LS of Damage Limitation
600
1000
800
1800
1600
1200
1000
LS of Near Collapse
2000
V*/m* [cm/s2]
PGAC/D
V*/m* [cm/s2]
Analisi Pushover: plasticità concentrata – Meccanismi duttili (rot. alla corda)
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
200
400
0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
200
0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
 [cm]
30.0
35.0
40.0
45.0
 [cm]
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
60.0
 [cm]
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Rigida - Meccanismi Duttili (Valori Medi)
Direzione X
Distribuzione 2
Distribuzione 1
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
PGASL
385.72
671.91
781.60
PGASL
347.18
632.89
737.95
PGAC/D
2.247
1.566
1.214
PGAC/D
2.022
1.475
1.146
Direzione Y
Distribuzione 2
Distribuzione 1
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
PGASL
412.31
677.18
795.83
PGASL
372.96
662.56
765.87
PGAC/D
2.402
1.578
1.236
PGAC/D
2.172
1.544
1.190
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Rigida - Meccanismi Duttili – Stato Limite DS
Direzione X
Distribuzione 2
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Vb/W
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Rigida - Meccanismi Fragili (Taglio)
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
Curva di Capacità
DL
DS
CO
DS - Taglio
0.10
0.05
0.00
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
top/H
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Rigida - Meccanismi Fragili (Taglio)
Direzione X
Distribuzione 2
Distribuzione 1
PGASL,PdE
429.19
PGASL,PdE
600.86
PGASL
130.71
PGASL
106.81
PGAC/D
PGAC/D
0.305
0.178
Direzione Y
Distribuzione 1
PGASL,PdE
600.86
PGASL
112.32
PGAC/D
0.187
Distribuzione 2
PGASL,PdE
600.86
PGASL
137.70
PGAC/D
0.229
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Modellazione
Ipotesi: Fondazione rigida;
Elementi fessurati.
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Modellazione
Rigidezza Ridotta
2.0
PGASL,PdE/PGASL
Valori del parametro
2.5
Rigidezza Integra
1.5
1.0
0.5
0.0
DL
DS
CO
Stati Limite
Direzione X – Distribuzione 1
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Modellazione
Ipotesi: Fondazione flessibile;
Elementi non-fessurati.
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Analisi Pushover: plasticità concentrata – Meccanismi duttili (rot. alla corda)
Vb/W
Fondazione deformabile
0.45
0.40
X1
0.35
0.30
0.25
0.20
Curva di Capaità - Fond. Rigida
Curva di Capacità - Fond. Deformabile
DL
DS
CO
0.15
0.10
0.05
0.00
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
top/H
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Flessibile - Meccanismi Duttili
PGALS/PGALS,PoE
Direzione X
PGASL,PdE
PGASL
Distribuzione 2
2,5
Distribuzione 1
171.68
429.19
643.78
2,0 305.08
479.40
560.71
PGAC/D
1.777
1.117
1,5
0.871
PGA
171.68
Rigid
SL,PdE Footings
PGASL
PGASL
643.78
486.28
564.96
Flexible Footings
PGAC/D
1.795
1.133
0.878
Direzione Y
Distribuzione 2
1,0
Distribuzione 1
PGASL,PdE
308.13
429.19
171.68
429.19
643.78
PGASL,PdE
171.68
429.19
643.78
0,5 302.30
483.04
562.08
PGASL
304.49
484.92
562.49
PGAC/D
1.761
1.125
0.873
PGAC/D
1.774
1.130
0.874
0,0
DL
SD
NC
Limit States
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica
Roma, 26 Febbraio 2007
Caso di Studio n.1: Risultati
Fondazione Flessibile - Meccanismi Duttili – Stato Limite DS
Direzione X
Distribuzione 1
Linea 2- Obiettivo IRREG:
UR dell’Università di Salerno
RESULTS: Case-study #1
Comparison in terms of Capacity Curves
7500
Vb [kN]
Vb [kN]
Lumped-plasticity models
Pushover Analysis
X-direction
5000
Pushover Analysis
Y-direction
5000
SAP2000 - Modal pattern
2500
SAP2000 - Modal pattern
2500
SAP2000 - Uniform pattern
SAP2000 - Uniform pattern
MIDAS - Modal pattern
MIDAS - Modal pattern
MIDAS - Uniform pattern
MIDAS - Uniform pattern
0
0,00
7500
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
 top [m]
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
 top [m]
Although existence and uniqueness are not generally guaranteed in the non-linear range,
remarkable agreement can be observed by comparing the results of pushover analyses
carried out by means of two different numerical codes, both implementing lumped-plasticity
approach.
Divergence between the two curves only arises for large non-linear displacements due to
convergence criteria.
RESULTS: Case-study #1
Comparison in terms of Capacity Curves
Larger differences arises when
results
obtained
through
lumped-plasticity models are
compared to those obtained by
means of distributed-plasticity
models.
Initial
stiffness
can
be
reproduced in this case by
considering a reduced stiffness
in the lumped-plasticity model.
Vb [kN]
Lumped vs Distributed-plasticity models
7000
Case-Study #01 - X-direction
6000
5000
4000
3000
2000
OpenSEES - Modal pattern
SAP2000 - Gross stiffness
1000
SAP2000 - Reduced Stiffness
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
 top [m]
Ultimate base shear is quite
different as a result of various
parameters such as lateral
longitudinal bars, different
stiffness distribution leading
to diverse failure mechanisms
for the lumped- and the
distributed-plasticity models.