PerchèKR - L.Int.Ar

RAPPRESENTAZIONE DELLA CONOSCENZA
Prof.ssa Stefania Bandini
Dott. Matteo Palmonari
Modulo del Corso Rappresentazione dell’Informazione e
della Conoscenza
Dipartimento di Informatica, Sistemistica e Comunicazione
Università di Milano-Bicocca
www.lintar.disco.unimib.it
[email protected]
[email protected]
tel.
02 6448 7835
Tempi e luoghi
Mercoledì
08:30

10:30
Aula.
U6 - 26
Giovedì
10:30

12:30
Aula.
U6 - 26
Materiale del Corso
• http://informatica.moodle.didattica.unimib.it/
• Accesso con mail e password standard
• www.lintar.disco.unimib.it  formazione/etc.
• Link utili...
• www.csai.disco.unimib.it/CSAI/space/start/
Finalità del corso
Il corso si propone di introdurre le caratteristiche principali della disciplina che va sotto il nome
di Rappresentazione della Conoscenza (in breve KR – dall’inglese “Knowledge Representation”).
Verrà fornita agli studenti la capacità di modellare e rappresentare conoscenza di dominio, di
utilizzare strumenti formali e computazionali che permettano di ragionare sulla conoscenza
rappresentata, e di utilizzare strumenti di rappresentazione semantica che permettano di
condividere le conoscenze attraverso il Web.
Nel corso verrà dato un significato preciso a termini quali...
inferenza
Inferenza non
monotona
ontologia
semantica
Knowledge
Base
Semantic
Web
Ragionamento
Automatico
Calcolo logico
rdf
Materiale didattico
Una parte del materiale verrà segnalato e distribuito di volta in volta a lezione.
I testi di riferimento sono:
BRACHMAN, R. e LEVESQUE, H.
Knowledge Representation and Reasoning.
The Morgan Kaufman Series in Artificial Intelligence, Los Altos, CA. (2004)
CHITTA BARAL.
Knowledge Representation, Reasoning and Declarative Problem Solving. Cambridge University
Press. (2003)
STEFFEN STABB, RUDI STUDER (Eds.)
Handbook on Ontologies
International Handbooks on Information Systems Springer, 2004
Approfondimenti:
J. Sowa. Knowledge Representation: Logical, Philosophical and Computational Foundations.
Pacific Grove, CA 2000
Ed. by F. Baader, D. Calvanese, D. McGuinness, D. Nardi, P. Patel-Schneider. The Description Logic
Handbook. Theory, Implementation and Applications. Cambridge University Press 2003
“Rappresentazione
della
Conoscenza”
A.K.A.
Knowledge Representation
& Reasoning
KR&R
Once upon a time...
Artificial Intelligence
“...”
“...”
“...”
• One aspect of intelligence is
related to human capability of
representing states of affairs
and reasoning about them
• Robots
• Machines requiring automation
• Expert systems
Deep space I (1998)
Intelligence, computation and
representation
• If intelligence is about
symbol manipulation, can a
machine think?
• An intelligent agent has a
symbolic description of the
world (part of it) and is able
to reason about it according
to general principles
Knowledge Representation
Discipline studying models,
languages and tools to
represent knowledge and to
support reasoning about it
Why do we care about KR?
“Knowledge Representation and Reasoning (KR&R) is a
vibrant and exciting field of human endeavour. KR&R
techniques are key drivers of innovation in computer
science, and they have led to significant advances in
practical applications in a wide range of areas from
Artificial Intelligence to Software Engineering. Explicit
representations of knowledge manipulated by reasoning
engines are an integral and crucial component of
intelligent systems. Semantic Web technologies, the
design of software agents and Bio-Informatics
technologies, in particular, provide significant challenges
for KR&R”
[from call for paper of KR&R 2008]
KR today...
• Many application fields:
–
–
–
–
–
–
–
Bioinformatics
Information Integration
Knowledge Management
E-health
Monitoring and Control Systems
Multimedia
...
• Spread into many different macro areas
in Computer Science...
– Database
– Semantic Web
– Distributed Systems (Web Services & Multi
Agent Systems)
– Intelligent & Expert Systems
– ...
Why do we care about KR?
• We focus on two main aspects:
– Declarative approach to problem solving
– Semantic of data and information
Why do we care about KR?
• Declarative approach to problem solving
– Problem solving based on the definition of the
problem (“what”) and on the application of general
strategies rather than on a set of instruction (“how”)
PROBLEM
REPRESENTATION IN
KR SYSTEM
1
PROBLEM
2
GENERAL INFERENCE
PROCEDURES OF THE
KR SYSTEM
PROBLEM
SOLUTION IN
KR SYSTEM
1
SOLUTION
Why do we care about KR?
• Declarative approach to problem solving
STRATIGRAPHY:
Define spatial relationships between strata
Define “what” is a correct temporal succession of strataa
STRATIGRAPHY:
Define the general correlations between spatial relationships
holding among strata and their possible succession with
respect to time
The temporal succession of the strata of
the excavation
Give inputs: specific spatial relationships of an excavation
PROBLEM
REPRESENTATION IN
KR SYSTEM
1
PROBLEM
2
GENERAL INFERENCE
PROCEDURES OF THE
KR SYSTEM
PROBLEM
SOLUTION IN
KR SYSTEM
1
STRATIGRAPHY:
From the spatial relationship
between the strata of an
excavation find the
temporal succession of
such strata
STRATIGRAPHY:
A succession of the strata
SOLUTION
Why do we care about KR?
1
PROBLEM
1
STRATIGRAPHY:
From the spatial relationship
between the strata of an
excavation find the
temporal succession of
such strata
STRATIGRAPHY:
A succession of the strata
SOLUTION
Why do we care about KR?
• Declarative approach to problem solving
STRATIGRAPHY:
Define spatial relationships between strata
Define “what” is a correct temporal succession of strataa
STRATIGRAPHY:
Define the general correlations between spatial relationships
holding among strata and their possible succession with
respect to time
The temporal succession of the strata of
the excavation
Give inputs: specific spatial relationships of an excavation
PROBLEM
REPRESENTATION IN
KR SYSTEM
1
PROBLEM
2
GENERAL INFERENCE
PROCEDURES OF THE
KR SYSTEM
PROBLEM
SOLUTION IN
KR SYSTEM
1
STRATIGRAPHY:
From the spatial relationship
between the strata of an
excavation find the
temporal succession of
such strata
STRATIGRAPHY:
A succession of the strata
SOLUTION
Why do we care about KR?
BACKGROUND KNOWLEDGE
ABOUT STRATIGRAPHY
STRATIGRAPHY:
PROBLEM INPUTS
Define spatial relationships between strata
Define “what” is a correct temporal succession of strataa
STRATIGRAPHY:
Define the general correlations between spatial relationships
holding among strata and their possible succession with
respect to time
The temporal succession of the strata of
the excavation
PROBLEM OUTPUT
Give inputs: specific spatial relationships of an excavation
PROBLEM
REPRESENTATION IN
KR SYSTEM
1
PROBLEM
2
GENERAL INFERENCE
PROCEDURES OF THE
KR SYSTEM
PROBLEM
SOLUTION IN
KR SYSTEM
1
STRATIGRAPHY:
From the spatial relationship
between the strata of an
excavation find the
temporal succession of
such strata
STRATIGRAPHY:
A succession of the strata
SOLUTION
Why do we care about KR?
TAKE CARE OF
DIFFERENT
PROBLEMS...
Incomplete
Knowledge
STRATIGRAPHY:
Define spatial relationships between strata
Define “what” is a correct temporal succession of strataa
STRATIGRAPHY:
Define the general correlations between spatial relationships
holding among strata and their possible succession with
respect to time
The temporal succession of the strata of
the excavation
Give inputs: specific spatial relationships of an excavation
PROBLEM
REPRESENTATION IN
KR SYSTEM
1
PROBLEM
2
GENERAL INFERENCE
PROCEDURES OF THE
KR SYSTEM
PROBLEM
SOLUTION IN
KR SYSTEM
1
STRATIGRAPHY:
From the spatial relationship
between the strata of an
excavation find the
temporal succession of
such strata
STRATIGRAPHY:
The possible successions of
the strata
SOLUTION
Primitive spatial relationships
-cover(Y,X) :- cover(X,Y).
coveredBy(X,Y) :- cover(Y,X).
cover(X,Y) :- coveredBy(Y,X).
-cut(Y,X) :- cut(X,Y).
cuttedBy(X,Y) :- cut(Y,X).
cut(X,Y) :- cuttedBy(Y,X).
Primitive temporal relationships
:- dirPostTo(X,X).
-dirPostTo(X,Y) :- dirPostTo(Y,X).
:- dirAntTo(X,X).
-dirAntTo(X,Y) :- dirAntTo(Y,X).
Mixed axioms & multiple model generation
dirAntTo(Y,X) :- dirPostTo(X,Y).
posteriorTo(Y,W)
leanOn(X,Y),leanOn(X,Z),cover(Y,Z),cover(X,W),leanOn(W,Z).
-fill(Y,X) :- :fill(X,Y).
filledBy(X,Y) :- fill(Y,X).
posteriorTo(X,Y) :- dirPostTo(X,Y).
posteriorTo(X,W)
:- leanOn(X,Y),leanOn(Z,W),cover(X,Z),cover(Y,W).
fill(X,Y) :- filledBy(Y,X).
posteriorTo(X,Y) :- posteriorTo(X,Z),dirPostTo(Z,Y).
posteriorTo(Y,Z)
:- leanOn(X,Y),leanOn(Z,W),cover(X,Z),cover(Y,W).
:- fill(X,Y),not
slash(Y).
-posteriorTo(X,Y) :- posteriorTo(Y,X).
posteriorTo(Z,Y)
:- leanOn(X,Y).
contemporary(X,Y),posteriorTo(Z,X).
-leanOn(Y,X) :anteriorTo(Y,X) :- posteriorTo(X,Y).
posteriorTo(Z,X)
hasLeaned(Y,X):-:-contemporary(X,Y),posteriorTo(Z,Y).
leanOn(X,Y).
leanOn(Y,X) :- hasLeaned(X,Y).
contemporary(X,Y) :- contemporary(Y,X).
dirPostTo(Z,Y) :- equalTo(X,Y),cover(Z,X).
contemporary(X,Z) :- contemporary(X,Y),contemporary(Y,Z).
dirPostTo(Z,X)
:- equalTo(X,Y),cover(Z,Y).
:- attachTo(X,X).
attachTo(Y,X) :- attachTo(X,Y).
-contemporary(Z,Y) :- equalTo(X,Y),posteriorTo(X,Z).
-contemporary(Z,X)
equalTo(X,Y),posteriorTo(Y,Z).
equalTo(Y,X) :- :equalTo(X,Y).
equalTo(X,Z) :- equalTo(X,Y),equalTo(Y,Z).
contemporary(X,Y) v posteriorTo(X,Y) v posteriorTo(Y,X)
:- us(X),us(Y),not
posteriorTo(X,Y),not -posterior(X,Y).
dirPostTo(X,Y)
:- cover(X,Y).
Spatial -> Temporal mapping
dirPostTo(X,Y) :- cut(X,Y).
dirPostTo(X,Y) :- fill(X,Y).
dirPostTo(X,Y) :- leanOn(X,Y).
contemporary(X,Y) :- attachTo(X,Y).
contemporary(X,Y) :- equalTo(X,Y).
-contemporary(X,Y) :- -equalTo(X,Y).
txt
...
ODBC
JDBC
cover(u622,u613).
facts
MS access
cover(u622,u618).
db
cover(u802,u613).
... ...
cover(u803,u613).
posteriorTo(u414,u415),
posteriorTo(u414,u419),
-cover(Y,X)coveredBy(u414,u433).
:- cover(X,Y).
posteriorTo(u414,u450),
posteriorTo(u414,u612),
coveredBy(X,Y)
:- cover(Y,X).
coveredBy(u414,u46).
posteriorTo(u414,u427),
posteriorTo(u414,u428),
cover(X,Y) coveredBy(u415,u414).
:- coveredBy(Y,X).
posteriorTo(u414,u439),
posteriorTo(u414,u452),
...
coveredBy(u419,u414).
posteriorTo(u414,u453),
posteriorTo(u414,u605),
equalTo(Y,X)
:- equalTo(X,Y).
coveredBy(u419,u415).
posteriorTo(u414,u609)
equalTo(X,Z)
:- equalTo(X,Y),equalTo(Y,Z).
coveredBy(u419,u450).
... ...
coveredBy(u425,u428).
txt
coveredBy(u427,u419).
axioms
...
inferenced
chronological
models
&
rules
DLV
txt
Lack of knowledge generates multiple models
DLV [build BEN/Oct 11 2007
gcc 3.4.5 (mingw special)]
{posteriorTo(us1,us2), posteriorTo(us1,us3), posteriorTo(us2,us5),
posteriorTo(us3,us5), posteriorTo(us3,us4), posteriorTo(us4,us5),
posteriorTo(us2,us3), posteriorTo(us2,us4}}
{posteriorTo(us1,us2), posteriorTo(us1,us3), posteriorTo(us2,us5),
posteriorTo(us3,us5), posteriorTo(us3,us4), posteriorTo(us4,us5),
posteriorTo(us3,us2), posteriorTo(us4,us2)}
{posteriorTo(us1,us2), posteriorTo(us1,us3), posteriorTo(us2,us5),
posteriorTo(us3,us5), posteriorTo(us3,us4), posteriorTo(us4,us5),
posteriorTo(us3,us2), posteriorTo(us2,us4)}
{posteriorTo(us1,us2), posteriorTo(us1,us3), posteriorTo(us2,us5),
posteriorTo(us3,us5), posteriorTo(us3,us4), posteriorTo(us4,us5),
posteriorTo(us3,us2), contemporary(us4,us2), contemporary(us2,us4)}
{posteriorTo(us1,us2), posteriorTo(us1,us3), posteriorTo(us2,us5),
posteriorTo(us3,us5), posteriorTo(us3,us4), posteriorTo(us4,us5),
contemporary(us3,us2), posteriorTo(us2,us4), contemporary(us2,us3)}
Why do we care about KR?
Semantic of data and information
• Information is represented into
data format... what about the
content in the infromation when
the information need to be
exchanged?
• Taking care of the content
requires considering the
meanings of a piece of
information
• E.g. Jaguars are fast... Talking
about the car or the animal?
• E.g. What’s the meaning of
“horse” in a DB of racing
horses?
Why do we care about semantics?
Integrazione e Interoperabilità
• Data integration (integrazione di basi di dati differenti)
– Query su sorgenti di informazioni eterogenee e distribuite
– Integrazione
*
e.g.1 – Trova tutti i cavalli
e.g.2 - Trova tutti i cavalli che
corrono in Italia
“horses”
(con attributo: racing country)
“cavalli che corrono in italia”
• Integrazione di applicazioni (interoperabilità, scambio di informazioni
e condivisione della conoscenza)
*Estratta da M. Lenzerini, Information Integration, invited tutorial
to Eighteenth International Joint Conference on Artificial
Intelligence, IJCAI 2003
Why do we care about semantics?
Gli schemi sono non integrati ed eterogenei
Persona
Codice
fiscale
Anagrafe
residenti
Numero Codice
tessera fiscale
sanitaria
Anagrafe
assistiti
Anagrafe
soggetti
fiscali
Codice
progressivo
Archivio
dipendenti
Codice
interno
Archivio
cacciatori
Why do we care about semantics?
Diverse rappresentazioni
R(FirstName, LastName, Region, State)
Patrick
Metzisi
MM
Kenia
Patrick
Metzisi
(a) Two tuples
R1(FirstName, LastName, Region)
Patrick
Patrick
Metzisi
Mezisi
MM
Masai
Mara
R2(Region, State)
MM
Masai
Mara
Kenia
KE
Masai
Mara
KE
R3(State, Continent)
Kenia
KE
Africa
Africa
(b) Two hierarchical groups of tuples
<country>
<name> Kenia </name>
<cities> Nairobi, Mombasa, Malindi
</cities>
<lakes>
<name> Lake Victoria </name>
</lakes>
</country>
<country>
Kenia
<city> Nairobi </city>
<city> Mombasa </city>
<lakes>
<lake> Lake Victoria </lake>
</lakes>
</country>
(c) Two XML records
Why do we care about semantics?
Diverse rappresentazioni
• Sorgenti eterogenee in diversi formati
– (e.g. RDB, ODB, XML, Unstructured Data,
Multimedia)
• Rappresentazioni differenti
<country>
Kenia
<city> Nairobi </city>
<city> Mombasa </city>
<lakes>
<lake> Lake Victoria </lake>
</lakes>
</country>
R1(FirstName, LastName, Region)
Patrick
Metzisi
MM
R2(Region, State)
MM
Kenia
R3(State, Continent)
Kenia
Africa
Why do we care about semantics?
Tra informazioni e conoscenza
• Il Web rappresenta uno dei mezzi
principali attraverso cui si
accederà, si pubblicherà e si
scambieranno informazioni [vedi
trasparenze Brodie]
• User Generated Content (UGC)
• Nuove frontiere per data
integration
• Necessità di supportare l’accesso,
la ricerca, lo scambio e il riuso di
tali informazioni
• Tim Berners-Lee: Semantic
Web
• Necessario di esplicitare il
contenuto di documenti e
informazioni con linguaggi in
grado di essere manipolati da una
macchina
1998
2006
Why do we care about semantics?
• Search: looking for pictures of “jaguar”...
Why do we care about semantics?
• Search: looking for “jaguar animal”
Why do we care about semantics?
• Search: looking for “jaguars born this year
in berlin zoo”
Some results by
combining
words, but how
can a machine
query, and
process query
results?
Why do we care about semantics?
Tra informazioni e conoscenza
• Il Web rappresenta uno dei
mezzi principali attraverso cui
si accederà, si pubblicherà e si
scambieranno informazioni
• Il Web di oggi/domani costituito
da...
–
–
–
–
eventi
descrizioni di documenti
servizi
asserzioni
• Informazioni riguardanti risorse
sul Web rappresentate con
linguaggi semantici basati su
XML (RDF, web 2.0)
+
What about semantics?
persona
• Informazioni come...
– eventi (concerto di Paolo Conte a Milano il 30/11/2008)
– descrizioni di documenti (il documento
www.disco.unimib.it/palmonari/01.jpg riguarda Matteo
Palmonari)
– asserzioni (M. Palmonari è postdoc presso Unimib)
– ...
luogo
• Specificare questo tipo di ulteriori informazioni
contribuisce a specificare il significato...
• Ad esempio possiamo derivare nuova conoscenza:
–
–
–
–
–
Paolo Conte e Matteo Palmonari hanno una data di nascita
www.disco.unimib.it/palmonari/01.jpg riguarda M. Palmonari
www.disco.unimib.it/palmonari/01.jpg riguarda un postdoc di Unimib
Unimib ha un estensione
...
data
stesso
individuo
What about semantics and KR?
• Meaning and inference are related
• Meaning is related to the capability of manipulating
symbols, exploiting new inferred information to achieve
more intelligent behavior
• Knowledge... knowing how to use general and abstract
information
• Computer science applications taking into account
“meaning” need formal, machine-readable and
computational languages supporting automated
inference
• Knowledge Representation (in this course) focuses on
this kind of languages, and the related automated
reasoning procedures
Cos’è l’ inferenza: esempi
1.
Mario è un architetto oppure è un geometra.
Se Mario fosse architetto, allora Mario sarebbe laureato.
Mario non è laureato.
Quindi: Mario è un geometra
.
2.
Giovanni Paolo II è siciliano.
Tutti i siciliani sono giardinieri.
Quindi: Giovanni Paolo II è giardiniere.
3.
Tutti i cigni osservati sinora in Europa sono bianchi.
Tutti i cigni osservati sinora in Nord America sono bianchi.
Tutti i cigni osservati sinora in Sud America sono bianchi […]
Non sono mai stati osservati cigni che non fossero bianchi.
Quindi: Tutti i cigni sono bianchi.
4.
L’assassino ha sporcato di fango il tappeto.
Chiunque fosse entrato dal giradino avrebbe sporcato di fango il tappeto.
Quindi: L’assassino è entrato dal giardino.
5.
Gli uccelli, salvo eccezioni, sono in grado di volare.
Titti è un uccello.
Quindi: Titti è in grado di volare.
Questo corso di KR
• Avrà come oggetto:
– alcuni importanti linguaggi formali, “machinereadable” e computazionali per la rappresentazione
della conoscenza, il ragionamento automatico e la
condivisione della conoscenza attraverso il Web
– alcuni strumenti software e alcuni modelli
architetturali per lo sviluppo di applicazioni basate su
tali linguaggi
– esercitazioni relative all’uso dei linguaggi e degli
strumenti presentati
– la discussione di casi di studio relativi ad applicazioni
basate sui modelli, le tecniche e le tecnologie
presentate
Questo corso di KR
• Si focalizzerà su:
– Declarative problem solving e ragionamento
automatico
• Linguaggio di programmazione logica ASP (Answer Set
Programming)
• Sistema DLV
– Modelli, linguaggi e tecnologie per l’esplicitazione
della semantica attraverso il Web
•
•
•
•
Ontologie come modelli concettuali
Linguaggi per il semantic Web come RDF, SPARQL, OWL
Logiche descrittive e ragionamento automatico per il Web
Architetture di integrazione delle tecnologie semantiche
– Applicazioni delle tecnologie introdotte a
problematiche di information integration
Capacità fornite dal corso
(obiettivi finali)
• Si forniranno le
competenze tecniche e
logico formali relative a
strumenti fondamentali
e/o standard per
– applicazioni basate su
programmazione logica
– applicazioni Web basate
sull’utilizzo della semantica
• N.b. RDF, OWL; SPARQL
sono raccomandazioni del
W3C
– applicazioni di information
integration
Capacità fornite dal corso
(obiettivi indotti)
• Fornirà un background teorico e
pratico in grado di
– favorire l’accesso a un insieme di
tecniche e tecnologie non direttamente
approfondite durante il corso
– E.g. Sistemi a regole, risorse lessicali
(e.g. Wordnet)
– garantire una prospettiva almeno
parzialmente integrata su diversi
linguaggi formali, di programmazione e
di modellazione concettuale di uso
corrente
– E.g. Modello relazionale, UML, ER,
programmazione a oggetti
tagli
Intensione/Estensione
Linguaggi formali per rappresentare la conoscenza:
Cosa rappresentare?
Linguaggio (L)
Concetti  Predicati unari P(x)
Relazioni  Predicati binari, ternari ... R(x,y), R(x,y,z)
inferenza
Semantica (M)
Semantica standard su base insiemistica:
Concetti  Insiemi
Relazioni  Insiemi di n-uple
Rappresentazione ESTENSIONALE!
Statica...
Conoscenza
sulla realtà
Intensione/Estensione
Linguaggi formali per rappresentare la conoscenza:
Cosa rappresentare?
Linguaggio (L)
Concetti  Predicati unari P(x)
Relazioni  Predicati binari, terziari ... R(x,y), R(x,y,z)
Semantica (M)
Semantica standard su base insiemistica:
Concetti  Insiemi
Relazioni  Insiemi di n-uple
Rappresentazione ESTENSIONALE!
Statica...
Conoscenza
Intensione/Estensione
Quello che interessa dal punto di vista della possibilità
di fare inferenza è una caratterizzazione della
rappresentazione che tratti concetti e relazioni
indipendentemente dagli oggetti che nella circostanza
specifica entrano a darne la definizione estensionale.
INTENSIONE di concetti e relazioni:
Linguaggio (L)
Proprietà formali di alto livello
Necessità di un linguaggio per definirle
E.g. IN è transitiva
E.g. Inferire IN(x,z)
Da: IN(x,y) + IN(y,z)
inferenza
Semantica (M)
Conoscenza
Intensione e inferenza
Proprietà di alto livello
(aspetti intensionali di una base di conoscenza)
1. Coinvolgono una sola relazione:
e.g. simmetria:
R( x, y) → R( y, x)
2. Coinvolgono più concetti/relazioni:
a - Interdipendenze e interdefinizioni tra relazioni
N ( x, y)∧E ( x, y) ↔ NE( x, y)
N ( x, y)∧IN ( z, y) → N ( x, z )
e.g. Nord Est = Nord ∩ Est
e.g. ?
b - Relazioni tra concetti
e.g. FiguraGeometrica e Triangolo...
Triangolo( x) → FigGeometrica( x)
1- Inferenza: proprietà delle
relazioni
1 – Proprietà delle relazioni
e.g. IN: Transitività...
IN(a,b); IN(b,d); IN(d,e); IN(e,c)
a
a
b
c
1
f
f
IN ( x, y) ∧ IN ( y, z ) → IN ( x, z )
Assioma di L
1
c
e
e
1
b
d
d
1
1- Inferenza: proprietà delle
relazioni
IN: Transitività...
IN(a,b); IN(b,d); IN(d,e); IN(e,c)
a
b
c
d
e
a
1 1 1 1
b
1 1 1
c
d
e
f
f
Altre proprietà?
e.g. antisimmetria?
Più proprietà? (coerenza?)
e.g. antisim + rifl + trans?
1
1
1
antisim + irrifl + trans
⇝⊥
Relazioni tra concetti
Figura geometrica
e.g. FiguraGeometrica e Triangolo...
Triangolo
Sfera
Triangolo IS-A FigGeometrica
Triangolo( x) → FigGeometrica( x)
Triangolo è sussunto da FigGeometrica ?
Triangolo eredita le proprietà di FigGeometrica ?
haPerimetro(x)
∃(y ).FigGeometrica( y) ∧Perimetro( y) ∧PartOf ( y, x)
...
Da 1.a: N ( x, y)∧E ( x, y) ← NE( x, y)
NordEst IS-A Nord ???
...