Materiale didattico - Unicam

PROGETTO LAUREE
SCIENTIFICHE
LABORATORIO 1
• Introduzione storica
• Principio di Fermat
• Geometrie non euclidee
• Geometria della sfera
• Geometria del taxi
• Sistemi assiomatici
• Conclusioni
INTRODUZIONE STORICA
Molti illustri matematici di tutti i tempi si occuparono di problemi di
massimo e di minimo:
Il più antico problema di massimo esplicitamente formulato che si conosca è
contenuto, secondo Cantor, nella proposizione 27 del libro VI degli Elementi di
Euclide che in forma geometrica modificata si può così riassumere
"Dato un triangolo ABC, se da un punto D del lato BC si tracciano le parallele
ED ad AC, FD ad AB, l’area del parallelogramma AEDF è massima quando D è
il punto medio di BC".
Ne consegue che se AB = AC e l’angolo BAC è retto, allora tra tutti i rettangoli di
perimetro dato, il quadrato è quello di area massima; proprietà implicita
espressa nella prop 5 del libro II degli Elementi.
Apollonio (262 a.C- 190 a.C) si occupò, ritenendoli di importante interesse,
dei massimi e minimi che si possono condurre da un punto ai punti di una
conica.
I greci conoscevano già i più celebri problemi di isoperimetria ad esempio:
•fra tutti i poligoni convessi di n lati e di dato perimetro quello regolare
racchiude l’area massima;
•fra tutte le superfici piane, il cui contorno ha una data lunghezza, il cerchio
ha l’area massima;
•fra tutti i solidi di data superficie la sfera ha il massimo volume
Erone di Alessandria ( I secolo a.C. ) riconobbe che la riflessione di un
raggio luminoso in uno specchio piano può essere descritta da un principio di
minimo. Il problema infatti chiede di individuare il percorso più breve che
permette di passare da un punto A ad un punto B, toccando una retta r,
supposti i punti A e B dalla stessa parte di r.
Zenodoro (200 a.C- 100 d.C) ha raccolto una quantità notevole di teoremi
sugli isoperimetri in geometria piana. I suoi risultati sono stati riportati da
Pappo che li ha integrati con altri problemi quale ad esempio "fra tutti i
segmenti circolari limitati da un arco di data lunghezza il semicerchio ha
l’area massima".
L’analogo, nello spazio, si trova già in Archimede.
Diversi sono stati i matematici che continuarono anche nei secoli successivi ad
occuparsi di problemi degli isoperimetri:
C. Cramer (1752) ha dimostrato che fra tutti i poligoni piani convessi aventi
come lati n segmenti dati, ha area massima quello inscrivibile in un cerchio.
S. Lhuilier, ( 1750-1840) ha raccolto, riordinato e ampliato tutto ciò che si
conosceva fino a quel tempo sui problemi degli isoperimetri sia nel piano che
nello spazio.
J. Steiner (1796- 1863) ha trattato un notevole numero di questioni di massimo
e minimo, utilizzando modi diversi per stabilire le proprietà isoperimetriche del
cerchio e della sfera e da queste dedusse numerose applicazioni. Una delle più
famose è la seguente: "Tre villaggi A,B,C, devono essere congiunti da un
sistema di strade di minima lunghezza totale".
R. Sturm (1803-1885) ha continuato l’opera di raccolta e perfezionamento di
Steiner riordinando le questioni di massimo e minimo in un unico libro Maxima
und Minima in der elementaren Geometrie - Berlin 1910.
Fino ad allora, i problemi venivano affrontati per via sintetica, mettendo in
evidenza solo le condizioni necessarie cui la figura doveva soddisfare.
La trattazione rigorosa di tutta la teoria degli isoperimetri e delle questioni di
massimo e minimo fu realizzata grazie ai metodi dell’Analisi. Fu così possibile
ricondurre le ricerche di massimi e minimi delle funzioni di una o più variabili ad
un’applicazione sistematica del calcolo delle derivate e fu possibile inoltre
risolvere problemi dell’isoperimetria solida.
Hermann Schwarz (1843-1921) contribuì alla teoria delle funzioni e
all’analisi, ma si dedicò anche a questioni elementari quali: "dato un
triangolo acutangolo, inscrivere in esso un altro triangolo di perimetro
minimo". Egli dimostrò che esiste un solo triangolo e che è quello i cui
vertici sono sono i piedi delle altezze.
Nel 1884 Schwarz dimostra la proprietà isoperimetrica della sfera (fra tutti i
solidi con la stessa superficie, la sfera sia quello che contiene il maggior
volume) nello spazio in cui siamo abituati, quello euclideo a tre dimensioni.
Nel 1958 l’italiano Ennio De Giorgi, partendo dalla teoria di un altro
matematico Renato Caccioppoli, uno dei padri della scienza delle bolle,
fece di più: dimostrò che la proprietà isoperimetrica della sfera è valida in
uno spazio a più di tre dimensioni.
Molti matematici ancora oggi stanno portando avanti ricerche in questo
campo per dimostrare proprietà di minimo nella configurazione che formano
due o più bolle di sapone se si toccano.
PRINCIPIO DI FERMAT
Fermat (1601-1665) dimostrò che la legge della riflessione della luce può
anche essere enunciata nei termini di un principio di minimo.
"In un mezzo non omogeneo, un raggio luminoso che passa da un punto a
un altro segue un cammino per cui il tempo impiegato è minimo rispetto a
tutti i cammini che congiungono i due punti".
Il cammino di minimo tempo è quello per cui gli angoli di incidenza i e di
riflessione r sono uguali.
NOTE
•
•
•
•
La dimostrazione analitica risulta complessa e si basa sul fatto che AP+PB =
minimo con A(xa,ya) B(xb,yb) P(x,0)
Il principio vale anche per specchi curvi
Si dimostra che il cammino più breve contiene solo un punto P
Fermat ha dimostrato anche un principio per la rifrazione della luce che
attraversa due mezzi diversi separati da una superficie piana S
sen/sen=v1/v2= 
con v1=velocità della luce nel mezzo di provenienza
v2 =velocità della luce nel mezzo di arrivo
 = angolo di incidenza
 = angolo di rifrazione
A

S

B
GEOMETRIA DELLA SFERA
GEOMETRIA SULLA SFERA
• Piano euclideo E2 (ascissa e ordinata)
:ambiente geometrico bidimensionale
• Superficie sferica S2 (latitudine e longitudine)
:ambiente geometrico bidimensionale
• Punto di vista intrinseco: punto di vista di un
essere bidimensionale nello studio della
geometria della sfera
• Punto di vista estrinseco: il nostro punto di vista
tridimensionale che ci consente di contemplare
la superficie di una sfera immersa nello spazio.
CIRCONFERENZE MASSIME
•
Cerchio massimo: cerchio sezione determinato da un piano che taglia
una sfera passando per il suo centro
• Circonferenza massima: circonferenza individuata sulla superficie
sferica dal piano stesso
• Punti antipodali( opposti): punti della superficie di una sfera allineati
con il centro della sfera
Proprietà
1) Per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite
circonferenze massime
2) Per ogni coppia di punti non antipodali passa una ed una sola
circonferenza massima
Conseguenze
1)Se nel piano euclideo una retta è individuata in modo univoco da due
punti,
analogamente sulla superficie di una sfera una circonferenza massima è
individuata in modo univoco da due punti non antipodali
2) Le linee “rette” sulla superficie di una sfera sono le circonferenze
massime
I PERCORSI PIU’ BREVI
• Comunque presi due punti A e B su di una retta, il segmento AB è il
percorso più breve tra essi
• Sulla superficie di una sfera, le circonferenze massime
rappresentano il cammino più breve tra due punti non antipodali, ma
poiché due punti determinano due archi diversi , quello minore sarà
il più breve
• Se i punti sono antipodali ci saranno infiniti percorsi minimi(tutte le
circonferenze massime per i due punti); questa distanza =
semicirconferenza massima
B
Distanza intrinseca
Distanza estrinseca
A
LINEA GEODETICA
Una linea  tracciata su qualunque superficie S è una
linea geodetica se ogni arco non troppo lungo di , i cui
estremi siano i punti A e B , è il percorso più breve da A
a B tra tutti quelli tracciabili su S.
-Nel piano euclideo sono le rette
-Sulla superficie di una sfera sono le circonferenze
massime( i percorsi non troppo lunghi sono gli archi
minori)
GEOMETRIA DEL TAXI
MODELLO DEL TAXI
-La geometria del taxi fu proposta da Hermann
Minkowski(1864-1909), un matematico russo.
-Il piano viene schematizzato con una griglia a maglie
quadrate in cui i punti corrispondono all’intersezione di
strade in una città ideale dove tutte le strade sono
orizzontali o verticali. E’ come pensare di lavorare su
un piano quadrettato, come un foglio di quaderno.
-I taxi si muovono, lungo le strade della città quindi
vanno da un punto all’altro cercando i percorsi di
minima lunghezza che congiungono due punti.
Questo modello risulta migliore per il mondo urbano in
cui viviamo.
COSA CAMBIA?
Cambia il concetto di distanza
Punti sulla stessa strada
Teorema di Pitagora
(come euclidea)
Punti non sulla stessa strada
Si contano le unità di misura
che un taxi attraverserebbe
nel fare il tragitto più breve per
andare da un punto all’altro
D = |x2-x1| + |y2-y1|
D= [(x2-x1) + (y2-y1)]1/2
P(1,1) Q(3,5)
PQ = 20
PQ=6
NB: Le coordinate dei punti sono solo intere, quindi siamo in una
geometria discreta
ELEMENTI GEOMETRICI
Cosa diventano nella geometria del taxi ?
•
•
•
•
•
•
PUNTI
SEGMENTI
RETTE
ANGOLI
TRIANGOLI
CIRCONFERENZE E CERCHI
PUNTI
• Rappresentano le intersezioni di strade,
quindi sono i vertici dei quadretti della
griglia
C
A
B
D
SEGMENTI
•
Rappresentano i percorsi che uniscono due punti , quindi possono essere
anche spezzate. Per andare da A a C si possono scegliere 2 percorsi:
AC(sulla stessa strada) oppure ABDEFC (percorrendo strade diverse)
Se si sceglie il primo percorso AC = 4 in entrambe le geometrie
Se si sceglie il secondo percorso, esso vale solo in quella del taxi e AC=8
C
A
E
B
D
F
F
RETTE
•
•
Le rette si ottengono prolungando all’infinito un segmento
Rappresentano i percorsi più brevi che uniscono due punti A e B e tali che
AB + BC = AC
Nella figura AB=4 BC=4 AC =8 (per qualunque percorso), quindi
ABC è una retta.
EF=4 FG=3 EF+FG = 7 ma EG = 5 (percorso più breve) quindi
EFG non è una retta ( per la disuguaglianza è un triangolo)
E
.
G
.
.
F
.
.
B
.
.
.
.
A
.
.
.
•
.
F
C
Le rette si ottengono prolungando all’infinito un segmento
ANGOLI
Poiché per definizione gli angoli sono
delimitati da due semirette, nella
geometria del taxi essi sono tutti retti e
quindi tutti uguali fra loro .
TRIANGOLI
•
•
Dati 3 punti (vertici) si congiungono con segmenti (lati) in modo che i
“pezzi” di lati non si sovrappongano, né devono essere sulla stessa
verticale o sulla stessa orizzontale.
Esempi di triangoli equilateri :
ABC lato =8; DEF lato =6; LMN lato =4 ; PQR lato =6
E
B
C
A
D
F
P
M
N
R
L
Q
Triangolo isoscele e triangolo scaleno
Nella geometria del taxi non vale la disuguaglianza triangolare:
AB = 4
DE = 8
BC = 6
EF = 7
AC = 6
FD = 15
In DEF , FD non è minore (ma uguale) di DE+EF
B
E
A
C
D
F
Criteri di uguaglianza dei triangoli
Nella geometria del taxi non vale il primo criterio di uguaglianza dei triangoli:
AB = 4 BC = 4 AC = 4
ED = 4 DF = 4 FE = 8
poichè
BC = DF  AB = ED  angolo ABC = angolo EDF(perché retti)
Per la geometria euclidea dovrebbero essere uguali
Per la geometria del taxi non lo sono perché ABC è equilatero ,DEF è isoscele
B
C
A
D
E
F
CIRCONFERENZE E CERCHI
• Circonferenza: luogo dei punti per i quali è costante la distanza
(raggio) da un punto fisso (centro)
R=4 L=32 d=32/8 =4 (corrispondente di  nella geometria euclidea)
Area=dipende dal cammino che sceglie il taxi, max=40, min=24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O
.
.
.
.
.
.
CONCLUSIONI
• La geometria analitica è tutta da ricostruire
• La geometria del taxi è più vera o meno vera
di quella euclidea?
La domanda non ha senso, essa è solo
un’altra geometria che risponde meglio ad
esigenze diverse, quindi coesiste con quella
euclidea e con tutte quelle che possono
essere dedotte da “regole”prefissate.
(TEORIE ASSIOMATICHE)
GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Euclide
• Vissuto intorno al 300 a.c., scrisse gli “Elementi”, opera
in 13 libri
• Per la prima volta utilizza il sistema ipotetico-deduttivo
fondato su:
-termini(le nostre definizioni)
-assiomi(asserzioni evidenti delle verità)
-postulati(come sopra,oggi non li distinguiamo più dagli
assiomi)
• La verità di assiomi e postulati e la correttezza delle
dimostrazioni garantiscono la verità all’intera teoria
• Gli assiomi ed i postulati fanno sì che l’intuizione è
garanzia di verità ma è anche limitata al massimo
I 5 POSTULATI
• I primi tre sono evidenti, basta ricorrere a costruzioni
grafiche
• Il quarto si dimostra dagli altri 3
• Il quinto, detto delle parallele(per un punto esterno
ad una retta passa una ed una sola parallela ad
essa), non è immediatamente evidente come gli altri,
non rimanda ad una costruzione geometrica.
Lo stesso Euclide nutriva qualche dubbio sulla sua
legittimità di postulato
Cosa accade se consideriamo il piano illimitato?
E’ ancora valido o no?
IL QUINTO POSTULATO
• L’intuizione non può aiutarci a rispondere alla
domanda precedente
• Rinunciare ad esso, però, non è possibile perché da
esso discendono le altre dimostrazioni tra cui :
-il teorema di Pitagora
-la trigonometria
-la geometria analitica
• E’ indipendente dagli altri?
• Se fosse una conseguenza logica degli altri, si
potrebbe eliminarlo come assioma e darne una
dimostrazione servendosi degli altri.
I TENTATIVI
•
Posidonio (greco) nel 10 secolo a.c.;Proclo (greco); Nasir-Eddin
(arabo); Wallis (inglese).
Tutti giunsero a conclusioni che potevano essere dimostrate solo
utilizzando il 5opostulato.
I tentativi rimasero senza successo fino al XVII secolo.
• Gerolamo Saccheri (1667-1733), frate gesuita,negò il postulato per
arrivare ad una contraddizione(dimostrazione per assurdo),
costruendo il quadrilatero birettangolo :
“Preso un segmento AB, si traccino due segmenti AD e BC
perpendicolari ad AB ed uguali fra loro, si congiungano poi D con
C.Cosa possiamo dire degli angoli D e C?
D
A
C
B
A=900
B=900
C=? D=?
RISULTATI DI SACCHERI
•
Ipotesi dell’angolo retto
•
Deriva dal postulato quindi è negata
•
Ipotesi dell’angolo acuto
•
Da esso deriva che la somma degli angoli
interni di un triangolo è
< 1800
per un punto esterno ad una retta passano
infinite rette ad essa parallele
•
Ipotesi dell’angolo ottuso
•
Da esso deriva che la somma degli angoli
interni di un triangolo è
>1800
per un punto esterno ad una retta non
passa alcuna retta ad essa parallela
COSA OTTENNE SACCHERI?
Egli credette di aver dimostrato
che le sue conclusioni fossero
assurde, invece gettò le basi per
una geometria valida anche se
non si ammette il 50 postulato.
Da questi errori “logici” nacquero
le geometrie non euclidee.
DOPO SACCHERI
•
Lambert, Gauss ed altri ripercorsero la strada di Saccheri risolvendo
completamente la questione: il 50postulato di Euclide è effettivamente
indipendente dagli altri
lo si ammette
geometria euclidea
•
non lo si ammette
geometria non euclidea
Entrambe costituiranno due sistemi distinti, entrambi ugualmente logici e
coerenti in sé.
Nacquero diversi modelli di geometria non euclidea:
- geometria iperbolica ( il russo Lobatceskij e l’ungherese Bolyai )
- geometria ellittica ( il tedesco Riemann)
- geometria proiettiva (Klein)
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
A CONFRONTO
IPERBOLICA
ELLITTICA
PIANO
Regione interna ad
una conica
Superficie di una
sfera
Regione interna da
una conica
(circonferenza)
RETTA
Corda della conica
(esclusi gli estremi)
Una circonferenza
massima
Corda della
circonferenza
(esclusi gli estremi)
PUNTO
Punto interno alla
conica
Coppia di punti
diametralmente
opposti
Punto interno alla
circonferenza
PARALLELE
2
Nessuna
PROIETTIVA
Infinite
Le scuole di pensiero derivanti dai
tentativi
di
dimostrazione
della
coerenza delle geometrie non euclidee
Logicisti
Basarono la
coerenza delle
geometrie non
euclidee sulla
logica
Formalisti
Intuizionisti
Svuotarono di
significato le
proposizioni del
sistema, che
divennero delle
sequenze di
simboli
L’intuizione non
l’esperienza o la
logica,
determinava la
validità delle
idee
“LA RIVOLUZIONE COPERNICANA”
• L’evidenza intuitiva non può essere un criterio di
fondazione degli assiomi di una teoria matematica.
Essa è soggettiva e spesso il limite dell’intuizione è il
limite della fantasia.
• Non è pertinente parlare di assiomi “veri” o “falsi”:
l’assioma è solo “punto di partenza”convenzionale.
• Il matematico deve derivare teoremi da ipotesi (assiomi)
preoccupandosi solo della coerenza logica con le
premesse e non della loro evidenza intuitiva .
• La geometria non è più la scienza “descrittiva” della
realtà spaziale ma diventa scienza puramente formale,
frutto di rigorosa astrazione.
Caratteristiche degli assiomi
• COERENZA:un sistema si dice
coerente se da esso non sono deducibili
una proposizione e la sua negazione
• INDIPENDENZA:un assioma non deve
essere dedotto dagli altri (perché
diventerebbe un teorema)
• COMPLETEZZA:un sistema è completo
quando aggiungendo un altro assioma
esso diventa non più coerente
COERENZA DEI SISTEMI IPOTETICI-DEDUTTIVI
• Come possiamo essere certi che i sistemi da noi
costruiti siano logicamente coerenti?
• Come possiamo sapere che da certi assiomi
non sarà possibile dedurre conseguenze
contraddittorie?
• Esiste qualche metodo che ci consenta di
conoscere la coerenza di un sistema?
IL PROBLEMA DELLA COERENZA
Molti matematici cercarono di risolvere il problema, senza
raggiungere però un risultato
definitivo:Cauchy,Boole,Weierstrass,
Cantor,Dedekind,Peano,Russel, Zermelo,Hilbert.
Da allora la situazione è cambiata radicalmente: una
ricerca di Godel ha condotto al seguente teorema:
“E’ impossibile raggiungere la dimostrazione della
non contraddittorietà di un sistema logicomatematico servendosi dei soli mezzi offerti da
questo sistema, e bisogna invece aggiungervi dei
mezzi sostanzialmente nuovi, non esprimibili nel
sistema stesso”
I
COS’E’ LA MATEMATICA?
Un tempo
• Sistema ben determinato
• Tutte le proposizioni derivano
da un ristretto numero di
assiomi
• Ogni problema è risolubile
mediante un numero finito di
operazioni
Oggi
• Mosaico di sistemi
infinitamente
numerosi,logicamente distinti
l’uno dall’altro
• Ogni sistema contiene qualche
problema non decidibile
all’interno di esso
• Uno di tali problemi è appunto
quello della non
contraddittorietà:
l’affermazione che un certo
sistema S è non contraddittorio
è indecidibile entro S
LA MATEMATICA E’ IMPERFETTA?
•
Se la matematica non si esaurisce
in un unico sistema , ma ha
bisogno di una serie infinita di
lingue sempre più ricche, allora è
imperfetta?
Il carattere non chiuso proprio
della matematica, non è il frutto di
una specie di imperfezione
umana, ma risiede nella natura
della questione e
PER ME CHE TI STO RACCONTANDO
QUESTE COSE , LA MATEMATICA E’ LA
PROVA DELLA POTENZIALITA’ DELLA
MENTE UMANA, L’UNICA CAPACE DI
IMMAGINARE UN MONDO INFINITO
CHE NON LE APPARTIENE: PECCATO
CHE NE FACCIAMO UN USO COSI’
SPESSO SBAGLIATO
E PER TE?
Di sicuro, fra un po’ di tempo,
ricorderai ben poco della
matematica che in questi anni hai
studiato (?): è normale se non farai
studi specifici.
D’altra parte moltissime persone
vivono benissimo senza di essa,
ma tu, anche se ancora non lo sai,
sei già un po’ più ricco.