Appunti_cap9

Capitolo 9
I numeri indici
1





Molte volte abbiamo il problema di confrontare dei fenomeni economici nel
tempo (lo stesso fenomeno a diversi istanti) o nello spazio (fenomeni analoghi
in luoghi diversi nello stesso momento). Es. il prezzo di un tipo di automobile
5 anni fa e oggi, oppure il prezzo di due marche diverse, oppure ancora il
prezzo dello stesso modello a Roma e a Milano.
I numeri indici sono particolari rapporti statistici che misurano
sinteticamente le variazioni di 1 o più fenomeni economici in diverse
situazioni di tempo o di luogo o comunque diverse da una situazione base.
Quindi sono sempre positivi e si configurano come numeri puri, ovvero
indipendenti dall'unità di misura.
Se si confrontano diverse intensità di uno stesso fenomeno (es. il prezzo di
un determinato tipo di automobile nel tempo) otteniamo numeri indici
semplici; se invece confrontiamo le variazioni di più fenomeni economici (es.
i prezzi di n beni) otteniamo numeri indici complessi.
Se le n componenti sono tutte di una stessa specie (es. prezzi di beni di un
paniere) la combinazione degli indici semplici da luogo a un indice sintetico
(es. indice dei prezzi al consumo); se sono di specie diverse si ottiene un
indice composito (es. indice del ciclo economico).
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NUMERI INDICI ELEMENTARI
Sia xt (t=0,1,…t,…T) una serie storica di un fenomeno economico. Il rapporto tra
due termini qualsiasi è un numero indice elementare che si indica con:
xt
rit=
xr
(t=0,1,...,T)
con:
r = base del numero indice = tempo (anno) base
t = tempo (anno) corrente
Di solito l'indice è in base 100
i 100
r t*
e la variazione percentuale del fenomeno è
 x

 x x
r
 t  1 *100   t
 x


x
r
 r



 *100


3
L'indice è detto a base fissa se mantiene fisso r al variare
della serie. Nel caso di xt con r=0:
0 i0 
x0
1
x0
0 i1 
x1
x0
0 i2 
x2
x0
L'indice è detto a base mobile (a catena) se r=t-1:
0 i1 
x1
x0
1 i2 
x2
x1
2 i3 
x3
x2
n.b.
Per convenzione un numero indice è sempre
moltiplicato per 100, in modo tale da rappresentare un
divario in termini percentuali
Ad esempio, il prezzo al kg del bene i dal mese A al
mese B è passato da 10 a 11 euro allora
(11/10)*100-100=1.10*100-100=110-100=+10
nel mese il prezzo del bene ha subito un aumento del
10%
4
• Alcune proprietà che dovrebbero soddisfare i numeri
indici :
• 1) 0i0 = 1 (identità)
• il numero indice relativo alla base è uguale a 1 o a 100
• 2) rit * tir = 1 (reversibilità o inversione della base o
reversibilità rispetto al tempo)
• l'indice calcolato in base r per il tempo t coincide con il
reciproco dell’indice calcolato in base t per il periodo r
• 3) 0is*sir=0ir (circolarità o transitività)
• sotto tale condizione è possibile portare la base del
secondo da s a 0 moltiplicando i due indici fra di loro.
5
4) 0it(m*x) = 0it (x) (commensurabilità)
l’indice è indipendente dall’unità di misura con cui si misura
il fenomeno
5) 0it (xy) = 0it (x) * 0it (y) (decomposizione delle cause o
reversibilità rispetto ai fattori)
l’indice di un prodotto è uguale al prodotto degli indici
6) proporzionalità (vale per indici composti)
se tutti i prezzi (o tutte le quantità) variano nella stessa
proporzione passando da 1 a r l’indice varia secondo lo
stesso coefficiente di proporzionalità
6
Dalla (3) è possibile il concatenamento, ovvero passare da
una serie di indice in base mobile a uno in base fissa,
moltiplicando gli indici a base mobile tra di loro
successivamente.
0 i2  0 i1 *1 i2 
Esempio empirico
Prezzo in Euro\anno
Bene1
x1
x
x
* 2  2
x0
x1
x0
1990
1318
1991
1346
1992
1386
1993
1395
1990
100
1991
102.1
1992
105.1
1993
105.8
Base fissa
Numeri Indici
Bene1
La serie evidenzia come rispetto all’anno base , la
dinamica sia crescente. Si è avuto un incremento pari
al 2.1% nel primo biennio, al +5.1% nel triennio, ecc.
Base mobile
Numeri Indici
Bene1
1990
-
1991
102.1
1992
103.0
1993
100.6
Il trend è crescente tra i primi due anni , e anche tra il
secondo e il terzo, mentre il tasso di crescita è più
rallentato negli due anni.
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Esempio empirico 2
Città
Migliaia di
abitanti
A
B
C
D
2775
1369
1067
963
Indici a base
fissa
(A=100)
100
49.3
38.5
34.7
Indici a base
mobile
49.3
77.9
90.3
Dalla serie degli indici a base fissa possiamo dire che
le popolazioni delle città B, C e D ammontano
rispettivamente al 49.3 %, al 38.5%, al 34.7% di
quella della città A
Dalla serie degli indici a base mobile la popolazione
della città C rappresentava il 77,9% di quella della
città B(ovvero inferiore del 22.1%).
Classificazione
 indici semplici o elementari
sono costruiti a partire da una sola serie, cioè un unico
fenomeno osservato, e mettono a confronto due o più
situazioni diverse (ad esempio, variazioni del prezzo
di un prodotto (patate, insalata, automobili, ecc.) negli
anni
Una serie storica xt (t=0,1,2,...n)
8
Il generico termine xt può esprimere il prezzo p oppure
la quantità q oppure il valore v  p q di un bene,
osservato a istanti temporali successivi
 numeri indici complessi
misurano simultaneamente e sinteticamente le
variazioni di n grandezze osservate (più fenomeni
osservati) in due o più situazioni diverse (ad esempio
prezzi di più beni negli anni)
ulteriore classificazione
 indice sintetico
se le componenti del numero indice complesso sono
della stessa specie (ad esempio, variazioni dei prezzi
di varie merci o servizi (dinamica dei prezzi di interi
capitoli di spesa, alimentazione, abitazione, servizi
sanitari, ecc. variazioni delle produzioni di vari beni)
9
 indice composito
se le grandezze sono di specie differenti (di solito
risultano da fusioni di indici sintetici), ad esempio:
variazioni del livello di vita di una popolazione
NUMERI INDICI COMPLESSI
I numeri indici complessi sintetizzano la variazioni di n
grandezze e quindi di n numeri indici elementari. Ad
esempio, un numero indice complesso è un indice dei
prezzi che sintetizza le variazioni dei prezzi di un paniere
eterogeneo di beni.
10
I problemi nella costruzione di un indice complesso sono:
1. Scelta dei beni. Problema di stabilire ex ante quali
grandezze considerare per costruire gli indici complessi
(ad esempio, per la costruzione di un indice della
produzione industriale si dovrà stabilire quali specifiche
branche di attività economica osservare) Può essere
campionaria (e allora l'indice sarà rappresentativo) o
esaustiva ( e l'indice sarà completo). Una buona selezione
del campione può rendere l'indice rappresentativo valido
come quello completo.
Sulla rappresentatività si deve dire che quanti più beni si prendono in
considerazione tanto più un indice dei prezzi è adeguato ai suoi scopi, ma è
impossibile seguire tutti i beni e quindi se ne scelgono solo alcuni, quelli
però che possono fornire con la loro variazione una indicazione fedele di
quanto avviene sull’intero mercato dei beni.
11
In pratica si cerca di individuare voci più possibile indipendenti tra di loro
e il più possibile rappresentative di quelle che, appartenenti alla stessa
categoria, non saranno prese in considerazione.
Ad esempio nello specifico dei prezzi al consumo
 si seleziona all’interno dei capitoli di spesa, tra loro non direttamente
interrelati (spesa alimentazione, per abbigliamento, per il tempo
libero, ecc.), categorie e servizi per quanto più possibile omogenei
dal punto di vista della loro composizione merceologica
 si sceglie all’interno di queste ultime una o più voci elementari tali
che, in base al principio della solidarietà dei prezzi, possano
ragionevolmente rappresentare anche le dinamiche delle quotazioni
delle voci escluse dalla scelta (ad esempio, la voce “biglietto per il
cinema” o “biglietto per lo stadio” potrebbero essere chiamate a
rappresentare nell’indice le variazioni di tutti gli spettacoli
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1. Scelta della base. La base può essere fissa o mobile. La
scelta è in genere verso un valore della serie che sia
abbastanza 'normale' , non troppo alto o basso.
2. Scelta del criterio di aggregazione.
Ci sono due possibilità:
I)
II)
come rapporto di medie,
come media di rapporti (o di indici elementari), dopo aver
scelto il tipo di media più conveniente
le medie che si possono usare sono:
 media aritmetica
 media geometrica
 media armonica
non esiste una regola generale ma l’orientamento è verso la media
aritmetica sia per le caratteristiche implicite di tale valore medio, sia per la
relativa facilità con cui esso può essere calcolato.
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1. Scelta del sistema di ponderazione. Questo determina il
tipo dell’indice, e dipende dall’applicazione che si vuol
fare dell’indicatore. Es. se si aggregano i prezzi dei beni
al consumo, i pesi saranno in proporzione
dell’importanza del bene consumato (es. della sua
quantità).
il sistema di ponderazione assume un ruolo di rilievo in quanto la
dimensione dei pesi concorre direttamente a determinare l’entità delle
variazioni con esso misurate
essendo le periodicità con cui si calcolano i numeri indici molto ristrette
(mensilmente), la variazione è di ridotta o ridottissima dimensione quindi
la sensibilità dell’indicatore è ancora più influenzata da pesi.
n.b.
le ponderazioni possono essere fisse o variabili
14
beni
A
B
prezzi
Tempo 0
110
95
Tempo 1
158
110
pesi
Indici in base
0
1.2
1.8
143.6
115.8
Si calcola l’indice sintetico mediante media aritmetica ponderata degli
indici semplici con pesi presi dalla quarta colonna
(143.6*1.2)  (115.8*1.8) 380.7

126.9
1.21.8
3 .0
nel complesso i beni A e B sono aumentati nell’intervallo considerato del
26.9 %
scambiamo ora i pesi
(143.6*1.8)  (115.8*1.2) 397.4

132.5
1.21.8
3 .0
l’inversione dei pesi differenti tra loro di solo sei decimi produce un
incremento di 5.6 punti percentuali della variazione complessiva
dell’indice
15
LE FORMULE PIU’ USATE
Le formule più usate per la costruzione di numeri indici,
proposte nel secolo scorso, sono (per prezzi e quantità):
 l’indice di Laspeyres (a ponderazione fissa)
i p s qr
rP 
i pr q r
L
s
;
i pr q s
rQ 
i pr q r
L
s
 l’indice di Paasche ( a ponderazione variabile)
i p s q s
rP 
i pr q s
P
s
;
i p s q s
rQ 
i p s q r
P
s
 l’indice (ideale) di Fisher (a ponderazione incrociata)
Ps 
F
r
L
r
Ps *r Ps
P
;
r
Q 
F
s
r
L
s
P
s
Q *r Q
16
Gli indici di Laspeyres e Paasche possono essere costruiti
sia come rapporto di medie che come medie di rapporti.
Ad es., il numero indice dei prezzi di Laspeyres è pari sia
al rapporto tra le medie aritmetiche dei prezzi degli n beni
nel periodo corrente e nel periodo base, ponderati con le
quantità del periodo base, sia alla media aritmetica degli n
indici elementari, ponderati con pesi pari ai valori dell'anno
base
pq
q


pq
q
s
i
r
PsL
r
i
r
i
i
r

r

i
p s 
*
pr 



pr q r 

pr qr

i
r
17
Il numero indice dei prezzi di tipo Paasche è pari a sua
volta sia pari sia al rapporto tra le medie aritmetiche dei
prezzi degli n beni nel periodo corrente e nel periodo base,
ponderati con le quantità del periodo corrente, sia alla
media armonica degli n indici elementari, ponderati con
pesi pari ai valori dell'anno corrente.
r
P
s
P
i p s q s
i q s

i pr q s
i q s

i p s q s
pr
ps qs
i
ps
18
IL
PROBLEMA
DELLA
PONDERAZIONE
L'uso di una ponderazione costante migliora la confrontabilità degli
indici. D'altra parte, il sistemi di pesi si logora nel tempo, cioè diviene
sempre
meno
rispondente
alla
realtà.
Es. l'indice dei prezzi al consumo delle famiglie è composto di un paniere
di beni con pesi relativi al peso di questi beni nella spesa delle famiglie.
Nel primo dopoguerra i consumi alimentari erano spesso dominati dai
consumi di patate. Quindi il peso attribuito all'indice dei prezzi delle
patate era molto elevato. Nel tempo ci sono stati due fenomeni: il
consumo di patate è diminuito in termini relativi e il prezzo delle patate è
cresciuto meno della media. Attribuire oggi un peso elevato ai consumi di
patate porta quindi a sottostimare la crescita dei prezzi al consumo delle
famiglie.
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Altro esempio: le sigarette Nazionali nell'indice dei prezzi per
le famiglie di operai.
Possibili soluzioni:

cambiare spesso la base degli indici Laspeyres (che
diventano a ponderazione variabile).

Utilizzare indici con una diversa ponderazione.
20
IL CONFRONTO TRA LASPEYRES E PAASCHE
In un periodo di inflazione il consumatore tende a sostituire
nel consumo i beni i cui prezzi crescono più velocemente
con quelli i cui prezzi crescono più lentamente. Questo
significa che un indice Laspeyres sovrastima il tasso di
crescita dei prezzi, ovvero l'inflazione, mentre un indice
Paasche la sottostima. Maggiore è il tempo che passa dalla
revisione della base, più elevata risulta la divergenza tra i
due indicatori.
Quindi, maggiore è la correlazione negativa tra prezzi e
quantità, come è suggerita dalla teoria economica, maggiore
è la variazione dei prezzi che si ottiene utilizzando l'indice
Laspayres. Il contrario avviene per le quantità.
21
Analiticamente, la discrepanza fra i due indicatori è data
dalla formula:
P P 
P
L
r p q
Q
L
Nella quale:
 ps
L  q s
L
 P   Q 
i pr qr 
pr
qr




r
 p q i pr qr
È
22
È il coefficiente di correlazione lineare tra gli indici di
prezzo e quantità ponderati con i valori del tempo base,
mentre
e sono gli scarti quadratici medi (quindi sempre
positivi) degli indici elementari di prezzo e quantità. La
differenza è quindi negativa (Laspeyres è più grande di
Paasche) se la correlazione tra prezzi e quantità risulta
negativa.
Più in dettaglio
Tendenziosità positiva dell’indice di Laspeyres
Tendenziosità negativa dell’indice di Paasche
Tra i prezzi e le quantità esiste una correlazione negativa ovvero se i prezzi
dal tempo 0 al tempo 1 subiscono un incremento allora le quantità nello
stesso periodo subiscono un decremento
Analiticamente abbiamo:
p p
q q
1
0 allora 0
1
moltiplicando l’ultima relazione per p0
si ha
p q p q
0 0
0 1
23
se la dinamica dei prezzi è crescente gli indici semplici detengono un peso
maggiore nella formula di Laysperes che pertanto è affetta da tendenziosità
positiva (tende a restituire variazioni superiori al vero), viceversa se la
dinamica dei prezzi è negativa gli stessi indici riceveranno un peso minore
nella formula di Paasche che pertanto è affetta da tendenziosità negativa
(tende a restituire variazioni inferiori al vero)
In pratica la formula più utilizzata è l’indice di Laspeyres perché ha il
vantaggio di conservare immutato il sistema di ponderazione per tutto
l’arco di vita della base
(si pensi a indici mensili quanto complesso sarebbe l’aggiornamento del
sistema di ponderazione a cadenza mensile)
è da tenere presente che l’adozione di un sistema di ponderazione costante
ha però lo svantaggio provocato da una relativamente rapida obsolescenza
della base, quindi si rende necessario un periodico aggiornamento di
quest’ultima.
24
PROPRIETA’ DEGLI INDICI COMPLESSI
Laspeyres e Paasche soddisfano le seguenti proprietà:




identità
commensurabilità
determinatezza
proporzionalità
solo l’indice ideale di Fischer soddisfa le proprietà di:
 inversione delle basi
 decomposizione delle cause
Nessuno di questi soddisfa la proprietà di circolarità
25
•
Condizione identità: se il tempo al quale si riferisce il calcolo dell’indice
coincide con il tempo base, l’indice deve essere uguale ad 1
Laspeyres e Pasche soddisfano la condizione perché:
0
0
P0
P0
L
P
p
p
p


p

0
q0
0
q0
0
q1
0
q1
1
1
Condizione reversibilità rispetto ai fattori: l’indice di prezzo moltiplicato per
l’indice di quantità deve fornire l’indice di valore, Laspeyres e Pasche non
soddisfano la condizione perché:
P1  0 Q
L
0
L
P1  0 Q P 1
P
p q
p q
p q






p
q
p
q


p q
p q
p q
p q






p
q
p
q


p q
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
26
Condizione reversibilità rispetto al tempo: l’indice di prezzo calcolato per il
tempo 1 con base 0 deve essere uguale al reciproco dell’indice di prezzo
calcolato per il tempo 0 con base 1
Laspeyres e Paasche non soddisfano la condizione perché:
 p q   p q 1
p q pq
 p q   p q 1
p q pq
L
0 P
1 0 P
1
L
P1  0 P P 1 
P
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
Condizione di commensurabilità: l’indice deve essere indipendente
dall’unità di misura dei beni e servizi. Laspeyres e Paasche soddisfano la
condizione perché:
P1
L
pq 
p



  R
p
p q p q
1 0
p1
p0 q0
p0
1
0
0 0
0 0
0
27
•
•
p / p0
1
Poiché i due rapporti
E
p0 q0
R0 
p0 q0

Sono numeri puri, segue che l’indice risulta essere indipendente dall’unità
di misura dei beni e servizi.
Condizione di determinatezza:l’indice non deve annullarsi, né assumere n
valore infinito o indeterminato se il prezzo di un bene o servizio è
uguale a zero. Laspeyres e Paasche soddisfano la condizione
Condizione di proporzionalità: se tutti i prezzi dei beni e servizi variano
nella stessa proporzione, l’indice deve variare secondo lo stesso
coefficiente di proporzionalità. Laspeyres e Paasche soddisfano la
condizione
Condizione di transitività:sia dato l’indice al tempo 1 con base 0, e
l’indice al tempo 2 con base 1, allora moltiplicando tra loro i due indici
si ottine l’indice al tempo 2 con base 1.
28
Laspeyres e Paasche non soddisfano la condizione perché:
P1 1 P
L
0
pq


p q
pq


p q
1 0
L
2
0
P1 1 P2
P
0
P
0
1 1
0 1
p q


pq
p q


pq
2 1
1 1
2
2
1 2
p q


p q
p q


p q
2
0
0
0
2
2
0
2
29
Esempio: calcolo dell’indice di Laspeyres
1983
Beni
Arance
Limoni
mandarini
Qit
20
10
25
Pit
100
120
125
1984
Qit
15
18
30
Pit
110
101
115
1985
Qit
23
14
40
Pit
102
105
103
Indice base 1985
Calcolo
INDICE
Anni
1983
23*100+14*120+40*125=8980 8980/7936=113.15
1984
23*110+14*101+40*115=8544 8544/7936=107.66
1985
23*102+14*105+40*103=7936
100
30
Esempio: calcolo dell’indice di Paasche
1978
1979
Qit
Pit
Qit
Pit
Beni
Zinco
152
28
161
26
Rame
124
43
132
40
piombo
187
61
175
68
Anni
1978
1979
1980
1980
Qit
168
127
172
Pit
21
46
70
Calcolo
INDICE
152*28+124*43+187*61=20995
100
152*28+124*43+187*61=20995
161*26+132*40+175*68=21366 21366/20859=
161*28+132*43+175*61=20859
102.44
168*21+127*46+172*70=21410 21410/20657=
168*28+127*43+172*61=20657
103.64
31