relazioni tra funzioni goniometriche

RELAZIONI TRA LE FUNZIONI
GONIOMETRICHE
RELAZIONE FONDAMENTALE
Nell’ambito della definizione delle funzioni goniometriche, rimane definito il triangolo
rettangolo OCB; ad esso può essere applicato il teorema di Pitagora:
CB2 + OC2 = R2
A
cos 
C
sin 

B
Nel caso del cerchio goniometrico, la precedente
relazione può essere scritta nel seguente modo,
che prende il nome di relazione fondamentale:
R =1
sin2 + cos2 = 1
O
Ricordando poi le seguenti due relazioni viste in
precedenza:
sin 
tg 
cos 
cos 
cot g 
sin 
Si può ora ottenere tutta una serie di relazioni tra le funzioni goniometriche
ricavate dalle tre relazioni precedenti.
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RELAZIONI TRA SIN, COS, TG, COTG
Dalla relazione fondamentale si può ricavare immediatamente:
cos    1 sin 2 
Sostituendo questa nella precedente definizione di tangente si ottiene:
tg 
sin 
 1 sin 2 
Sempre dalla relazione fondamentale si può ricavare:
sin    1 cos2 
Sostituendo ancora questa nella precedente definizione di tangente si ottiene:
 1 cos2 
tg 
cos 
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RELAZIONI TRA SIN, COS, TG, COTG
Scriviamo ancora la relazione fondamentale, e dividiamo entrambi i membri per cos2:
sin 2  cos2 
1


2
2
cos  cos  cos 2 
semplificando:
quindi:
tg 2 1 
1
cos 2 
cos  
evidenziando poi cos:
cos2  
1
1 tg 2
1
 1 tg 2
essendo poi sen = tg  cos:
sin  
tg
 1 tg 2
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FORMULE DI ADDIZIONE
Consideriamo l’angolo  con lato origine OA, successivamente l’angolo 
con lato origine OB
cos  sen
A
C
cos(+)
cos
sin 
sin(+)
B

D
cos  cos
sen  sen

O
R=1
sen  cos
sen(+) = sen  cos + sen  cos
cos(+) = cos  cos  sen  sen
dividendo membro a membro e semplificando:
tg + tg
tg(+) =
1  tg  tg
cotg  cotg  1
cotg(+) =
cotg + cotg
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FORMULE DI SOTTRAZIONE
Sostituendo nelle formule di addizione all’angolo  l’angolo , si ottiene:
sen() = sen  cos  sen  cos
cos() = cos  cos + sen  sen
tg  tg
tg() =
1+ tg  tg
cotg  cotg  1
cotg() =
cotg + cotg
FORMULE DI DUPLICAZIONE
Ponendo nelle formule di addizione  = , si ottiene:
sen(2) = 2 sen  cos
cos(2) = cos2  sen2
2tg
tg(2) =
1 tg2
cotg2  1
cotg(2) =
2cotg
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FORMULE DI BISEZIONE
Consideriamo il sistema composto dall’equazione fondamentale e dalla formula di
duplicazione del coseno:
1 = sen2 + cos2
cos 2 = cos2  sen2
sottraendo la seconda dalla prima:
1  cos2 = 2sen2
ponendo /2 al posto di :
1  cos = 2sen2(/2)

evidenziando sen(/2):
1 cos 
sin 
2
2
sommando la seconda alla prima:
cos
dividendo membro a membro:

2

1 cos 
2

1 cos 
tg 
2
1 cos 
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GLI ANGOLI
ASSOCIATI
ANGOLI ASSOCIATI
In precedenza si sono osservate le relazioni che legano le funzioni
goniometriche di due angoli complementari:
sen (100c – ) = cos
cos (100c – ) = sen
tg (100c – ) = cotg
cotg (100c – ) = tg 
Tuttavia esistono altre coppie di angoli che presentano particolari relazioni tra le
rispettive funzioni goniometriche.
Gli ANGOLI ASSOCIATI sono una coppia di angoli che presentano lo stesso
valore assoluto delle funzioni goniometriche. Assegnato un generico angolo , i
suoi angoli associati sono:
1)
•
•
•
•
l’angolo supplementare di  (cioè l’angolo 200c – );
l’angolo che differisce da  di 200c (cioè l’angolo  – 200c oppure 200c + );
l’angolo esplementare di  (cioè l’angolo 400c – );
l’angolo opposto ad  (cioè l’angolo – );
l’angolo che differisce da  di 100c (cioè l’angolo 100c + ).
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A
sin( – ) B’
R=1
cos(-)
C’
200c – 
cos 
O
A
R=1
cos(-)
C’
200c – 
B
sin( – ) B’
200c –

cos 
O 
 – 200c
B
sen (200c  ) = sen
cos (200c  ) = cos
tg (200c  ) = tg
cotg (200c  ) = cotg

C sin 
sin  C
ANGOLI SUPPLEMENTARI: angolo  nel II°
quadrante e suo associato 200C –  nel I° quadrante
ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI 200C: angolo 
nel III° quadrante e suo associato  – 200C nel I°
Se invece l’angolo  fosse nel I° quadrante, allora
l’angolo associato ( + 200c) apparterrebbe al III°
sen (  200c) = sen
cos (  200c) =  cos
tg (  200c) = tg
cotg (  200c) = cotg
sen ( + 200c) =  sen
cos ( + 200c) =  cos
tg ( + 200c) = tg
cotg ( + 200c) = cotg
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A
B
sin  C sin(2-) B’
400c- 400c-

sen (400c  ) = sen
cos (400c  ) = cos
tg (400c  ) = tg
cotg (400c  ) = cotg
O
R=1
A
B’ sin(-) C sin
-
O
R=1
ANGOLI ESPLEMENTARI: angolo  nel IV°
quadrante e suo associato 400C –  nel I° quadrante
B
ANGOLI OPPOSTI: per esempio, l’angolo  nel I°
quadrante e il suo associato  nel IV°

sen () = sen
cos () = cos
tg () = tg
cotg () = cotg
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LE FUNZIONI INVERSE
LA CORRISPONDENZA
TRA FUNZIONE E ANGOLO
la corrispondenza tra angolo e valore di una funzione goniometrica è univoca
la corrispondenza tra valore funzione goniometrica e angolo NON è univoca
In effetti vi sono infiniti valori dell’angolo  corrispondenti a un determinato
valore di una qualunque funzione goniometrica.
sen x = r
cos x = s
tg x = v
con
con
con
–1 ≤ r ≤ 1
–1 ≤ s ≤ 1
– ≤ v ≤ +
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LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN
L’equazione sen x = r (–1 ≤ r ≤ 1) ammette infinite soluzioni (infiniti valori di x)
Se però limitiamo l’insieme di variabilità della x, considerando solo gli angoli minori di
400c, il medesimo valore della funzione seno si riscontra in due soli angoli.
Se il primo di questi è compreso nel Io quadrante, il secondo sarà il suo
supplementare compreso nel IIo quadrante. Indicando con x1 e con x2 i due angoli
minori di 400c, che forniscono lo stesso valore r per la funzione seno, si può scrivere:
x1 = 
e
x2 = 200c – 
Se ora conveniamo di assumere, per x, solo gli angoli compresi nell’intervallo
–100c ≤ x ≤ +100c,
in questo intervallo a un assegnato valore di r resta associato un solo valore di x.
Dunque x è una funzione univoca di r. Essa è nota come funzione inversa del seno e
viene chiamata arcoseno; essa convenzionalmente si scrive nel seguente modo:
x = arcsen (r)
[con –100c ≤ x ≤ +100c)]
Tuttavia non bisogna mai dimenticare che il valore x fornito dalla funzione
inversa arcoseno è solo il primo di infiniti valori, dei quali il secondo si trova nel IIo
quadrante.
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LA FUNZIONE INVERSA ARCCOS
L’equazione cos x = r (–1 ≤ r ≤ 1) ammette infinite soluzioni (infiniti valori di x).
Limitando però la variabilità di x, e considerando solo gli angoli minori di 400c, lo
stesso valore della funzione coseno si riscontra in due soli angoli.
Se il primo di questi è compreso nel Io quadrante, il secondo sarà il suo esplementare
compreso nel IVo quadrante. Indicando con x1 e con x2 i due angoli minori di 400c che
forniscono lo stesso valore r per la funzione coseno, si può scrivere:
x1 = 
e
x2 = 400c – 
Se ora conveniamo di assumere, per x, solo gli angoli compresi nell’intervallo
0c ≤ x ≤ 200c,
in questo intervallo a un assegnato valore di r resta associato un solo valore di x.
Dunque x è una funzione univoca di r. Essa è nota come funzione inversa del
coseno e viene chiamata arcocoseno; essa convenzionalmente si scrive nel
seguente modo:
x = arccos (r)
[con 0c ≤ x ≤ 200c)]
Tuttavia non bisogna mai dimenticare che il valore x fornito dalla funzione
inversa arcocoseno è solo il primo di infiniti valori, dei quali il secondo si trova nel
IVo quadrante.
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LA FUNZIONE INVERSA ARCTG
L’equazione tg x = r (con r reale) ammette infinite soluzioni (infiniti valori di x).
Limitando però la variabilità di x, e considerando solo gli angoli minori di 400c, lo
stesso valore della funzione tangente si riscontra in due soli angoli.
Se il primo di questi è compreso nel Io quadrante, il secondo sarà un angolo
compreso nel IIIo quadrante. Indicando con x1 e con x2 i due angoli minori di 400c che
forniscono lo stesso valore r per la funzione coseno, si può scrivere:
x1 = 
e
x2 = 200c + 
Se ora conveniamo di assumere, per x, solo gli angoli compresi nell’intervallo:
–100c ≤ x ≤ +100c,
in questo intervallo a un assegnato valore di r resta associato un solo valore di x.
Dunque x è una funzione univoca di r. Essa è nota come funzione inversa della
tangente e viene chiamata arcotangente; essa convenzionalmente si scrive nel
seguente modo:
x = arctg (r)
[con –100c ≤ x ≤ +100c)]
Tuttavia non bisogna mai dimenticare che il valore x fornito dalla funzione
inversa arcotangente è solo il primo di infiniti valori, dei quali il secondo si
trova nel IIIo quadrante.
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I CASI DI RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTI
Con le funzioni inverse possiamo riepilogare i casi di risoluzione dei triangoli retti.
caso
1
2
3
schema
geometrico
elementi
noti
- ipotenusa
- angolo
c;
- cateto
- angolo
a;
- ipotenusa
- cateto
c;a
1a soluzione
  100C  
a  c  sen
b  c  cos 
  100C  
a  c  cos 
b  c  sen
  100C  
b  a  cot g
  100C  
b  a  tg
c
a
sen
- cateto
- cateto
a;b
c
a
cos 
a
c
  100 C  
b  c  cos 
a
c
  100 C  
a
b
  100C  
a
c
sen
b
a
C
  100  
a
c
cos 
  arcsen 
  arctg  
4
2a soluzione
  arccos 
b  c  sen
  arctg  
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LA RETTA:
PROIEZIONE & PENDENZA
PROIEZIONE DI UN SEGMENTO
La proiezione del segmento AB appartenente alla retta r, sulla retta s, è il
segmento A0B0 appartenente alla retta s (A0B0 sono i piedi delle normali alla retta s
per A e B).
Indicando con  l’angolo che la retta r forma con la retta s, il valore della proiezione
A0B0 si ottiene dalla:
B
A
A0B0 = AB  cos


A0
r
B0
s
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PENDENZA DI UNA RETTA
Si definisce pendenza della retta r collocata su un piano verticale, la tangente
dell’angolo  che la retta forma con il piano orizzontale.
Indicando con d la proiezione orizzontale di un segmento AB della retta r, e con h la
proiezione verticale dello stesso segmento, la pendenza può essere riformulata:
r
B
A
p = tg
h

h
p = -------d
d

orizzontale
In generale il valore della pendenza è un numero piccolo, quindi per comodità, nel
linguaggio parlato, si suole indicarla in percentuale (per es. p = 0,05  5%).
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