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I Motori Asincroni (ad Induzione)
Le macchine asincrone sono macchine rotanti la cui velocità angolare
di rotore non è rigidamente legata a quella del campo rotante.
Sono dette anche “macchine ad induzione” perchè gli avvolgimenti di
rotore sono sede esclusivamente di correnti indotte dal campo rotante.
La coppia motrice nasce dalla interazione del campo rotante generato
da un sistema di correnti che circolano negli avvolgimenti di statore
(sistema induttore) con il campo magnetico generato dalle correnti di
rotore (sistema indotto).
Generalità di Tipo Costruttivo
Sistema induttore: è montato sullo statore ed è composto da un
pacco di lamierini al FeSi, aventi forma di corona circolare, in sono
state predisposte le cave per l’alloggiamento degli avvolgimenti. Lo
statore delle macchine asincrone è del tutto identico allo statore delle
macchine sincrone. Si rimanda a quella trattazione.
Sistema indotto: è montato sull’albero di rotore ed è composto da un
pacco di lamierini magnetici sulla cui periferia sono state predisposte
le cave per l’avvolgimento di rotore.
I rotori si distinguono in:
• rotori avvolti;
• rotori a gabbia
– gabbia semplice;
– doppia gabbia;
– barre profonde.
Il numero delle cave di rotore e di statore devono
essere in numero non multiplo uno dell’altro per
evitare che gli eventuali allineamenti tra le parti
attive degli avvolgimenti provochino una mancata
concatenazione tra i flussi magnetici di statore e
rotore (problemi allo spunto).
Circuito magnetico di accoppiamento: è composto dal circuito
magnetico di statore e di rotore. Le due sezioni sono divise da un
traferro che è sede del campo principale.
Sia il rotore che lo statore
sono sede di flussi variabili
nel tempo. I rispettivi circuiti
magnetici sono laminati per
ridurre le perdite nel ferro
(correnti parassite).
Avvolgimenti di Rotore:
I conduttori che si trovano nelle cave di rotore devono costituire, nel
loro insieme, un avvolgimento polifase avente lo stesso numero di
poli dell’avvolgimento di statore.
Rotore avvolto con collettore ad anelli.
È del tutto simile all’avvolgimento di statore, compresa la forma delle
cave.
Le fasi sono collegate a stella o
a triangolo ed i terminali fanno
capo a tre anelli su cui
strisciano le spazzole che
consentono la chiusura degli
avvolgimenti su un circuito
esterno (ad esempio, sul
reostato di avviamento).
In funzionamento normale, i tre anelli
sono in corto circuito allo scopo di
ottenere la minima resistenza di
avvolgimento.
Rotore a gabbia semplice
è perennemente in corto circuito.
È composta da un solo conduttore per cava, in rame o in alluminio,
isolato solo dall’ossido superficiale, le cui estremità sono collegate ad
un anello frontale dello stesso materiale.
Per piccole e medie potenze, le sbarre e gli
anelli sono realizzati in alluminio pressofuso.
Per grosse potenze le sbarre vengono
realizzate a parte ed inserite a freddo
(azoto liquido) e gli anelli vengono saldati
e torniti.
Dato che i conduttori sono perennemente in corto, le correnti circolanti
sono piuttosto intense.
Non presenta un prefissato numero di poli.
Osservazioni
Non
viene
impiegato
come
generatore perché non è in grado di
produrre potenza reattiva e perché
cambia la frequenza delle grandezze
elettriche in funzione del carico.
Funziona come un trasformatore con un sistema di avvolgimenti in
movimento.
BARRE DELLA GABBIA
Vengono realizzati per
sviluppare tutti i tipi di
velocità, basta variare il
numero di poli o le
frequenze di alimentazione.
PACCO MAGNETICO
PALETTE DI
VENTILAZIONE
ANELLI DI CORTO CIRCUITO
Avvolgimenti di statore
Ventola ed
anello
pressapacco
Circuito magnetico
Supporto del circuito
di statore
magnetico di statore
Anello
pressapacco
Vengono
realizzati per
albero
una vastissima
gabbia
gamma
di
potenze
(da
pochi W fino a
morsettiera
decine di MW).
Circuito magnetico
cuscinetto
Di costruzione
di rotore
Coperchi frontali
robusta,
supporti
semplice
ed
economica.
Sta soppiantando le altre macchine grazie alla alimentazione a
frequenza variabile (PWM) soprattutto nelle applicazioni dove viene
richiesta una notevole variazione di velocità (campo specifico delle
macchine in cc ad eccitazione serie).
Principi di Funzionamento
Considero una macchina asincrona con il rotore avvolto. Lo statore
viene collegato ad una rete a potenza infinita con tensioni concatenate
simmetriche e valore efficace costante.
L’avvolgimento di rotore avente un numero di poli pari a quello di
statore, è collegato agli anelli di rotore ed i terminali sono, per il
momento, aperti.
Se si chiude l’alimentazione, negli
avvolgimenti di statore circola un
sistema di correnti equilibrate (per
le condizioni di simmetria
costruttiva
della
macchina),
limitate dalla resistenza e dalla
reattanza interna di macchina.
Sia R la resistenza dei conduttori ed X la reattanza legata al flusso al
traferro che si concatena con il solo avvolgimento di statore.
Le correnti assorbite danno origine ad un campo magnetico rotante di
statore identico a quello delle macchine sincrone.
Ipotesi di Campo
In modo del tutto identico al procedimento proposto nel caso delle
macchine sincrone, possiamo formulare le ipotesi di campo:
1) permeabilità magnetica del ferro infinita (f= => Hf=0);
2) distribuzione del campo magnetico identica in tutti i piani
perpendicolari all’asse di macchina (si trascurano gli effetti di bordo
nelle testate);
3) andamento radiale delle linee di flusso al traferro (le componenti
tangenziali del campo devono essere nulle. Si trascurano le
perturbazioni di campo dovute alle cave).
Tenendo conto del n°delle fasi, della distribuzione spaziale delle q
cave per polo e per fase, del n° dei poli, l’andamento della f.m.m. al
traferro è a scalini con valore medio nullo nello sviluppo perimetrale.
Abbiamo dimostrato, con riferimento all’armonica fondamentale, che
il campo magnetico rotante viene descritto dalla espressione:
3
x
12 2
H ( x ,t )  H M [cos e ( t  )]
HM 
K a qnc I
2
vc
 
Il campo rotante visto da un osservatore fisso con lo statore ed uno
fisso con il rotore (fermo) è un campo variabile nel tempo con legge
sinusoidale.
Il profilo dell’induzione al traferro viene descritto dalla relazione:
x
x
3
B ( x ,t )  0 H M [cos e ( t  )]  B0 [cos e ( t  )]
2
vc
vc
Il flusso medio per polo si calcola tenendo conto della superficie del
polo Sp=pl dove p è il passo polare ed l la lunghezza del pacco
magnetico.
  K f B0  pl
Questo flusso, concatenandosi sia con lo statore che con il rotore,
induce una f.e.m. il cui andamento è sinusoidale.
e( t )  EM sin( et )
EM  KK a K f Ne 
Se il rotore è fermo, l’analogia con il trasformatore a vuoto è completa.
E’ possibile esplicitare l’espressione fasoriale delle f.e.m. indotte sullo
statore e sul rotore:
es ( t )  EM s sin( et )

Es
Es  jK s N s e 
er ( t )  EM r sin( et )

Er
Er  jK r N r e 
Er è misurabile ai morsetti aperti del rotore.
Ks e Kr differiscono per il diverso coefficiente di avvolgimento.
Ne segue che nello statore viene assorbita una corrente di
magnetizzazione che genera il campo rotante (e sostiene le perdite nel
ferro) che vale:
V f  Es
I s0 
Rs  jX s
Is0 è circa i 20 - 30 % di In contro il 5% dei trasformatori, a causa della
presenza di un largo traferro.
I s0  I a  I 
Possiamo immaginare che
Inoltre, definiamo il rapporto di trasformazione elettrico come:
Es K as N s
nt 

Er K ar N r
Rotore in Corto
Se chiudiamo gli avvolgimenti di rotore in corto, le f.e.m. di rotore
fanno circolare una corrente Ir nelle fasi di rotore (terna equilibrata per
simmetria costruttiva). Queste correnti vengono limitate dalla resistenza
degli avvolgimenti e dalle reattanza di rotore.
Er  Rr I r  jX r I r
La terna delle correnti di rotore generano, a loro volta, un campo
rotante di reazione che è perfettamente sincrono con quello di
induzione. Il suo n°di poli è pari a quello di statore. Se il rotore è fermo,
la velocità del campo rotante è identica alla velocità angolare del campo
rotante di statore (induttore).
e
e
c 
s
p

r
p
Siamo in condizione di sincronismo tra campi magnetici rotanti. Nasce
quindi una coppia meccanica di spunto che tende a far muovere il
motore nella direzione del campo rotante induttore.
Rotori a Gabbia
I rotori a gabbia non presentano un numero di poli prefissato ma
“copiano” il n° di poli del campo rotante.
Le singole barre vengono
investite dal campo rotante ed
ognuna di esse si concatena con
una quota di flusso magnetico
che dipende dalla posizione
angolare relativa tra barra ed
onda.
Con riferimento alla figura
(pag.seguente), le prime 7 barre si
concatenano con un flusso di
segno positivo dando origine a 7
f.e.m. che sono sfasati tra loro di
Sotto il polo di segno contrario, le barre sono interessate 2R/2pZr.
dallo stesso flusso ma di segno contrario al precedente.
Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per le altre coppie polari.
Questo ragionamento prova sia che il n° di poli di rotore è identico a
quello di statore che il n°massimo di poli è pari al n° delle barre di
Le f.e.m. indotte fanno circolare le correnti di
rotore.
rotore con il medesimo meccanismo spiegato
per il caso del rotore avvolto.
Queste correnti circolano nelle barre e si
chiudono negli anelli di testa (circuito in corto).
La circolazione delle correnti è dettato dalle
f.e.m. indotte. Si genera un sistema di correnti
equilibrate, limitate dalle resistenze e dalle
reattanze di barre ed anello.
L’insieme delle forze che si esercitano tra conduttori di statore e di
rotore determina la coppia motrice che trascina il motore in rotazione
nella direzione di rotazione del campo rotante.
Noto il verso di rotazione del rotore, con la regola della mano destra si
determina il verso di percorrenza delle correnti nei conduttori.
Rotore a Poli
Salienti (Macchina
Anisotropa)
Condizione
di Moto Stazionario
Durante l’avviamento, mentre il rotore accelera, diminuisce la
velocità relativa tra campo rotante ed il rotore stesso. Diminuisce la
velocità con cui le linee di forza del campo tagliano le barre rotoriche
si modifica il regime elettrico indotto negli avvolgimenti di rotore.
Per una generica velocità di rotazione per il rotore (il campo rotante
di statore ruota a giri fissi determinati dalla frequenza elettrica e dal
numero di poli), due osservatori, uno solidale con il rotore e l’altro
con lo statore, vedranno condizioni di funzionamento diverse.
Osservatore fisso sullo statore
L’osservatore fisso con lo statore vede un campo magnetico
xA *
dipendente dal tempo con legge
B ( x A ,t )  B0 [cos e ( t    )]
vc
(* è lo sfasamento tra la posizione
dell’osservatore A ed un riferimento fisso), il cui periodo è
2 p
vc
e
Tc 
; c 
; c 
vc
p
p
Lo stesso osservatore, A, vede il rotore ruotare con pulsazione angolare
mr .
Osservatore mobile con il rotore
Il rotore è in movimento con un determinato numero di giri nr
[giri/min]. L’osservatore B vede l’osservatore fisso di statore A
rimanere indietro con lo stesso n° di giri e verso contrario rispetto a
quello indicato da A.
L’osservatore B vede il campo rotante di statore superarlo con una
velocità vc>vmr. Il numero di giri del campo rotante, visti
dall’osservatore B di rotore, sarà nc-nmr.
I conduttori di rotore tagliano le linee del campo rotante con una
velocità vc-vmr => Rc-Rmr 2R n  2 R n  2 R ( n  n )
c
mr
c
mr
60
60
60
Ne segue che nel rotore si instaura un regime elettrico che dipende
dalla velocità relativa (vc-vmr) del campo rotante di statore rispetto
all’osservatore B di rotore.
L’osservatore B vede un campo rotante variabile nel tempo con legge
trigonometrica di periodo Ter pari a:
2 p
( vc  vr )
Tcr 
 cr 
vc  vr
p
Definizione di scorrimento
Definiamo come scorrimento il rapporto tra
( vc  vmr )
s
la velocità relativa del campo rispetto al rotore.
vc
2
2
nc  nmr
( vc  vmr ) Rc  Rmr 60
nc  nmr
60
s



2

vc
Rc
nc
nc
60
S esprime la frazione di giro che il rotore perde ogni giro completo del
campo rotante. In termini percentuali:
Ed esprime il n° di giri che il rotore perde ogni
nc  nmr
s% 
 100 100 giri del campo rotante.
nc
S=1 se nmr=0 => il rotore è fermo
0  s 1
S=0 se nmr=nc => il rotore ruota con il campo rotante
Ora, il periodo dell’onda di campo di statore vista dal rotore può
essere espressa come:
2 p
2 p
2 p
Tc
ma Tc 
Ne segue che Tcr 
Tcr 

s
vc  vr svc
vc
1
1

 f cr  sf c
Con riferimento alla frequenza,
f cr sf c
pf cr  spf c  f er  sf
Moltiplicando ambo i membri per il
n°paia poli, vediamo che l’osservatore di rotore attribuisce al campo
rotante una frequenza diversa da quella vista dall’osservatore di
statore. Se x’ è la distanza misurata sul rotore a partire da un
riferimento fisso con il rotore, il campo rotante visto dallo statore
x'
l’espressione
B ( x' ,t )  B0 [cos( er t 
 *' )]
p
che per le condizioni trovate possiamo riscrivere come:
x'
B( x' ,t )  B0 [cos( ses t 
 *' )]
p
Osservazioni:
• se il rotore è fermo vr=0 => s=1 =>
B( x' ,t )  B0 [cos( es t 
x'
p
 *' )]
Il campo di statore viene visto nello stesso modo sia dal rotore che
dallo statore (condizione trasformatorica). Il rotore e lo statore vedono
i campi muoversi con la stessa velocità.
• In condizioni di perfetto sincronismo tra campo rotante e rotore vr=vc
=> s=0 =>
x'
B( x' ,t )  B0 [cos( 
 *' )]
p
B(x’,t) è costante nel tempo. Il rotore vede un campo rotante fermo
perché si stanno muovendo con la stessa velocità.
Il flusso concatenato è nullo, le f.e.m. indotte sono nulle e non
circolano correnti nel rotore. Se non c’è corrente di rotore, non si crea
nessun campo rotante di reazione e viene a cessare il meccanismo di
generazione di coppia motrice.
La coppia resistente fa rallentare il motore, ma se la macchina rallenta
s0 e quindi er(t)0 ed il rotore ridiventa sede di correnti e di coppia
motrice.
La macchina si porta in un punto di equilibrio in cui il ritardo del
rotore sul campo rotante produce un regime di correnti tale da creare
una coppia motrice che equilibra quella resistente.
Il Regime Elettrico di Rotore
Il valore efficace delle f.e.m. indotte sul rotore è legato alla frequenza
del campo rotante visto dal rotore ed è pari a
Er  jKr N r er 
sapendo che fer=sf => Er  jK r N r ses 
La f.e.m. di rotore Er=Er(s)=sEr(s=1) varia al variare dello scorrimento.
Lo scorrimento dipende dal carico, precisamente dalla coppia resistente
che esso è chiamato a vincere.
A vuoto Er(s=0)=0, non ci sono f.e.m. e quindi correnti nel rotore.
Er ( s )  jK r N r ses 

Er ( s )  sEr ( s  1 )
Alla velocità di sincronismo, il motore funziona a vuoto. In pratica,
questa condizione non può essere mai raggiunta perchè il motore deve
vincere gli attriti e sopperire alle perdite.
A pieno carico s varia tra 1% ed il 5%.
Se applichiamo il II°p di Kirchoff ai circuiti elettrici di rotore
possiamo scrivere che
E (s)
Er  Rr I r  jX r I r
Ir ( s ) 
r
Rr  jX r ( s )
Er(s) fa circolare correnti con una frequenza fer. Considerato il sistema
elettrico di rotore, le correnti generano a loro volta un campo
magnetico rotante di reazione che ruota, con riferimento ad un
osservatore solidale con il rotore, B, con una velocità angolare pari a
60 f er
giri/min rispetto al rotore nel vero di rotazione del
ncr 
campo induttore.
p
Il campo rotante di rotore ruota rispetto al rotore con un numero di giri
60 f er 60 sf
paria
dalla def. di
ncr 

 snc  nc  nr
scorrimento
p
p
Il campo rotante di rotore si muove sul rotore che ha un numero di giri
pari ad nr.
Un osservatore esterno, solidale con lo statore vede un campo rotante
di rotore che ruota con un numero di giri pari a
nr+(nc-nr)=nc [giri/min]
sincrono, cioè con il campo rotante di statore.
Sistemi di riferimento
Riferimento di Statore
Un osservatore esterno vede il campo rotante di statore e di rotore
ruotare con la stessa velocità angolare. Qualunque sia lo scorrimento
del rotore, il campo che esso genera si mantiene in perfetto
sincronismo con il campo rotante induttore. In condizioni di regime, i
due campi mantengono invariata la loro posizione relativa reciproca.
L’osservatore di statore vede un regime elettrico di rotore avente la
stessa frequenza di quello di statore e vede il rotore ruotare con una
pulsazione o numero di giri mr= c- sc=(1-s)  c
Riferimento di Rotore
Un osservatore solidale con il rotore vede lo statore che ruota
all’indietro con una pulsazione angolare mr e vede un campo rotante
che lo precede con una pulsazione sc
Secondo l’osservatore di rotore, il regime elettrico è caratterizzato da
una frequenza di fer=sf.
Riferimento sul Campo Rotante
Un osservatore solidale con il campo rotante vede lo statore che si
muove con pulsazione rotore vede lo statore che ruota all’indietro con
una pulsazione -c nel verso opposto rispetto all’osservatore di statore
e vede il rotore che si muove con pulsazione angolare sc nella
direzione dello statore.
Equazioni Interne in Regime Dinamico
Dal punto di vista modellistico, si immagina di avere un rotore avvolto
come lo statore, con i tre avvolgimenti posti in corto circuito e solidali
con il rotore posto in rotazione.
L’accoppiamento tra gli avvolgimenti statorici e rotorici varia con la
posizione relativa tra statore e rotore.
Considero un riferimento trifase solidale con
lo statore ed uno solidale con il rotore. I due
sono posti in relazione dall’angolo (t) che in
is2
condizioni dinamiche, si modifica nel tempo
ir1
(d/dt0).
ir2

Per ipotesi, ci riferiamo alle sole fondamentali
is1
delle grandezze elettriche. Nei rispettivi
riferimenti, posso pensare allora di introdurre
i vettori spaziali. Nel riferimento di rotore, le
ir3
is3
grandezze elettriche rotoriche non vedono il
rotore in moto.
Nei rispettivi riferimenti, possiamo scrivere immediatamente le
equazioni elettriche di statore e di rotore:
d s Equazione di statore con riferimento sullo statore.
V f s  Rs is 
dt
d r Equazione di rotore con riferimento sul rotore.
0  Rr ir 
dt
Dove s e r sono i flussi totali concatenati con gli avvolgimenti di
statore e di rotore.
Dobbiamo precisare meglio il legame tra correnti e flussi concatenati
perché entra in gioco il moto relativo dei riferimenti.
Sia nelle gabbie che nei rotori avvolti, le grandezze rotoriche non sono
misurabili direttamente.
Il riferimento alle sole fondamentali ci consente di ricorrere alla
distribuzione di avvolgimento
H i ( e ) 1 2

K a qnc  cos(  e )
definito durante la discussione Fi (  e ) 
i

sui M.S.
Trasformazione Trifase (123) Bifase Assi Fissi ()
Dato un sistema di correnti trifase equilibrato tali che i1+i2+i3=0 è
possibile ottenere un vettore spaziale i=(i1+ai2+a2i3) con a=ej2/3
In tale piano è possibile rappresentare il vettore in un sistema di due
assi cartesiani mediante rappresentazione di numeri complessi
mediante la trasformazione (123) => ().
Questa trasformazione la
 
posso applicare sia sullo
i
2 i
i 123 3
statore che sul rotore, nei
i



rispettivi riferimenti.
i
1 
2
In
un
sistema
di

3
s
riferimento a 2D, la
r
macchina asincrona viene
is
r
ir
modellata
da
sue

s
avvolgimenti solidali con
ir
is
lo statore e da due solidali
col rotore.
Trasformazione Assi Fissi () =>Assi Mobili (dq)
E’ necessario descrivere il concatenamento tra flussi solidali con un
sistema fisso ed uno mobile. Si consideri ora un sistema di
riferimento (d,q) che si muove rispetto al riferimento fisso con
velocità angolare variabile r(t)=d/dt. Il sistema di riferimento è
scelto in modo tale che l’asse diretto, d, coincide con l’asse fisso, ,
quando t=0.
Sappiamo che l’operazione di trasformazione

i
assi fissi / assi mobili si effettua utilizzando
i
q
la matrice di trasformazione |A()|
id
d
iq


i
i 
A(J)

i dq
id
iq

cos
 sin
sin 

i
i
cos 
 A(  ) 
O l’operatore di rotazione e
complesso:
A()<==> e -j
-j
i
i
nel piano
At()<==> e j
Nel caso del motore asincrono, gli assi di rotore sono rotanti per lo
statore ma sono fissi per il rotore. Questo ragionamento ci porta a
concludere che, nel caso degli asincroni, la trasformazione assi
fissi/assi rotanti riguarda l’accoppiamento meccanico tra due sistemi
fissi . Nel caso del M.S. è stato visto che:
[]=L[][i]
si studia ora la espressione di L[], matrice delle auto e mutue
induzioni delle macchine asincrone sapendo che
[i]=[is , is , ir , ir ]t;
[]=[s , s , r , r ] t;
r
s
r
J
s
[  ]  [ L(  )][ i ] 
Ls
0
0
Ls
i s

Lr
0
i s
i
0 r
ir
Lr
Come dimostrato nel caso della macchina sincrona, le mutue relative
alle correnti di statore ( e di rotore nel proprio riferimento rotante)
sono state inglobate in L. Ne segue che, in questa rappresentazione,
sono nulle. Nella relazione tra correnti e flussi dello stesso sistema,
sono presenti solo coeff.di auto induzione.
Le mutue compaiono per tenere conto della influenza tra correnti
rotoriche e statore e tra correnti statoriche e rotore.
Gli accoppiamenti di mutua tra gli avvolgimenti di
statore e rotore, nei rispettivi riferimenti, tengono
is2
ir1
conto degli sfasamenti relativi:
ir2

M11=M22=M33=Mcos(t);
is1
M12=M23=M31=Mcos(t+120°);
ir3
is3
M13=M21=M32=Mcos(t+240°);
Data la simmetria del circuito, i coefficienti di mutua M sono tutti
uguali e si determinano con lo stesso ragionamento già discusso nel
caso delle macchine sincrone.
Dopo aver applicato la trasformazione di riferimento (123) => ()
dei riferimenti di statore e rotore, l’accoppiamento tra un
avvolgimenti di rotore ed uno di statore dipende
s
r
r
dallo sfasamento dei riferimenti in modo
J
sinusoidale.
s
Quando r ed s sono allineati, l’accoppiamento è massimo e nullo
tra r e s perché sfasati di 90° (e viceversa). Allo stesso modo,
l’accoppiamento è massimo anche quando r è allineato con s (nullo
tra r ed s).
( i )
( i s )
( i )
( ir )
s
r
(  )
M cos 
 Msin 
(  )
M cos 
Msin 
(  )
Msin 
M cos 
(  )
 Msin 
M cos 
s
s
r
r
Ricordando la definizione e le proprietà della matrice di
trasformazione |A()|:
A(  ) 
cos
sin 
 sin
cos
A(  )
1
 A(  ) 
t
cos
 sin 
sin
cos
Possiamo esplicitare la relazione tra correnti e flussi concatenati
come:
Ls I MAt (  )
La matrice è necessariamente simmetrica

 i per reciprocità.
MA(  ) Lr I
I è la matrice identità
s  s
is  i s
s
t
is
t
r   r
ir  i r
 r
t
ir
t
Introduciamo
i
vettori:
(matrici colonna) possiamo
esplicitare
meglio
la
relazione tra correnti e flussi
t
MA
() i
s
s


 r MA(  ) L I ir
r
Ls I

 s  Ls is  MAt (  )ir

 r  MA(  )is  Lr ir
Trasformazione su un riferimento generico k
Si consideri ora un sistema di riferimento generico, k, a cui riferire
entrambi i sistemi simultaneamente.
r
k
s
k
Jk
r
J
s
Tramite la matrice di trasformazione |A(k)|
mi porto da un riferimento all’altro, ad
esempio
• da riferimento di statore al riferimento k
isk  A( k )is

is  At (  k )isk
• da riferimento di rotore al riferimento k
irk  A(  k   )ir
ad esempio, se pre-moltiplico per |A(k)|
la relazione di statore

ir  At (  k   )irk
 s  Ls is  MAt (  )ir
A( k ) s  A( k )Ls is  A( k )MAt (  )ir
e ricordarci che
is  At ( k )isk
ir  At ( k   )irk
A( k )s  A( k )Ls At ( k )isk  A( k )MAt (  ) At ( k   )irk
Ora,
quindi,
A(  k ) At (  k )  I
A(  k ) At (  ) At (  k   )  I
sk  Lsisk  Mirk
Si conclude che sul riferimento k generico si perde la dipendenza
delle mutue dalla posizione angolare.
Lo stesso ragionamento si applica sulla equazione di flusso di rotore,
in analogia con il procedimento appena svolto (basta premoltiplicare
la equazione di rotore per |A(k- )|.
Osservazione Importante: si ottiene un sistema indipendente da 
e quindi dal riferimento
 sk  Ls isk  Mirk
Equazione di statore con riferimento k generico

rk  Lr irk  Misk Equazione di rotore con riferimento k generico
Equazioni Elettriche
Si devono riferire le equazioni elettriche al nuovo sistema di
riferimento k.
Le equazioni elettriche di statore e rotore, riferite ai rispettivi
riferimenti di statore e rotore, possono essere espresse come:
d s
V f s  Rs is 
dt
dr
0  Rr ir 
dt
Sfruttiamo l’espressione fasoriale della matrice di trasformazione
|A(k)| => e-jk
Se, ad esempio, se voglio trasformare il flusso di statore, s dal suo
riferimento nel riferimento generico k, è sufficiente effettuare la
moltiplicazione
sk  s e  jk  s e  jk t
( s  sk e jk t )
Applicando questa trasformazione alla prima equazione elettrica
d s
V f s  Rs is 
dt

V f sk e jk t  Rs isk e jk t 
d ( sk e jk t )
dt
l’espressione della derivata è
d ( sk e jk t )
dt

d (  sk )
dt
e jk t  sk  jk e jk t
La inserisco nella espressione da cui deriva
d (  s k ) j k t
j k t
j k t
V f sk e
 Rs isk e 
e   s k  j k e j k t
dt
d (  sk )
V f  Rs isk 
 j k  s k
sk
dt
Nella espressione compare un termine mozionale.
Se consideriamo la seconda equazione elettrica riferita al rotore e
ripetiamo le stesse considerazioni sulla trasformazione dal riferimento
di rotore a quello generico k otteniamo
 rk   r e  j ( k m )t   r   rk e j ( k m )t
dr
0  Rr ir 
dt

0  Rr irk e j( k m )t 
d ( rk e j ( k m )t )
dt
l’espressione della derivata è
d ( rk e j ( k m )t )
dt

d ( rk )
dt
e j( k m )t  rk  j( k  m )e j( k m )t
La inserisco nella espressione da cui deriva
d (  rk ) j ( k m )t
j (  k   m )t
 Rr irk e

e
  rk  j( k  m )e j ( k m )t
dt
d (  rk )
0  Rr irk 
 j( k  m ) rk
dt
Anche in questo caso compaiono termini mozionali.
Possiamo scrivere le equazioni dei flussi concatenati e quelle elettriche
con riferimento ad un generico riferimento k nelle ipotesi di
• distribuzione sinusoidale delle grandezze elettriche e magnetiche;
• linearità magnetica.
Si può omettere di usare il pendice k perché compare nella variabile k
che ricorda la variazione di riferimento
Riassumendo, le equazioni ricavate sono:
 s  Ls is  Mir
Legame correnti, flussi

 r  Lr ir  Mis
d ( s )
V f  Rs is 
 jk  s
Equazione di statore
s
dt
d ( r )
0  Rr ir 
 j( k  m )r Equazione di rotore
dt
Bilancio Energetico
Dalle equazioni elettriche di statore e di rotore possiamo ricavare un
bilancio energetico premoltiplicando entrambe le equazioni per le
rispettive correnti: 
d ( s )
is  ( V f s  Rs is  dt  jk  s )

i  ( 0  R i  d (  r )  j(    ) )
r r
k
m
r
 r
dt

d ( s )
is  V f s  is  Rs is  is  dt  is  ( jk  s )

0  i  R i  i  d ( r )  i  ( j(    ) )
r
r r
r
r
k
m
r

dt
Come al solito, si trascurano le perdite nel ferro.
Esaminando termine per termine si vede che:
is  V f  i s v s  i s v s È la potenza elettrica che entra in macchina.
s
is  Rs is  Rs is 2

ir  Rr ir  Rr ir 2
È la potenza persa per effetto Joule negli
avvolgimenti di statore e di rotore.
 d ( s )
is  dt

i  d ( r )
 r
dt
Rappresentano le variazioni di energia
magnetica immagazzinata dallo statore e dal
rotore, rispettivamente.
d ( s )
d ( r )
e
sono f.e.m. trasformatoriche
dt
dt
Sono termini relativi alla produzione di
is  ( jk  s )
energia meccanica. Le potenze sono

ir  ( j( k  m ) r ) sommabili. Ne viene che
is  ( jk  s )  ir  j( k  m ) r  is  jk  s  ir  jk  r  ir  jm  r
I primi due termini rappresentano la potenza che esce dallo statore ed
entra nel rotore. Hanno segno discorde e la loro somma è nulla.
L’ultima è la potenza elettrica equivalente meccanica prodotta dalla
macchina asincrona. Ricordando che j è un operatore di rotazione di
90°
 ir  jm  r  m ( ir   r )  Pm
Osservazione Importante:
Tra tutti i possibili riferimenti, viene scelto uno solidale con la
pulsazione elettrica e perché legato alla frequenza di rete che è un
parametro facilmente controllabile ed è caratterizzante per il regime
elettrico (e = k).
Ora tutte le considerazioni fin qui svolte si riferivano ad un sistema a
due poli (p=1) caratterizzato dal rispettare la condizione e = c
e dall’avere una pulsazione meccanica m =(1- s)c .
In un sistema multipolare, i ragionamenti svolti vanno ripetuti sotto
ogni coppia polare. Lo scorrimento delle grandezze elettriche viene
riferito ad una pulsazione elettrica equivalente meccanica che è
legata alla pulsazione meccanica dal numero di coppie polari
(em=pm pulsazione meccanica equivalente elettrica). Per lo
scorrimento possiamo scrivere che
( c  m ) ( pc  pm ) ( e  em )
s


c
pc
e
Tornando alla espressione della coppia
3 Pm 3 1
3
Tm 

em ( ir   r )  p( ir   r )
2  m 2 m
2
Si possono esplicitare anche altre espressioni equivalenti tenendo
conto del legame tra flussi e correnti.
 s  Ls isk  Mir

 r  Lr ir  Mis
Sostituendo r nella espressione della coppia
con la seconda equazione del sistema si ottiene
3
3
Tm  p( ir  ( Lr ir  Mis ))  p( ir  Mis )
2
2
Nota: il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo.
Se invece si sostituisce ir prendendolo dalla prima equazione
 s  Ls is
3
3
 s  Ls is
Tm  p((
)  Mis )  p(  s  is )
ir 
2
M
2
M
L’espressione più utilizzata prevede la presenza delle correnti
statoriche perché facilmente misurabile ed i flussi rotorici.
r  Mis T  3 p( i   )  3 p(( r  Mis )   )  3 M p( i   )
ir 
m
r
r
r
s
r
2
2
L
2
L
Lr
r
r
Equazioni Interne per la Dinamica su Riferimento k
 s  Ls is  Mir

 r  Lr ir  Mis
d ( s )
V f  Rs is 
 jk  s
s
dt
d ( r )
0  Rr ir 
 j( k  m )r
dt
3
M
Tm  K r p( is   r )
Kr 
2
Lr
Legame correnti, flussi
Equazione di statore
Equazione di rotore
Coppia motrice (Kr è il
coefficiente di accoppiamento
rotorico.
Equazioni Esterne per la Dinamica
Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere
variate a piacere [v]=f(t).
Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in
funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt
Equazioni Interne per lo Stato Stazionario
Con la scelta del riferimento solidale con la pulsazione elettrica del
sistema di alimentazione statorica, e, e imponendo la condizione di
regime stazionario dove tutte le grandezze hanno il modulo costante
e le eventuali derivate nulle, è possibile riscrivere le equazioni
ricavate per il regime dinamici nello stato stazionario. In particolare:
Divido ambo i membri della
d ( s )
V f  Rs I s 
 je s
seconda equazione per lo
s
dt
scorrimento s ricordando che
d ( r )
( e  em )
(   em )
0  Rr I r 
 j( e  em )r s  e
e 
dt
s
e
( e  em )
Rr I r
Rr
0
j
r 
I r  je r
s
s
s
Le relazioni correnti/flussi
nelle
condizioni
di
stazionarietà diventano:
 s  Ls I s  MI r

 r  Lr I r  MI s
Sostituendo i flussi nelle equazioni elettriche
V f  Rs I s  je ( Ls I s  MI r )  Rs I s  je Ls I s  je MI r
s
Rr
Rr
0
I r  je ( Lr I r  MI s ) 
I r  je Lr I r  je MI s
s
s
V f  ( Rs  jX s )I s  je MI r
s
Es  je MI r
Ponendo
Rr
Er  je MI s
0 (
 jX r )I r  je MI s
s
Si ricavano le equazioni elettriche dello stato stazionario.
La seconda equazione contiene un termine
V f  ( Rs  jX s )I s  Es R /s. Ora si può ipotizzare di scomporre
s
r
questo termine per mettere in evidenza la
Rr
0 (
 jX r )I r  Er
resistenza di rotore.
s
Rr
1 s
1 s
 Rr 
Rr
Rr Rappresenta il carico che
varia con lo scorrimento s.
s
s
s
Dalle equazioni che descrivono lo stato stazionario possiamo ricavare
il circuito equivalente di macchina valido in regime sinusoidale.
Infine,
introducendo
la
Is
distinzione tra resistenza di
Ir
Lr
Ls
rotore e resistenza di carico, si
Rs
M
Rr
Vfs
perviene
al
modello
~
s
trasformatorico della macchina
asincrona.
Le grandezze elettriche sono
V f  ( Rs  jX s )I s  Es
s
fasori sincroni tra loro di
1 s
0  ( Rr  jX r )I r 
Rr I r  Er pulsazione  .
e
s
Is
Rs
Vfs
~
Ls
M
Rr
Lr
(1-s)Rr
s
Ir
Trasformazione Bifase =>Trifase
Il sistema di equazioni elettriche è un sistema le cui variabili sono
V  R I  j L I  j MI vettori di componenti
s s
fs
e
s s
e
Rr
0
I r  je Lr I r  je MI s
s
r
V fs 
V
V
s
s
Is 
I
I
s
s
Ir 
I
I
r
r
Che corrispondono a 4 equazioni scalari nei due assi.
Tramite una nuova trasformazione bifase/trifase è possibile ottenere
le stesse equazioni sul riferimento 123 di tempo dove sono riferite le
variabili trifasi sfasate tra loro di 120°.
B tV f 123  ( Rs  je Ls )B t I 123s  je MB t I 123r
s
Se ci riferiamo ad
Rr
0 (
 je Lr )B t I 123r  je MB t I 123s
una singola fase
s
V f 1  ( Rs  je Ls )I 1s  je MI 1r
V f 1  ( Rs  jX s )I 1s  E1s
s
s
Rr
Rr
0 (
 je Lr )I 1r  je MI 1s
0 (
 jX r )I 1r  E1r
s
s
Espressione della Coppia in Regime Stazionario
Si era determinata l’espressione della coppia in regime dinamico:
3
3
Tm  p( ir   r )  p( i r  r  i r   r )
2
2
Se passiamo allo stato stazionario,
3
Tm  p( I  r  r  I r   r )
2
Se riprendiamo l’equazione elettrica di rotore ed esplicitiamo il flusso
Rr
Rr
1
0
I r  je  r   r   I r
s
s
je
Rr
Rr
Rr
r  j
Ir  j
( I  r  jI ) 
( jI  r  I  )
r
r
se
se
se
Uguagliando la parte reale e la parte immaginaria dei due membri
della equazione
Rr
  r  j  r 
(  I   jI r )
r
se
Rr
Rr
r  
I
r 
Ir
r
se
s e
Sostituendo i flussi nella espressione della coppia
3
3
Rr
Rr
Tm  p( I  r  r  I r   r )  p( I  r
I  r  I r ( 
I  ))
2
2
se
se r
3
3 Rr
2
2
Tm  p( I  r  r  I r   r )  p
( I  r  I r )
2
2 se
Pcur I è il valore efficace della
3 Rr
Rr
2
2
Tm  p
IM r  3 p
Ir 
2 se
se
sm corrente
Pcur potenza persa nel rotore.
Pcur
Pcur
Tm 
 mTm  Pm 
sm
s
Questa relazione mostra che la potenza meccanica generata è pari
alla potenza persa sul rotore divisa per lo scorrimento.
1 s
La potenza meccanica generata viene
Pm  Pcu r 
Pcu r
s
ripartita tra rotore e carico.
Equazioni Interne per lo Stato Stazionario
V f  ( Rs  jX s )I s  Es
s
Rr
0 (
 jX r )I r  Er
s
 s  Ls I s  MI r

 r  Lr I r  MI s
Rr
2
Tm  3 p
Ir
se
Equazioni elettriche relative ad una
singola fase di macchina
Equazioni correnti/flussi in condizioni di
stazionarietà diventano:
Espressione per la coppia motrice
Equazioni Esterne per lo Stato Stazionario
Alimentazione con terna di tensioni concatenate sinusoidali.
Per una singola fase, vf(t)=Vmsin(et).
Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr, costante
Tm=Tr+Fm
Caratteristica Meccanica Tm=f(n) o Tm=f(s)
Rr
Tm  3 p
I
se
Dalla espressione della coppia
Tenendo conto che la corrente
di rotore può essere espressa
in termini di f.e.m. indotta e
caratteristiche di rotore


Er
Rr 
Tm  3 p

s e   R  2
2
r

X
r
  s 
  
3p
sRr
2
Tm 
( Er )
2
2
e
Rr  s 2 X r
Ir 
2
2
r
Er
2
 Rr 
2
   Xr
 s 



3p
Rr
2
( Er )
 
2
s

 Rr 
2
e


X
 
r

s
 

Es V f s

Essendo Er 
ntr ntr
V
3 p fs 2
sRr

(
)
e ntr Rr 2  s 2 X r 2
3 p V fs 2
sRr
Tm 
(
)
Dallo studio della relazione
e ntr Rr 2  s 2 X r 2
possiamo ricavare l’andamento grafico della caratteristica meccanica
in funzione dello scorrimento Tm=f(s)
Tm
Tm
Tmmax
Tmn
Tmsp
Tmmax
Tmn
Tmsp
sn smax
s
nrsp nrn nc
Se al posto dello scorrimento s considero il n°di giri di rotore,
nr=nc(1-s), sapendo che nc è costante con la frequenza, posso
considerare il cambio di variabile nr=>1-s e la caratteristica
cambierà forma ma non in modo significativo.
Se s=0 => nr=nc; Se s=0.1 => nr=0.9nc;
Se s=0.2 => nr=0.8nc;
…………Se s=1 => nr=0;
Dallo studio della funzione Tm=f(s) si ricavano informazioni utili sul
funzionamento della macchina. Partendo dalla espressione ricavata,
3 p V fs 2
sRr
Tm 
(
)
2
2
e nt
Rr  s 2 X r
1) Se s=0 => nr=nc => Tm=0 condizione di vuoto;
2) Se s=1 => nr=0 => Tm=Tspunto
3 p V fs 2
Rr
Tm sp 
(
)
2
2

n
R

X
e
t
2
r
r
3) Se s tende a 0 allora Rr  sX r 2
s
3 p V f s 2 sRr 3 p V f s 2 s
Tm 
(
)

(
)
 Ks
2
e nt
e nt
Rr
Rr
È una equazione di una retta che passa per K  3 p ( V f s )2 1
l’origine con pendenza
e ntr Rr
Tm
3
Tmmax
Tmn
4) Se s tende a 1 allora Rr<<Xr
3 p V fs 2
sRr
Tm 
(
)

2
2
2
e nt
Rr  s X r
4
Tmsp
sn smax
s
3 p V f s 2 Rr
1

(
)
K
2
e nt
s
s Xr
5) Determinazione della coppia massima
3 p V fs 2
s
s
Tm 
(
) Rr 2 2 2  K a 2 2 2
e ntr
Rr  s X r
Rr  s X r
s
( K a 2 2 2 )
 1  ( Rr 2  s 2 X r 2 )  s( 2 sX r 2 ) 
Tm ( s )
Rr  s X r
0 
 Ka 

2
2 2
2
s
s
( Rr  s X r )


 Rr 2  s 2 X r 2  2 s 2 X r 2 
 Rr 2  s 2 X r 2 
Tm ( s )
 0  Ka 
  Ka  2 2 2 2 
2
2 2
2
s
 ( Rr  s X r )

 ( Rr  s X r ) 
Il denominatore non può essere nullo. Possiamo annullare il
numeratore
Rr
2
2
2
Rr  s X r  0  smax 
Tm
Xr
Se lo inseriamo nella espressione
della
coppia,
si
determina
l’espressione della coppia massima.
Tmmax
smax
Tmmax
s
smax Rr
3 p V fs 2

(
)
e ntr Rr 2  smax 2 X r 2
2
Tmmax
Rr
Rr
3 p V fs 2
Xr

(
)
e ntr R 2  ( Rr )2 X 2
r
r
Xr
Rr
3 p V fs 2
3 p V fs 2 1
Xr

(
)

(
)
e ntr R 2  ( Rr )2 X 2 e ntr 2 X r
r
r
Xr
La coppia massima si ha in corrispondenza della ascissa smax
e vale
Tmmax
3 p V fs 2 1

(
)
e ntr 2 X r
Rr

Xr
Tmmax non dipende da Rr ma solo da Xr.
Smax
invece
è
direttamente
proporzionale con Rr.
Con una opportuna scelta di resistenze
aggiuntive, è possibile modificare
l’ascissa a cui corrisponde la coppia
massima (Rc>Rb>Ra=Rr).
Se Rr tende a 0, Tmmax viene raggiunta subito ma diminuisce la coppia
di spunto. Man mano che Rr cresce, Tmax si sposta verso lo spunto.
Se allo spunto desideriamo la coppia massima, possiamo
dimensionare la resistenza aggiuntiva: Se smax=1 => Rc=Xr.
Questo dato è importante per il dimensionamento del reostato di
avviamento o delle sezioni delle gabbie
Tm
Parimenti si può ragionare
sulla caratteristica coppia
funzione del numero di giri.
Rc
Rb
Ra
nb
na
Tmc
Tmb
Tma
nc=0
no
Avviamento delle Macchine Asincrone
Caso dei Rotori Avvolti
Tradizionalmente, nel caso dei
rotori
avvolti,
agli
avvolgimenti
di
rotore
venivano collegati in serie dei
resistori di avviamento che
venivano progressivamente disinseriti man mano che la macchina si
avviava.
Esempio: avviamento a 3 sezioni
rotore
Tm
T3
R
R
R
R
R
R
R
R
R
T2
T1
T2
T1
Ta
Tr
T3
Man mano che la macchina
accelera, le resistenze vengono
escluse ed il motore passa a
funzionare su caratteristiche
sempre più ripide.
La Tm deve essere sempre Tm>Tr
per accelerare la macchina e
vincere la coppia di inerzia.
Il disinserimento delle resistenze viene legato al numero di giri ed
avviene automaticamente.
L’avviamento nei M.A. a gabbia
Fenomeni di addensamento di corrente
Durante l’avviamento, la gabbia è investita dell’intero flusso generato
dal campo rotante. Questo flusso, variabile nel tempo, induce delle
f.e.m. nei conduttori di rotore. La condizione di corto fa si che
circolino correnti che a loro volta generano un campo magnetico e
quindi un flusso.
Quest’ultimo flusso si concatena in maniera non uniforme con il
conduttore di rotore. La sezione 4 si concatena con tutto il flusso
mentre le sezioni 3, 2 ed 1, si concatenano con un
flusso meno intenso.
Ne segue che le f.e.m. indotte, e le correnti collegate,
sono via via meno intense partendo dal fondo cava
(4) all’inizio cava (1). Queste correnti hanno verso
contrario alla causa che le generano e quindi la
corrente circolante in cava si riduce in 4 rispetto ad 1
(effetto pelle).
Questo fenomeno è tanto più intenso quanto più elevata è la frequenza.
La doppia gabbia
È composta da una gabbia più esterna di materiale con resistività più
elevata e da una gabbia interna di materiale a bassa resistività (es.
bronzo- alluminio).
La doppia gabbia sfrutta questo fenomeno per far circolare più corrente
nel circuito esterno, ad alta resistività.
La corrente di spunto viene limitata al valore corretto per dare origine
ad una buona coppia di spunto.
Una volta in movimento, le
frequenze delle grandezze
elettriche di rotore calano, il
confinamento della corrente
perde di intensità, e la
corrente tende a fluire nella
barra a più bassa resistenza.
Gabbia a Barre Profonde
È composta da una gabbia a barra singola ma con una forma piuttosto
allungata per sfruttare maggiormente l’effetto pelle ed il conseguente
aumento di resistenza nei conduttori di rotore allo spunto.
Nelle condizioni di regime, la frequenza ridotta
fa si che la corrente fluisca normalmente
nell’intera sezione.
Le ultime due tipologie differiscono per i costi e per l’efficienza delle
singole gabbie. A questo proposito, sono state studiate diverse forme
di cave che hanno lo scopo di
migliorare le condizioni di spunto e
di dinamica rotorica ottimizzando la
distribuzione dei flussi magnetici
nelle
varie
condizioni
di
funzionamento.
La Caratteristica Meccanica
E’
il
risultato
della
composizione
di
due
contributi di coppia, quello
relativo alla gabbia esterna a
maggiore resistenza e quella
interna a minore resistenza.
Tm
Ta
Regolazione della Velocità
Il campo di variazione della velocità di un m.a., in funzionamento
normale, non è molto esteso (s%=> 1…6%).
Se ho necessità di avere campi di variazione più estesi posso utilizzare
diversi metodi, che presentano vantaggi e svantaggi, alcuni dei quali
sono caduti in disuso.
1) Resistenze aggiuntive di rotore (rotore avvolto)
Agli anelli di rotore viene collegato un reostato che permette di variare
Con continuità la resistenza
aggiuntiva di rotore da un valore
nullo a quella necessaria ad
ottenere la coppia di spunto
massima.
T
Variando la posizione del
T
cursore si ottengono diverse
caratteristiche
che
mi
consentono di avere la stessa
coppia di lavoro a diversi
T
numeri di giri.
Come si può notare dalla figura,
la escursione rimane ancora
limitata perché la zona di lavoro (zona di stabilità di funzionamento)
presenta notevoli pendenze, limitando con ciò l’escursione.
Questo metodo è stato abbandonato per le notevoli perdite Joule che si
hanno sulle resistenze aggiuntive con forti cali di rendimento.
m
a
mn
2) Variazione del n°di poli di Statore (Rotore a Gabbia)
60 f
(1 s )
Se si considera l’espressione del n° di giri nr  nc ( 1  s  ) 
p
si vede che nr varia con p.
La regolazione a gradini di nr può essere effettuata commutando le
bobine che compongono l’avvolgimento per ottenere diverse
configurazioni ad esempio, da quattro a due poli o viceversa.
La commutazione viene effettuata in morsettiera
È possibile ottenere lo stesso
risultato realizzando più
avvolgimenti di statore con
un numero di poli molto
diversi ed alimentando un
avvolgimento
per
volta.
Questa soluzione è adatta nel
caso venga richiesto una
variazione consistente del
n°di giri.
Esempio
di
commutazione da 8 a
4 poli e viceversa
La regolazione della
velocità
avviene
comunque a scatti e
non con continuità.
E’ possibile combinare le due diverse soluzioni ottenendo, ad esempio,
12 ed 8 poli, commutabili in 6 e 4.
Questa tecnica viene impiegata nelle gru o nei montacarichi per
movimentare carichi dal peso diversificato (pieno/vuoto), o nelle
lavatrici per i diversi cicli di lavaggio e per la centrifugazione.
Se si vuole regolare con continuità sia gli asincroni con rotore avvolto
che quelli a gabbia, bisogna cambiare completamente strategia.
3) Variazione di Ampiezza della Tensione di Alimentazione
Se riprendiamo l’espressione della coppia funzione dello scorrimento
3 p V fs 2
sRr
Tm 
(
)
e ntr Rr 2  s 2 X r 2
 Tm  ( V f s )2
L’idea è di far variare Vf con continuità ricorrendo ad appositi
dispositivi.
• La velocità di sincronismo non dipende da Vf ma solo dalla
frequenza;
• smax=Rr/Xr (indipendente da Vf )
3 p V fs 2 1
Tmmax 
(
)
determina la Tm max
e ntr 2 X r
che dipende direttamente da (Vf)2
• conosciamo la dipendenza di Tm sp
V fs 2
3
p
Rr
2
da (Vf) . Se s=1 allora
Tmsp 
(
)
e ntr Rr 2  X r 2
Si può concludere che la modifica di Vf si ha una modifica dei valori
della caratteristica ma non viene modificato il suo andamento al variare
dello scorrimento.
Si ottiene così una variazione della
velocità
del
motore
in
corrispondenza di una determinata
coppia resistente, Tr, costante.
T
T
Si possono ottenere piccole
T’
variazioni di velocità sotto carico.
Se Vf cala, s cala ed Is cresce.
Aumenta, cioè la corrente assorbita per uno stesso valore di Tr. Infatti,
a parità di Tr e quindi di Tm, la potenza assorbita rimane costante. Se
cala Vf deve aumentare Is. Is può aumentare fino al valore nominale. E’
un metodo inefficiente; funziona per variazioni del 10% del n° di giri.
4) Variazione della Frequenza di Alimentazione
Se si considera di nuovo la relazione n°=f(frequenza)
Tm
msp
r
msp
60 f
nr 
(1 s )
p
2f
 rm 
(1 s )
p
questa evidenzia la possibilità di variare la velocità del rotore agendo
sulla frequenza di alimentazione del motore. Se varia f => varia e e
variano, di conseguenza, Xs ed Xr.
Rr/s lo possiamo vedere come Rre/se e quindi (Rr/se)e (f)
dove se è la frequenza di scorrimento che è comunque bassa e
quindi risente molto meno della variazione di e.
Sincronismo:
variando f varia n0 (s=0) in modo lineare che è quello che si vuole.
Si hanno degli effetti sugli altri parametri caratteristici, in particolare,
Spunto:
per s=1 e nella ipotesi che Rr<<Xr
Tm
sp
V f s 2 Rr 1
3 p V fs 2
Rr
3 p V f s 2 Rr

(
)

(
)
 3 p(
)
2
2
2
e ntr Rr  X r
e ntr X r
ntr Lr 2 e 3
Se f cala la Tmsp cresce proporzionalmente a
e viceversa.
Tmsp
1
 3
e
Coppia Massima:
La condizione di coppia massima è smax= Rr/ Xr = Rr/eLr =>
smax= K(1/e) per cui esmax= Rr/ Lr = cost (se e cala smax cresce
e viceversa).
Ora la espressione della coppia massima è
1
V fs 2 1 1
3 p V fs 2 1
Tmmax  2
Tmmax 
(
)
 3 p(
)
2
e
e ntr 2 X r
ntr 2 Lr e
Tm
Tmmax 
Tmsp 
1
2
e
1
3
e
sm 
n0 3
n0 2
n0 1
n0
1
e
n0  e
Curve al variare di f:
Con queste informazioni è
possibile tracciare la famiglia
di curve al variare di f .
Sia n0 il n° di giri per f=50Hz.
Si consideri una diminuzione
di frequenza. Ora se f cala, cala
e con Vf costante.
La impedenza di ingresso della macchina è
Z in 
Is 
R    L 
2
2
ing
Vf
Z ing
1
Tm  2
e
e ing
 e
1
Is 
e

e
( ip :R ing  X ing
se V f  cos t se
dai
10 Hz
e  cala
Is
in su )
cresce
Pa  3V f I s cos 
se f cala => n° di giri cala ma la corrente Is cresce in ragione di 1/e
così come Pa e Tm cresce in ragione di 1/(e2).
Ciò e vero fino ad un certo punto perché interviene la saturazione del
circuito magnetico. In saturazione, la corrente cresce ma il flusso resta
(quasi) costante, quindi la coppia resta (quasi) costante.
In queste condizioni, l’abbassamento della frequenza provoca un forte
assorbimento di corrente e di potenza a cui non corrisponde un eguale
innalzamento di coppia.
La macchina si scalda (aumento di perdite Joule) senza che la coppia ne
risenta.
Si consideri un aumento di frequenza sopra i 50 Hz ed n0 passa a valori
n0a, n0b, etc. Si nota che per n0b => Tm>Tmmax . Superato un certo valore
di frequenza, veniamo a perdere coppia e quindi cala la Tr che può
essere assunta come carico.
Tm
Tmmax 
Tmsp 
1
2
e
1
3
e
sm 
n01
n0
n0 a
n0 b
1
e
n0  e
La variazione della frequenza f
a Vf=costante è una tecnica di
regolazione poco efficace
perché va bene per piccole
variazioni attorno ai giri
nominali, poi se si cala troppo
f la macchina scalda senza
produrre coppia, se f cresce, si
perde rapidamente coppia.
5) Regolazione Tensione/Frequenza
Al fine di ottenere una buona regolazione, garantendo nel contempo un
buon funzionamento del sistema, è opportuno che siano verificate le
seguenti condizioni :
A) la corrente a vuoto, e quindi il flusso al traferro, non deve superare
il valore nominale per evitare la saturazione del circuito magnetico ed
eccessive perdite nel ferro;
B) Le correnti di statore e di rotore non devono superare i rispettivi
valori nominali per evitare riscaldamenti nel motore e
sovradimensionamenti del convertitore.
C) Le tensioni di alimentazione non devono superare i valori nominali
per i quali sono stati dimensionati gli isolamenti di macchina.
Per il normale funzionamento,
Ir
Is
Lr
Ls
possiamo fare riferimento allo
Rs
M
Rr
Vfs
schema circuitale equivalente
~
s
di fase (equivalente
trasformatorico).
Se si riporta il secondario al primario sfruttando il rapporto di
trasformazione.
Rs
Vfs
Ls
Is
~
Nella ipotesi che
Rrs
s
Rrs
s
Lrs


 X s  X rs  Rs
Is 
Vf
Rrs

 Rs 
s

2

  X s  X rs



2
V f sV f
Is 

Rrs Rr
s
s
Si supponga di partire dalle condizioni nominali e di voler regolare la
velocità a partire da questa condizione.
Sia f= f. Con  >1 si indica aumento e con  <1 si indica
diminuzione della frequenza di alimentazione.
Riduzione della velocità (<1)
E’ stato già mostrato che Ef
Ne segue che per avere il flusso costante la E deve variare con f. Nella
ipotesi semplificativa che Vf=Es, allora la alimentazione deve essere
predisposta per ottenere un rapporto Vf/f= cost per ogni valore di <1.
Deve essere verificato che
V f   V f  f   f
Le caratteristiche Tm=f(n) e Tm=f(s) si modificano come segue
Scorrimento:
Dalla
s 
V f sn
V f
Is 
sn


sV f
Rrs
=>
V f sn  I sn Rrs  cos t
s è inversamente
particolare,
=>
V f sn  sV f 
proporzionale
ad
Rr
Rr
Rr 1
smax 




X r 2fLr 2fLr 
.
In
1
smax 

Al diminuire di f, s ed smax aumentano della stessa proporzione.
Coppia Motrice:
3 p Rr 2
Ir
dalla sua espressione Tmn 
en sn
3 p Rr 2
3 p Rr 2 3 p Rr 2
Tm 
Ir 
Ir 
I r  Tmn
e s
en sn
en sn

la coppia nominale è indipendente da . In particolare, la coppia
2
massima, Tmmax
3 p Vf  1
 
Tmmax 
e  nt  2 X r
Tmmax
3 p  V f


e  nt
2
 1
3 p  V f



 2 X r e  nt
2
 1
3 p Vf



 2X r e  nt
2
 1

 Tmmax
 2Xr
Anche la coppia massima è indipendente da , solo che si ottiene per
1
uno scorrimento
smax 

Numero di Giri a Vuoto:
60 f
n0n 
p
60 f  60f
n0 

 n0n
p
p

Il n° di giri varia in maniera direttamente proporzionale con .
Coppia di Spunto:
Tmspn
Tmsp
3 p  V fn


en  nt
3p

e
3 p  V f

en  nt
 V f

 nt
2
2

Rr

2
2
 Rr  X rn
3 p  V fn 
se Rr<<Xr T


mspn 
 Rr
3 p  V f


2
en  nt
 X r
2
2
Rr
en  nt  X rn 2
2

Rr

 2 X 2 
rn

Al variare di , Tmsp  varia in
 Rr 1 1

 X 2    Tmspn maniera inversamente proporzionale
 rn
(se  cala Tmsp cresce e viceversa).
Potenza Meccanica:
Pm n  Tmn mn  Tmn c ( 1  s )  Tmn c
Pm  Tm m  Tm c ( 1  s )  Tm c
Pm  Pm n
La potenza meccanica varia in diretta proporzione con 
Riassumendo:
Pm   Pm n ;
Tm
Tmmax
Tmn
ma Tm  Tmn
Tm  Tmn ;
Tmmax  Tm maxn ;
Tmsp
n0  n0n
1
 Tmspn ;

1
smax 

Nella
parte
bassa
delle
caratteristiche
vi
è
una
somiglianza
con
le
caratteristiche di regolazione
dei motori cc.
Incremento della Velocità (>1)
Se si aumenta la frequenza di alimentazione (f=f>f ) lo si deve fare
a tensione costante perché Vf non può superare la tensione nominale.
Il flusso al traferro deve quindi decrescere (condizione di
deflussaggio) per mantenere la f.e.m. costante (Ef).
La frequenza può essere aumentata fino ad un valore limite (fl=lf )
definito dalle condizioni costruttive.
Si esaminano di nuovo le caratteristiche Tm=f(n) e Tm=f(s).
Scorrimento:
I sn Rrs
Se
è indipendente dalla frequenza. Quindi
sn 
Vf
sn  s  1
Rr
Rr
Rr 1
smax 




X r 2fLr 2fLr 
mentre
rimane inversamente proporzionale ad 
1
smax 

Coppia Motrice:
3 p Rr 2
I2
dalla sua espressione Tmn 
en sn
Tm
3 p Rr 2
3 p Rr 2 1 3 p Rr 2 1

I2 
I2 
I 2  Tmn
e s
en sn
 en sn

Anche la coppia nominale è inversamente proporzionale ad .
2
Per la coppia massima, Tmmax
3 p V  1
Tmmax 
Tmmax
3 p  V f


e  nt
 f 
e  nt  2 X r
2
 1
3 p  Vf



 2 X r e  nt
e si ottiene per uno scorrimento
1
smax 

2
 1
1

 2 Tmmax
 2X r 
Numero di Giri a Vuoto:
60 f
n0n 
p
60 f  60f
n0 

 n0n
p
p

Sono ancora direttamente proporzionali ad  (>1).
Coppia di Spunto:
se Rr<<Xr
Tmspn
Vf

 nt
Tmsp
3p

e
Tmsp
1
 3 Tmspn

3 p  V fn


en  nt
2
 Rr

2
X
 rn
 Rr
3 p  V f


2
en  nt
 X r
2
2

Vf
R
3
p
r



2
2
  X
n

e
t
rn

n 
2
 Rr 1

 X 2 3
 rn
Al variare di , Tmsp  varia in maniera
inversamente proporzionale al cubo di .
Potenza Meccanica:
Pm n  Tmn mn  Tmn c ( 1  s )  Tmn c
Pm  Tm m
Tmn

c ( 1  s )  Tm c  Pmn  cos t

Pm   Pm n
La potenza meccanica rimane costante al variare di .
Osservazione:
al crescere della frequenza, la
coppia
Tm
diminuisce
secondo 1/ mentre la coppia
massima decresce con 1/2.
Ci sarà un punto in cui la
coppia nominale eguaglia la
coppia massima (f’= ’f).
sapendo che:
1
1
Tm  Tmn ; Tmmax  2 Tmmax


Tm
Tmmax
Tmn
’
si
determina
immediatamente
eguagliando le espressioni della coppie.
' 
Tmmax
Tm
Se si osserva il grafico, restano definite due zone di funzionamento:
Tm
A) 1< < ’
Tmmax
• la
coppia
è
inversamente
proporzionale ad ;
• lo scorrimento relativo alla coppia
Tmn
nominale è indipendente da ;
• la potenza convertita in meccanica è
indipendente da  (funzionamento a
potenza costante;
• la coppia massima, superiore a quella nominale, decresce con 1/2.
B) ’<<l
• la coppia massima è inferiore a quella nominale e decresce sempre
con 1/2.
• La potenza convertita, legata alla coppia nominale, non può rimanere
costante. La corrente assorbita deve calare per inseguire la
diminuzione di coppia massima e lo deve fare in ragione dell’inverso
di . La potenza assorbita e tramutata in meccanica risulta quindi
inversamente proporzionale ad  ed il motore funziona con corrente
rotorica inferiore al valore nominale.
Riassunto:
Tm
Tmmax
Tmn
Tmn
Tmn
Tmmax
Il Diagramma Circolare
Curva caratteristica che lega le correnti di macchina allo scorrimento.
È una caratteristica caduta in disuso. È ancora usata per descrivere una
macchina asincrona a rotore avvolto per applicazioni a velocità
praticamente costante.
Bilancio di Potenze e Rendimento
Perdite costanti al variare del carico:
• perdite a vuoto nel ferro attivo e perdite addizionali nelle altre parti
metalliche.
• Perdite meccaniche per attrito e ventilazione
Tali perdite corrispondono alle perdite a vuoto P0=Pfe+Pm
Perdite variabili con il carico:
• perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di statore
• perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di rotore (comprese le
eventuali perdite nelle spazzole e nelle resistenze aggiuntive, se
previste)
Perdite addizionali sotto carico:
• perdite dovute al carico nel ferro attivo e nelle altre parti metalliche,
esclusi i conduttori
• perdite per correnti parassite nei conduttori degli avvolgimenti di
rotore e statore
• perdite dovute alle armoniche del campo rotante
Il rendimento:
Pu

Pu  Pfe  Pm  Pcu  Padd
Esempio di dimensionamento di macchina
Si vuole dimensionare un motore accoppiato ad una slitta con
trasmissione a vite con ricircolo di sfere e cuscinetti assiali a rulli.
Dati:
• Massa della slitta: ms=10 kg
• Massa del pezzo: mp=40 kg
• Passo della vite: p=5mm
• Lunghezza della vite: L=0.5m
• Diametro della vite:
d=25mm
• Densità dell'acciaio: =7.75 kg/dm3
• Rendimento della trasmissione: =60%
• Coefficiente di attrito acciaio-acciaio: =0.15
Il pezzo deve compiere un ciclo di lavoro ripetitivo caratterizzato dal
profilo cinematico di figura.
Con riferimento ai simboli utilizzati, i dati sono i seguenti:
• Tempo di accelerazione:
• Tempo di velocità costante:
• Tempo di decelerazione:
• Durata della lavorazione:
• Durata della pausa:
• Avanzamento del pezzo:
t1=0.167 s
t2=0.167 s
t3=0.167 s
T1=0.5 s
T2=0.25 s
S=0.15 m
Calcolo dei momenti di inerzia
Per il dimensionamento del servomotore è essenziale il calcolo delle
coppie di carico;
il primo passo è dunque la determinazione dei momenti di inerzia delle
parti coinvolte, riportati all'albero motore.
2
3
3 2
m


r
L

7
.
75

10

(
12
.
5

10
) 0.5  1.9 kg
v
Massa della vite:
1
1
suo momento di inerzia: J v  mv r 2  1.9( 12.5  10 3 )2  148.5  10 6 kgm2
2
2
Data, la rigidità della trasmissione (anelastica), si può riportare all'albero
motore l'intera massa del carico mp e della slitta ms calcolando il
momento di inerzia delle masse riflesse sull’albero:
p 2
0.005 2
J p  m p ( )  40(
)  25.33  10 6 kgm2
2
2
p 2
0.005 2
J s  ms ( )  10(
)  6.33  10 6 kgm2
2
2
il momento di inerzia equivalente è
J eq  J p  J s  J v  ( 148.5  25.33  6.33 )10 6  180  10 6 kgm2
Calcolo della velocità massima.
Si analizza adesso il profilo di velocità richiesto dalla particolare
applicazione. La velocità massima del carico (VM) si ricava
considerando che i tempi di esecuzione del profilo di velocità sono
imposti, come pure l'avanzamento totale del pezzo nel ciclo. Si può
calcolare lo spazio percorso. Sia a la accelerazione del pezzo:
1 2 1 VM 2 1
s1  at1 
t1  VM t1 ;
2
2 t1
2
s2  VM t2 ;
1 2 1 VM 2 1
s3  at3 
t3  VM t3
2
2 t3
2
t3
t1
st  s1  s2  s3  VM (  t 2  ) 
2
2
st
0.15
0.15
VM 


 0.450 m / s
t3
0.167
0.167
t1
 0.167 
) 0.334
(  t2  ) (
2
2
2
2
Si può ora calcolare la massima velocità angolare del motore. Se VM è
la massima velocità lineare, VM/p è il numero di giri al secondo e la
pulsazione vale:
VM
0.45
 M  2
p
 2
0.005
 565.5rad / s
Calcolo della coppia di accelerazione.
La accelerazione del motore si calcola rapidamente:
 M 565.5
M 

 3386 rad / s 2
t1 0.167
Alla quale corrisponde una coppia
di accelerazione del carico esterno
pari a
d
TJ  J eq ( )  J eq  M 
dt
180  10 6  3386  0.61Nm
Oltre alla coppia inerziale, va tenuta in conto la coppia di attrito
rapportata al motore. Il coefficiente di attrito acciaio su acciaio
lubrificato è riportato tra i dati iniziali. La forza d'attrito del carrello e
del carico sul piano di supporto vale:
Fa  ( m p  ms )g  ( 40  10 )  9.81  0.15  73.6 N
Questa forza rappresenta una ulteriore coppia da vincere, considerando
una efficienza del 60%,
p 1
0.005 1
Ta  F
 73.6
 97.6  10 3 Nm
2 0.6
2 0.6
Il motore è chiamato a vincere una coppia di carico data da
TrM  TJ  Ta  0.61  97.6  10 3  0.7 Nm
Dimensionamento del servomotore
si sceglie un motore che abbia una coppia nominale superiore ad almeno
due volte quella richiesta: T  2T  1.4 Nm
mM
rM
Ed una velocità nominale almeno pari a quella massima calcolata
60
 N   M  565.5rad / s  nn  565.5
 5400 giri / min
2
Dal catalogo (la parte saliente è riportata nella ppt seguente), si sceglie il motore
D56-03/6, che ha una coppia nominale di 1.9 Nm alla velocità nominale
di 6000 rpm. Il suo momento di inerzia è di 2.28 * 10-4 kgm2 e la sua
coppia massima vale 6.6 Nm.
Verifica della scelta del motore
Viene calcolato innanzi tutto il momento di inerzia totale:
J t  J mot  J eq  ( 228  180 )10 6  408  10 6 kgm2
La coppia che deve erogare il motore durante la accelerazione vale:
Tm  1.2 J t   M  Ta  1.2  408  10 6  3386  97.6  10 3  1.75 Nm
in cui si è tenuto un margine del 20% per considerare eventuali
imprecisioni nella determinazione dei momenti di inerzia.
Si può notare che essendo tale coppia inferiore non solo alla coppia
massima (requisito indispensabile) ma anche alla coppia nominale, non
vi saranno imposizioni nel funzionamento circa la massima durata delle
accelerazioni.
La coppia durante la decelerazione risulta inferiore a quella durante
l'accelerazione, perché gli attriti in questo caso operano una favorevole
azione frenante:
Tma  1.2 J t   M  Ta  1.2  408  10 6  3386  97.6  10 3  1.56 Nm
Agli effetti termici, che sono quelli che determinano il dato di targa
della coppia nominale, è importante valutare la coppia efficace:
Tma t1  Ta t2  Tmd t3
( 1.75 )2 0.167  ( 97.6 )2 0.167  ( 1.56 )2 0.167
Teff 

 1.11Nm
T1  T2
0.5  0.25
2
2
2
È una media quadratica perchè, intuitivamente, gli effetti del
riscaldamento variano con il quadrato della corrente, che in un
servomotore brushless è direttamente proporzionale alla coppia
richiesta.
Il motore selezionato risulta confermato dato che vengono soddisfatte le
diseguaglianze
Teff  Tn 
Tma  TM