Guida a canale

Ottica integrata in strutture microe sub-micrometriche
Giovanni Breglio
Dipartimento di Ingegneria Elettronica
[email protected]
DIBET
2° Scuola di Tecnologie Ottiche
Circuiti Opto Elettronici Integrati
Quello che si vuole realizzare sono chip di semiconduttore o dielettrico
in cui siano integrate tutte le funzioni ottiche ed elettroniche
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2
Blocchi funzionali do un OEIC
Sorge innanzitutto la necessità, oltre le altre componenti, di
realizzare i canali che trasportano la luce
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3
TEORIA DELLA GUIDA SLAB
Ci riferiamo a guide prive di perdite
Light
Light
n2
Light
Light
n2
n 1 > n2
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4
Leggi di Snell e riflessione interna totale
n1 sinq1 = n2 sinq2
C
n2
n1
q1 q1
1
A
1
B
rTE 
rTM 
n1 cos q1  n22  n12 sin2 q1
n1 cos q1  n22  n12 sin2 q1
n22 cos q1  n1 n22  n12 sin2 q1
n22 cos q1  n1 n22  n12 sin2 q1
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Angolo critico
r  rTE 
r  rTM 
n1 cos q1  n22  n12 sin2 q1
n1 cos q1  n22  n12 sin2 q1
n22 cos q1  n1 n22  n12 sin2 q1
Il valore di angolo di incidenza che
Annulla la radice è detto angolo critico
n22 cos q1  n1 n22  n12 sin2 q1
sin qcr = n2/n1
Con q1< qcr R è reale e si ottiene una parziale riflessione
Con q1> qcr |R|=1 e siamo in condizione di Riflessione Interna Totale
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Confinamento
In una guida slab si possono presentare tre condizioni:
a) entrambe le interfacce hanno R reale;
b) Solo una presenta una R complessa;
c) entrambe le interfacce mostrano R complessa.
Tratteremo il caso c.
Propagazione confinata.
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Propagazione in guida
Il raggio che si propaga in guida deve accumulare interferenze costruttive.
Ciò accade solo per determinati angoli di incidenza riferiti agli indici e
alle dimensioni della guida
n2
B
l
k q
E
Light
A
k1
b
n 1 d = 2a
q q
C
y
x
z
n2
L’accumulo di fase da A a C è determinato dal percorso in guida AB+BC e
dalle due riflessioni TIR in B e C
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Propagazione in guida
L’accumulo di fase da A a C è determinato dal percorso in guida AB+BC e
dalle due riflessioni TIR in B e C che determinano uno sfasamento 
( AC)  k1( AB  BC)  2  m(2 )
Siccome BC = d/cosq, allora

 
( AB  BC )  BC cos(2q )  BC  BC 2 cos2 q  1  1  2d cosq
quindi
( AC)  k1(2d cosq )  2  m(2 )
Dove però  dipende da q
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Propagazione in guida
Condizione di guida d’onda
 2 n1(2a ) 
cosq m  m  m


l


All’aumentare dell’ordine del modo l’angolo diminuisce
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10
Condizione di propagazione
Se considero un’onda monocromatica con frequenza angolare ,
lunghezza d’onda in spazio libero l, lungo la direzione della loro
normale presenta un vettore d’onda pari a k n1.
Il modulo di k è:
k=2/l=/c
La fase di tale onda varia come:
exp[j k n1 (y cosq + z sinq)]
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11
Condizione di propagazione
Per un modo confinato, quindi, il percorso a zig-zag impone
una costante di propagazione lungo l’asse di propagazione z
della guida pari a:
bm= k n1 sinqm
che, ovviamente, non è altro che la componente di k n1 lungo z
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12
Condizione di propagazione
Con riferimento alla relazione b= k n1 sinq si ottiene che solo un set
discreto di valori di b permette il confinamento in guida.
Ricordando che per avere confinamento bisogna verificare q > qc
si ottiene per la costante di propagazione la seguente relazione:
k n 2 < b < k n1
Spesso è utile introdurre il cosiddetto
indice di rifrazione efficace
definito come:
neff= b/k = n1 sinq
Da cui la condizione di propagazione è ottenuta quando:
n2< neff <n1
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Valutazione dei Modi Guidati
Dalla Condizione di guida d’onda
 2 n1(2a ) 
cosq m  m  m ricaviamo


l


m  (2a)k1 cosqm  m
Ricordiamo l’espressione dello sfasamento dovuto alla riflessione per
condizione TIR del campo perpendicolare

1
sin2 q m  n 2
tan( m ) 
2
cosq m

12
Otteniamo

  sin q m  n

tan ak1 cosq m  m  
2
cosq m

2

2 12
 f (q m )
Che può essere risolta graficamente
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Modi guidati
tan(ak1cosqm –m/2)
m = 1, dispari
m = 0, pari
n
sin (q m )   2
 n1
cos(q m )
2



2
89.17 
10
88.34 
5
q
87.52 
86.68 
c
q
0
82 
84 
86 
88 
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m
90 
15
Distribuzione di campo stazionario e
propagante.
n2
A
1
q
E
 2n1 
 sinq m
 l 
b m  k1 sinq m  
B
q
k1
2q
A
2
2q /2
C
q
n1
n2
Nel punto C le due
onde interferiscono
y
B
2a
x
1
 2n1 
k

k
cos
q


 cos q m
1
m
z m
 l 
 m ( y )  m 
y
m  m 
a
E1 ( y , z, t )  E o cos(t  b m z  k m y   m )
E 2 ( y , z, t )  E o cos(t  b m z  k m y )
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16
n2
A
1
Centro della Guide
q
q
E
C a y
k
2q
A
2
a
y
y
z
x
E ( y , z, t )  2E o cos(k m y 
1
1
 m ) cos(t  b m z   m )
2
2
Onda stazionaria
Onda viaggiante
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Propagazione mono-modo
Campo di onda evanescente
(decadimento esponenziale)
y
n2
E(y,z,t) = E(y)cos(t-boz)
Campo di onda guidata
E(y)
m=0
n1
n2
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Propagazione multi-modo
L’ordine del modo m è anche legato al numero di zeri che caratterizza E(y)
y
n
E(y)
Cladding
2
m=1
m=0
n
n
Core
m=2
2a
1
2
Cladding
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Guide d’onda planari
Diversi esempi di guide a canale
Raised strip
na
RIB waveguide
nc
ng
ns
ng
ns
nc
ns
nc
ng
ns
Ridge
Embedded strip
ng
ns
ng
na
ng
ns
Buried channel
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Guida a canale RIB
Si è fatto riferimento a strutture guidanti in cui il confinamento della luce
avveniva solo in una direzione, l’asse x (guida slab).
Ora, invece, ci proponiamo di analizzare guide che offrono confinamento
anche lungo la direzione y.
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21
Guida a canale
La differenza sostanziale con le guide slab è la dipendenza
dell’indice di rifrazione non più dalla sola variale x ma,
avendo introdotto una variazione sullo
spessore della guida, anche da y; cioè si ha n=n(x,y).
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22
Condizione di confinamento in slab
Ricordiamo che la fase di un onda è data da:
exp[j k nf (x cosq + z sinq)]
Per un modo confinato, quindi, il percorso a zig-zag impone una
costante di propagazione lungo l’asse di propagazione z della guida pari a:
b= k nf sinq
che, ovviamente, non è altro che la componente di k nf lungo z
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Condizione di confinamento
Ricordiamo che per avere confinamento bisogna verificare q > qc e
considerando che b= k nf sinq si ottiene per la costante di
propagazione la seguente relazione:
k ns< b < k nf
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Condizione di confinamento
Avendo introdotto un diverso modo di indicare l’indice di rifrazione, si
usa:
indice di rifrazione efficace
definito come:
neff=b/ k= nf sinq
b' b  n
'
eff

b'
k
 neff 
b
k
Dove b ' è la costante di propagazione nella zona con canale,
mentre b è quella relativa alla zona senza canale e quindi
sostanzialmente quella ricavata
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25
Condizione di confinamento
Quindi in altro modo la condizione di guida d’onda
k ns< b < k nf
La possiamo esprimere in termini di
indice di rifrazione efficace
ns< neff <nf
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Metodo dell’Indice di rifrazione efficace
Per analizzare tale metodo faremo riferimento alla figura seguente,
da cui si può notare che le sezioni x-z possono essere ancora
analizzate come guide slab. Viene, appunto, sfruttata tale osservazione
per valutare i modi e la costante di propagazione della guida a canale.
W
nc
nf
tlat
tg
ns
sviluppando la nostra trattazione solo relativamente ai modi TE
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27
Guida a canale
Considerando gli spessori tlat e tg, dello strato guidante per
le zone laterali e per quella del canale.
Si ricavano due diverse zone, bf per la zona del canale e bl per la zona laterale,
da cui, possiamo calcolare gl’indici efficaci associati a tale zone;
W
nc
nf
ns
tlat
tg
neff 
f
bf
k
& neff 
l
bl
k
Dato che l’altezza del canale (tg) è maggiore dello spessore (tlat) delle guide
laterali, risulta nefff >neffl
il che assicura il confinamento del campo
del G.
canale,
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sub-micrometriche
Breglio
28
Guida a canale
Analizziamo ora la struttura osservabile dal piano yz, questa può essere vista
ancora come una guida slab simmetrica, caratterizzata da un cover e un
substrato di indice neffl e da uno strato di film di spessore W e indice di
rifrazione nefff
neffl
nefff
neffl
W
In tal caso, però, la costante di propagazione si ottiene risolvendo
l’equazione trascendente relativa ai modi TM.
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29
Guida a canale
neff 
f
bf
k
&
neff 
l
bl
k
Se, quindi, per la guida nel piano xz avevamo un modo TE
questo diventa un modo TM per la guida nel piano yz e
ovviamente vale il discorso duale per i modi TM
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30
Guida a canale mono modale
Vogliamo ora determinare le dimensioni da assegnare ad
una guida a canale per ottenere la propagazione del solo
modo fondamentale TE o TM.
Riferiamo le dimensioni alla lunghezza d’onda l
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31
Guida a canale mono modale
• Consideriamo guide con sezioni trasverse grandi, condizione
espressa dalla seguente relazione
2b n  n  1
2
f
2
s
• Non è necessario b grande si può anche lavorare sul salto di indice
Ipotizzeremo, inoltre, che l’attacco laterale sia tale da rientrare
sempre nella condizione 0.5  r < 1.0
(lo scavo è inferiore al 50% dello spessore del film)
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32
Guida a canale mono modale
Utilizzando, quindi, la condizione di mono-modicità V < Vs
possiamo risolvere la V rispetto al rapporto di forma a/b come segue:
2Vs
a

b w 1 
a
r
 0.3 
b
1 r 2
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33
Guida a canale mono modale
In pratica si decide di porre a = b ed entrambi, ovviamente,
abbastanza grandi. Così da ridurre le cosiddette
perdite per inserzione.
Considerando quindi a = b significa scegliere un attacco tale
da ottenere: r  0.573 ossia la struttura laterale al canale deve
avere un’altezza maggiore del doppio dello spessore del
canale stesso.
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34
Guide d’onda Rib ad ampia sezione
trasversa
Le guide d’onda a larga sezione trasversa sono
I componenti base dei moderni sistemi optoelettronici
H,w>l
w
nc
nf
ns
H
h=rH
Per questo è importande avere a
disposizione una teoria affidabile
per ottenere condizioni di
Singolo Modo di propagazione
nc Cover layer refractive index
nf guiding film refractive index
ns substrate layer refractive index
w rib width
nc  ns  n f
H rib height
confinement condition
r etching complement
l lightdi
wavelength
Scuola
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35
Condizione di Singolo Modo
w
nc
nf
ns
I più accreditati autori [1-3] hanno
dimostrato che guide rib possono
mostrare condizioni multimodo (per la
direzione verticale) ; ma per adeguati
valori di profondità di attacco laterale (r) e
rapporto di aspetto w/H , la struttura
supporta solo il modo fondamentale (per
entrambe le polarizzazioni)
H
H
l
h=rH
n f 2  ns 2  1
0.5  r  1
w
r
 
H
1 r2
0.3 [1] Usa la tecnica del Mode Matching
 
0
[3] Basato sui dati di [2],
[1] R. A. Soref, J. Schimdtchen, K. Peterman,
Journal of Quantum electronics, 27 ,8, 1971-1974 (1991)
[2] A. G. Rickman, G. T. Reed, and F. Namavar,
Usando l’approccio EIM correttamente
J.Lightwave Technol., vol. 12, pp. 1771–76, 1994.
[3] S. P. Pogossian, L. Vescan, A. Vosonsovici,
Journal of Lightwave technology, 16 ,10, 1951- 1955 (1998).
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36
Criterio delle condizioni al contorno
Permette di dare un criterio di guida a singolo modo per guide RIB ad ampia sezione
trasversa; si basa sul confronto di risultati di simulazione numerica modificando le
condizioni al contorno:
Con Neumann B.C.
e Dirichlet B.C. per il primo modo di ordine superiore,
Applicato alla stessa struttura (geometria e meshgrid)
Risolvendo gli autovalori con un simulatore FEM.
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37
Criterio
La definizione di “modo guidato” richiede, dominio infinito di osservazione
che risulta non praticabile nell’uso di risolutori numerici
Il simulatore numerico trova soluzioni che
Non sono nè fisiche nè definite dalla geometria
del problema, piuttosto sono dovute alle
condizioni al contorno.
L’ipotesi di soluzione
• I modi guidati dalla guida d’onda sono confinati alla rib e sono insensibili alle
condizioni al contorno
• le soluzioni non fisiche si estendono in maniera più ampia e sono più
sensibili alle condizioni al contorno
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38
Criterio
Si cercano soluzioni del primo modo superiore,
non valore di H fisso,

w(r )
H
se
N D10  r   N N 10  r    *
allora
Il modo non è guidato,
ma è una soluzione ‘spuria’ del simulatore
Il valore corrispondente a r* è il limite fra la condizione a singolo modo e quella multi-modo
 r  r*
regione di singolo modo
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39
in practica....
Si definisce la struttura in un
Simulatore a FEM
Si impongono condizioni di
Dirichlet al contorno
Si impongono condizioni di
Neumann al contorno
Si valutano numericamente
gli autovalori dell’equazione
di Helmholtz fissato H e al variare di w(r)
Si valutano numericamente
gli autovalori dell’equazione
di Helmholtz fissato H e al variare di w(r)
Si valuta, interpolando, se
ND10  N N10   (r*)
per definire
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r*
40
Risultati
N.B.: Il criterio è
indipendente dal tipo
di attacco e di
geometria.
E’ robusto
[1] M. De Laurentis, A. Irace, and G. Breglio, ”Determination of single mode condition in dielectric rib waveguide with large
cross section by finite element analysis”, J. Comput. Electronics, 2006.
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41
Guide d’onda planari: esempi di materiali
Si3N4
SiO2
Si
Si3N4
SiO2
Si
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42
Guide d’onda planari: esempi di materiali
Si
SiO2
Si
Si low ne
Si high ne
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43
Guide d’onda planari: esempi di materiali
SiOxNy 1
SiOxNy 2
SiO2
Si
Si / Ge
Si
Si / Ge
Si
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44
Foto SEM
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45
Foto SEM
RIB
Ad attacco profondo
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46
Recenti tecnologie per ottica integrate
WDM
4.6 mm
1
Chip
(mag 5x)
4.8 mm
Component
3
9 arrayed waveguide gratings+ 40 Photodetectors
4
Module
40 channel WDM monitor
on-chip loss: 4 dB
responsivity: 0.4 A/W
crosstalk:
- 35 dB
Circuiti Integrati Optoelettronici G. Breglio L7b
47
Micro Cavità Ottiche
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48
Cavità Fabry-Perot
Consideriamo, per il calcolo dei campi riflessi, trasmessi, interni, di
una cavità come in figura
r1, t1, p1
r2, t2, p2
Indichiamo con ri e ti le riflettività per i campi, Ri,
Ti, pi le perdite per le potenze. Vale dunque:
r12  t12  p1  1
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;
r22  t 22  p2  1
49
Valori di Campo
Ef  t1Ein  r1E b

Eb  r2 exp( j 2 )Ef

Et  t 2 exp( j )Ef
E  r E  t E
1 in
1 b
 r
  nkL  n
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2
l
L
50
Relazioni fra i Campi
t1

E

E
in
 f
1  r1r2 exp( j 2 )


t1t 2 exp( j )
Et  Ein
1  r1r2 exp( j 2 )


E  E t1r2 exp( j 2 )
in
 b
1  r1r2 exp( j 2 )

2
t
E  r E  E
1 r2 exp( j 2 )
1 in
in
 r
1  r1r2 exp( j 2 )

r1  r2 (t12  r12 )exp( j 2 )
r1  r2 (1  p1 )exp( j 2 )
Er  Ein
 Ein
1  r1r2 exp( j 2 )
1  r1r2 exp( j 2 )
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51
Spettro in Intensità
I t  Et

2
 Iin
1  r1r2  cos
t t 
1 1
1  r1r2 
2
2
t12t12
2
Iin
 4r1r2 sin2 ( )

(2 )  r1r2 sin (2 )

t t 
2


2
1 1
1  r1r2 
2
1
Iin
4r1r2
1  r1r2 
2
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sin2 ( )
52
Le grandezze che definiscono completamente una
cavità ottica risonante possono essere riassunte in:
• Distanza fra i picchi variando
la lunghezza della cavità:
• Distanza in fase fra due
picchi:
  
• Distanza fra i picchi variando
la frequenza (Free Spectral
Range)
• Larghezza del picco a metà
altezza :
• Finezza (Finess)
F
l
2
FSR 
c
2L

 r1r2
1  r1r2

FSR

• Massima trasmissività
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tmax
t1t2

1  r1r2
53
Nel caso di specchi uguali
Se gli specchi di ingresso e di uscita sono uguali
r1 = r2 = r
t 1 = t2 = t
allora la trasmittività è espressa tramite
It 
t 
4
1 r 
2
Iin
2
1
4r
2
1 r 
2

2
sin
( )
2
T2
1  R 
2
1
Iin
4R
1  R 
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2
sin
( )
2
54
Per specchi uguali si possono introdurre facilmente le perdite (assorbimento di
potenza) p da parte degli specchi:
R T  p  1
It 
1  R  p 
1  R 
2
2
1
Iin
4R
1  R 
2
sin
( )
2
2

2
Iin
Iin
p 
p 


 1

1




2
 1  R  1  F sin ( )  1  R  1  4 F 2 sin2 ( )
2

F
F
4R
1  R 

2
2
F 

R
1 R
4r1r2
1  r1r2 

coefficiente di finezza per riflettività
2

r1r2
1  r1r2
finezza per riflettività
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55
Quindi se la cavità ha gli specchi uguali (e perdite nulle) si ha completa
trasmissione della luce incidente alla risonanza, cioè la cavità ha trasmissione 1.
Trascurando gli assorbimenti si ha in definitiva per l’intensità trasmessa
l’espressione:
It 
Iin
1

2
2  2
F
sin
nL
 l

2


4
Iin

1
 
2
2
F
sin
2

nL 

2

 c 
4
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56
Riflettori a reticoli di Bragg
Ein
Ein
ET
ER
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57
Reticoli di Bragg
waveguide
k
substrate
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58
Calcolo della risposta di un Bragg Reflector
Impedence Matching Method
La riflettività viene calcolata dividendo la struttura in un grande numero di
strati sottili che presentano valore costante dell’indice di rifrazione efficace
neffi.
Per mezzo della teoria dei Modi Accoppiati in ogni sezione della struttura
periodica del reticolo di Bragg può essere ottenuta una soluzione analitica del
campo e questa viene utilizzata per ottenere una matrice di trasferimento
L
(2x2) Mi della sezione.
neff2
Ein
neff1
Et
Er
neffi, Mi(neffi, L)
Mgrating=∏iMpi Grating Trasfer Matrix
Mpi=MiMi+1
Eri= Mpi Er
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59
Potenza trasmessa e riflessa con l’approccio
dei modi accoppiati
K è il coefficiente di accoppiamento modale
S  k 2  b 2
()
m
()
m
2
()
m
()
m
2
jbL
A ( L)
jSe
Teff 

A (0)
 b sinh( SL)  jS cosh( SL)
A (0)
k sinh( SL)
Reff 

A (0)
 b sinh( SL)  jS cosh( SL)
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2
2
60
Approccio Multilayer
Permette di superare la limitazione di piccola perturbazione


E
(
L
E (0 ) 
i )

 M1 

 

H ( L i )
H (0 )
E ( L i ) 
E ( L  ) 

  M2 



H ( L i )
H ( L )

Cella elementare di un reticolo
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61
Z0


cos
b
L

j
sin
b
L




i
i
i
i


ni


Mi 
 ni

sin  b i L i 
cos  b i L i  
j
 Z0

A B
MT  

C
D


A  cos  b1L1  cos  b 2 L 2  
n2
sin  b1L1  sin  b 2 L 2 
n1
1

1
B   jZ0  cos  b1L1  sin  b 2 L 2   sin  b1L1  cos  b 2 L 2  
n1
 n2

1
n1 sin  b1L1  cos  b 2 L 2   n2 cos  b1L1  sin  b 2 L 2  
C  j
Z0
n1
D  cos  b1L1  cos  b 2 L 2   sin  b1L1  sin  b 2 L 2 
n2
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62
Risposta in frequenza di Bragg
10
Reflection (dB)
0
-10
-20
-30
-40
-50
1547
lB
1547.5
1548
1548.5
1549
1549.5
1550
1550.5
1551
1551.5
Wavelength (nm)
lB  2neff L
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63
Cavità a reticoli di Bragg
M  MT MDMT
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64
Microrisonatori ad Anello –
Accoppiamento Laterale
B.E.Little,
1998
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65
Microrisonatori ad Anello – Teoria
Directional
coupler
Add
Drop
k,c
R4
R3
Phaseshifter
0.5,
0.5r
R1
R2
0.5,
0.5r
Through
k,c
In
Accoppiatore direzionale:
 j sin(k0 .Lc )
m  jk 
2  cos(k0 .Lc )
2
SC  1  c 
  1 c  k m 

 j

 j sin(k0 .Lc ) cos(k0 .Lc ) 
Variazione
 di
fase:

SP  e
j
r
2 .e 2
with
m  1 k 2
Condizione di risonanza:
2.
l
.R.Neffring  m
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66
Microrisonatori ad Anello – Teoria
In
-jk
e
+
m
e
 j
2
 j
2
e
e
 r
2
-jk
 r
2
Drop
m
Feedback loop
Legame con i parametri descrittivi della trasmessa:
Equazioni base (Drop):
EIn
FC 
 j
2
 r
2
(  jk ) e e

1  m 2e  j er
2
PDrop
PIn
2  r
4m e
(1  m 2e r )2
H

1  FC .sin2 ( / 2)
F
k 4e
H 
(1  m 2e )2
FSR

lFWHM

 1 
2arcsin 

 F 
 C
r
PdropMax
Legame con i parametri fisici della trasmessa:
l2
FSR 
2 RNeff (l )ring
r
FSR
0
Dropped power (dB)
EDrop
ΔlFWHM
-5
-10
-15
-20
2.
  2
RNeffring
l
 r  2 RdB / 8.68
-25
1535
1540
1545
1550
1555
1560
1565
Wavelength (nm)
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67
Accoppiamento Laterale o Verticale
Si3N4
SiON
Si3N4
Si3N4
w
SiO2
SiO2
Verticale
Laterale
Tecnologia
2-maschere
1-maschera
Accoppiamento
dovuto a
- strato spesso di SiON
- posizione relativa fra
anello e guida
- larghezza del gap w
- cladding
Progettazione
della guida
flessibile
molto poco flessibile
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68
Microrisonatori ad Anello – accoppiamento verticale
Microscope image in the VIS
Vidicon IR camera at ~1550nm
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69
Microrisonatori ad Anello – accoppiamento verticale
Through and Drop Wavelength Dependence
Asymm.OFS: -0.5 Symm.OFS: 1.6 Device 2
0
-10
TE
•FSR ≈ 8 nm
-10
-30
-40
-20
-50
-30
1470
1490
1510
1530
l [nm]
1550
-60
1570
P drop [dB]
P through [dB]
-20
•Finesse ≈ 4
•Q ≈ 700
•18 dB on/off alla
risonanza per la porta
trasmessa
•10 % di potenza
dropped
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70
Strutture nanometriche
periodiche
Cristalli fotonici
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71
Definizione:
Un cristallo fotonico è una organizzazione periodica
di materiale dielettrico
che esibisce una forte inetrazione con la luce
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72
Esempi:
1D: Bragg Reflector
2D:cristalli a colonne di Si 3D: cristalli colloidali
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73
Cristalli Fotonici 1D
Specchi di Bragg
Coating antiriflesso
Legge di Bragg
2n averaged cos(q )  ml
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74
Relazione di Dispersione
k
n1: materiale ad alto indice
n2: materiale a basso indice
c
n
frequency ω
Onda stazionaria in n2
n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1
bandgap
Onda stazionaria in n1
0
π/a
wave vector k
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75
Onde di Bloch
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76
Ci sono due modi per interpretare un’onda di Bloch:
A e B
Una onda di Bloch è un onda modulata da una funzione periodica
Una onda di Bloch è costituita da diversi vettori d’onda
Entrambe le rappresentazioni sono corrette ed identiche
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77
frequency ω
-π/a
0
π/a
wave vector k
L’onda di Bloch
con vettore d’onda
k è equivalente
all’onda di Bloch
con vettore d’onda
k+m2/a:
è chiamata
la prima
zona
Scuola di Ottica - Ottica integrata Questa
in strutture microe sub-micrometriche
G. Breglio
di Brillouin
78
Esempi
Specchi dielettrici
400 – 900 nm
Esempi dal catalogo Thorlabs
Filtri Dicroici
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79
Guide d’onda 1D a “cristallo fotonico”
Joannopoulos et al.
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80
Cristolli Fotonici 2D
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81
Propagazione del campo per un cristallo fotonico 2D
Nella direzione -M, polarizzazione TM
dielectric band
inside bandgap
air band
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Mode calculation
with FEMLAB
by Aarts TUE.
82
La struttura delle Bande per le due polarizzazioni
Photonic bandgap
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83
Cristallo Fotonico 2D con difetto
Simulazione di una curva
90° in una guida d’onda a
cristallo fotonico 2D.
A.Mekis et al., PRL 77, 3787 (1996)
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84
Photonic crystal waveguides
Joannopoulos et al.
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85
2D Silicon photonic crystal waveguide bend
Zijlstra, van der Drift, De Dood, and Polman (DIMES, FOM)
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86
Zijlstra, van der Drift, De Dood, and Polman (DIMES, FOM)
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87
Silicon-on-insulator (SOI)
Si
SiO2
neff  1.7
n
 1.5
Si
Si
SiO2
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88
Cristalli Fotonici 3D
•Woodpile structures
•Colloidal crystals
•Inverse opals
•Focused Ion Beam
•...
Photonic Bandgap: nelle tre direzioni sono inibite le propagazioni
per le frequenze nel bandgap!
W.L. Vos [AMOLF]
1 mm
S.Y. Lin et al, Nature 394 (1998) 251
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89
Infiltrated colloidal crystal:
- silica colloidal crystal
- infiltration with polystyrene
- etching of silica
Colvin, MRS Bulletin 26, (2001)
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90
Cristalli Fotonici 2D e 3D in semiconduttori III-V
Noda, MRS Bulletin 26, (2001)
lasers, modulatori, curve, demux
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91