Fibonacci - Oriana Pagliarone

FIBONACCI
La vita
Fibonacci
nel
computer
La serie
Spirale
Aurale
Il rapporto aureo
Testi in
Latino
Grafico
La vita
Fibonacci, Leonardo (Pisa 1170 ca. - 1240 ca.),
detto anche Leonardo da Pisa, matematico italiano
che estese e integrò le conoscenze matematiche
delle culture europea, araba e indiana e che
contribuì notevolmente ai campi dell'algebra e della
teoria dei numeri. Apprese nella città natale i
rudimenti del calcolo; all'età di circa vent'anni si
recò in Algeria, dove cominciò ad appropriarsi del
sistema di numerazione indiano e dei metodi di
calcolo arabi, conoscenze che incrementò nel corso
di lunghi viaggi nel bacino del Mediterraneo.
Utilizzò queste esperienze per migliorare le
tecniche del calcolo commerciale che già conosceva
e per estendere le ricerche dei matematici classici,
tra i quali i greci Diofanto ed Euclide.La sua opera
più importante fu “Pratica Geometriae” nella quale
si occupò di trigonometria e di problemi di
applicazione dell’algebra alla geometria
La serie
Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato
soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai
celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno
1202. Essa si compone di una serie di numeri nella quale ognuno
di essi è la somma dei due numeri precedenti
(0,1,1,2,3,5,8,13,21…).Nella seconda metà del diciannovesimo
secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese
lo studio di tale sequenza prendendo come valori di partenza 2
e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza
di Lucas. Quest’ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci
noti a tutti. Johannes Kepler notò poi che facendo il rapporto
fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava
sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto
aureo.
Edouard Lucas
Edouard Lucas riprese la sequenza di fibonacci ponendo come
numeri iniziali 2 e 1(2-1-3-4-7-11-18)
Consideriamo la seguente successione numerica
u1, u2 …, un (1)
in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni n maggiore di 2,
un = un-1 + un-2 (2)
Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini
precedenti, s’incontrano di frequente in matematica e sono chiamate successioni ricorrenti.
In aggiunta alla condizione (2), per determinare i termini di una successione ricorrente è
indispensabile conoscerne i primi due; procedendo in tal modo è possibile raggiungere termini di
indice arbitrariamente grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci descritta in precedenza è
proprio un esempio di successione ricorrente in cui u1 = u2 = 1 ed i suoi termini, aventi una
notevole gamma di proprietà e applicazioni, sono detti numeri di Fibonacci.
Rapporto Aureo
Gli studi di Leonardo
Da Vinci sul corpo
umano hanno indicato
come Rapporto Aureo il
rapporto esteticamente
più piacevole tra le
lunghezze del corpo
umano (ad esempio
tronco/gambe)
Fibonacci nel computer
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema
informatico di molti computer. In particolare vi è un
complesso meccanismo basato su tali numeri, detto
"Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore
Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi.
SPIRALE AURALE
Costruzione della Spirale Aurea
La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono
essere costruiti dentro il rettangolo aureo
Per iniziare la costruzione disegna un arco da un angolo del
rettangolo fino ad intersecare il lato adiacente. Quindi conduci un
segmento perpendicolare al lato che è stato intersecato, dal punto
d'intersezione al lato opposto.
Ripeti il procedimento per formare un altro quadrato...
Lavoro realizzato da
Stefano Fusco e Vincenzo Totaro
.. e così via.
Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può costruire la
spirale logaritmica nota come Spirale Aurea
SEZIONE AUREA: definizione
A M
B
| 1-x | x |
Il segmento AB viene diviso dal punto M in modo tale che il rapporto tra le due
parti, la più piccola con la più grande (AM e MB), è uguale al rapporto della parte
più grande (MB) con tutto AB.
Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento AB,
allora la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione:
1 - x = x , e cioè 1-x = x2
che ha due soluzioni per x, (-1-radq5)\2 e (radq5-1)\2.La prima è negativa,per cui
non soddisfa le condizioni del problema.La seconda rappresenta proprio il
rapporto di sezione aurea ed è un numero irrazionale corrispondente a circa
0,618.
Il reciproco di x (1/x) viene indicato con Ø e corrisponde a 1+x, cioè circa 1,618.
Molto spesso questo rapporto viene indicato come rapporto aureo e viene
utilizzato nella costruzione del rettangolo aureo.
La costruzione della sezione aure suggerisce la possibilità di realizzare un
processo di crescita in cui si conservano costantemente i rapporti, cioè la
crescita dà luogo ad organismi che rimangono sempre simili a se stessi.
Frontespizio del libro
Pratica geometriae
di Fibonacci
dalla Pratica geometriae di Leonardo Pisano
Incipit septima distinctio de inuentione altitudinum rerum e
elevatarum et profunditatum atque longitudinum
planitierum
Si vis metiri aliquam altitudinem : Erige astam in plano: et fac eam stare orthogonaliter
super ipsum planum: et elonga te ab ipsa asta, et ab altitudine metienda: et pones
oculum in terra prospiciens per summitatem aste : et si visus tuus transibit ad punctum
summitatis metiende altitudinis, signa punctum in terra in locum ubi erit oculus. Et si
linea egrediens ab oculo tuo per summitatem aste non venerit ad punctum summitatis
altitudinis ipsius, muta te retro vel ante donec linea progrediens ab oculo tuo per
summitatem aste, ascendat recte ad summitatem altitudinis predicte: et tunc erit
proportio plani, quod est inter oculum et rem elevatam ad ipsam rem elevatam quam uis
metiri sicut planum, quod est inter oculum et astam ad ipsam astam.
Verbi gratia. Sit altitudo ab., que sit erecta super planum, in quo sit linea .bc.; quare angulus .abc.
erit rectus et in ipso plano, et super rectam .bc. orthogonaliter erigatur asta .de.; et punctus .c. sit
oculus tuus a quo transeat linea .ac. ascendens per summitatem aste, que est punctus .e.; et erit
trigonum .abc. ex summitate .ab. et linee .bc. existens in plano; et ex linea ac, quam facit oculus
tuus et trigonum .edc. erit ex asta .ed. et ad planum .dc. et linea .c.e.: trigona quidem .abc. et
.edc., sibi invicem sunt similia, quia sunt equiangula ; est enim uterque angulorum .abc. et .edc.
rectus: et angulus qui ad .c. utrique triangulo est comunis; reliquus qui ad .a. reliquo qui sub .ccd.
est equalis: equiangula ergo sunt trigona .abc. et .dec., quare et similia. Similia enim trigona circa
equales angulos habent latera proportionalia ; est enim sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. Vnde si
.cd. et .de., scilicet spatium quod est inter oculum et astam; et ipsa asta .de. fuerint nota, erit nota
linea .cb.; erit utique nota et altitudo .ab.: quia si equalis est .cd. ex .de. , equalis erit .cb. ex .ba.;
et si maior, maior et si minor, minor: Que ostendantur cum numeris. Esto asta ed. quinque
palmorum ; et spatium .cd. sit equale ei ; et sit spatium .cb. 30. ulnarum; erit propter hoc et
altitudo .ab. similiter .30. ulnarum, cum .cd. sit equalis .de., ut in prima figura patet.
Item esto .cd. maior asta .ed., erit propter hoc et planum .cb. maius altitudine .ab., ut in hac secunda figura
patet, in qua ponimus spatium .cd. 12 palmorum: et astam .ed. octo palmorum; et planum .cb. .60. ulnarum.
Quare erit ut .cd. ad .de., hoc est sicut .12. ad .8.; uel in minoribus numeris sicut .3. ad .2., ita .cb. ad .ba.:
unde si multiplicaverimus .60. per .2., et diviserimus per .3., uenient ulne .40. pro altitudine .ab.
Rursus esto .cd. minor quam .de. Quare spatium .cb. erit minus altitudine .ab., ut in hac tertia patet figura; in
qua ponimus .cd. .9., scilicet spatium quod est inter oculum et astam: et astam .ed. .12., et planum .cb. .45.
Quare quantum addit .ed. super .dc., tantum addet altitudo .ab. super planum .bc.: est enim .ed. ad .dc.
proportio sexquitertia. Quare altitudo .ab. addit super planum .cb. tertiam eius que est .15.; et sic altitudo .ab.
est .60.: uel si .45., scilicet .cb., multiplicentur per .12. , hoc est per .ed.; et summa diuidatur per .cd., scilicet
per .9., venient .60.: pro altitudine .ab.: uel si .cb. multiplicetur per 1/3 ex .ed., et diuidatur per 1/3 ex .cd.,
uenient similiter .60. pro .ab.: uel si 1/3 ex .cb. multiplicetur per 1/3 ex .ed., venient .60. pro altitudine .ab..
Ex hoc quidem quidam uolens metiri in nemoribus arbores aptas navibus talem modum acceperunt: habent arundinem
equalem sue stature quam habent ab extremitate tali usque ad oculum; et ponunt se in terra contra arborem, quam metiri
uolunt, extense tenendo arundinem orthogonaliter erectam secus extremitatem utriusque tali, ut quanta sit altitudo arundinis ,
tanta sit longitudo stature a talo usque ad oculum ipsius; et mutant se aliquando uersus arborem appropinquando, aliquando
elongando ab ea; et hoc faciunt donec transeat uisus eorum per summitatem arundinis ad summitatem arboris : et tunc quanta
est longitudo, que est inter oculum et pedem arboris, tantam dicunt esse altitudinem arboris. Verbi gratia : sit altitudo arboris
.ab., arundinis .cd., et statura hominis .de.; et sit .e. oculus eius cuius uisus linea .ae. transiens per punctum .c.; et tunc erit .eb.
sicut .ed. ad .dc., ut superius ostensum est.
Geometre vero volendo aliquam subtilitatem geometricam ostendere, stant non multum longe ab arbore, et cum arcu duas
sagittas sagittant ad arborem, vnam ad radicem eius et aliam ad punctum sumitatis eius; sed unicuique sagitte ligant unum
filum et tendunt ipsa fila perducentes ea ad unum punctum in plano, facientes ex ipsis filis et ex arbore trigonum
orthogonium cuius cathetus est ipsa arbor; et eius basis est filum sagitte ad pedem arboris protracte et eius ypothenusa est
filum alterius sagitte quod obtendit angulum rectum. Verbi gratia : sit arbor linea .ab.; et filum inferioris sagitte sit .bc., et
filum alterius sit .ac. Cumque utriusque fili mensuram habuerint : quadratum fili .bc. extrahteur ex quadrato fili .ac., remanet
eis quadratum arboris .ab.: ut si filum .ac. fuerit cubitorum .50., et filum .bc. fuerit .30., auferatur quadratum de .30., quod est
.900., de quadrato de .50., quod est .2500., remanebunt pro quadrato arboris .ab. 1600.; cuius radix, que est .40, est altitudo
arboris .ab.
Possums etiam dimensionem cuiuscumque altitudinis per aliquem triangulum ligneum habere,
dum in ipso triangulo ab uno angulorum cathetus producta fuerit et basis super quam cathetus
cadet ponatur in plano. Verbi gratia: sit altitudo metienda .ab.; et triangulus ligneus esto .e.c.f.,
cuius cathetus esto .ed.; et stet trigonum .ecf. super planum altitudinis ita ut linea .ed. stet
orthogonliter super ipsum planum et tunc ponant oculum super latus trigoni .ec.; qui oculus sit .h.
, et aspiciat per punctum .e.: et si visus tuus transeundo per .e. venerit ad .a., erit sicut .cd. ad .de.,
ita .cb. ad .ba. : et si visus transeundo per .e. venerit inter .ab., apropinquabis triangulum ad
altitudinem .ab.: et si idem uisus ascendet super altitudinem .ab., reduces triangulum retro, et
facies semper cathetum .ed. orthogonaliter stare super planum, fulciendo ipsum triangulum cum
lapillis et cum terra; et hoc facies donec oculus tuus per .e. uideat .a. : et cum hoc factum fuerit
erit ut dixi sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba.: ut si .cd. fuerit .3. cuiuscumque mensure et .de. fuerit
.4., et .cb. .30. passuum erit propter hoc altitudo .ab. passus .40.; quia .ed. addit super .cd. tertiam
eius: quare et .ab. addit similiter tertiam super .cb.: uel si .cb. multiplicetur per .ed., et suma
diuidatur per .cd., uenient similiter .40. pro altitudine .ab.
[...]
GRAFICO
SEZIONE AUREA
SERIE FIBONACCI
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
ORDINE CRESCENTE
0
1
0.5
0.667
0.6
0.625
0.615
0.619
0.618
0.618
0.618
ORDINE DECRESCENTE
#DIV/0!
1.000
2.000
1.500
1.667
1.600
1.625
1.615
1.619
1.618
1.618
•Indice
I quindici capitoli del Liber abaci sono i seguenti:
oDe cognitione novem figurarum indorum et qualiter cum eis omnis numerus scribatur;
et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus abbaci
oDe multiplicatione integrorum numerorum
oDe additione ipsorum
oDe extractione minorum numerum ex maioribus
oDe divisione integrarum numerorum per integros
oDe multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis
oDe additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque
partium numerorum in singulis partis reductione
oDe emptione et venditione rerum venalium et similium
oDe baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie et quibusdam regulis similibus
oDe societatibus factis inter consocios
oDe consolamine monetarum atque eorum regulis que ad consolamen pertinent
De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus
oDe regula elcatayam qualiter per ipsam fere omnes erratices questiones solvantur
oDe reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu
extractione earum in se et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum
radicum
oDe regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et
amulchabale
•Incipit del primo capitolo
Novem figure indorum he sunt
FINE
FUSCO STEFANO
TOTARO VINCENZO
DE LUCA CLAUDIA